第二十三章 旋转 复习讲义（无答案） 2023-2024学年人教版数学九年级上册

旋转与中心对称
共同特点：如果把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着 转动一定的角度．
像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做 ，点O叫做 ，转动的角叫做 ；如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个 ．
旋转的三个要素： ， ， ．
◆对应点到旋转中心的距离 ．
◆对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ．
◆旋转前、后的图形 ．
图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置．
中心对称图形：
绕着中心点旋转180度后能与自身重合的图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心．
当旋转角为180°时,旋转对称图形是一个中心对称图形,所以中心对称图形是旋转对称图形的特例．
中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够和另一个图形重合，就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点．
成中心对称的性质：
1．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．
2．成中心对称的两个图形，大小相等，形状相同，两个图形全等．
3．成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．
例1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC关于原点O旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出各顶点的坐标．
1．如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°而得到的，则下列结论不成立的是（　　）
A．点A与点D是对应点 B．BO=EO
C．∠ACB=∠FDE D．AB∥DE
2．下列图形中，由原图旋转得到的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（　　）
A．55° B．60° C．65° D．80°
1．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B按顺时针方向旋转一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，则该旋转角度为（　　）
A．120° B．90° C．60° D．30°
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，△ABC绕着点B逆时针旋转90°到△A′B′C′的位置，AA′的长为（　　）
A．10 B．10 C．20 D．5
如图，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，得到，则∠B′AC的度数是（　　）
A．13° B．17° C．23° D．33°
4．如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△DEC，点A对应点D，点B对应点E，点B刚好落在DE边上，∠A＝24°，∠BCD＝48°，则∠ABC等于（　　）
A．68° B．70°
C．72° D．74°
5．台风“山竹”过去后，许多大树被大风刮倒吹折．一棵笔直的大树被风吹折后倒地，折断点为B（B点离地面为树高的处）．则旋转角的度数为 ．
6．将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（　　）
A． B． C． D．
例3．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE=CE，连接DE．
求证：△BDE≌△BCE；
试判断四边形ABED的形状，并说明理由 ．
1．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE．
（1）求证：∠A＝∠EBC；
（2）若已知旋转角为40°，∠ACE＝140°，求∠CED和∠BDE的度数．
例4．在线段，等腰梯形，平行四边形，矩形，正五角星，圆，正方形，等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
1．下列四个图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形
3．（1）点P （a，b）关于原点对称的点的坐标（ ）
（2）点P （a，b）关于x轴对称的点的坐标（ ）
（3）点P （a，b）关于y轴对称的点的坐标（ ）
例5．如图，△BCM中，∠BMC＝120°，以BC为边向三角形外作等边△ABC，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置．若BM＝2，MC＝3．
求：①∠AMB的度数；②求AM的长．
1．已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB=QC；
（2）若PA=3，PB=4，∠APB=150°，求PC的长度．
例6．如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一点，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°到△ADF的位置．已知AF=5，BE=13．
（1）求DE的长度；
（2）BE与DF是否垂直？说明你的理由．
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是 ．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF=MF；
（2）当AE=1时，求EF的长．
例7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，E是AD的中点，连结BE并延长交CD的延长线于点F．
（1）图中△EFD可以由　　　　　　绕点　　　　　　旋转　　　　　　后得到；
（2）若AB=4，BC=5，CD=6，求△BCF的面积．
1．如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．
（1）试猜想线段AE与BF的长短有何关系？说明理由；
（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．
例8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1B1的斜边OA1＝2，且OA1在x轴的正半轴上，点B1落在第一象限内．将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转45°，得到Rt△OA2B2，再将Rt△OA2B2绕原点O逆时针旋转45°，又得到Rt△OA3B3，……，依此规律继续旋转，得到Rt△OA2019B2019，则点B2019的坐标为　 　．
1．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是　 　．
2．如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn，OPn+1（n为正整数），则△OPnPn+1的面积为　 　．
3．如图，点D是等边△ABC内一点，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE，连结CD并延长交AB于点F，连结BD，CE．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）当CF⊥AB时，∠ADB＝140°，求∠ECD的度数．
4．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF
（1）如图1，求证：AE＝CF；
（2）如图2，若A，E，O三点共线，求点F到直线BC的距离．