高考60天冲刺(数列专题训练）

高考60天冲刺——数列专题训练
1． 已知数列{ }、{ }满足：.
(1)求;
(2)求数列{ }的通项公式；
(3)设，求实数a为何值时恒成立．
2．在平面直角坐标系中，已知、、，满足向量与向量共线，且点都在斜率6的同一条直线上.
（1）试用与n来表示；
（2）设，且12，求数中的最小值的项.
3．在公差为d（d≠0）的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）令，求数列{cn}的前n项和Tn.
4、在数列
(1)求证：数列是等比数列；
（2）设数列得公比为，
（3）求
5．设数列；
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设数列的公比求数列的通项公式；
6．已知定义在R上的单调函数y=f(x)，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x、y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)，
（Ⅰ）求f(0)，并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式；
　 （Ⅱ）数列{an}满足,
①求通项公式an的表达式；
②令，
试比较Sn与Tn的大小，并加以证明.
7. 设Sn是正项数列的前n项和，且，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）的值
8．已知二次函数满足条件：① ； ② 的最小值为.
(1) 求函数的解析式；
(2) 设数列的前项积为, 且, 求数列的通项公式；
(3) 在(2)的条件下, 若是与的等差中项, 试问数列中第几项的值最小? 求出这个最小值。
9、设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
（1）若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；
（2）在（1）的条件下求的表达式并求出取最大值时的值
（3）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式
10、设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式．
（Ⅱ）令求数列的前项和．
11．已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，求数列
12、已知（m为常数，m>0且）
设是首项为4，公差为2的等差数列.
（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）若bn=an·，且数列{bn}的前n项和Sn，当时，求Sn；
（Ⅲ）若cn=，问是否存在m，使得{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足
（Ⅰ）判断是否为等差数列？并证明你的结论； （Ⅱ）求Sn和an（Ⅲ）求证：
14． 已知数列
（I）若存在一个实数的值
（II）在（I）的条件下，求出数列
15.设数列{}的前项和为，且满足=2-，=1，2，3，….
(Ⅰ)求数列{}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{}满足=1，且，求数列{}的通项公式；
(Ⅲ)设，求数列{}的前项和.
参考答案
1. 解：（1)
∵ ∴
（2）∵ ∴
∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列
∴ ∴
(3)
∴
∴
由条件可知恒成立即可满足条件设
a＝1时，恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立
a f(n)在为单调递减函数．

∴ ∴a<1时恒成立
综上知：a≤1时，恒成立
2．解：（1）∵点都在斜率为6的同一条直线上，

于是数列是等差数列，故……………………3分
共线，

当n=1时，上式也成立.
所以………………8分
（2）把代入上式，
得
，
∴当n=4时，取最小值，最小值为………………13分
3．解：（1）由条件得： …………6分
（2）
①
②
①－②：
即
∴ …………14分
4．解：（1）由已知，即有
由解得
所以
当
①
②
①－②得
综上所述，知
因此是等比数列；
（2） 由（1）知
则
所以
因此，是等差数列，且
（3）
＝
＝
＝
5．解：（1）由
相减得：是等比数列
…………4分
（2），

…………8分
（3），
①
②
①－②得：，
，
所以： …………14分
6．解：（I）由题意，令y=0，x<0，得f(x)[1－f(0)]=0，∵x<0时，f(x)>1.
∴1－f(0)=0. f(0)=1.…………………………………………………………2分
适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=()x.………………………………4分
（II）①由递推关系知f(an+1)·f(－2－an)=1，即f(an+1－2－an)=f(0).
∵f(x)的R上单调，∴an+1－an=2，（n∈N*），…………………………6分
又a1=1，故an=2n－1.……………………………………………………7分
②bn=,Sn=b1+b2+…+bn=+()3+…+()2n－1

