2023-2024学年四川省成都市重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年四川省成都市重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.设全集是实数集，，或，，如图，则阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. ，或 D.
4.设集合，集合，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知实数、、，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.不等式“”是不等式“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若不等式的解集为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各题中给出的两个语句和，哪些是的充要条件( )
A. ：四边形是菱形，：四边形的对角线互相垂直且平分
B. ：，：
C. ：，：
D. ：关于的不等式的解集是，：且
10.已知，下列关于的最小值的描述正确的是( )
A. 时，的最小值是 B. 时，的最小值是
C. 时，取得最小值 D. 时，没有最小值
11.若实数，满足：，则下列叙述正确的是( )
A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. 的范围是 D. 的范围是
12.关于的不等式的解集，下列说法正确的是( )
A. 时，解集为
B. 时，解集为
C. 时，解集为
D. 时，原不等式在时恒成立
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知集合，，且，则的值为______ ．
14.已知二次函数图象如图所示，则不等式的解集为______ ．
15.若正实数，满足，则的最小值为______ ．
16.一物流公司要租地建造仓库储存货物，经市场调研发现：每月土地租用费用万元与仓库到车站的距离成反比；每月库存货物费用万元与成正比；且时，和分别为万元和万元那么这家公司把仓库建在距离车站______ 千米处，费用之和最小．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
求下列不等式的解集：
Ⅰ
Ⅱ
18.本小题分
已知全集，集合，集合，求：
Ⅰ若，求的范围；
Ⅱ若，求的范围．
19.本小题分
已知命题：，；命题：，．
Ⅰ若命题为真命题，求实数的取值范围；
Ⅱ若命题真且假，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知，．
Ⅰ求证：，当且仅当时等号成立；
Ⅱ若，求的最大值．
21.本小题分
已知二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标分别为和，且方程的两根相等．
Ⅰ求二次函数的解析式；
Ⅱ求关于的不等式的解集．
22.本小题分
为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒个单位的净化剂，空气中释放的浓度单位：毫克立方米随着时间单位：天变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到净化空气的作用．
若一次喷洒个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
若第一次喷洒个单位的净化剂，天后再喷洒个单位的净化剂，要使接下来的天中能够持续有效净化，试求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
利用交集及其运算求解即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合中，又在集合中，即
又，或，，
图中阴影部分表示的集合是：，或，
故选：．
先观察图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．
本小题主要考查图表达集合的关系及运算、图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：集合，集合，且，
，
故选：．
由包含关系建立不等式得解．
本题考查集合的关系，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：若，，则，B错误，若，则D错误，
，
，
，故C正确，
故选：．
令、、，可得、、都不正确，只有C正确，从而得出结论．
本题主要考查不等式与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小，可用特殊值代入法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，则，当且仅当时取等号．
故选：．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由不等式可以解得，
不等式得，即，
由集合法判定得可以推出，而不可以推出，
所以不等式“”是不等式“”的必要而不充分条件，
故选：．
先解出两个不等式，再根据充要条件的定义判断即可得出答案．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，不等式的解法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题设，，
当时，恒成立，满足要求；
当，可得；
综上，实数的取值范围是．
故选：．
由一元二次不等式的解集，讨论、分别求出满足条件的范围即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为菱形一定是平行四边形，但平行四边形不一定为菱形，故不是的充要条件；
由可得，故不是的充要条件；
，故是的充要条件；
关于的不等式的解集是且有两不等实数根，，，，故是的充要条件．
故选：．
结合平行四边形与菱形关系检验选项A；结合二次根式的性质检验选项B；结合完全平方公式检验选项C；结合二次不等式与二次方程的关系检验选项D．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：当时，单调递增，故时，函数取得最小值，A错误；
