专题17.13勾股定理 折叠问题 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题17.13 勾股定理（折叠问题）（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A．2 B． C．3 D．
2．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，，，，点D在上，将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（　　）
A．5 B． C． D．
5．如图，将三角形纸片沿AD折叠，使点C落在边上的点E处．若，，则的值为（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
6．如图，中，，，，点D在上，将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
8．如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（ ）
A． B． C． D．2
9．已知中，，，，为斜边上的中点，是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点，若的面积是面积的一半，则为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为（ ）．
A．5 B．3 C． D．
11．如图，四边形纸片ABCD满足ADBC，ADA．AB＝5，CD＝7 B．AB＝8，CD＝10
C．AB＝6，CD＝8 D．AB＝8，CD＝9
12．在中，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．
二、填空题
13．如图，纸片中，，，，，点D在边BC上，以AD为折痕折叠得到，与边BC交于点E，若为直角三角形，则BD的长是 ．
14．如图，在中，，点在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于，恰有．若，，则 度， ．
15．如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ．
16．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为
17．如图，在中，，，．点是上的点，且，点和点分别是边和边上的两点，连接．将沿折叠，使得点恰好落在上的点处，与交于点，则的长为 ．
18．如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则 ．
19．如图，在中，，、是边上的点，连接、，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上；再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上，若，，则线段的长为 ．
20．如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知 、 ．现将 折叠，使点A落在OB边的中点 处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为 ．
22．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB=6，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是 ．
23．如图，三角形纸片中，，，，折叠这个三角形，使点落在的中点处，折痕为，那么的长为 ．
24．如图，将沿折叠，使顶点C恰好落在边上的点M处，点D在上，点P在线段上移动，若，则周长的最小值为 ．
三、解答题
25．如图，在长方形纸片中，，，将其折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕交于点E，交于点F．
(1)求线段的长．
(2)线段的长为______．
26．如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置．
(1)若，求的度数；
(2)若；
①求的长；
②的面积为______．
27．如图，折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，得折痕，若，，求折痕的长（结果保留根号）．
28．如图将长方形纸片折叠，使得点D落在边上的点P处，折痕经过点C，与边交于点Q．
(1)尺规作图：求作点P、Q（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，求的长．
29．如图，长方形纸片的边长．将长方形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色．
(1)的长为___________；
(2)求的长．
(3)着色面积为___________．
30．如图1，中，，于点，于点，，与交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图2，将沿折叠得到，问与有何位置关系？请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【详解】解：纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，如图所示，
∵∠C=90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB10，
由折叠的性质得：BE＝BC＝8，∠BED＝∠C＝90°，CD＝DE，
∴AE＝AB－BE＝10﹣8＝2，∠AED＝180°－∠BED＝90°，
设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝6－x，
在Rt△DEA中，，
∴，
解得：x＝，
∴CD＝，
即点D到顶点C的距离是．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
2．B
【分析】已知为边上的高，要求的面积，求得即可，求证，得，设，则在中，根据勾股定理求，于是得到，即可得到答案．
【详解】解：由翻折变换的性质可知：，
∴，，，
∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换―折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，应用了方程的思想．本题通过设，在中运用勾股定理建立关于的方程并求解是解题的关键．
3．C
【分析】首先利用勾股定理求出，然后确定取最大值时最小，然后利用垂线段最短解决问题．
【详解】∵中，，，，
∴，
∵，，
∴当最小时，最大，
当时最小，
而，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题关键．
4．C
【分析】过F点作于H． 设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x为5，即可求出，．又易证，从而可求，最后再次利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，过F点作于H，
由折叠的性质可知，．
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
5．C
【分析】根据折叠，可得，，，根据勾股定理可得，，根据，求解即可．
【详解】解：根据折叠，可得，，，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理等，熟练掌握折叠变换是解题的关键．
6．C
