高考60天冲刺--圆锥曲线综合应用
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高考60天冲刺——圆锥曲线综合应用
1．点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，
（1）求椭圆C的的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。
2已知在平面直角坐标系中，向量，且 .
（I）设的取值范围；
（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.
3．设A、B是椭圆3x2＋y2=λ上的两点, 点N(1,3)是线段AB的中点.
(1)确定λ的取值范围, 使直线AB存在, 并求直线AB的方程.
(2)线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C,D两点, 求线段CD的中点M的坐标
(3)试判断是否存在这样的λ, 使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.
4．设是抛物线上相异两点，且，直线与轴相交于．
（Ⅰ）若到轴的距离的积为，求的值；
（Ⅱ）若为已知常数，在轴上，是否存在异于的一点，使得直线与抛物线的另一交点为，而直线与轴相交于，且有，若存在，求出点的坐标（用表示），若不存在，说明理由．
5．已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.
6．已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，，.
（Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.
7．已知点C为圆的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，
且，求△FOH的面积
8．如图，在直角坐标系中，已知椭圆的离
心率e＝，左右两个焦分别为．过右焦点且与轴垂直的
直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=1．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.
9．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
10．如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。
(Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为λ，证明
(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。
11．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求的范围。
12．如图,过抛物线的对称轴上任
一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q
是点P关于原点的对称点．
⑴．设点P满足（为实数），
证明：；
⑵．设直线AB的方程是，过A、B两点
的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．
13．一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．
（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；
（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；
（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．
14．已知平面上一定点和一定直线Ｐ为该平面上一动点，作垂足为，.
(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；
点Ｏ是坐标原点，两点在点Ｐ的轨迹上，若求的取值范围．
15．如图，已知E、F为平面上的两个定点 ，，且，·，（G为动点，P是HP和GF的交点）
（1）建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹上存在两个不同的点、，且线段的中垂线与
（或的延长线）相交于一点，则＜（为的中点）．
16．已知动圆过定点，且与直线相切.
(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；
(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
17．已知若动点P满足
（1）求动点P的轨迹方C的方程；
（2）设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线的距离的最小值.
18．已知抛物线x=2py(p>0)，过动点M(0,a)，且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p,
（1）求a的取值范围；
（2）若p=2，a=3，求直线L与抛物线所围成的区域的面积；
19．如图，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=
椭圆F以A、B为焦点且过点D，
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点E满足,是否存在斜率
两点，且
，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由。
20．已知是函数图象上一点，过点的切线与轴交于，过点作轴的垂线，垂足为 .
（1）求点坐标；
（2）若，求的面积的最大值，并求此时的值.
参考答案
1．解（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=，
∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴=，
∴所求的椭圆方程为
（2）由已知,，设点P的坐标为，则
由已知得
则，解之得，
由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为9分
（3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是，
又∵点M在椭圆的长轴上，即
∴当时，椭圆上的点到的距离
又 ∴当时，d取最小值
2．解：（1）由，
得…………………………………………………………………3分
∴夹角的取值范围是（）
………………………………………………………………6分
（2）
…………………………………………………………………………………………8分
………………10分
∴当且仅当
或 …………12分
椭圆长轴
或
故所求椭圆方程为.或 …………14分
3．(1)解: 依题意,可设直线AB的方程为y=k(x－1)＋3, 代入3x2＋y2=λ, 整理得(k2＋3)x2－2k(k－3)x＋(k－3)2－λ=0 ①
设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1,x2是方程①的两个不同的根,∴△=4[λ(k2＋3)－3(k－3)2]>0.②
且x2＋x1= , 由N(1,3)是线段AB的中点, 得 =1 , ∴k(k－3)=k2＋3
解得k=－1, 代入②得λ>12, 即λ的取值范围是(12, ＋∞), ∴
直线AB的方程为y－3=－(x－1),即x＋y－4=0
(2)∵CD垂直平分AB, 直线CD的方程为y－3=x－1, 即x－y＋2=0,代入椭圆方程, 整理得
4x2＋4x＋4－λ=0 ③ 又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点C(x0,y0), 则x3,x4是方程③的两根, ∴x3＋x4=－1, 且x0= (x3＋x4)=－, y0 =x0＋2 = , 即M(－, )
(3)由弦长公式可得|CD|= |x1－x2|= ④
将直线AB的方程x＋y－4=0,代入椭圆方程得4x2－8x＋16－λ=0 ⑤
同理可得|AB|= ·|x1－x2|= ⑥
∵当λ>12时, > , ∴ |AB|<|CD|, 假设存在λ>12, 使得A、B、C、D四点共圆, 则CD必为圆的直径, 点M为圆心, 点M到直线AB的距离为
d= = = .. ⑦于是由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.
