2023-2024学年辽宁省部分重点中学协作体高二（上）期中数学模拟试卷（C卷）（含解析）

2023-2024学年辽宁省部分重点中学协作体高二（上）期中数学模拟试卷（C卷）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若三条直线，和交于一点，则的值为( )
A. B. C. D.
3.直线：与直线：垂直，则直线在轴上的截距是
A. B. C. D.
4.已知向量，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.在棱长为的正四面体中，( )
A. B. C. D.
6.已知点，，若，到直线的距离都为，则直线的方程不可能为( )
A. B.
C. D.
7.已知圆：，直线：，点为上一动点，过点作圆的切线，切点为，，当四边形的面积最小时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
8.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知圆：，则下列说法正确的是( )
A. 圆的半径为
B. 圆截轴所得的弦长为
C. 圆上的点到直线的最小距离为
D. 圆与圆：相离
10.下列说法正确的有( )
A. 直线过定点
B. 过点作圆的切线，则的方程为
C. 圆上存在两个点到直线的距离为
D. 若圆：与圆：有唯一公切线，则
11.如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，，，，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法不正确的是( )
A. 该几何体是四棱台
B. 该几何体是棱柱，平面是底面
C.
D. 平面与平面的夹角为
12.如图所示，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，则( )
A. 当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值
B. 存在这样的点，使得
C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当时，点的轨迹长度为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.两条平行直线：与：之间的距离为 ．
14.已知点在平面内，并且对不在平面内的任意一点，都有，则的值为______．
15.直线的倾斜角的取值范围是______．
16.底面为矩形的直四棱柱中，，点在棱上且满足分别为棱，的中点，是底面内一点，若直线与平面垂直，则点到平面的距离的大小是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为
求中过，边上中点的直线方程：
求的面积．
18.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ若圆与直线：交于，两点，_____，求的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件：；条件：．
19.本小题分
经过：，：的交点，且在轴上的截距为的直线方程；
经过的入射光线，经直线：反射后过点，求反射光线所在的直线方程．
20.本小题分
如图所示，在四棱锥中，，，是等边三角形，，，．
求的长度；
求二面角的余弦值．
21.本小题分
如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．
证明：平面；
设点在线段上运动，平面与平面所成锐二面角为，求的取值范围．
22.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点，，点为线段上的动点不包括线段的端点．
若平面，请确定点的位置；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，方向向量的概念，考查运算求解能力，属于基础题．
由方向向量可得直线的斜率，再由，得解．
【解答】解：由题意知，直线的斜率为，
由，，得倾斜角．
故答案选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三条直线经过同一个点问题，属于基础题．
由题意可得，和的交点且在直线上，由此求得的值．
【解答】
解：三条直线，和交于一点，
和的交点在直线上，
，求得，
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
直线：与直线：垂直，求出，从而直线：，令，能求出直线在轴上的截距．
本题考查直线在轴上的截距的求法，考查直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
【解答】
解：直线：与直线：垂直，
，
解得，
直线：，
令，得，
直线在轴上的截距是．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：向量，，，
，
，
与的夹角为．
故选：．
由，得到，由此能求出与的夹角．
本题考查向量夹角的求法，考查向量夹角数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
先把要求数量积的两个向量表示成以四面体的棱所在向量为基底的向量的表示形式，写出向量的数量积，问题转化成四面体的棱与棱之间的关系，因为棱长及其夹角可知，从而得到结果．
本题考查空间向量的数量积，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，，，
则与可能在直线的同侧且与直线平行，也可能直线过线段中点，
当直线平行直线时，，可设直线的方程为，
依题意得：，解得：或，
故直线的方程为：或；
当直线过线段中点时：的中点为，
若直线的斜率不存在，直线的方程为，
若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
依题意得：，解得：，
直线的方程为；
故选：．
根据题意，分析可得与可能在直线的同侧且与直线平行，也可能直线过线段中点，据此分种情况讨论，求出直线的方程，综合可得答案．
本题考查点到直线的距离公式，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径，
当点与圆心的距离最小时，切线长、最小，此时四边形的面积最小，
直线，
则的方程为，
联立，解得，，
以为直径的圆的方程为，
即，
两圆方程相减可得．
故选：．
由题意可得当点与圆心的距离最小时，切线长、最小，此时四边形的面积最小，求出的坐标，再求出以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立即可求得直线的方程．
本题考查圆的切线方程，明确当点与圆心的距离最小时的面积最小是解决问题的关键，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
可得，
因为点在平面上的射影是的重心，
所以平面，所以，
即，解得，
即，
则点到平面的距离为，是的中点，
所以．
故选：．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间向量的数量积转化求解点到平面的距离．
本题考查了点到平面的距离计算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆的弦长公式，圆的半径的确定，圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．
首先将圆的方程化为标准方程，即可确定圆的半径，利用弦长公式可得圆截轴的弦长，求得圆心到直线的距离即可确定圆上的点到直线距离的最小值，利用圆心距的大小可得两圆的位置关系．
【解答】
解：对于，把圆的方程化成标准方程为，
所以圆的圆心坐标为，半径为，A错误；
对于，圆截轴所得的弦长为，B正确；
对于，圆心到直线的距离为，
故圆上的点到直线的最小距离为，C正确；
对于，圆：的圆心为，半径为，
则点与点之间的距离为，圆与圆相切，D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，直线即，过定点，A正确；
