2023-2024学年江西省南昌市高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江西省南昌市高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩已知某种烟花距地面的高度单位：米与时间单位：秒之间的关系式为，则烟花在冲出后爆裂的时刻是( )
A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒
4.已知集合，，若，则的所有可能取值组成的集合为( )
A. B. C. D.
5.定义行列式，若，则的取值集合为( )
A. B.
C. D.
6.若集合，则( )
A. B. C. D.
7.某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一班共有名同学提交了作品进行参赛，有人提交了楷书作品，有人提交了隶书作品，有人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有人，同时提交楷书作品和行书作品的有人没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
8.若，，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.命题：，使，命题：，有，则( )
A. 是存在量词命题 B. 是假命题 C. 是全称量词命题 D. 是真命题
10.设一元二次方程的两个实根为，，则( )
A.
B. 当时，的最小值为
C. 为定值
D. 当时，
11.已知集合，，，且，，，则( )
A. B. C. D.
12.已知表示不超过的最大整数，则( )
A. 当时， B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.英文单词的所有字母组成的集合共有______ 个元素．
14.将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，则 ______ ．
15.若集合，则的取值范围为______ ．
16.已知，则的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
命题：，有；命题：存在一个偶数能被整除．
写出的否定；
写出的否定．
18.本小题分
设，，比较，的大小；
若，根据性质“如果，，那么”，证明：．
19.本小题分
已知集合，集合．
当时，求，；
若，求的取值范围．
20.本小题分
已知集合的子集个数为．
求的值；
若的三边长为，，，证明：为等边三角形的充要条件是．
21.本小题分
已知集合．
若，求的取值范围．
若的子集个数为，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
如图，正方形的边长为，，分别是和边上的点沿折叠使与线段上的点重合不在端点，处，折叠后与交于点．
证明：的周长为定值．
求的面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，所以．
故选：．
根据交集的定义运算即可．
本题考查了交集运算，找出两个集合的各个元素是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由，得，而，故由““可以推出“”，
反之，由“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据题意，利用充分必要条件的概念进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等式的解法及其应用、充要条件的判断等知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：依题意，，
当时，取到最大值，
即烟花在冲出后爆裂的时刻是第秒．
故选：．
根据二次函数的性质求解．
本题主要考查了二次函数的实际应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：依题意得：，所以，
又因为，所以或，
解得：或，
故的所有可能取值组成的集合为：．
故选：．
先求出集合，可知，再由，可得集合是集合的子集，根据子集的性质求解即可．
本题考查了集合的包含关系，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：原式可以化为，解得．
故选：．
将不等式展开计算即可．
本题主要考查行列式的计算，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知，
令，，解得，
又，则，化简得．
故选：．
通过对描述法表示的集合的理解，将集合中元素设为，根据题意解出，关系即可．
本题主要考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，画出韦恩图，如图所示，
设同时提交隶书作品和行书作品的有人，则，解得，
即同时提交隶书作品和行书作品的有人．
故选：．
根据题意，画出韦恩图，设同时提交隶书作品和行书作品的有人，列出方程，即可求解．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
8.【答案】
【解析】解：因为，所以，又，
由，得，
则
，
当且仅当，则由，解得，
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为．
故选：．
通过已知条件等式，结合“”的代换，利用基本不等式求解最值．
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：中，，是存在量词命题，是全称量词命题，，都正确．
若，则，解得，
但需要满足，所以是假命题，B正确．
因为，所以是假命题，D错误．
故选：．
根据存在量词命题，全称量词命题判断，项；项，注意定义域；项，可举反例．
本题考查存在量词命题，全称量词命题的定义及判定，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为方程的两个实根为，，所以．
解得．
根据韦达定理得，，故A错误．
当时，，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，故B正确．
，为定值，故C正确．
当时，即，
，得，故D错误．
故选：．
由题意，利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，，
，，
，，
，同理，．
故选：．
由元素与集合的关系即可判断．
本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：表示不超过的最大整数，当时，，故A错误；
因为，所以恒成立，故B正确；
因为，，所以，，即，故C正确；
由题意可得，因为，所以 ，故D 正确．
故选：．
由题意，根据新定义，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查新定义，求函数的值，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：英文单词不同的字母有、、、、、、个，
组成的集合为，共有个元素．
故答案为：．
根据英文单词不同的字母和集合定义可得答案．
本题考查了集合的表示方法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，
则有，
必有，，，故．
故答案为：．
根据题意，由函数图象平移变换的规律分析可得关于、、的关系式，求出、、的值，计算可得答案．
本题考查函数图象的平移变化，涉及函数解析式的求法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：依题意可得，对于恒成立，
当，即，则，即，显然成立，
当时，，
解得，
综上，的取值范围为．
故答案为：．
由题意可得对于恒成立，分和两种情况讨论，结合求解即可．
本题主要考查了不等式恒成立问题，考查了二次函数的性质，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，则．
因为
．
当且仅当，即时，等号成立．
所以，
即的最大值为．
故答案为：．
分式上下同除以变形，再将分母配凑为三项的完全平方式与的形式，最后利用基本不等式与平方的非负特点求最值，注意等号成立条件．
本题主要考查基本不等式，属于中档题．
17.【答案】解：的否定：，．
的否定：每个偶数都不能被整除．
【解析】根据题意，由全称量词命题与存在量词命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称量词命题与存在量词命题的关系，属于基础题．
18.【答案】解：，
所以．
因为，，所以，
所以，即．
又因为，所以．
【解析】利用作差法求解即可．
利用不等式的性质证明即可．
本题主要考查不等式的证明，属于中档题．
19.【答案】解：当时，，
所以．
因为或，
所以．
当时，，解得．
当时，或
解得，
即的取值范围是或．
【解析】根据集合的交并补运算即可求解，
结合集合的交集性质，分类讨论即可求解．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．
20.【答案】解：由方程组，解得：，
故，则只有个元素，
所以有个子集，即．
证明：充分性：由得，
所以可化为，
即，所以，
则，
所以，即，为等边三角形，
充分性得证．
必要性：因为为等边三角形，所以，
由得，所以，
则，，
所以，必要性得证．
故为等边三角形的充要条件是．
【解析】解方程组，求出的元素，从而求出的值；
根据充分必要条件的定义以及三角形问题分别证明其充分性和必要性即可．
本题考查了充分必要条件，考查集合的子集，是中档题．
21.【答案】解：因为，所以，
解得，则的取值范围为，
因为集合的子集个数为，所以有个元素．
即关于的不等式有且仅有个整数解．
不等式可化为．
当，即时，，则，解得．
，则．
当，即时，，则，解得，
则．
当，即时，不等式的解集为，不成立．
综上，可得存在最大值，且最大值是．
【解析】由，列式即可求解的范围；
不等式可化为，对分类讨论，即可求解．
本题主要考查元素与集合的关系，子集的个数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：证明：设，，则，由勾股定理可得，
即，
由题意可知，∽，
设，的周长分别为，则，
又因为，所以，所以的周长为定值，且定值为；
设的面积为，则，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为．
【解析】利用三角形相似性质得周长的比值，进而化简即可证明；利用三角形相似的性质得到面积的比，化简利用基本不等式即可求解．
本题考查了基本不等式的应用，涉及到三角形相似的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
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