|MA|2=|MB|2=d2＋ ||2 = ＋ = = ||2. 故当λ>12时, A、B、C、D四点均在以M为圆心, || 为半径的圆上.
4.解： （Ⅰ）∵ ·＝0，则x1x2＋y1y2＝0， ……………………1分
又P、Q在抛物线上，
∴y12＝2px1，y22＝2px2，
∴ ＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2 ，
∴ |y1y2|＝4p2， ……………………3分
又|y1y2|＝4，∴4p2＝4，p=1． ……………………4分
（Ⅱ）设E(a,0），直线PQ方程为x＝my＋a ,
联立方程组 , ……………………5分
消去x得y2－2pmy－2pa＝0 , ……………………6分
∴ y1y2＝－2pa , ① ……………………7分
设F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知：
y1y3＝－2pb , ② ……………………8分
由①、②可得 ＝ , ③ ……………………9分
若 ＝3，设T(c,0)，则有
(x3－c,y3－0)＝3(x2－c,y2－0),
∴ y3＝3y2 即 ＝3, ④ ……………………10分
将④代入③，得 b＝3a． ……………………11分
又由（Ⅰ）知，·＝0 ,
∴ y1y2＝－4p2，代入①，
得－2pa＝－4 p2 ∴ a＝2p, ……………………13分
∴ b＝6p,
故，在x轴上，存在异于E的一点F(6p,0)，使得 ＝3． ………………14分
注：若设直线PQ的方程为y＝kx＋b，不影响解答结果．
5．解: (Ⅰ)设……………………………………………………………………………1分
因为,所以……………………………………..3分
化简得:. ……………………………………………………………..4分
(Ⅱ) 设 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意…………………………………………6分
设直线的方程为
将代入得
…………(1) …………(2) ……………………………….8分
(1)-(2)整理得: ……………………………11分
直线的方程为
即所求直线的方程为……………………………………………12.分
解法二: 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意.
故设直线的方程为,将其代入化简得
由韦达定理得,
又由已知N为线段CD的中点,得,解得,
将代入(1)式中可知满足条件.
此时直线的方程为,即所求直线的方程为
6．（Ⅰ）解：设 则
……………………………………………...2分
由 得 ， ……………………………………………..4分
又 即，……………6分
由 得 ……………………………………………………..8分
（Ⅱ）设，
因为 ，故两切线的斜率分别为、……………………………10分
由方程组 得 ………..12
当时，，，所以
所以，直线的方程是 ……………………………….14分
7．解：（1）由题意MQ是线段AP的垂直平分线，于是
|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2，于是点 Q的轨迹是以点C，A为焦点，半焦距c=1，长半轴a=的椭圆，短半轴
点Q的轨迹E方程是：.…………………………4分
（2）设Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），则由，
消去y得
…………………………6分
又点O到直线FH的距离d=1，
8．解：(Ⅰ)∵轴，∴,由椭圆的定义得：，--------2分
∵，∴，-----------------------------------4分
又得 ∴
∴，-------------------------------6分
∴所求椭圆C的方程为．------------------------------------------------7分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为
则，,
由－4得－，
∴点P的轨迹方程为------------------------------------9分
设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，
解得：，------------------------------11分
∵点在椭圆上，∴ ，整理得解得或
∴点P的轨迹方程为或，-------------------------------------------13分
经检验和都符合题设，
∴满足条件的点P的轨迹方程为或．----------------14分