当时，，当且仅当，即时取等号，B正确；
当时，由对勾函数的单调性可知，没有最小值，C错误，D正确．
故选：．
由已知结合基本不等式及对勾函数的单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及对勾函数的单调性在最值求解中的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，，两式相加得，即，故A正确；
由，得，
又，两式相加得，即，故B正确；
设，
，解得，
则，
，，
又，，
，即，故C正确，D错误．
故选：．
利用不等式的性质判断；利用待定系数法求得的范围判断．
本题考查简单的线性规划，考查不等式的性质，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，当时，不等式化为，
解得，
即此时不等式的解集为，故A错误；
对于，当时，不等式可化为，，
，，
不等式的解集为，故B正确；
对于，当时，不等式可化为，，
若，则，
不等式的解集为，
若，则，
不等式的解集为，
故C错误；
对于，当时，，
又，当时，，
当时，恒成立，即恒成立，
时，原不等式在时恒成立，故D正确．
故选：．
利用一元二次不等式的解法判断，根据当时，，当时，，可判断．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，，
，
或，
解得，
当时，集合中元素不满足互异性，不合题意，
．
故答案为：．
根据，即中的元素都是中的元素，从而得出的值．
本题主要考查集合间的关系，集合中元素的互异性，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，，，，为的根，
所以，，
所以，，，
则可化为，
解得．
故答案为：．
先由函数图象求出，，，然后结合二次不等式的求法即可求解．
本题主要考查了二次不等式与二次方程关系的应用，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：正实数，满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
利用“”的代换以及基本不等式化简即可求解．
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意，设，，其中，是比例系数，
在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，
所以，，
解得，，
所以，，其中，
所以两项费用之和为，当且仅当，即时，等号成立，
所以这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小．
故答案为：．
利用待定系数法求出和关于的函数解析式，再利用基本不等式求解即可．
本题考查了函数的实际应用问题，以及利用基本不等式求函数最值问题，是基础题．
17.【答案】解：Ⅰ，可化为
解得或，
即原不等式的解集为或；
Ⅱ，，
解得
所以原不等式的解集为．
【解析】Ⅰ利用一元二次不等式的解法求解；
Ⅱ利用一元二次不等式的解法求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ集合化简得：
，，如图：
则，解得．
Ⅱ，因为，所以下面分和两种情况讨论，
时，，
时，，又有下面两种情况：
如右图，
如右图，
综上所述，或，
的取值范围是．
【解析】利用数轴解决集合的基本运算即可．
本题主要考查集合之间的基本运算，属于基础题．
19.【答案】Ⅰ命题：，为真命题．
则在上恒成立，
判别式，
即，解得．
所以实数的取值范围为．
Ⅱ：，，
若此命题为真，即：关于的不等式有解，
则，，解得：或，
由题意，真，所以假，所以或；
假，所以真，所以或；
假且真，所以实数的取值范围是或
【解析】Ⅰ由二次函数的性质列不等式解出的取值范围；
Ⅱ分别求出真且真时的取值范围，取交集即可．
本题考查命题真假的应用，考查二次函数的性质，属于基础题．
20.【答案】解：Ⅰ证明：证法一，
当且仅当，即时，“”号成立，
，且，，
，当且仅当，即时，“”号成立；
证法二
要证：，因为，，只要证：，
只要证：，
只要证：，
上式即：，此不等式显然成立，当且仅当，即时，“”号成立，
所以原不等式得证；
Ⅱ由柯西不等式：，
得，当且仅当即时，等号成立．
【解析】Ⅰ法一：利用综合法求证即可；法二：利用分析法求证即可；
Ⅱ利用柯西不等式直接得解．
本题考查不等式的证明以及柯西不等式的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ由题意可设二次函数解析式为：，
则：，，此方程两根相等，
所以，，所以，
所以，此二次函数的解析式为；
Ⅱ不等式即：，整理得：，
所以，
方程的两根为，，
当时，不等式的解集为空集；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
综上，时，原不等式解集为空集；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为．
【解析】由题意可设函数的两根式，从而可得，，的关系，然后结合二次方程根的存在条件可求，进而可求函数解析式；
先对已知不等式变形整理，然后结合含参二次不等式的求法对进行分类讨论可求．
本题主要考查了待定系数求解函数解析式，还考查了含参二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
22.【答案】解：因为一次喷洒个单位的去污剂，
所以空气中释放的浓度为，
当时，令，解得，所以，
当时，令，解得，所以，
综上所述，可得，即一次投放个单位的去污剂，有效去污时间可达天．
设从第一次喷洒起，经天，浓度，
因为，而，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
令，解得，
所以的最小值为．
【解析】由一次喷洒个单位的去污剂，可得空气中释放的浓度为，分，两种情况讨论，即可求解．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于中档题．
第1页，共1页