欲比较Sn与的大小，只需比较4n与2n+1的大小.
由=1，2，3代入可知4n>2n+1，猜想4n>2n+1.……………………10分
下用数学归纳法证明
（i）当n=1时，41>2×1+1成立
（ii）假设当n=k时命题成立，即4k>2k+1
当n=k+1时，4k+1=4×4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1，
说明当n=k+1时命题也成立.
由（i）（ii）可知，4n>2n+1 对于n∈N*都成立.
故Sn>.………………………………………………………………12分
注：证明4n>2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，
如：4n=(1+3)n=1+
7．解（Ⅰ）当n = 1时，解出a1 = 3 , …………1分
又4sn = an2 + 2an－3 ①
当时 4sn－1 = + 2an-1－3 ②
①－② , 即………3分
∴ ,（）……5分
是以3为首项，2为公差的等差数列 …7分
（Ⅱ） ③
又 ④ …………9 分
④－③ …………11分
…………13分
…………14分
8．解： (1) 由题知: , 解得 , 故. ………3分
(2) , ………………………………………………5分
,
, …………………………………7分
又满足上式. 所以. …………………8分
(3) 若是与的等差中项, 则, ………………………9分
从而, 得. …………10分
因为是的减函数, 所以
当, 即时, 随的增大而减小, 此时最小值为;
当, 即时, 随的增大而增大, 此时最小值为. …………12分
又, 所以,
即数列中最小, 且. …………14分
9、解：由得
解得： 3分
4分
6分
令得 8分
当时，取得最大值 9分
（3）法一：由a1≥6，a11＞0，S14≤77得：
10分
（4）
（5）
12分
代入（2）、（3）得：

14分
10．解：（Ⅰ）由已知得………………2分
解得．
设数列的公比为，由，可得．………4分
又，可知，
即，
解得．
由题意得．
．…………………………………………7分
故数列的通项为．
（Ⅱ）由于
由（1）得

又
是等差数列．…………………………10分


故．……………………14分
11．解：（I）依题意
…………2分

…………4分
…………5分
（II） …………6分
…………7分
…………9分
…………12分
12、解：（Ⅰ）由题意 即
∴ ……………………2分
∴ ∵m>0且，∴m2为非零常数，
∴数列{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列 …………4分
（Ⅱ）由题意，
当
∴ ① …………6分
①式两端同乘以2，得
② …………7分
②－①并整理，得


=

-----------------------------------------------10分
（Ⅲ）由题意
要使对一切成立，
即 对一切 成立，
①当m>1时， 成立； …………12分
②当0∴对一切 成立，只需，
解得 ， 考虑到0综上，当01时，数列{cn }中每一项恒小于它后面的项. ----------14分
13．解证：（Ⅰ）………1分
当n≥2时，………………2分
故是以2为首项，以2为公差的等差数列.………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得…………………5分
当n≥2时，…………6分
当n=1时，………………8分
（Ⅲ）1°当n=1时，成立…………………………9分
2°假设n=k时，不等式成立，即成立
则当n=k+1时，
即当n=k+1时，不等式成立由1°，2°可知对任意n∈N*不等式成立.
（Ⅲ）另证：


14．解：（1）假设存在实数无关的常数。

故存在实数为等差数列. ………………6分
（II）由（I）可得

①
②
①－②得
………………12分
15.解：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2
∴a1=1 ……………………(1分)
∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2
两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0
即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an
∵an≠0 ∴(n∈N*)……………………(3分)
所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(n∈N*)(4分)
(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)
∴bn+1-bn=()n-1 …………………… (5分)
得b2-b1=1
b3-b2=
b4-b3=()2
……
bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…) ……………………(7分)
将这n-1个等式相加，得
bn-b1=1+
又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…) …………………(9分)
(Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n()n-1 ……………………(10分)
∴Tn=2[()0+2()+3()2+…+(n-1)()n-2+n()n-1] ① (11分)
而 Tn=2[()+2()2+3()3+…+(n-1)] ②
①-②得：
Tn=
=8-(8+4n)(n=1，2，3，…) ……………………(14分)