9．（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为（），
则，又点在椭圆上，得．解得．
∴椭圆的方程为．
当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（），
则，又点在椭圆上，得．解得，这与矛盾．
综上可知，椭圆的方程为． ……4分
解法二：设椭圆方程为（），
将、、代入椭圆的方程，得
解得，．
∴椭圆的方程为． ……4分
（Ⅱ）证法一：将直线：代入椭圆的方程并整理，得， ……6分
设直线与椭圆的交点，，
由根与系数的关系，得，． ……8分
直线的方程为：，它与直线的交点坐标为，同理可求得直线与直线的交点坐标为． ……10分
下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
∵，，
∴
．
因此结论成立．
综上可知，直线与直线的交点在直线上． ……14分
证法二：将直线：，代入椭圆的方程并整理，得， ……6分
设直线与椭圆的交点，，
由根与系数的关系，得，． ……8分
直线的方程为：，即．
直线的方程为：，即． ……10分
由直线与直线的方程消去，得
．
∴直线与直线的交点在直线上． ……14分
证法三：将直线：，代入椭圆方程并整理，得， ……6分
设直线与椭圆的交点，，
由根与系数的关系，得，． ……8分
消去得，． ……10分
直线的方程为：，即．
直线的方程为：，即． ……12分
由直线与直线的方程消去得，
．
∴直线与直线的交点在直线上． ……14分
10．解(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程得
①
设A、B两点的坐标分别是（x1,y1）、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根。
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，
得， 即
又点Q是点P关于原点的以称点，
故点Q的坐标是（0，--m）,从而
=
=
=
=
=0，
所以
(Ⅱ) 由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。
由得，
所以抛物线在点A处切线的斜率为。
设圆C的方程是，
则
解之得
所以圆C的方程是，
11．解：（1）设双曲线的方程为 （1分）
则，再由得， （3分）
故的方程为 （4分）
（2）将代入
得 （5分）
由直线与双曲线C2交于不同的两点得：
（7分）
且① （8分）
设，则
（10分）
又，得
即，解得：② （12分）
由①、②得：
故k的取值范围为。 （14分）
12．解⑴．依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程，得：
① …………………………………………………………… ２分
设A、B两点的坐标分别是、，则是方程①的两根，
所以，． ……………………………………………………………………… ３分
由点P满足（为实数，），得， 即．
又点Q是点P关于原点的以称点，故点Q的坐标是，从而．
=
=
= =0 ………………………… 6分
所以，． ………………………………………………………………… 7分
⑵．由得点A、B的坐标分别是、．
由得，
所以，抛物线在点A处切线的斜率为． …………………………………… 9分
设圆C的方程是，
则 ……………………………………… 11分
解得：．……………………………………… 13分
所以，圆C的方程是． ……………………………………… 14分
13．解：（Ⅰ）设的坐标为，则且．……2分
解得， 因此，点 的坐标为． …………………4分
（Ⅱ），根据椭圆定义，
得，……………5分
，．
∴所求椭圆方程为． ………………………………7分
（Ⅲ），椭圆的准线方程为． …………………………8分
设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．
则，．
， ……………………………10分
令，则，
当，， ，．
∴ 在时取得最小值． ………………………………13分
因此，最小值＝，此时点的坐标为．…………14分
注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．
说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．
14．解:(1)由,得: ,………（2分）
设,则,化简得: ,………（4分）
点P在椭圆上,其方程为.………（6分）
(2)设、，由得：，所以，、B 、C三点共线.且,得:,即: …（8分）
因为,所以 ①………（9分）
又因为,所以 ②………（10分）
由①-②得: ,化简得: ,………（12分）
因为,所以.
