2023-2024学年四川省内江重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年四川省内江重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列各组对象不能构成集合的是( )
A. 参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员 B. 小于的正整数
C. 数学必修第一册课本上的难题 D. 所有有理数
2.下列元素与集合的关系中，正确的是( )
A. B. C. D.
3.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
5.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.年文汇高中学生运动会，某班名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有人，参加径赛的有人，则田赛和径赛都参加的学生人数为( )
A. B. C. D.
7.设集合，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
8.函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.设为非空实数集，若对任意，，都有，，且，则称为封闭集．下列叙述中，正确的为( )
A. 集合为封闭集 B. 集合为封闭集
C. 封闭集一定是无限集 D. 若为封闭集，则一定有
11.下列命题正确的是( )
A. ， B. ，
C. 是无理数，是有理数 D. ，，
12.下列说法正确的是( )
A. 若，则的最大值为
B. 函数的最小值为
C. 已知，，，则的最小值为
D. 若正数，满足，则的最小值是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知集合，，若，则等于______．
14.不等式的解集为______ ．
15.设命题：，写出一个实数 ______ ，使得为真命题．
16.设函数，若关于的不等式的解集为，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知，比较与的大小；
若，，，求证：．
18.本小题分
设为实数，集合，．
若，求，；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，
Ⅰ若，求不等式的解集；
Ⅱ若不等式对一切实数都成立，求的取值范围．
20.本小题分
已知集合或，．
若，求实数的取值范围；
已知命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
21.本小题分
为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围斜线部分均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为平方米．
若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
若草坪四周及中间的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
22.本小题分
已知函数．
解关于的不等式；
若在区间上恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于中，参加的全体球员，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；
对于中，小于的正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；
对于中，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合；
对于中，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合．
故选：．
根据集合的概念，逐项判定，即可求解．
本题考查集合的概念等基础知识，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
根据集合，，，的元素的性质对应各个选项即可判断求解．
本题考查了集合元素的性质，涉及到数集的定义，考查了学生的分析求解能力，属于基础题．
【解答】
解：选项A：因为集合中没有负数，故A错误，
选项B：因为集合中的元素是所有正整数，故B正确，
选项C：因为集合表示所有有理数，故C错误，
选项D：为实数集，是实数，故D错误，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
由可得，从而，进一步即可利用基本不等式进行求解．
【解答】
解：由，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：阴影部分表示属于集合但不属于集合
而，，结合数轴可得
阴影部分表示的集合为．
故选：．
阴影部分表示属于集合但不属于集合，结合数轴可得阴影部分表示的集合，从而得到结论．
本题主要考查了图表达集合的关系及运算，以及将图形转化成集合运算的能力，同时考查了画图能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：“，”的否定是，．
故选：．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设田赛和径赛都参加的学生人数为
因为名学生中有一半的学生没有参加比赛，所以参加比赛的学生有人；
故，
故田赛和径赛都参加的学生人数为，
故选：．
根据题意画出对应的图，进而求出结论．
本题考查集合中元素个数的求法，考查集合的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：集合，
集合，
则，即，
故选：．
集合中的元素为偶数的三倍再加一，集合中的元素为整数的三倍再加一，由此得出两集合的关系，逐一检验选项即可．
本题考查集合间的关系，考查描述法的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，则，则，
又因为表示不大于的最大整数，
所以不等式的解集为：，
因为所求的时不等式成立的充分不必要条件，
所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可，
选项中只有．
故选：．
