数学人教A版（2019）必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂（共21张ppt）

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第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
1.理解n次方根、根式的概念.
2.能正确运用根式的性质化简或求值,能进行根式与分数指数幂之间的相互转化.
学习目标
复习引入
幂函数
在学习幂函数时，我们把正方形场地边长c关于面积S 的函数 ,像 这样分数为指数的幂，其意义是什么呢？
如果 ,那么___叫做___的n次方根
类似地， 由于 ，______就叫做___的4次方根
由于 ， _______就叫做____的5次方根
探究问题
定义：若xn=a,则x叫做a的n次方根
其中
n次方根的性质
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如
负数没有偶次方根.
【3】 0的任何次方根都是0.记作：
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用 表示.两者也可以合并成 .
例如
根指数
被开方数
根式
根式的性质一：
同学们，你能写出形如 的具体例子吗？
根式的性质二：
同学们，请问说明
例(1)27的立方根是　　　　;16的4次方根是　　　.
(2)已知x6=2 019,则x=　　　.
要点笔记 根式概念问题应关注的两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;(2)n为奇数时,被开方数a的正负决定着n次方根的符号.
跟2.化简.
跟1求下列各式的值.
(1) (2)
(3) (4)
解　由题意知a－1 ≥0，即a≥1.
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
= -4
= -8
= 4
探究 根据n次方根的定义和运算，我们知道
___________________(a>0)
___________________(a>0)
也就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
思考 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
事实上，任何一个根式都可以表示为分数指数幂的形式，例如：
, .
一般地
分数指数幂
规定正数的正分数指数幂的意义是：
所以，在条件的下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.
规定正数的负分数指数幂的意义是：
例如，
规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
注意：分数指数不能随意约分. 因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如约分后变成了，而在实数范围内无意义.
一般的，无理数指数幂 aα（a>0，α为无理数）是一个确定的实数，幂中的指数的取值范围就从整数拓展到了有理数，并拓展到了实数． 实数指数幂是一个确定的实数．对任意实数r，s，均有下面的性质：
指数运算性质
根式化简与求值的思路及注意点：
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质
进行化简．
(2)注意点：
①正确区分“ ”与“ ”两式；（注意分析 是否有意义）
②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
例1 求值：
(1)
(2)
解 (1) ;
(2)
例题精讲
例2 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中)：
(1)
(2)
解 (1) ;
(2).
例题精讲
例3 计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)
(2)
解 (1) 原式
(2) 原式
例题精讲
例4 计算下列各式(式中字母均是正数)：
(3)
解 (1) 原式
例题精讲
1.次方根
2.根式
3.分数指数幂
4有理数指数幂的运算性质
课堂小结
完成习题4.1
课后作业