2023-2024学年江苏省南京市秦淮区重点中学高一（上）学情调研数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区重点中学高一（上）学情调研数学试卷（9月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.不等式的解为( )
A. B. C. D.
4.下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.已知集合，，，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.设全集，，是的两个子集，集合，则满足的集合共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.某工厂需要分两次采购一批原材料，假设该原材料两次采购的单价分别为，现有，两种不同的采购方案，方案为每次采购原材料的总价相同，方案为每次采购原材料的数量相同，两种采购方案的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. ，的大小无法确定
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.如图，已知矩形表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为( )
A.
B.
C.
D.
10.下列命题中为真命题的是( )
A. 若，则
B. ，
C. 若，，且，则，至少有一个大于
D. 若，，则的取值范围是
11.若，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
12.设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，则称为集合的聚点，则在下列集合中，以为聚点的集合有( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.命题“，”的否定是______ ．
14.已知，，，则与的大小关系为______ ．
15.不等式的解集是______ ．
16.若下列两个方程：，至少有一个方程有实根，则实数的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
设集合，，，求：
；
；
．
18.本小题分
已知命题：，使得成立；命题：正数，满足，不等式恒成立．
若命题真命题，求实数的取值范围；
若命题和命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知集合，．
若，求；
若，求实数的取值集合．
20.本小题分
已知．
方程有两个实数根，．
若，均大于，求实数的取值范围；
若，求实数的值；
设，若关于的不等式的解集为，，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知集合，．
若，且，求，及的取值范围；
若，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知集合
判断，，是否属于集合；
已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
记集合，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
直接利用交集运算的概念得答案．
本题考查交集及其运算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
是的必要不充分条件，
故选：．
利用集合的包含关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，集合的包含关系是解决本题的关键，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
将转化为，求解可得答案．
本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质，以及特殊值法，属于基础题．
根据已知条件，结合不等式的基本性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】
解：对于选项，若，时，，故A选项错误；
对于选项，当，时，，故B选项错误；
对于选项，，即且，
，即，故C选项正确；
对于选项，当，时，，故D选项错误．
故答案选C．
5.【答案】
【解析】解：要使，
则满足，
故选：．
利用条件，建立的不等式关系即可求解．
本题主要考查集合关系的应用，利用数轴是解决此类问题的基本方法．
6.【答案】
【解析】解：因为，所以，，，，
故B或或或，共个．
故选：．
根据交集结果得到，，，，从而确定集合的可能结果，得到答案．
本题考查了集合的交集运算问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为正数，满足，当且仅当且，即，时取等号，
解得
则的最小值为．
故选：．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：若采用方案，设每次采购的总价为，则两次采购的平均单价，
若采用方案，设每次采购原材料的数量为，，
则，
所以．
故选：．
先用，表示和，再利用作差法，即判断大小关系．
本题主要考查了比较法在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且，
所以，阴影部分可表示为，对；
且，阴影部分可表示为，对；
且，阴影部分可表示为，对；
显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，选项不合乎要求．
故选：．
在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项．
本题考查集合的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：若，则且，所以，故A正确；
对于：当时，，故B错误；
对于：假设，都不大于，即，，
由加法的可加性可得，，与，且，矛盾，
故若，且，则，至少有一个大于，故C正确，
对于：若，，即，，因为，
所以，故D正确．
故选：．
根据交集、并集的定义判断，利用特殊值判断，利用反证法说明，参变分离求出参数的取值范围，即可判断．
本题主要考查了命题真假的判断，还考查了不等式的性质及含有量词的命题的真假关系的判断，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项，，
因为，所以，与的大小不确定，
故正负不确定，故大小不确定，A错误；
选项，，
因为，所以，，故，
故，B正确；
选项，，
因为，所以，，故，
所以，C正确；
选项，因为，所以，，，
其中，
当且仅当，，即时，等号成立，
，即，D正确．
故选：．
，，选项，利用作差法进行比较大小，选项，利用基本不等式求出，从而得到．
本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项，对于任意，显然，使得，
即为集合的聚点，A正确；
选项，对于任意，不妨令，因为，解得，
因为在集合中不存在，故B错误；
选项，对于任意，存在且，即且时，
使得，
即为集合的聚点，C正确；
选项，令时，，
对于任意，总存在足够大的使得，
故为集合的聚点，D正确．
故选：．
选项，可取，满足要求；选项，可举出反例；选项，当且时，满足，C正确；选项，由于时，，故可得到总存在足够大的使得，D正确．
本题考查集合新定义，属于中档题．
13.【答案】，
【解析】解：命题“，”的否定是：，．
故答案为：，．
根据已知条件，结合命题否定的定义，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，，，，
，，
，
，
即．
故答案为：．
利用分子有理化分别化简，，可得其大小关系．
本题考查不等式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：当，即时，原不等式化为，
解得：，不等式的解集为：；
当，即时，原不等式化为，
解得：，不等式的解集为：，
综上，原不等式的解集为，
故答案为：．
分两种情况：大于等于和小于，根据绝对值的代数意义分别化简绝对值，得到两个一元一次不等式，求出两解集的并集即为原不等式的解集．
此题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．
16.【答案】或
【解析】解：有实根，则，
解得或，
有实根，则，
解得或，
故实数的取值范围是或或或．
故答案为：或．
求出两个方程有实根时的取值范围，求并集即可得到答案．
本题主要考查了一元二次方程根的个数问题，属于基础题．
17.【答案】解：集合，，，
由并集定义知：．
，．
，或，
．
【解析】根据并集定义可直接求得结果；
根据补集和并集定义可求得结果；
根据补集和交集定义可求得结果．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
18.【答案】解：因为为真命题，
所以，
因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以的取值范围为．
若为真，则，
因为，，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
若为真，为假，则且，即，
若为假，为真，则且，即，
综上所述，或，
所以的取值范围为．
【解析】根据命题为真命题，转化为求的最小值，即可求解．
首先根据命题为真命题，结合基本不等式求的取值范围，再根据两个命题一真一假，求实数的取值范围．
本题考查命题的真假，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为，
当时，，
此时．
因为，所以，
若，则，满足条件；
若，因为，
所以不为，
若，即时，满足条件；
若，即且，则，所以，解得，满足条件．
综上可得的取值集合为．
【解析】首先求出集合、，再根据交集的定义计算可得；
依题意可得，分、两种情况讨论，当时分、两种情况分别计算．
本题主要考查了集合的交集运算及集合包含关系的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可知，，即或，
由，均大于，所以，解得．
由可得，即，
，解得或，
又因为或，．
，
，即，又，解得，
所以，
因为是的充分不必要条件，所以，
等号不能同时成立，解得，
经检验，当时，，满足，符合题意，所以．
【解析】由求出参数的取值范围，再利用韦达定理得到不等式和方程，解得即可；
首先求出集合，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可．
本题考查充分必要条件，考查一元二次方程的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可知，，
，，
，，
，；
，
，
故的取值范围为，的取值范围为，的取值范围为；
，，
在中有解，
当，时，，，显然不成立，不满足条件；
当，时，，或，；
当，时，，，，
综上所述，的取值范围为．
【解析】根据已条件，结合不等式的性质，即可求解；
根据已知条件，结合交集的定义，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
22.【答案】解：，，，，
假设，，，则，
且，或，
或，显然不满足整数解条件，
．
集合，则恒有，
，即一切奇数都属于，
又，而，
“”的充分条件是“”；
但“”不是“”的必要条件．
对于，，为偶数．
令，解得，
，即．
【解析】根据集合元素的特征一一判断即可；
由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立；
设，推出，即可得证．
本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是中档题．
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