解得: 所以的取值范围为. ………（1４分）
15．解：（1）如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，
建立平面直角坐标系。----------------------------------------1分
由题设，
∴，而-------------3分
∴点是以、为焦点、长轴长为10的椭圆，
故点的轨迹方程是：-----------------4分
（2）如图2 ，设，，，
∴，且，--------------------------------6分
即
又、在轨迹上，
∴，
即，
---------------8分
代入整理得：
∵，∴．---------------------10分
∵， ，∴．
∵，∴
∴，即＜．---------------14分
16．（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， ………………………………………………2分
即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， ∴ 动点的轨迹方程为 ………………………5分
（2）由题可设直线的方程为，
由得
△， ………………………………………………………………………………7分
设，，则，……………………………………………9分
由，即 ，，于是，……11分
即，，
，解得或（舍去），…………………………………13分
又， ∴ 直线存在，其方程为 ………………………………………14分
17．解：（1）设动点P（x，y），则
由已知得
∴点P的轨迹方程是椭圆C：
（2）解一：由几何性质意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l‘和l的距离等于Q与l的距离的最小值。
设
代入椭圆方程消去x化简得：
解二：由集合意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l‘和l的距离等于Q与l的距离的最小值。设切点为
解得
解三：由椭圆参数方程设）
则Q与l距离
解四：设
且Q与l距离
由柯西不等式
18．解：(1)设直线L方程为：y=x+a 与抛物线联立方程组 得
x-2px-2ap=0
=4p+8ap>0 a>-
x+x=2p xx=-2ap
= =
=
解得 a-
- (2)若p=2，a=3，则直线L方程为：y=x+3 抛物线方程为x=4y
x-4x-12=0 方程两根为-2和6
直线与抛物线所围成区域的面积为：
S==x+3x-=
19．（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图
则A（-1,0） B(1,0) D(-1,) (1分)
设椭圆F的方程为 （2分）
得 （4分）
得
所求椭圆F方程 （6分）
（Ⅱ）由
显然
代入 （7分）
与椭圆F有两不同公共点的充要条件是
(8分)
即
设
(9分)
（10分）
（11分）
得 得 （12分）
代入
（13分）
又 （14分）
解法2， 设
得
①—② 得
设 得 ③ （9分）
得 得 ④ （11分）
由③、④得
且P（x0,y0）在椭圆F内部
得 （13分）
又 （14分）
20．解: （1）∵ ，2分
∴ 过点的切线方成为4分
令，得，即点的坐标为6分
（2），
∴ 9分
11分
由得，，
∴ 时，单调递增；时单调递减；13分
∴
∴ 当，面积的最大值为.14分
1．点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，
（1）求椭圆C的的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。
2已知在平面直角坐标系中，向量，且 .
（I）设的取值范围；
（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.
3．设A、B是椭圆3x2＋y2=λ上的两点, 点N(1,3)是线段AB的中点.
(1)确定λ的取值范围, 使直线AB存在, 并求直线AB的方程.
(2)线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C,D两点, 求线段CD的中点M的坐标
(3)试判断是否存在这样的λ, 使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.
4．设是抛物线上相异两点，且，直线与轴相交于．
（Ⅰ）若到轴的距离的积为，求的值；
（Ⅱ）若为已知常数，在轴上，是否存在异于的一点，使得直线与抛物线的另一交点为，而直线与轴相交于，且有，若存在，求出点的坐标（用表示），若不存在，说明理由．
5．已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.
6．已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，，.
（Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.
7．已知点C为圆的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，
且，求△FOH的面积
8．如图，在直角坐标系中，已知椭圆的离
心率e＝，左右两个焦分别为．过右焦点且与轴垂直的
直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=1．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.
9．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
10．如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。
(Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为λ，证明
(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。
11．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求的范围。
12．如图,过抛物线的对称轴上任
一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q
是点P关于原点的对称点．
⑴．设点P满足（为实数），
证明：；
⑵．设直线AB的方程是，过A、B两点
的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．
13．一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．
（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；
（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；
（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．
14．已知平面上一定点和一定直线Ｐ为该平面上一动点，作垂足为，.
(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；
点Ｏ是坐标原点，两点在点Ｐ的轨迹上，若求的取值范围．
15．如图，已知E、F为平面上的两个定点 ，，且，·，（G为动点，P是HP和GF的交点）
（1）建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹上存在两个不同的点、，且线段的中垂线与
（或的延长线）相交于一点，则＜（为的中点）．
16．已知动圆过定点，且与直线相切.
(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；
(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
17．已知若动点P满足
（1）求动点P的轨迹方C的方程；
（2）设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线的距离的最小值.
