2023-2024学年四川省成都市金牛区重点中学高一（上）第一次段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省成都市金牛区重点中学高一（上）第一次段考
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.下列五个写法：；；；；，其中错误写法的个数为( )
A. B. C. D.
2.设全集为，集合，，则( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.定义，若，，则中元素个数为( )
A. B. C. D.
5.设集合，集合，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.设集合，，则是的真子集的一个充分不必要的条件是( )
A. B. C. D.
7.若不等式的解集为，则不等式的解集是( )
A. B. 或
C. D.
8.设为实数，若关于的不等式在区间上有实数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.下列叙述中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 已知，，则“”是“”的必要不充分条件
D. 命题“，”的是真命题．
10.设集合，，，则下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
11.若，，，则下列命题正确的是( )
A. 若，且，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若且，则
12.下列各说法中正确的是( )
A. “”是“”的充要条件
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 不等式的解集是或
二、非选择题（共90分）
13.集合，，用列举法可表示为______ ．
14.不等式的解集是______．
15.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为______ ．
16.已知，不等式恒成立，则的取值范围______ ．
17.已知全集，集合，集合求：
；
．
18.某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目已知该企业日加工处理量单位：吨最少为吨，最多为吨日加工处理总成本单位：元与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为元．
该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？
为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
每日进行定额财政补贴，金额为元；
根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？
19.若正实数满足，满足，求的最小值．
若，，且，求最小值．
20.已知关于的不等式的解集为，或．
求，的值
当，，且时，有恒成立，求的取值范围．
21.设集合，．
若，求实数的值；
若，求实数的取值范围．
22.已知为常数，二次函数．
若该二次函数的图象与轴有交点，求的取值范围；
已知，求的解集；
若存在，使成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：空集表示集合且集合内不包含任何元素，故错误，
空集是任意集合的子集，故正确，
由集合中元素的无序性可知，两集合相等，故正确，
是用于集合与集合运算的符号，故错误，
故错误写法的个数为个．
故选：．
根据已知条件，结合空集的定义，以及集合中元素的无序性，即可求解．
本题主要考查元素与集合关系的判断，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的运算问题，属于基础题．
根据补集、交集的定义即可求出．
【解答】
解：，，
，
，
故选B．
3.【答案】
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：，”的否定是：，．
故选：．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
4.【答案】
【解析】解：定义，，，
，
中元素个数为个．
故选：．
根据新定义直接写出中所有元素即可．
本题主要考查了元素与集合关系的判断，考查了元素的互异性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：集合，集合，，
，
则实数的取值范围是．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
当时，，
满足是的真子集，
当时，，
若满足是的真子集，则或，
即或，
综上若是的真子集，则或或，
则是的真子集的一个充分不必要的条件是，
故选：．
根据真子集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据真子集的定义求出的取值是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由不等式的解集为，
则且，
即，
由，
整理得，
即，
即，
解得，
即不等式的解集是，
故选：．
由不等式的解集为，则且，即，然后代入求解即可．
本题考查了二次不等式的解法，重点考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：若关于的不等式在区间上有实数解，
则在区间上有实数解，
因为在上先减后增，
又，，
故．
故选：．
由题意可得在区间上有实数解，然后结合不等式的存在性问题与对勾函数的单调性可求．
本题考查一元二次不等式在给定区间有解的问题，转化为对勾函数研究即可，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：若，则，显然成立，故A正确；
因为，故B正确；
“”，或，或，或，故C正确；
“，”不成立，反例：，，故D错误．
故选：．
根据集合的关系，即可判断，根据作差法，即可判断，举反例，即可判断．
本题考查命题的判断，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
