河南省确山县2023-2024学年高一上学期10月第一次月考数学试题（含解析）

确山县2023-2024学年高一上学期10月第一次月考
数学试题
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是5
D．若，则的最小值为
5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b为非零实数，且；则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．下面关于集合的表示正确的个数是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．集合的真子集个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．2014年6月22日，卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上宣布：中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目．随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的的．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头．已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为，则游船此次行程的平均速度与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知集合，，则＝（ ）
A． B． C． D．
10．下面选项判断错误的有（ ）
A．成立的条件是
B．若，则的最小值为
C．函数的最小值等于2；
D．函数的最大值为－3
11．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．当一个非空数集G满足“任意a，b∈G，则，，，且时，”，我们称G就是一个数域，以下关于数域的说法．其中正确的选项有（ ）
A．0是任何数域的元素
B．若数域G有非零元素，则2023∈G
C．集合是一个数域
D．任何一个拥有有限个元素的数域的元素个数必为奇数
三、填空题
13．已知集合，，则＝______．
14．已知两个正数x，y满足，则使不等式恒成立的实数m的范围是______．
15．若，，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为______．
16．对于任意两个正整数m，n，定义运算 ：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，．如，，．根据上述定义，集合的元素有______个．
四、解答题
17．设全集，，，求m的值．
18．已知集合，
（1）当时，求出，；
（2）若，求实数m的取值范围．
19．已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）当时，求；
（2）若______，求实数a的取值范围．
20．已知集合，，是否存在实数m，使？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张面积最小？
22．如图，已知矩形ABCD（）的周长为16m，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，若设，的面积为．
（1）求函数的解析式；
（2）求的最大值及相应的x的值．
参考答案
1．A 2．B 3．B
3．【详解】解：对于集合M：，
对于集合N：，
∵是奇数，是整数，∴
4．A
【详解】对于A选项，时，，当且仅当即时取等号，A正确；对于B选项，当时，单调递增，故，没有最小值，B错误；对于C选项，可得，即最大值为1，没有最小值，C错误；对于D选项，，不是定值，D不正确．
5．D
【分析】根据各项不等式，利用作差法、特殊值，结合不等式性质判断正误即可．
【详解】A：，若有、，故，错误；
B：，若有、，故，错误；
C：若，则，错误；
D：，故，正确．
6．C
【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴①，①不成立；
是点集，而不是点集，②不成立；
由集合的性质知③④正确．
7．C【详解】依题意共有3个元素，故真子集个数为．故选C．
8．C【分析】先计算平均速度，再计算得到答案．
【详解】设两码头距离为S，则
即
9．CD
10．ABC
【详解】对于A中，由，
所以对于任意实数a，b，都有成立，所以A不正确；
对于B中，若，由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确；
对于C中，由，
当且仅当时，即，此时不成立，
所以的最小值不等于2，所以C不正确；
对于D中，当时，可得，
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以．函数的最大值为－3，所以D正确．
11．ACD
【详解】因为，所以，当且仅当，时取等号，A正确．因为，所以，当且仅当，时取等号，B错误．
，当且仅当，时取等号，C正确．
，当且仅当，时取等号，D正确．
12．ABD【详解】对于A，当时，由数域的定义可知，若a，b∈G，则有，即0∈G，故A是真命题；
对于B，当时，由数域的定义可知，a，b∈G，则有，即1∈G，
若l∈G，则1+1＝2∈G，则2+1＝3∈G，……，则1+2022＝2023∈G，故B是真命题；
对于C，显然2∈P，4∈P，但，故P不是一个数域，故C是假命题；
对于D，∵0∈G，当b∈G且b≠0时，则－b∈G，因此只要这个数不为0，就一定成对出现，所以数域的元素个数必为奇数，所以D是真命题．
故选：ABD
13．
14．
【详解】解：由题意知，两个正数x，y满足，则，
则，
当时取等号，∴的最小值是，
∵不等式恒成立，∴．
15．
【详解】因为A是B的充分不必要条件，所以，
又，，
因此或，解得或
所以实数a的取值范围是．
16．15
【分析】根据题中定义，运用列举法、分类讨论法进行求解即可．
【详解】当a，b都是正偶数或都是正奇数时，
由，，
当a＝1，2，3，…，11时，与之相对应的b＝11，10，9，…，1，共11种情况；
当a，b中一个为正偶数，另一个为正奇数时，
由，，
当a＝1，3，4，12时，与之相对应的b＝12，4，3，1，共4种情况，所以集合M中的元素共11+4＝15个，
17．2或－4
【详解】因为，所以集合A中有元素3，全集U中有元素5，
即，解得m＝2或m＝－4，通过检验满足题意，故m的值为2或－4．
18．（1） （2）
【详解】（1）当m＝1时，，所以，
因为，
所以．
（2）①当B为空集时，，∴成立．
②当B不是空集时，∵，，∴
综上①②，．
19．（1）；
（2）条件选择见解析，．
【详解】（1）由题意得，．
当时，，
∴；
（2）选择①．∵，∴，
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，不满足，舍去．
综上，实数a的取值范围为．
选择②∵，∴，
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，不满足，舍去．
综上，实数a的取值范围为．
选择③∵，∴，
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，不满足，舍去．
综上，实数a的取值范围为．
20．【答案】或
【解析】若，分和讨论：
（1）若，则，解得，此时
（2）若，要使，则应有
，，，即
综上，当时，或；
所以当或时，
21．设画面的高为，宽为，则画面的面积为．
由题意，得宣传画所用纸张的高为，宽为，面积为
．
因为，则，所以
．
当且仅当，即时，等号成立．
所以当画面的高为88cm，宽为55cm时，宣传画所用纸张面积最小．
22．（1）；（2）的最大值为，此时．
【分析】（1）设，则可得，即可求出面积，得出解析式；
（2）利用基本不等式可求出．
【详解】解：（1）如图，设，，，
，
则．
，即，
化简为，
．
（2）由（1）知：，定义域为，
，
当且仅当，即时，取得等号，
∴，
故的最大值为，此时．
【点睛】关键点睛：设出，利用几何关系得出是解决本题的关键．