【分析】首先利用勾股定理求出，然后确定取最大值时最小，然后利用垂线段最短解决问题．
【详解】∵中，，，，
∴，
∵，，
∴当最小时，最大，
当时最小，
而，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题关键．
7．A
【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD=DE=x cm，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，
∴AB=10cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4(cm)，
设CD=DE=x cm，则DB=BC-CD=（8-x）cm，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴CD=3cm．
∴BD=8-x =8-3=5(cm)，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
8．A
【分析】首先根据矩形的性质，得出，，，然后再根据折叠的性质，得出，进而得出，利用勾股定理，得出的长，再由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果．
【详解】解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由第一次折叠得：，，
∴，
∴，
在中，
根据勾股定理得，，
由第二次折叠可知，，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键．
9．C
【分析】连接BE，过D作DG⊥AC于G，先判定（SAS），即可得出，再根据勾股定理求得CE的长，进而得出EG和DG的长，再根据勾股定理即可得到DE的长．
【详解】解：如图所示，连接，过作于，
∵，，，
∴由勾股定理得，
由折叠可得，与全等，
∵的面积是面积的一半，
∴的面积是面积的一半，且，
∴是的中点，
又∵是的中点，
∴，即是的中点，
又∵，
∴≌，
∴，
又∵，
∴中，，
∵，是的中点，
∴是的中点，即，
∴，，
∴中，，
故选：．
【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10．C
【分析】如图，由题意知，，，，可知三点共线，与重合，在中，由勾股定理得，求的值，设，，在中，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】解：如图，
∵是直角
∴
由题意知，，
∴
∴三点共线
∴与重合
在中，由勾股定理得
设，
在中，由勾股定理得即
解得
∴的长为
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于明确三点共线，与重合．
11．B
【分析】由折叠可知，AH=HM，BF=FM，HD=HN，CF=NF推出AH+BF=HM+FM=HF，HD+FC=HN+NF=HF，则2HF=AH+BF+HD+FC=AD+BC=5+11=16，所以即AB=8，根据AH+BF=8，推出AH=BF=4，所以HD=AD-AH=5-4=1，CF=CB-BF=11-4=7过D作DH⊥CF于H．则HF=HD=1，HC=CF-HF=7-1=6，利用勾股定理求出CD长．
【详解】解：由折叠可知，AH=HM，BF=FM，HD=HN，CF=NF，
∵AH+BF=HM+FM=HF，HD+FC=HN+NF=HF，
∴2HF=AH+BF+HD+FC=AD+BC=5+11=16，
∴HF=8，即AB=8，
∵AH+BF=8，
∴AH=BF=4，
∴HD=AD-AH=5-4=1，CF=CB-BF=11-4=7，
过D作DH⊥CF于H．
则HF=HD=1，HC=CF-HF=7-1=6，
∴CD= =10．
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折问题，正确利用翻折性质和勾股定理是解题的关键
12．A
【分析】首先利用勾股定理求出，进一步可得，设，则，，在中，由勾股定理得，，列出解方程求解即可得出答案．
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
∵将沿折叠，点与点重合，
∴，，
∴
设，
则，，
在中，由勾股定理得，，即
解得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．或
【分析】根据勾股定理求得的长，然后由翻折的性质可知：，然后分和两种情况画出图形求解即可．
【详解】解：∵纸片中，，，
∴，
∵以为折痕，折叠得到，
∴，，．
当时，如图1所示，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图2所示， C与点E重合，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形外角的性质、以及等腰三角形的判定，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
14． 135
【分析】延长，交于点，由等腰三角形的性质可得出，，，证明是等腰直角三角形，可求出，则根据三角形面积求出的值，即可得解．
【详解】解：延长，交于点，
，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
是等腰直角三角形，
，，
在中，，
，
，
，
．
．
故答案为：135；．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
15．10
【分析】根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案．
【详解】解：由题意可知，、两点关于射线对称，
，
为定值，
要使周长最小，即最小，亦即：最小，
与射线的交点，即为使周长最小的点，
，，．且，
，
为直角三角形，
，
，
，
设，则，
中，，
即，
，
．
故答案为：10．
【点睛】此题考查的是翻折变换、勾股定理的逆定理及轴对称性质，掌握其性质是解决此题关键．
16．3或
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质．
17．
【分析】根据勾股定理，得出，再根据，，得出，再根据勾股定理，得出，再根据折叠的性质，得出，，，然后设，则，再根据勾股定理，得出，解出即可得出，再根据勾股定理，即可得出的长．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∵沿折叠，使得点恰好落在上的点处，
∴，，，
设，则，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质，解本题的关键在应用勾股定理列出方程解决问题．
18．##
【分析】延长交于点G，根据等腰三角形的判定和性质，得到，，，再利用垂直和折叠的性质，得到，进而推出是等腰直角三角形，得到，求出，然后由勾股定理求出，最后利用三角形面积公式，得到，即可求出得长．
【详解】解：延长交于点G，
，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠性质可知，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键．
19．1.6
【分析】由和△关于对称，和△关于对称，可以推出是等腰直角三角形，三角形面积公式可求出长， 继而由勾股定理可求长，从而可以解决问题．
【详解】解：由题意可知：和关于对称，和关于对称，
，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵
，即，
，
在中，由勾股定理，得
，
，
，
．
故答案为：1.6．
【点睛】本题考查折叠问题，关键是掌握轴对称的性质：关于一条直线对称的两个图形全等．
20．