为奇数，为偶数，，，，．
故选：．
把集合与变形，可得，，，结合选项得答案．
本题考查交集及其运算，考查集合间的关系及应用，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，令，，满足，但，故A错误，
对于，，
，即，故B正确，
对于，，
，，，
，即，故C错误，
对于，令，，，满足且，，故D错误．
故选：．
对于，结合特殊值法，即可求解，对于，结合作差法，即可求解，对于，结合作差法，即可求解，对于，结合特殊值法，即可求解．
本题考查了作差法的应用，以及特殊值法，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于：，即是的充要条件，故A正确；
对于：令，则，在上单调递增，当时，函数取得最小值，故B错误；
对于：设，则，所以，由于函数在上单调递增，故函数的最小值为，故C错误．
对于：由于，整理得的解集为或，故D正确．
故选：．
直接利用不等式的性质，对勾函数和一元二次不等式的解法判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：不等式的性质，对勾函数，一元二次不等式的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
13.【答案】，，
【解析】解：集合，，用列举法可表示为：
，，．
故答案为：，，．
利用正自然数的性质、列举法能求出结果．
本题考查集合的表示方法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】或
【解析】解：不等式即为
或，
解得或．
则解集为或．
故答案为：或．
不等式即为或，由一次不等式的解法，即可得到解集．
本题考查分式不等式的解法，可以运用符号法则或化为整式不等式，注意等价变形，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：命题“，”是假命题，
则命题“，”为真命题，
故，整理得，
解得或，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
直接利用全称命题和特称命题的转换，命题真假的判断和一元二次不等式有根的充要条件求出实数的取值范围．
本题考查的知识要点：全称命题和特称命题，命题真假的判断，一元二次不等式有根的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】或
【解析】解：不等式，
令，
依题意，，，
于是，
即，
解得或，
解，得或，
因此或，
所以的取值范围是或．
故答案为：或
根据给定的不等式，构造一次型函数，再利用函数的图象特征列出不等式组求解即得．
此题考查了函数恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：集合，集合．
；
集合，集合．
，
．
【解析】利用并集概念及运算即可得到结果；
先求交集，进而求补集即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为，
又，
当且仅当，即时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，
因为，所以此时该企业处理吨厨余垃圾处于亏损状态；
若该企业采用补贴方式，设该企业每日获利为，
则
，因为，
所以当吨时，企业获得最大利润，为元；
若该企业采用补贴方式，设该企业每日获利为，
则
，因为，
所以当吨时，企业获得最大利润，为元；
综上：选择方案一，当日加工处理量为吨时，可以获得最大利润元；
选择方案二，当日加工处理量为吨时，可以获得最大利润元；
所以为了获得最大利润，应选择方案二进行补贴．
【解析】列出平均成本后，根据基本不等式即可判断；
分别算出两种方案的最大利润，进行比较即可．
本题考查函数在实际问题中的应用，考查基本不等式求最值，考查二次函数在闭区间上的最值，考查决策问题，属中档题．
19.【答案】解：正实数满足，满足，
故，解得，当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为；
由于，，且，整理得，
故，
故，由于，，
所以，，
所以，解得，
当且仅当，解得，，
故当，时，的最小值为．
【解析】直接利用基本不等式的性质求出结果．
本题考查的知识要点：基本不等式的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两个实数根且
所以，解得．
由知，于是有，
故，当，时等号成立
依题意有，即，
解得．
所以的取值范围为．
【解析】根据题意可得和是方程的两个实数根且，得到关于，的方程组，解得，，即可．
由知，于是有，结合基本不等式，求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可．
本题考查了二次函数和二次不等式的关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解 由得或，故集合
，，代入中的方程，得，
或；
当时，满足条件；
当时，满足条件；
综上，的值为或．
，，
若，则适合；
若，则时，，，不合题意；
当，此时需且
将代入的方程得或；
将代入的方程得
且且
综上，的取值范围是或或
或或．
【解析】化简集合
根据交集的定义将代入集合的方程求出的值，然后验证即可．
根据已知条件可知，然后根据和进行讨论求出的值即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，要注意分类讨论，属于中档题．
22.【答案】解：由题意可得，解得或；
由，
可得，
当时，即，不等式解集为，
当时，即，不等式解集为，
当时，即，不等式解集为，
综上所述：当，不等式解集为，
当，不等式解集为，
当，不等式解集为；
若存在，使成立，
即，使得成立，
令，，，，
则，
当且仅当，即，时等式成立，
另时，，
时，，
即，，
所以的取值范围为．
【解析】本题考查了抛物线与轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
首先求出的值，进而配方求出其符号，进而得出答案；
将不等式化简为，然后对两根，分三种情况讨论即可；
由题意可将条件化为，使得成立，求出在时的值域，即为的范围．
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