18．已知抛物线x=2py(p>0)，过动点M(0,a)，且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p,
（1）求a的取值范围；
（2）若p=2，a=3，求直线L与抛物线所围成的区域的面积；
19．如图，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=
椭圆F以A、B为焦点且过点D，
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点E满足,是否存在斜率
两点，且
，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由。
20．已知是函数图象上一点，过点的切线与轴交于，过点作轴的垂线，垂足为 .
（1）求点坐标；
（2）若，求的面积的最大值，并求此时的值.
参考答案
1．解（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=，
∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴=，
∴所求的椭圆方程为
（2）由已知,，设点P的坐标为，则
由已知得
则，解之得，
由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为9分
（3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是，
又∵点M在椭圆的长轴上，即
∴当时，椭圆上的点到的距离
又 ∴当时，d取最小值
2．解：（1）由，
得…………………………………………………………………3分
∴夹角的取值范围是（）
………………………………………………………………6分
（2）
…………………………………………………………………………………………8分
………………10分
∴当且仅当
或 …………12分
椭圆长轴
或
故所求椭圆方程为.或 …………14分
3．(1)解: 依题意,可设直线AB的方程为y=k(x－1)＋3, 代入3x2＋y2=λ, 整理得(k2＋3)x2－2k(k－3)x＋(k－3)2－λ=0 ①
设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1,x2是方程①的两个不同的根,∴△=4[λ(k2＋3)－3(k－3)2]>0.②
且x2＋x1= , 由N(1,3)是线段AB的中点, 得 =1 , ∴k(k－3)=k2＋3
解得k=－1, 代入②得λ>12, 即λ的取值范围是(12, ＋∞), ∴
直线AB的方程为y－3=－(x－1),即x＋y－4=0
(2)∵CD垂直平分AB, 直线CD的方程为y－3=x－1, 即x－y＋2=0,代入椭圆方程, 整理得
4x2＋4x＋4－λ=0 ③ 又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点C(x0,y0), 则x3,x4是方程③的两根, ∴x3＋x4=－1, 且x0= (x3＋x4)=－, y0 =x0＋2 = , 即M(－, )
(3)由弦长公式可得|CD|= |x1－x2|= ④
将直线AB的方程x＋y－4=0,代入椭圆方程得4x2－8x＋16－λ=0 ⑤
同理可得|AB|= ·|x1－x2|= ⑥
∵当λ>12时, > , ∴ |AB|<|CD|, 假设存在λ>12, 使得A、B、C、D四点共圆, 则CD必为圆的直径, 点M为圆心, 点M到直线AB的距离为
d= = = .. ⑦于是由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.
|MA|2=|MB|2=d2＋ ||2 = ＋ = = ||2. 故当λ>12时, A、B、C、D四点均在以M为圆心, || 为半径的圆上.
4.解： （Ⅰ）∵ ·＝0，则x1x2＋y1y2＝0， ……………………1分
又P、Q在抛物线上，
∴y12＝2px1，y22＝2px2，
∴ ＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2 ，
∴ |y1y2|＝4p2， ……………………3分
又|y1y2|＝4，∴4p2＝4，p=1． ……………………4分
（Ⅱ）设E(a,0），直线PQ方程为x＝my＋a ,
联立方程组 , ……………………5分
消去x得y2－2pmy－2pa＝0 , ……………………6分
∴ y1y2＝－2pa , ① ……………………7分
设F(b,0)，R(x3,y3)，同理可知：
y1y3＝－2pb , ② ……………………8分
由①、②可得 ＝ , ③ ……………………9分
若 ＝3，设T(c,0)，则有
(x3－c,y3－0)＝3(x2－c,y2－0),
∴ y3＝3y2 即 ＝3, ④ ……………………10分
将④代入③，得 b＝3a． ……………………11分
又由（Ⅰ）知，·＝0 ,
∴ y1y2＝－4p2，代入①，
得－2pa＝－4 p2 ∴ a＝2p, ……………………13分
∴ b＝6p,
故，在x轴上，存在异于E的一点F(6p,0)，使得 ＝3． ………………14分
注：若设直线PQ的方程为y＝kx＋b，不影响解答结果．
5．解: (Ⅰ)设……………………………………………………………………………1分
因为,所以……………………………………..3分
化简得:. ……………………………………………………………..4分
(Ⅱ) 设 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意…………………………………………6分
设直线的方程为
将代入得
…………(1) …………(2) ……………………………….8分
(1)-(2)整理得: ……………………………11分
直线的方程为
即所求直线的方程为……………………………………………12.分
解法二: 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意.