先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可．
本题考查集合间的关系，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，若，则，，故A正确；
对于，若，，则，故B正确；
对于，举反例，，，，则，故C错误；
对于，，，，，
，故D错误．
故选：．
利用不等式的性质可判断，举反例可判断，利用作差法可判断．
本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，在集合中，
不在集合中，集合不是封闭集，故A错误；
对于，集合，
设，，则，，，，
，，，
集合为封闭集，故B正确；
对于，封闭集不一定是无限集，故C错误；
对于，若为封闭集，则取得，故D正确．
故选：．
利用封闭集的定义和性质直接求解．
本题考查封闭集的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，当时，不等式显然成立，故A正确；
对于，当时，不等式显然不成立，故B错误；
对于，当时，，，仍然是无理数，故C错误；
对于，当，且时，成立，故D正确．
故选：．
对四个选项分别举实例即可判断．
本题主要考查全称命题以及特称命题真假的判断，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，则的最大值为，故A正确；
对于，因为，所以，令，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
所以，即，的最小值为，故B错误；
对于，因为，，，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，即的最小值为，故C正确；
对于，因为，，，
所以，则，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
故，即的最小值是，故D错误．
故选：．
利用基本不等式“一正二定三相等”及“”的妙用，对选项逐一分析检验即可．
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：集合，，，
，，或，
检验：当时，，与互异性矛盾，
，
故答案为：．
由集合相等的概念列出方程，求出后验证集合中元素的特性得答案．
本题考查集合相等的条件，考查了集合中元素的特性，是基础题．
14.【答案】或
【解析】解：不等式，即，即．
求得它的解集为或，
故答案为：或．
把要解的不等式等价转化为，从而求得它的解集．
本题主要考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．
15.【答案】答案不唯一，任取一个小于等于的值都可以
【解析】解：时，不等式为：，有实数解，
而：，，若正确，则，解得，
若为真命题，则，即时任取一个值都可以．
故答案为：答案不唯一，任取一个小于等于的值都可以．
根据题意，至少有一个实数使得不等式成立，从而利用一元二次不等式的性质算出答案．
本题主要考查含有量词的命题判断真假、二次不等式的性质等知识，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：当满足不等式知，即，
所以，
所以，
所以的两根为，，
而可化为，
即，
所以方程的两根为，，
且，
不等式的解集为，
可知，
解得，
所以，
所以，
故答案为：．
据不等式的解集可得，，应为不等式对应方程的根，故分析两个不等式对应方程的根，即可求解．
本题主要考查不等式与方程的关系，不等式解集的端点为对应方程的根，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
则，
所以；
证明：若，，，则，，
则，
所以，
因为，
所以．
【解析】先对已知式子作差，变形即可比较大小；
先比较与的大小，然后结合不等式性质即可证明．
本题主要考查了比较法在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：集合，时，，
所以，
又因为，
所以或，
由得或，
即或，
所以实数的取值范围是．
【解析】本题考查了交集、并集和补集的定义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
求出时集合，再求出与；
根据得出关于的不等式，由此求出实数的取值范围．
19.【答案】解：Ⅰ若，则，
，，
解得，
故不等式的解集为；
Ⅱ由题意，对一切实数都成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，可得，解得；
综上，的取值范围是
【解析】Ⅰ利用因式分解结合二次函数的图象和性质得出不等式的解集；
Ⅱ不等式对一切实数都成立，即函数图象恒在轴上方，按和两类讨论，解出的取值范围．
本题考查函数与方程的关系，不等式的恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想，属于基础题．
20.【答案】解：因为集合，
若，则，解得，
所以实数的取值范围是；
因为集合或，，
是的必要不充分条件，所以，
若，则，解得，
若，则，解得，
综上，实数的取值范围是
【解析】根据空集的定义列出不等式求出的取值范围；
根据是的必要不充分条件得出，讨论和，从而求出实数的取值范围．
本题考查了充分与必要条件的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．
21.【答案】解：设草坪的宽为米，长为米，
因为两块绿草坪的面积均为平方米，
所以，
因为矩形草坪的长比宽至少多米，
则，即，
解得，
所以草坪宽的最大值为米；
设整个绿化面积为平方米，
由题意可得，，
当且仅当时取等号，
所以整个绿化面积的最小值为平方米．
【解析】本题考查函数的应用和基本不等式的应用，属于中档题．
设草坪的宽为米，长为米，由题意得到，求出的取值范围，即可得到答案；
由题意，表示出整个绿化面积，然后利用基本不等式求解最值即可．
22.【答案】解：由得， 分，
当时，原不等式的解集为，分，
当时，原不等式的解集为；分，
当时，原不等式的解集为分．
由即在上恒成立得 分，
令，
则， 分
．
故实数的取值范围是 分
【解析】根据函数的解析式，可将化为，分类讨论可得不等式的解集．
若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数的取值范围．
本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
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