专题17.14勾股定理 折叠问题 培优篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题17.14 勾股定理（折叠问题）（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，∠BCA=90 ,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（ ）
A．5 B． C． D．
3．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为（ ）
A．3 B． C． D．9
4．如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（ ）
A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1
5．如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（ ）
A． B．10 C．11 D．
6．如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（　　）
A． B． C． D．
7．如图①是一个直角三角形纸片，，，将其折叠，使点落在斜边上的点处，折痕为，如图②，再将②沿折叠，使点落在的延长线上的点处，如图③，则折痕的长为　　
A．cm B．cm C．cm D．3 cm
8．如图，直角三角形纸片中，，，D为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为 ．
10．如图，长方形中，，点是射线上一点，将沿折叠得到，点恰好落在的垂直平分线上（直线也是的垂直平分线），线段的长为 ．
11．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则
12．如图，已知中，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为 ．
13．如图，已知中，，，，点D是AC边上的一个动点．将沿BD所在直线折叠，点C的对应点为点E．如图，若，则C，E两点之间的距离为 ．
14．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是 ．
15．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，O是BC的中点，D是腰AB上一点，把△DOB沿OD折叠得到△DOB′，
（1）当DB′∥BC时，∠BDO＝ ；
（2）当∠ADB′＝45°时，BD的长度为 ．
16．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，若，则 ．
17．如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为 ．
18．如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作于点，交于点，连接若，则的长为 ，的值为 ．
19．如图，中，，是斜边上一个动点，把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，当平行于的直角边时，的长为 ．
20．如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，连接交边于点E，连接，若，，点为的中点，则线段的长为 ．
三、解答题
21．如图，在中，，，，P是线段上一动点，将沿直线折叠，使点B落在点D处，交于点E，连结．
(1)求的长．
(2)若，求证：．
(3)当是直角三角形时，求所有符合条件的长．
22．在中，点是上一点，将沿翻折后得到，边交线段于点．
(1)如图1，当，时．
和有怎样的位置关系，为什么？
若，，求线段的长．
(2)如图2，若，折叠后要使和，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时的度数．
23．如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，轴于点，点是轴正半轴上动点，连接，将折叠得到，点与点对应，折痕为．
(1)填空：______，______，______．
(2)如图，的边与分别与交于点，，．
①求证：；
②求的长．
(3)连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标．
24．如图1，直线，垂足为O，直线l分别与射线、相交于点A、B，且，，连接．
(1)求线段的长；
(2)若点C为直线l上的一个动点，求点O到点C的距离的最小值；
(3)如图2，将沿直线l折叠，点O落在点D处，，垂足为点E，求的长；
(4)若点F为直线或上的一个动点，使得以A、B、F为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有点F的个数为______个．
25．如图1，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线折叠，得到，请解决下列问题．
(1)______；当点恰好落在斜边上时，______；
(2)连接，当是以为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点到直线的距离；
(3)如图3，为边上一点，且，连接，当为直角三角形时，______．（请写出所有满足条件的长）
26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在四边形OABC中，顶点A（0，2），，，且点B在第一象限，△OAB是等边三角形．
(1)如图①，求点B的坐标；
(2)如图②，将四边形OABC沿直线EF折叠，使点A与点C重合，求点E，F的坐标；
(3)如图③，若将四边形OABC沿直线EF折叠，使，设点A对折后所对应的点为，△AEF与四边形EOBF的重叠面积为S，设点E的坐标为（0，m）（0＜m＜1），请直接写出S与m的函数关系式．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.
【详解】∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠D=900，BC=AD,
由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD
又∵∠CFE=∠AFD
∴△CFE≌△AFD
∴EF=DF
设AF=xcm，则DF=（8-x）cm
在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，
故选择A.
【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.
2．C
【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G，证明△DHE≌△EGD，利用勾股定理求出，即可得到BE.
【详解】∵∠BCA=90 ，AC=6，BC=8，
∴，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=CD=5，
由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC，CE=AC=6，
∴BD=DE，
作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G，
∴∠DHE=∠EGD=90，∠EDH=∠BDE=（180-2∠EDC）=90-∠EDC，
∴∠DEB= 90-∠EDH=90-(90-∠EDC)=∠EDC，
∵DE=DE，
∴△DHE≌△EGD，
∴DH=EG，EH=DG，
设DG=x，则CG=5-x，
∵=，
∴，
∴，
∴，
∴BE=2EH=，
故选：C.