故设直线的方程为,将其代入化简得
由韦达定理得,
又由已知N为线段CD的中点,得,解得,
将代入(1)式中可知满足条件.
此时直线的方程为,即所求直线的方程为
6．（Ⅰ）解：设 则
……………………………………………...2分
由 得 ， ……………………………………………..4分
又 即，……………6分
由 得 ……………………………………………………..8分
（Ⅱ）设，
因为 ，故两切线的斜率分别为、……………………………10分
由方程组 得 ………..12
当时，，，所以
所以，直线的方程是 ……………………………….14分
7．解：（1）由题意MQ是线段AP的垂直平分线，于是
|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2，于是点 Q的轨迹是以点C，A为焦点，半焦距c=1，长半轴a=的椭圆，短半轴
点Q的轨迹E方程是：.…………………………4分
（2）设Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），则由，
消去y得
…………………………6分
又点O到直线FH的距离d=1，
8．解：(Ⅰ)∵轴，∴,由椭圆的定义得：，--------2分
∵，∴，-----------------------------------4分
又得 ∴
∴，-------------------------------6分
∴所求椭圆C的方程为．------------------------------------------------7分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为
则，,
由－4得－，
∴点P的轨迹方程为------------------------------------9分
设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，
解得：，------------------------------11分
∵点在椭圆上，∴ ，整理得解得或
∴点P的轨迹方程为或，-------------------------------------------13分
经检验和都符合题设，
∴满足条件的点P的轨迹方程为或．----------------14分
9．（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为（），
则，又点在椭圆上，得．解得．
∴椭圆的方程为．
当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（），
则，又点在椭圆上，得．解得，这与矛盾．
综上可知，椭圆的方程为． ……4分
解法二：设椭圆方程为（），
将、、代入椭圆的方程，得
解得，．
∴椭圆的方程为． ……4分
（Ⅱ）证法一：将直线：代入椭圆的方程并整理，得， ……6分
设直线与椭圆的交点，，
由根与系数的关系，得，． ……8分
直线的方程为：，它与直线的交点坐标为，同理可求得直线与直线的交点坐标为． ……10分
下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
∵，，
∴
．
因此结论成立．
综上可知，直线与直线的交点在直线上． ……14分
证法二：将直线：，代入椭圆的方程并整理，得， ……6分
设直线与椭圆的交点，，
由根与系数的关系，得，． ……8分
直线的方程为：，即．
直线的方程为：，即． ……10分
由直线与直线的方程消去，得
．
∴直线与直线的交点在直线上． ……14分
证法三：将直线：，代入椭圆方程并整理，得， ……6分
设直线与椭圆的交点，，
由根与系数的关系，得，． ……8分
消去得，． ……10分
直线的方程为：，即．
直线的方程为：，即． ……12分
由直线与直线的方程消去得，
．
∴直线与直线的交点在直线上． ……14分
10．解(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程得
①
设A、B两点的坐标分别是（x1,y1）、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根。
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，
得， 即
又点Q是点P关于原点的以称点，
故点Q的坐标是（0，--m）,从而
=
=
=
=
=0，
所以
(Ⅱ) 由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。
由得，
所以抛物线在点A处切线的斜率为。
设圆C的方程是，
则
解之得
所以圆C的方程是，
11．解：（1）设双曲线的方程为 （1分）
则，再由得， （3分）
故的方程为 （4分）
（2）将代入
得 （5分）
由直线与双曲线C2交于不同的两点得：
（7分）
且① （8分）
设，则
（10分）
又，得
即，解得：② （12分）
由①、②得：
故k的取值范围为。 （14分）
12．解⑴．依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程，得：
① …………………………………………………………… ２分
设A、B两点的坐标分别是、，则是方程①的两根，