【分析】根据沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点处，得，，又再折叠纸片，使点与点重合，得，，即可得，，设，则，可得，即可解得．
【详解】解：沿将纸片折叠，使点B落在边上的点处，
，，
折叠纸片，使点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形中的翻折变换，勾股定理，一元一次方程解法，完全平方公式，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．
21．
【分析】由点是OB中点，可求得的长；设出点C的含参的坐标，再利用勾股定理解出参数即可．
【详解】解：∵，，
∴ ， ，
∵ 是OB中点，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵将△AOB折叠，使点A落在OB边的中点 处，折痕为CD，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理和折叠前后图形全等，把所求线段转化在同一直角三角形中是解题关键．
22．(-6，)或(-6，)
【分析】分两种情况画出图形，由折叠的性质及勾股定理可求出答案．
【详解】解：由题意知点是的三等分点，分两种情况：
①若，，
将该矩形沿折叠，点恰好落在处，
，
，
设，则，
由题意可得，，
，，
，
解得，，
；
②若 ，，
同理可得，
，
解得，，
；
综上所述， 点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23．##
【分析】过点A作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质求出，利用三角函数求出，设，则，在中，勾股定理得，代入数值求出x即可．
【详解】解：过点A作于点，过点作于点，
，
，，
点为的中点，，
，
∵，，
∴，
，
由翻折可得，
设，则，
在中，，
即，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，翻折的性质，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
24．
【分析】首先明确要使得周长最小，即使得最小，再根据翻折的性质可知，从而可得满足最小即可，根据两点之间线段最短确定即为最小值，从而求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由翻折的性质可知，，垂直平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴M点为上一个固定点，则长度固定，
∴，
∵周长，
∴要使得周长最小，即使得最小，
∵，
∴满足最小即可，
当P、B、C三点共线时，满足最小，
此时，P点与D点重合，，
∴周长最小值即为
故答案为：12．
【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．
25．(1)
(2)5
【分析】（1）根据折叠得出，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）根据折叠，得出，，，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：在长方形纸片中，，，，
根据折叠可知，，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴．
（2）解：根据折叠可知，，，，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，则．
26．(1)的度数为
(2)①的长为6；②
【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形得性质求得角相等并且和为即可解得．
（2）①根据折叠得出，连续两次运用勾股定理即可求解；②根据①中结果，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴；
（2）①∵沿折叠，使点B落在边上点D的位置，，
∴，
∵，
∴．
∴，
设，则，
∴，即，
解得：，
∴的长为6；
②由①得，
∴，
∴
故答案为：60．
【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理解三角形等，解题的关键熟悉并会用直角三角形相关知识点．
27．折痕的长
【分析】在中，，，由勾股定理得到，由折叠性质得到，从而得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，在中，利用勾股定理得到，从而得到答案．
【详解】解：由题意可知，在中，，，则由勾股定理得到，
折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，
，
，
设，则，
在中，利用勾股定理得到，解得，
，
在中，利用勾股定理得到，
折痕的长．
【点睛】本题考查利用勾股定理求线段长，涉及折叠的性质、解方程等知识，熟练掌握折叠的性质及勾股定理的运用是解决问题的关键．
28．(1)见解析
(2)
【分析】（1）以点C为圆心，为半径画弧，与交于一点，即为点P，连接，作的平分线，交于一点，即为点Q；
（2）先根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：以点C为圆心，为半径画弧，与交于一点P，连接，作的平分线，交于一点Q，则点P、Q即为所求，如图所示：
（2）解：连接，
根据折叠可知，，，
∵纸片为长方形纸片，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可知，，
即，
解得：，
即．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，尺规作一个角的平分线，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和折叠的性质．
29．(1)4
(2)3
(3)22
【分析】（1）由折叠的性质确定的长即可；
（2）由折叠的性质可知，，，设，则，，在中，由勾股定理可知，然后代入求解即可获得答案；
（3）首先求得，，然后由计算着色面积即可．
【详解】（1）解：由折叠的性质可知，．
故答案为：4；
（2）∵四边形为长方形，
∴，，
由折叠的性质可知，，，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
即；
（3）由折叠的性质可知，，
设，则，
在中，，即，
解得，即，，
∴
，
即着色面积为22．
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形和梯形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
30．(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）先判定出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得证；
（2）根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据代入数据即可得解．
（3）先求出，由，得到，求出，进而求出的度数为，即可得到结论．
【详解】（1）证明：，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2），
，
在中，，
，
，
；
（3），理由如下：
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
答案第1页，共2页
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