【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE≌△EGD，由此求出BE的长度.
3．C
【分析】做点F做交AD于点H，因此要求出EF的长，只要求出EH和HF即可；由折叠的性质可得BE=DE=9-AE，在中应用勾股定理求得AE和BE，同理在中应用勾股定理求得BF，在中应用勾股定理即可求得EF．
【详解】过点F做交AD于点H．
∵四边形是四边形沿EF折叠所得，
∴ED=BE，CF=，
∵ED=BE，DE=AD-AE=9-AE
∴BE=9-AE
∵，AB=3，BE=9-AE
∴
∴AE=4
∴DE=5
∴
∴，,
∴
∴BF=5，EH=1
∵，HF=3，EH=1
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
4．C
【分析】分两种情况：①当E点在线段DC上时，②当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，如图所示：
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E=∠D=90°，
∵∠AD'B=90°，
∴∠AD'B+∠AD'E=180°，
∴B、D'、E三点共线，
∵△ABE的面积=BE×AD'=AB×AD，AD'=AD，
∴BE=AB=5，
∵BD'==4，
∴DE=D'E=5-4=1；
②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如图所示：
∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，
∴∠CBE=∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE=AB=5，
∵BD''==4，
∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9；
综上所知，DE的长为1或9，
故选C．
【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键，有一定难度．
5．A
【分析】过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N， 分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）可得结果．
【详解】解：过点D作AB的垂线，垂足为G，
∵∠BAC＝120°，
∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，
∴AG＝，DG＝，
设AE＝x， 则BE＝12－x＝DE，
在Rt△DGE中，，
即，
解得：x＝，
∴S△ADE＝DG×AE＝＝，
过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，
∵，
∴AN＝AB＝6，BN＝ ，
∴BC＝，
设DF＝y，
则CF＝，
DH＝，CH＝，
则有，即，
解得：，
则S△DFC＝，
∴S△DEF＝ ×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）
＝
＝
＝
故选A．
【点睛】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE、BF的长是解题关键．
6．C
【分析】在 Rt 中， 求出 ， 设 ， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 ， 求得 ， 在 中， 求出 ， 过点怍 于点 ， 则 ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 则 ．
【详解】解∶ 由折叠可知， ，
等腰Rt 中， ，
，
是 的中点，
，
在Rt 中， ，
， 设 ， 则 ， 在 中， ，
， ， 在 Rt 中， ，
过点 作 于点 ，
，
，
设 ， 则 ，
在 Rt 中， ，
在 Rt 中， ，
，
，
，
故选∶ C．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
7．A
【分析】根据折叠的性质得出，，证明出为等腰三角形，得，在中，用勾股定理求，根据折叠的性质，证明为等腰三角形，过点作的垂线，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：是直角三角形，，
，
沿折痕折叠点落在斜边上的点处，
，，
，
为等腰三角形，
，
在中，，
设，则
由勾股定理：，
解得：，
，
，
根据折叠的性质，，
为等腰三角形，
，
过点作的垂线，如下图：
由等腰三角形三线合一的性质，
，
设，则，
在中，
，
即，
解得：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定及性质、勾股定理、含角的直角三角形，解题的关键是利用勾股定理来求解．
8．D
【分析】先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP1=AD1，AP2=AD2，AP3=AD3，计算出AD3的长度，可得AP3的长．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10，
∵D为斜边BC中点，
∴AD=BC=5，
由折叠可知：AD1=AD，AP1=AD，
∴AP1=AD1，
AD2=AD1=AD，AP2=AD1=AD，
∴AP2=AD2，
可知：AP3=AD3，
AD1=AD=，
AD2=AD1=AD=，
∴AD3=AD2==，
∴AP3=AD3=，
故选D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质，正确找出命题中隐含的数量关系是关键；对运算求解能力提出了较高的要求．
9．或
【分析】连接，过作，交于点，于点，作交于点，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出．
【详解】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点
