专题17.8勾股定理的逆定理 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题17.8 勾股定理的逆定理（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．1，2，3 C．2，3，4 D．4，5，6
2．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数为（ ）
A．135° B．145° C．120° D．150°
4．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是（ ）
A．北偏西50° B．南偏西50°
C．南偏东40° D．北偏西40°
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，AD＝3，∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　）
A． B．4 C．1 D．2
6．在△ABC中，a，b，c分别是，，的对边，下列不能确定为直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图折叠三角形纸片，使边落在边上（折痕为，点C落到点E处）．已知，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知的三边之比为，其中，点是边上的动点，则的长不可能是（ ）
A．5.9 B．6.5 C．8.9 D．10.5
9．如图，中，，，．为的角平分线，的长度为( )
A．2 B． C．3 D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2
C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形
D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形
二、填空题
11．一个三角形的三边长分别是，，，则这个三角形的面积是 ．
12．如图，已知点D为边上的中点，，则线段的长度为 ．
13．在如图的网格中，的三个顶点分别在各点上，则 °
14．如图，中，，，，为边的中点，则 ．
15．如图，∠ABC＝90°，，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥ BE，垂足为F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，则EF的长为 ．
16．如图，已知中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E．连接BD，则CD的长为 ．
17．如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是
18．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形．
三、解答题
19．如图，在中，，点为上一点，连接．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的周长．
20．点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标．
21．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点A与点C关于格点M，N所在的直线对称．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求画出下列图形，并回答问题．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)直接写出______°；
(2)画的高；
(3)在上找一点D，使；
(4)在边上找一点E，使．
22．课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．
23．先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：，，； 第二组：，，；
第三组：，，； 第四组：，，；
（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．
24．如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm．
（1）求BC边上的高线AD．
（2）一动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】利用勾股定理的逆定理计算即可．
【详解】解：A．，故能组成直角三角形，符合题意；
B．，故不能组成直角三角形，不符合题意；
C．，故不能组成直角三角形，不符合题意；
D．，故不能组成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理：较小的两边的平方和等于第三边的平方时，则三角形为直角三角形，熟记勾股定理逆定理的判定方法是解题的关键．
2．A
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、三边长分别为，∵，
∴不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、三边长分别为，，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三边长分别为，∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三边长分别为，∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．
3．A
【分析】先在Rt△ABC中，求出∠BCA＝45°，AC＝，然后再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD＝90°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：∵AB＝BC＝3，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，AC＝，
∵CD＝，DA＝5，
∴AC2＋CD2＝，，
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝135°，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．A
【分析】根据题意可得海里，海里，然后利用勾股定理的逆定理求出，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：（海里），（海里），
，，
，
，
，
另一艘轮船的航行的方向是：北偏西，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5．D
【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD＝90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．
【详解】在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，
∵CD＝1，AD＝3，AC＝2，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积：
S＝S△ABC+S△ACD
＝AB BC+AC CD
＝×2×2+×1×2
＝2+，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出△ACD是直角三角形是解此题的关键．
6．B
【分析】根据勾股定理的逆定理，直角三角形的定义计算判断即可．
【详解】因为，
所以能判断为直角三角形，
故A不符合题意；
因为，
设，
则
所以不能判断为直角三角形，
故B符合题意；
因为，
所以
所以能判断为直角三角形，
故C不符合题意；
因为，
所以
所以能判断为直角三角形，
故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的定义即有一个角是直角的三角形是解题的关键．
7．C
【分析】由折叠的性质知，．根据题意在中运用勾股定理求，进而可以解决问题．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
由折叠的性质知，，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得：，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
8．A
【分析】由，设AC=x，BC=x，AB=2x，先求出AC=6，BC=，然后由勾股定理求得AC，从而求得，即可得出结论．
【详解】解：由，设AC=x，BC=x，AB=2x，
∵，
∴2x=12，
解得x=6，
∴AC=6，BC=，
∴，，
∴，
∴∠ACB=90°，
∴AC，
∵点是边上的动点，
∴即，故B、C、D不符合题意，A项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理及垂线段最短，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
9．C
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到两边的距离相等以及勾股定理即可进行解答．
【详解】解：过点作于，
，，．
，，
，
是直角三角形，
为的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，解得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理列出等式求解．
10．D
【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，故不符合题意；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确．
11．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式，即可求出其面积．
【详解】解：，
∴此三角形是直角三角形，
∴此直角三角形的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，那么这个三角形就是直角三角形．能够根据具体数据，运用勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形是解题的关键．