所以，． ……………………………………………………………………… ３分
由点P满足（为实数，），得， 即．
又点Q是点P关于原点的以称点，故点Q的坐标是，从而．
=
=
= =0 ………………………… 6分
所以，． ………………………………………………………………… 7分
⑵．由得点A、B的坐标分别是、．
由得，
所以，抛物线在点A处切线的斜率为． …………………………………… 9分
设圆C的方程是，
则 ……………………………………… 11分
解得：．……………………………………… 13分
所以，圆C的方程是． ……………………………………… 14分
13．解：（Ⅰ）设的坐标为，则且．……2分
解得， 因此，点 的坐标为． …………………4分
（Ⅱ），根据椭圆定义，
得，……………5分
，．
∴所求椭圆方程为． ………………………………7分
（Ⅲ），椭圆的准线方程为． …………………………8分
设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．
则，．
， ……………………………10分
令，则，
当，， ，．
∴ 在时取得最小值． ………………………………13分
因此，最小值＝，此时点的坐标为．…………14分
注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．
说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．
14．解:(1)由,得: ,………（2分）
设,则,化简得: ,………（4分）
点P在椭圆上,其方程为.………（6分）
(2)设、，由得：，所以，、B 、C三点共线.且,得:,即: …（8分）
因为,所以 ①………（9分）
又因为,所以 ②………（10分）
由①-②得: ,化简得: ,………（12分）
因为,所以.
解得: 所以的取值范围为. ………（1４分）
15．解：（1）如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，
建立平面直角坐标系。----------------------------------------1分
由题设，
∴，而-------------3分
∴点是以、为焦点、长轴长为10的椭圆，
故点的轨迹方程是：-----------------4分
（2）如图2 ，设，，，
∴，且，--------------------------------6分
即
又、在轨迹上，
∴，
即，
---------------8分
代入整理得：
∵，∴．---------------------10分
∵， ，∴．
∵，∴
∴，即＜．---------------14分
16．（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， ………………………………………………2分
即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， ∴ 动点的轨迹方程为 ………………………5分
（2）由题可设直线的方程为，
由得
△， ………………………………………………………………………………7分
设，，则，……………………………………………9分
由，即 ，，于是，……11分
即，，
，解得或（舍去），…………………………………13分
又， ∴ 直线存在，其方程为 ………………………………………14分
17．解：（1）设动点P（x，y），则
由已知得
∴点P的轨迹方程是椭圆C：
（2）解一：由几何性质意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l‘和l的距离等于Q与l的距离的最小值。
设
代入椭圆方程消去x化简得：
解二：由集合意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l‘和l的距离等于Q与l的距离的最小值。设切点为
解得
解三：由椭圆参数方程设）
则Q与l距离
解四：设
且Q与l距离
由柯西不等式
18．解：(1)设直线L方程为：y=x+a 与抛物线联立方程组 得
x-2px-2ap=0
=4p+8ap>0 a>-
x+x=2p xx=-2ap
= =
=
解得 a-
-
x-4x-12=0 方程两根为-2和6
直线与抛物线所围成区域的面积为：
S==x+3x-=
19．（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图
则A（-1,0） B(1,0) D(-1,) (1分)
设椭圆F的方程为 （2分）
得 （4分）
得
所求椭圆F方程 （6分）
（Ⅱ）由
显然
代入 （7分）
与椭圆F有两不同公共点的充要条件是
(8分)
即
设
(9分)
（10分）
（11分）
得 得 （12分）
代入
（13分）
又 （14分）
解法2， 设
得
①—② 得
设 得 ③ （9分）
得 得 ④ （11分）
由③、④得
且P（x0,y0）在椭圆F内部
得 （13分）
又 （14分）
20．解: （1）∵ ，2分
∴ 过点的切线方成为4分
令，得，即点的坐标为6分
（2），
∴ 9分
11分
由得，，
∴ 时，单调递增；时单调递减；13分
∴
∴ 当，面积的最大值为.14分
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