点的对应点落在的角平分线上，
，
设，则，
，
又折叠图形可得，
，解得或，
即或．
在中，设，
当时，，，，
，
解得，即，
当时，，，，
，
解得，即．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．
10．或15
【分析】设直线与交于点，分两种情况讨论：当点在线段上时，设，设；当点在射线上时，设，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意，四边形为长方形，直线是、的垂直平分线，
则，，
设直线与交于点，可分两种情况讨论：
①如下图，当点在线段上时，设，
在中，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，可有，
即有，解得 ，
即；
②如下图，当点在射线上时，设，
在中，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，可有，
即有，解得 ，
即．
综上所述，线段的长为或15．
故答案为：或15．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、垂直平分线、勾股定理等知识，解题关键是熟练运用分类讨论的思想分析问题．
11．或##或
【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，三点共线，根据可求得，再由勾股定理可得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值；②当点E在射线CD上时，设，则，，由勾股定理可解得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值即可．
【详解】解：根据题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，，
①如图1，当点E在线段CD上时，
∵，
∴三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴；
∴在中，；
②如图2，当点E在射线CD上时，
∵，，，
∴，
设，则，
∴，
∵，即，
解得，
∴，
∴在中，．
综上所述，AE的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
12．或
【分析】由为直角三角形，分两种情况进行讨论：分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕的长．
【详解】解：分两种情况：
如图，
当时，是直角三角形，
在中，，
，
由折叠可得，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，
当时，是直角三角形，
由题可得，，
，
，
又，
，
过作于，则，
，
由折叠可得，，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
13．
【分析】连接CE，交BD于点F，由折叠性质知，BE=BC，CD=ED，得到BD垂直平分CE，推出CF=EF=CE，根据BC=6，CD=2，∠ACB=90°，求出，根据三角形面积公式得到，得到，求出，推出．
【详解】连接CE，交BD于点F，
由折叠知，BE=BC，CD=ED，
∴BD垂直平分CE，
∴CF=EF=CE，
∵BC=6，CD=2，∠ACB=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠，线段垂直平分线，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握折叠图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理解直角三角形，面积法求直角三角形斜边上的高．
14．3或或
【分析】分，，三种情况，分别作出图形，解直角三角形即可．
【详解】解：由折叠性质可得：
，，，
在中，
，，，
①如图，当时，
为直角三角形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
；
②如图，当时，
为直角三角形，
；
③当时，
为直角三角形，
，
为等边三角形，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
综上，或或，
故答案为：3或或．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是分类讨论，将图形作出．
15． 或
【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由折叠的性质得到，由此求解即可；
（2）分点在AB右侧时，如图1所示，点在AB左侧时，如图2所示，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
故答案为：；
（2）若点在AB右侧时，如图1所示，
，，
，，
是的中点，
，
把沿折叠得到，
，，，
，
，
，
，
．
若点在AB左侧时，如图2所示，
∵，沿折叠得到，
∴，
∴，
过点O作OH⊥AB于H，作∠HDF=45°交OH于F，
∴∠HDF=∠HFD=45°，，
∴，
∴DH=HF，，
∵，∠ABC=45°，BH⊥OH，
∴△BHO是等腰直角三角形，
∴OH=BH=2，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了折叠，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，熟知相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
16．
【分析】先根据30°直角三角形的特点求出CD、，再根据折叠求出BC的长，最后证明即可利用30°直角三角形的特点求出．
【详解】∵等边三角形
∴，
∵，
∴
∴
∴
∵折叠
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质、勾股定理、30°的直角三角形的性质、等边三角形的性质，证明是解题的关键．