12．5
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出∠ADB=∠ADC=90°，再根据勾股定理求出AC即可．
【详解】解：在△ADB中，AB=5，AD=3，BD=4，
∴AD2+BD2=25=AB2，
∴△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°=∠ADC，
∵点D为BC边上的中点，
∴CD=BD=4，
∴在Rt△ADC中，，
故答案为：5．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、线段中点有关计算，利用勾股定理的逆定理证得∠ADC=90°是解答的关键．
13．##45度
【分析】构造全等的直角三角形，根据网格的平行与垂直关系，即可求得角度之和
【详解】根据题意建立如图所示的三角形，则，
不妨设小方格的边长为1，
∴，，,
∴，且,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∵，，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，构造等腰直角三角形是解题的关键
14．
【分析】由“”可证≌，可得，，可得，由勾股定理的逆定理可求为直角三角形，即可求解．
【详解】解：延长到使，连接，如图所示：
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，
为直角三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．2
【分析】先判断为直角三角形，再证明,由全等性质求得BF=8，再相减可得
【详解】，
，
为直角三角形，
，
∵ CF⊥ BE，
，
又，
，
是以B为圆心，BC长为半径的圆弧的半径，
，
在和中，
，
（AAS），
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形全等的判定和性质，找对应边和找对应角是解题关键．
16．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠C＝90°，根据线段垂直平分线的想知道的AD＝DB，设DC＝x，则BD=AD＝8 x．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵在△ACB中，BC2＋AC2＝62＋82＝100，AB2＝102＝100，
∴BC2＋AC2＝AB2．
∴△ACB是直角三角形，∠C＝90°，
∵DE垂直平分BC，
∴AD＝DB，
设DC＝x，则BD=AD＝8 x．
在Rt△BCD中，∠C＝90，CD2＋BC2＝BD2，即x2＋62＝（8-x）2，解得x＝，即CD＝．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线的性质等知识点，根据勾股定理列出方程是解答本题的关键．
17．
【分析】作，，根据角平分线的性质，得出，再根据垂线段最短，可得有最小值，最小值为的长，再根据等面积法，列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：如图，过点C作交于点，交于点P，过点P作交于点Q，
是的平分线，
，
根据垂线段最短可知，此时有最小值，最小值为的长，
，，，
由勾股定理可知，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，正确找出符合条件的点P、Q的位置是本题关键．
18． 或5 4或10
【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．
【详解】解：如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得：t=10．
故答案为：或5；4或10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
19．(1)是直角三角形，见解析
(2)的周长为
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，从而得到，进而有，即可判断是直角三角形；
（2）设，则，由已知得到，结合勾股定理得到方程，解方程得到，即，根据，从而得到的周长为．
【详解】（1）解：是直角三角形，
理由如下：在中，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）设，则，
∵，
在中，，即，解得，
∴，
∴的周长为，即的周长为．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理及勾股定理是解决问题的关键．
20．点的坐标为或
【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点P坐标
【详解】设点的坐标为，分两种情况：
①当点为直角顶点时，点在轴正半轴，
作轴于，轴于，轴于，如图所示：
由勾股定理，得，
即，解得，
∴点的坐标为．
②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示：
由勾股定理，得，
即，解得，
∴点的坐标为．
综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或．
【点睛】本题的关键是分类讨论点P的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式
21．(1)
(2)画图见解析
(3)画图见解析
(4)画图见解析
【分析】（1）由网格特点可得，，从而可得；
（2）取格点，，满足，连接，延长交于，结合，，可得，再利用全等三角形的性质可得；
（3）如图，上取格点，另外取格点，结合网格特点满足直线是的垂直平分线，而是的垂直平分线，交点刚好是D，则满足，
（4）如图，取格点，，，连接，，，，则与的交点即为所求作的点，满足．
【详解】（1）解：∵的三个顶点都是格点，点A与点C关于格点M，N所在的直线对称．
∴，，
∴．
（2）解：如图，即为所求作的高；
（3）解：如图，即为所求作的点，
（4）解：如图，取格点，，，，连接，，，，与交于点V，则与的交点即为所求作的点，满足；
理由如下：由勾股定理可得：，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
由，，，
∴，
∴，
结合“三角形的内角和定理”可得：，
∴，
同理可得：为等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理：，
∴，
由平移的性质可得：，
∴，，
∵
∴，
∴即为所求作的点．
【点睛】本题考查的是复杂作图，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，难度中等，熟悉等腰直角三角形的判定与性质是解本题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）5cm
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．
【详解】证明：（1）如图：
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1＝∠3，
由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，
∴△ADC≌△CEB；
（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，
∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），
∴每块砖厚度为5cm．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
23．（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3）
【分析】（1）根据已知数据即可得到结果；
（2）根据勾股定理判断即可；
（3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可；
【详解】（1）∵第一组：，，；
第二组：，，；
第三组：，，；
第四组：，，；
，
∴第组：，，．
（2）直角三角形；
证明：为正整数，
．
以，，为三边的三角形是直角三角形．
（3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
这组数为第九列：，，，
即，，．
，
．
，，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键．
24．（1）AD＝3；（2）当P运动7s或25s秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长；
（2）分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，利用勾股定理可得到运动的时间．
【详解】解：（1）作AD⊥BC
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BD＝BC＝4，
∴AD＝＝3；
（2）分两种情况：
当点P运动t秒后有PA⊥AC时，
∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，
∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，
∴PD2+32＝（PD+42）﹣52，
∴PD＝2.25，
∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，
∴t＝7，
当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD＝2.25，
∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t，
∴t＝25．
综上所述，当P运动7s或25s秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．
【点睛】本题考查等腰三角形底边高线，动线段PA与腰垂直问题，关键是会利用等腰三角形三线合一性质求高，会利用动线段与腰垂直，构造直角三角形，用勾股定理解决问题．
答案第1页，共2页
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