对于，当过点的直线斜率不存在时，方程为，与圆相切，B错误；
对于，的圆心，半径，
圆心直线的距离，
所以圆上存在两个点到直线的距离为，故C正确；
对于，圆：，即，，半径，
圆：，即，则，半径，
由圆：与圆：有唯一公切线，
两圆内切，则有，解可得，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程的形式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为四边形和为直角梯形，，，，为直角顶点，其他四个面均为矩形，
所以这个六面体是四棱柱，平面和平面是底面，故A，B错误；
由题意可知，，两两垂直，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
则，所以，不垂直，故C错误；
根据题意可知平面，所以为平面的一个法向量，
，
设为平面的法向量，
则有，则可取，
则，
所以平面与平面的夹角为，故D正确．
故选：．
根据台体、柱体、空间直角坐标系、线线垂直、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查了线线垂直的应用和面面角的计算，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对选项，由点到侧面的距离相等，
故四棱锥的体积为定值，故A选项正确；
对选项，因为，
所以这样的点是正方形与中心连线段的中点，
不在正方体的表面上，故B选项错误；
对选项，由题意易知当在平面和平面上时，
与即为直线与平面所成角的平面角，
当直线与两平面的对角线重合时，线面角为，此时点的轨迹长度为，
当点在平面上时，点在以为半径，以为圆心在平面上画弧，
所得即为线面角为的点的轨迹，轨迹长为，则总长为，故C选项对，
对选项，，当时，
点的轨迹为在平面、平面、平面上以为半径的圆弧，
又，，则圆弧圆心角为，
在平面C、平面、平面上以为半径的圆弧，
又，则圆弧圆心角为，
则轨迹总长为，故D选项对．
故选：．
根据四棱锥的体积公式，向量的线性运算，线面角的概念，弧长公式，即可分别求解．
本题考查四棱锥的体积问题，向量的线性运算，线面角的概念，弧长的求解，属中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
利用平行线，求解，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．
本题考查平行线之间的距离公式的应用，平行线的性质，是基本知识的考查．
【解答】
解：两条平行直线：与：，
可得，
所以：，
所以两条平行直线：与：之间的距离为：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
即，
因为点，，，四点共面，所以，
所以，
故答案为：．
把已知关系式化为，然后根据因为点，，，四点共面，所以，即可求解．
本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：直线方程可化为，
，
则，
由正切函数的图像知倾斜角，
由正切函数的图像知倾倾斜角，
当时，直线的倾斜角为，
故答案为：．
由题意根据直线的斜率判断倾斜角的范围．
本题考查直线的斜率和倾斜角，属于容易题．
16.【答案】
【解析】解：建系如图，设，则根据题意可得：
，
，
直线与平面垂直，
，
，即，
设点到平面的距离为，
则，
解得．
故答案为：．
建系，利用空间向量得到坐标，进而利用等体积转化求得点面距离．
本题考查等体积法求解点面距，坐标法的应用，方程思想，属中档题．
17.【答案】解点关于轴的对称点为，，
又点关于原点的对称点为，，
的中点坐标是，的中点坐标是．
过，的直线方程是，
整理得．
由题意知，，，
的面积．
【解析】先求出点的对称点的坐标，再用两点式求出直线的方程．
先判断求出和的值，判断，从而求出的面积．
本题主要考查一个点对于直线、点的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ设圆心坐标为，半径为．
圆的圆心在直线上，．
又圆与轴相切于点，，．
圆的圆心坐标为，．
则圆的方程为；
Ⅱ如果选择条件，
，，
圆心到直线的距离．
则，解得或．
如果选择条件，
，，
圆心到直线的距离．
则，解得或．
【解析】Ⅰ设圆心坐标为，半径为由题意可得，，，进一步求得与的值，则圆的方程可求；
Ⅱ如果选择条件，由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求解值；
如果选择条件，同样由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求解值．
本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系，训练了点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：由解得，所以交点为，
又在轴上的截距为，所以直线过，
所以直线的斜率为，所以直线方程为：，
即，
设关于直线：的对称点为
则解得，所以对称点点为，
由，得直线的斜率为，
所以直线方程为：，
即．
【解析】首先利用二元一次方程组求出交点的坐标，进一步利用点斜式求出直线的方程；
利用中点的坐标公式和直线垂直的充要条件求出对称点的坐标，进一步利用点斜式求出直线的方程．
本题考查的知识要点：直线方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
20.【答案】解：在四棱锥中，，，是等边三角形，
，，，如图，
中点，连接、，是等边三角形，，
又，，、平面，平面，
平面，，，是等边三角形，，
，，，，，；
由题意可知、，，，
以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图，
则、、、、，
由题意可知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，、
则，即，
令，则、，，
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
．
【解析】取中点，连接、，利用线性运算法则直接求解；
推导出，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴，利用向量法能示出结果．
本题考查线段长、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】证明：在梯形中，因为，，
所以，所以，
所以，所以．
因为平面平面，平面平面，
因为平面，所以平面．
解：由，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，．
，．
设为平面的一个法向量，
由得，取，则，
是平面的一个法向量
，当时，有最小值，当时，有最大值．
．
【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
证明通过平面平面，平面平面，平面，推出平面．
分别以直线，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
22.【答案】解：如图，连接．
，，∽，
．
，，
．
平面，平面，平面．
若平面，又由，平面，
平面与平面相交，必有．
又，为的中点．
由，，两两垂直，以为坐标原点，
向量，，方向分别为，，轴的正方向建立如图
所示空间直角坐标系．
不妨设，可得各点坐标如下：，，，，，．
设，有，
又由，有，
设平面的法向量为，
由，，有
取，，，可得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
由，，，
有．
设，有，．
由二次函数的性质可知，当时，，时，的最大值为．
【解析】连接，先证平面，若平面，平面与平面相交，必有，再由，可知为的中点；
以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查由线面平行确定点的位置，空间向量的应用，线面角的相关计算等知识，属于中等题．
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