2023-2024学年河南省周口市鹿邑重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省周口市鹿邑重点中学高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. 或
C. 或 D. 或
2.命题“，使得”的否定为( )
A. B. ，使得
C. D. ，使得
3.已知：，，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设集合，，，若，，则( )
A. B. C. D.
5.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.如图所示的图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合若，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知集合，集合且，则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
8.下列结论正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，的最小值是
C. 当时，的最小值是
D. 设，，且，则的最小值是
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若、是全集的真子集，下面四个命题，，，是命题：充要条件的是( )
：，：，：，：
A. B. C. D.
10.设集合，，则下列说法不正确的是( )
A. 若有个元素，则
B. 若，则有个元素
C. 若，则
D. 若，则
11.下列各结论中正确的是( )
A. “”是“”的充要条件
B. “的最小值为
C. 命题“，”的否定是“，”
D. “二次函数的图象过点”是“”的充要条件
12.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.毛泽东同志在清平乐六盘山中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的______条件．填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”
14.已知命题：，若为假命题，则的取值范围为______．
15.学校举办运动会时，高一某班共有名同学参加，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛，只参加球类一项比赛的有______人．
16.给出下列命题：已知集合，且，则集合的真子集个数是；“”是“”的必要不充分条件；“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件设，，则“”是“”的必要不充分条件其中所有正确命题的序号是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，．
Ⅰ当时，求，；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知集合．
若，求实数的取值范围；
若中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合；
若中至少有两个元素，求实数的取值范围．
19.本小题分
，，其中，均为正实数，比较，的大小；
证明：已知，且，求证：．
20.本小题分
已知，，求的取值范围；
已知，，求的取值范围．
21.本小题分
已知，，都是正数，求证：；
已知，，，求证：．
22.本小题分
已知函数．
若时，对任意的都成立，求实数的取值范围；
求关于的不等式的解集．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则或．
故选：．
直接根据补集的概念计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题“，使得”的否定为“”
故选：．
根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出原命题的否定作答．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：若：，，则，即：，
由得或，即：或，
则是的充分不必要条件，
故选：．
根据不等式的性质求出和的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质求出等价条件是解题的关键，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，，得且，
若，无解；
若，解得．
故符合题意．
故选：．
由集合的包含关系和交集定义，判断集合中包含元素和，列方程组求解即可．
本题考查集合元素的性质与集合间的包含关系，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：若，则，故A不正确；
B.，，则，故B不正确；
C.，，则，正确；
D.取，，，，满足条件，，但．
故选：．
利用不等式的性质即可判断出结论．
本题主要考查不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由图可知，，
因为，，
则，，
因此，．
故选：．
分析可知，求出集合、、，即可得集合．
本题考查集合的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：依题意，所以集合的子集的个数为．
故选：．
先求出集合，再根据子集的定义即可求解．
本题主要考查利用集合子集个数的应用，含有个元素的集合，其子集个数为个，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，当时，，当且仅当时等号成立，A错误；
对于，当时，，B错误；
对于，当时，，C错误；
对于，，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的条件，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由得图，
对于，：，易知等价于，是的充要条件；
对于，：，易知等价于，不是的充要条件；
对于，：，易知等价于，是的充要条件；
对于，、是全集的真子集，不成立，不是的充要条件．
故是的充要条件的有，，
故选：．
把条件具体化，结合充要条件即可作出判断．
本题主要考查了集合间的包含关系，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：集合，
，
在中，若有个元素，则，
，故A错误；
在中，若，则，有个元素，故B错误；
在中，若，则当时，，故C错误；
在中，若，则，，故D正确．
故选：．