17．2或
【分析】分情况讨论：当时，当时，当时三种情况下，分别利用勾股定理和翻折的性质可得到答案．
【详解】解：当为直角三角形时，可有：
①当时，如图1，
此时，
由折叠性质可知，，
∵，
∴，
∴；
②当时，如图2，
由折叠性质可知，，，，
∴，即M、E、C三点共线，
设，则，
在中，，
∴，
在中，有，
即，解得 ，
即，
③当时，点E在直线CD上，此时，故此种情况不符合题意．
综上所述，满足条件的BN的长为2或．
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质和勾股定理的运用，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．
18．
【分析】根据设，由，列比例式可得，设，则，由勾股定理可解答．
【详解】解：设，
由折叠得：，
∵
∴
∴
∴，即，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴
解得：，
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，解直角三角形，勾股定理，掌握翻折变换的性质是解题的关键．
19．或
【分析】在Rt△ABC中，BC＝AC＝，于是得到AB＝2，∠B＝∠A′CB＝45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，根据折叠的性质得到∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，推出A′C⊥AB，求得BH＝BC＝1，DH＝A′D＝x，然后列方程即可得到结果，②如图2，当A′D∥AC，根据折叠的性质得到AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC＝∠ACD，于是得到∠A′DC＝∠A′CD，推出A′D＝A′C，于是得到AD＝AC＝．
【详解】解：Rt△ABC中，BC＝AC＝，
∴AB＝2，∠B＝∠A′CB＝45°，
①如图1，
当A′D∥BC，设AD＝x，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，
∵∠B＝45°，
∴A′C⊥AB，
∴BH＝BC＝1，DH＝A′D＝x，
∴x＋x＋1＝2，
∴x＝2-，
∴AD＝2-；
②如图2，
当A′D∥AC，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，
∵∠A′DC＝∠ACD，
∴∠A′DC＝∠A′CD，
∴A′D＝A′C，
∴AD＝AC＝，
综上所述：AD的长为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换 折叠问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
20．##2.25
【分析】连接，勾股定理求得，进而证明，设，根据,以及三边关系建立方程组，解方程组求解即可．
【详解】解：如图，连接，
折叠
，，
四边形是长方形，，，
,，
设
则
是的中点，
在中，
在中，
即
解得
,
又∵
设
在中
即①
又
②
由①可得③
将②代入③得④
②-④得
解得
即
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，因式分解，三角形全等的性质与判定，解二元一次方程组，掌握折叠的性质是解题的关键．
21．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】(1)根据等角对等边及折叠的性质，即可求得；
(2)根据折叠的性质，平行线的性质及等角对等边，即可证得，，据此即可证得结论；
(3)分两种情况：当，设，根据勾股定理列方程即可求得；当，过点C作于点H，根据直角三角形的性质，平行线的性质及三角形外角性质，可证得，即可得，据此即可求得．
【详解】（1）解：，
．
由折叠知，；
（2）证明：，
，．
，
，，
，，
，即；
（3）解：设．
①当，如图1．
此时，．
，
．
由，得： ，
解得，即；
②当，如图2，作于点H．
由①知，．
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，当是直角三角形时，或．
【点睛】本题考查了等角对等边，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，三角形外角的性质，平行线的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
22．(1)，见解析；
(2)的值为
【分析】（1）由折叠可知，，由平行可知，，根据三角形内角和得到，再由，利用等量代换可求，即可求解；
设，则，在Rt中，，解得：，设，由折叠可知，，则，在Rt中，，解得：，即可求解；
（2）设，则，当时，；当时，当时，，不符合题意，舍去；当时，，；当时，，；当时此时，，不成立；当时，此时不成立；当时，此时不成立；当时，当时，此时不成立；当时，；当时，此时不成立．
【详解】（1）解：，理由如下：
由折叠可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
设，则，
由折叠可知，，
在Rt中，，
，解得：，
，
设，由折叠可知，，则，
在Rt中，，
，解得：，
即；
（2）解：，
设，则，
由折叠可知，，
当时，是直角三角形则是等腰三角形，
，
；
当时，是直角三角形，则是等腰三角形，
，
，
当时，，此时，不符合题意，舍去；
当时，，此时，所以；
当时，，此时，所以；
当时此时，，不成立；
当时，是直角三角形，此时不能是等腰三角形，否则与边没有交点；
当时，是直角三角形，则是等腰三角形，所以，所以；此时，与题意不符合，不成立；
当时，是直角三角形，则是等腰三角形，所以，所以，
当时，，此时，不成立；
当时，，此时，所以；
当时，，此时，不成立．
综上所述，的值为．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
23．(1)，，
(2)①证明见解析；②
(3)点坐标为或
【分析】（1）根据题意，结合点的坐标，求解即可；
