4.3.1等比数列的概念（第2课时） 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
人教A版（2019）高中数学选择性必修二
4.3.1等比数列的概念
第二课时
一
二
三
学习目标
能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算
通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养
学习目标
复习回顾
1.等比数列
2. 通项公式
4.等比数列的判断
3. 等比中项
(an)2=an-1.an+1
a,G,b成等比数列
(1) 1，2，4，8，16，…
观察下列数列，他们的单调性与公比有什么关系？
(3) 4，4，4，4，4，4，4，…
(4) 1，-1，1，-1，1，-1，1，…
公比 q=2
公比 q=
公比 q=1
公比 q=-1
问题1 可以从函数的角度，研究等比数列的单调性吗？
新知探究一：等比数列的单调性
等比数列的图象1
数列：1，2，4，8，16，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
O
●
●
●
●
●
递增数列
接下来我们再通过图象观察单调性
新知探究一：等比数列的单调性
那数列：-1，-2，-4，-8，-16，…呢？
等比数列的图象2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
数列：
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
递减数列
新知探究一：等比数列的单调性
那数列：-8，-4，-2，-1，-，-…呢？
等比数列的图象3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
O
数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
常数列
新知探究一：等比数列的单调性
等比数列的图象4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，
摆动数列
-1
新知探究一：等比数列的单调性
新知探究一：等比数列的单调性
4.对于数列{an}, 若点(n, an) (n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c, q为常数，且c≠0, q≠0, q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论.
课本P31
新知探究二：等比数列的性质
问题2 观察等比数列: 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128，256,……
说出16是那两项的等比中项？并找到它们满足的规律？
思考：观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么固定的结论吗？
2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128
证明：
猜想：若{an}是公比为q的等比数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝s＋t，则aman＝asat.
特别地：当m＋n＝2k时，aman＝akak=ak2
新知探究二：等比数列的性质
又m＋n＝s＋t
即：下标和相等，对应项的积相等
（2）在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积
在等比数列{an}，中公比为q
注意：等号两侧的项数必须相同
新知探究二：等比数列的性质
性质应用
∴a3a7＝a2a8＝9.
B
例2. 已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7.
相除得q8＝9.
所以q4＝3，
所以a7＝a3·q4
＝3 · 3
=9.
练习2.等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________．
练习1.在等比数列{an}中，an＞0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36,
那么a3+a5=_______.
【解析】由题意知：
a2a4＝a32，a4a6＝a52
∴a32＋2a3a5＋a52＝36，
即(a3＋a5)2＝36，
an＞0
∴a3＋a5＝6
解：由题意得
a1a2a3…a15a16a17
＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9
＝(－2)17
＝－217.
5.已知数列{an}是等比数列.
(1) a3, a5, a7是否成等比数列 为什么 a1, a5, a9呢
(2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列 为什么
当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗
课本P31
新知探究三：等比数列的判断
例题小结
例4 已知数列的首项
(1)若数列为等差数列,公差=2,证明数列为等比数列；
(2)若数列为等比数列,公比=,证明数列为等差数列.
分析：如何证明一个数列为等差数列或者等比数列
等差数列：
等比数列：
利用定义
先求
通项公式
新知探究三：等比数列的判断
例4 已知数列的首项
(1)若数列为等差数列,公差=2,证明数列为等比数列；
证明：
（1）由=2,得的通项公式为
设,则
又
所以是以27为首项，9为公比的等比数列
区分两问的求法有何不同
新知探究三：等比数列的判断
（2）由, =,得的通项公式为
所以是首项为1，公差为-2的等差数列
两边取以3为底的对数,得
又
例4 已知数列的首项
(2)若数列为等比数列,公比=,证明数列为等差数列.
新知探究三：等比数列的判断
思考 已知b>0且b≠1，如果数列{an}是等差数列，那么数列 是否一定是等比数列 如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列

数列{an}是等差数列 数列 是等比数列.
思考 已知b>0且b≠1，如果数列{an}是等差数列，那么数列 是否一定是等比数列 如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列

数列{an}是正项等比数列
数列{logban}是等差数列.
2.设数列{an}, {bn}都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列，若是，证明结论；若不是，请说明理由.
课本P34
新知探究三：等比数列的判断
应用小结
例5 用10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获利多少利息(精确到1元)？
(2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.（精确到）
月初本金 月末本利和
1个月
2个月
3个月
12个月
新知探究四：等比数列的应用
例5 用10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获利多少利息(精确到1元)？
解：
（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列则是等比数列.
首项
公比
所以，
所以，12个月后的利息为10490.97-10000491（元）
利息=本利和-本金
新知探究四：等比数列的应用
设季度利率为,这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列,则也是一个等比数列，
解：
首项
所以,
因此,以季度复利计息,存4个季度后的利息为元
解不等式，得
所以,当季度利率不小于时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.
例5 用10 000元购买某个理财产品一年.
(2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.（精确到）
新知探究四：等比数列的应用
3. 某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017 年全年生产新能源汽车5000辆，如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆(精确到1)
4.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240. 这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少(精确到0.01)
课本P34
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品。1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
产量
不合格率
数列
数列
等比数列
等差数列
分析：
不合格品
产量×不合格率
等差数列×等比数列
新知探究四：等比数列的应用
新知探究四：等比数列的应用
解: 设从今年1月起 , 各月的产量及不合格率分别构成数列{an}, {bn}.
bn=1-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n, 其中n=1, 2,… , 24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1× (0.104-0.004n)
由题意，知an=1050×1.05n-1,
由计算工具计算（精确到0.1），并列表
n 1 2 3 4 5 6 7
anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
观察发现，数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，{anbn}递减，且a13b13<100即可.
得 n>5.
新知探究四：等比数列的应用
所以，当n≥6时，数列{anbn}递减.
又 a13b13≈98<100.
所以, 当13≤ n ≤24时，anbn ≤ a13b13<100.
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
5.已知数列{an}的通项公式为 ，求使an取得最大值时n的值.
课本P34
3．等比数列的单调性
公比q 单调性 首项a1 q>1 0a1>0
a1<0
递增数列
递减数列
常数列
摆动数列
递减数列
递增数列
4.等比数列的项与序号的关系
两项关系
多项关系