在中，若有个元素，则，从而；在中，若，则，从而有个元素；在中，若，则当时，；在中，若，则，从而．
本题考查命题真假的判断，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
分别验证每一个选项当中充分与必要性，结合不等式、逻辑、函数与方程等知识点，即可判断．
本题考查充分必要条件的验证，考查不等式、均值不等式，函数零点与方程根的关系，属于中档题．
【解答】
解：对于，可知，，则不等式两边同时除以，即，，过程可逆，所以是充要条件，A正确；
对于，由均值不等式可知，，当且仅当，解得，无解，所以等号不成立，所以取不到最小值，B错误；
对于，因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定是“，使得”，所以C错误．
对于，对于二次函数而言，将代入，得，充分性得证；
反之，说明是方程的根，
即是二次函数经过的点，必要性得证．D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：关于的不等式的解集为或，
二次函数的开口方向上，即，选项A正确；
方程的两个实数根为，，
，解得，则等价于，
又，，选项B错误；
不等式等价于，即，解得或，
所以不等式的解集为或，选项C正确；
因为，选项D错误．
故选：．
根据题意可得，且，然后对选项进行逐一判断即可．
本题考查一元二次不等式与一元二次方程，二次函数之间的关系，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
13.【答案】必要
【解析】解：不到长城非好汉的等价条件是，好汉一定到过长城，即好汉到长城，
故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件，
故答案为：必要．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据命题的等价性进行转化是解决本题的关键，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：为假命题，：，为真命题，
，在的最小值为，
故答案为：．
首先写出命题的否命题，根据为假命题即可得出为真命题，再分参求最值即可求出的取值范围．
本题主要考查特称命题的应用，将条件转化为求函数的最值是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设同时参加球类与田径类的人数为人，
则如图所示，
所以，解得，
则只参加球类比赛的人数有人，
故答案为：．
设同时参加球类与田径类的人数为人，然后画出韦恩图，根据图建立方程求出的值，进而可以求解．
本题考查了韦恩图的应用，考查了学生的理解运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：对于已知集合，且，，，则集合的真子集个数是；故错误；
对于当“”时，“”成立，反之不成立，故“”是“”充分不必要条件；故错误；
对于“方程有一个正根和一个负根”的充要条件为，整理得，由于，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件的必要不充分条件；
对于设，，当时，当时，，反之成立，故“”是“”的必要不充分条件，故正确．
故答案为：．
直接利用不等式的解法，集合的子集和真子集的个数，充分条件和必要条件，一元二次方程根和系数的关系，判断的结论．
本题考查的知识要点：不等式的解法，集合的子集和真子集的个数，充分条件和必要条件，一元二次方程根和系数的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ当时，，
又或，
，或；
Ⅱ当时，则，
，或，
，
，
若，则，
即实数的取值范围．
【解析】Ⅰ先求出集合，，再利用集合的交集运算和并集运算求解；
Ⅱ由，可得，从而列出关于的不等式，再取补集即可．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
18.【答案】解：若是空集，则方程无解，
此时且，即，
所以的取值范围为；
若中至多有一个元素．
则方程有且只有一个实根或者无解，
若方程有且只有一个实根，则
当时，方程为一元一次方程，满足条件，
当时，此时，解得：，
若方程无解，由可知，
综上可知：若中至多有一个元素，则实数的取值为；
当时，；当时，；当时，；
若中至少有两个元素，则有两个不等的实数根，
此时且，解得且，
所以的取值范围是．
【解析】方程无解，则，根据判别式即可求解；
分方程无解或者一个解讨论即可；
由题意可知有两个不等的实根，由判别式求解即可．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
19.【答案】解：因为，，
则，
因为，，所以，，
所以，即．
证明：因为，且，所以，，
所以，
所以，
所以．
【解析】利用作差法判断即可；
根据不等式的性质计算即可得证．
本题主要考查不等式大小的比较，不等式的证明，考查逻辑推理能力，属于基础题．
20.【答案】解：，，
又，；
，，得，
的范围是，的范围是；
，
而，，
，，
得，
的取值范围是．
【解析】由已知直接利用不等式的性质求解；
由，结合已知及不等式的性质求解．
本题考查简单的线性规划，考查不等式的性质，是基础题．
21.【答案】证明：，，，
，，，当且仅当时，等号成立，
，
；
，，，
，，
，当且仅当，即时等号成立，
故．
【解析】利用基本不等式可得，，，结合不等式的基本性质，即可证明结论；
由得，利用基本不等式，即可证明结论．
本题考查不等式的证明和基本不等式的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为对任意的都成立，
当时，则有，合乎题意；
当时，即对任意的都成立，
则，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
由可得，
即，
当时，解得，则原不等式解集为，
当时，即，可得，则原不等式解集为，
当时，即，可得，则原不等式的解集为或；
综上所述：当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为或．
【解析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次不等式恒成立，可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
由可得出，分、、三种情况讨论，利用一次不等式、二次不等式的解法解原不等式，即可出原不等式的解集．
本题考查了函数恒成立，不等式问题，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．
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