（2）①连接，根据等边对等角，得出，再根据折叠的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；
②设，则，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，解出即可得出结果；
（3）分两种情况：当点在线段时和当点在线段的延长线上时，根据折叠的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵点，轴于点，轴于点，
∴，，，
∴，
故答案为：，，；
（2）①证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵将折叠得到，
∴，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
②解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵是以为直角顶点的直角三角形，
∴点在直线上，
如图，当点在线段时，
∵将折叠得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，
当点在线段的延长线上时，同理可求，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了坐标与图形、等边对等角、全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解本题的关键．
24．(1)
(2)点O到点C的距离的最小值为
(3)
(4)8
【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）过点O作于点C，此时最小，根据等积法求出即可；
（3）连接，交于点C，根据对称性求出：，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得到x的值，最后根据勾股定理求出结果即可；
（4）分类进行讨论得出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：过点O作于点C，此时最小，如图所示：
∵，
∴，
即点O到点C的距离的最小值为．
（3）解：连接，交于点C，如图所示：
∵点O与点D关于对称，
∴垂直平分，
即，，
∴，
∴，
根据折叠可知，，
设，则，
在中，，
在中，
∴，
解得：，
∴．
（4）解：当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
综上分析可知，满足条件的所有点F的个数为8个．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质，解题的关键是注意进行分类讨论．
25．(1)，
(2)图见解析，到直线的距离为
(3)或或
【分析】（1）直接根据勾股定理可得的长度，画出点恰好落在斜边上时的图形，然后根据三角形面积的不同表达方式可得的长，则结果可得；
（2）当点与点重合时，是以为底边的等腰三角形，过点作于点，设与交于点，然后根据三角形的面积，折叠的性质以及勾股定理进行解答即可；
（3）分三种情况：当；当；当；画出相应图形分别进行求解即可．
【详解】（1）解：根据勾股定理得：，
当点恰好落在斜边上时，如图：
根据折叠的性质可知，
则，
解得：，
故答案为：，；
（2）如图，当点与点重合时，是以为底边的等腰三角形，
过点作于点，设与交于点，
将沿直线折叠，得到，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
点到直线的距离为；
（3）当时，如图：
，
为等腰直角三角形，
；
当时，如图：
，，
在中，，
，
，
解得：；
当时，如图：
过点作于点，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
，
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质等知识点，能够根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
26．(1)点B的坐标
(2)点E坐标为，点F坐标为
(3)（0＜m＜1）
【分析】（1）根据A的坐标得到OA的长，由B与C的横坐标相同得到BC垂直于x轴，再由三角形ABO为等边三角形，得到OA=OB=AB=2，且求出∠OBC为30度，在直角三角形OBC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出n的值，即可得点B的坐标；
（2）设点E坐标为（0，y），在中，根据勾股定理列方程即可解出y的值，进而得出过F作FM垂直于CB，设MB=x，求出∠MBF为60度，在直角三角形MBF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而求出点F坐标；
（3）当点E的坐标为（0，m）（0＜m＜1），可判断出点A'落在四边形EOBF外，重合部分面积两等边三角形与面积之差，表示出S与m关系式即可．
【详解】（1）解∶∵，，，
BC⊥x轴，OA=2，
∵△ABO为等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴在中，
∠BOC=30°，OB=2
∴，
∴点B的坐标．
（2）解∶设点E的坐标为（0，y），
由折叠的性质可得，
在中，，
解得：，则点E坐标为，
作FM⊥CB于点M，如下图
设，
∵，
在中，
，，
在中，
根据勾股定理得：，
解得：，
，
则点F坐标为．
（3）解：∵EF∥OB，
∴为等边三角形，
∴为等边三角形，
∵点E的坐标为（0，m）（0＜m＜1），
此时点A'落在四边形EOBF外时，如下图所示，
由题意可得，
，
∵，又，
是等边三角形，，
，
，
得（0＜m＜1）
【点睛】本题主要考查了翻折变换中折叠的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，牢固掌握以上知识点和会作辅助线是做出本题的关键，此题是一道综合性较强的试题．
答案第1页，共2页
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