2023-2024学年广东省佛山市顺德区重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市顺德区重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
3.命题：“存在实数，使得”的否定形式是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
5.设集合，，则( )
A. B. C. D.
6.，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D. ，
8.已知、，且，若恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是( )
A. 的一个必要不充分条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 已知：，，则的否定对应的的集合为
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为
10.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的解集为
C.
D. 的解集为
11.下列说法正确的有( )
A. 对，的最小值为
B. 若正实数，满足，则的最大值为
C. 已知，，且，则的最小值为
D. 已知，，且，则的最大值为
12.已知实数，满足，以下说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知全集，若，，则 ______ ．
14.已知集合，非空集合，若是的必要条件，则实数的取值范围为______．
15.一元二次方程的根为，，则当时，不等式的解集为______．
16.若正数，满足，则的最小值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
求下列不等式的解集：
；
．
18.本小题分
已知集合或，或，若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知关于的不等式的解集是．
求实数，的值；
若正数，满足：，求的最大值．
20.本小题分
解关于的不等式．
21.本小题分
已知，求证：．
22.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求的取值范围；
若不等式的解集为，若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，或，
则不等式的解集为．
故选：．
根据一元二次不等式的解集结论，直接可得．
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题：“存在实数，使得”的否定形式是，．
故选：．
根据存在量词命题的否定为全称量词命题即得．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于：当时，，A错误；
对于：当，则，B错误；
对于：取，，，满足，，
而，，此时，C错误；
对于：当时，则，所以，
即，又，所以，D正确．
故选：．
根据不等式的性质逐一判断即可．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为集合，
，
所以．
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，且，
所以，
所以，
当且仅当且时取等号，
故选：．
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘法”与基本不等式的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：当时，恒成立；
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
故选：．
讨论或，利用一元二次不等式恒成立即可求解．
本题考查了恒成立问题及分类讨论思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力．
先把转化为，展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据恒成立求得，进而求得的范围．
【解答】
解：，，且，
，当且仅当，时取等号，
恒成立，
，解得，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由得出，由得不出，A正确；
B.若集合中只有一个元素，则，或，
时，，不满足题意，所以，B正确；
C.解得，所以对应的集合为，C正确；
D.，，且，的子集个数为，D正确．
故选：．
根据充要条件的定义判断的正误；根据一元二次方程有二重根时判别式的取值可判断的正误；根据原命题和否命题的关系判断的正误；根据子集的定义及子集个数的求法判断的正误．
本题考查了充要条件和子集的定义，一元二次方程有二重根时判别式的取值情况，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：不等式的解集为或，
，
即，，
故选项A正确；
可化为，
即，
故的解集为，故选项B正确；
，故选项C错误；
可化为，
即，
故不等式的解集为，选项D正确．
故选：．
由不等式与方程的关系得，从而可得，，且，再依次对四个选项判断即可．
本题考查了二次不等式及二次方程关系及基本不等式的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
根据基本不等式判断各项，错误的可举反例说明．
【解答】
解：当时，，A错误，
，时，
，
所以，
当且仅当，时取等号，B正确，
，且，则，，
，
当且仅当，时等号成立，C正确，
，，且，
如，时，，D错误，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由，可得，关于的方程有解，
所以，
所以，即，故A正确；
取，，，则，故B错误；
由，可得，
又，
令，则，
所以，即，故C正确；
由，可得，
所以，
令，由，可得，
所以，即，故D正确．
故选：．
由题可得关于的方程有解可判断，利用特值可判断，根据条件及基本不等式可判断．
本题主要考查了二次方程解的存在条件，不等式的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，
或，
全集，
，
故答案为：
求出与的并集，找出并集的补集即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，非空集合，
若是的必要条件，则，
，解得，的取值范围是．
故答案为：．
是的必要条件转化为，可解决此题．
本题考查不等式组解法、充分条件、必要条件，考查数学运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由一元二次方程的根为，，
所以，且；
所以，，且，
所以不等式可化为，
解得，
所以所求不等式的解集为．
故答案为：．
由根与系数的关系得出、与的关系，将、用表示出来，再代入不等式化简求得所求不等式的解集．
本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
正数，满足，可得，且；即，且；由已知等式得到，将所求转化为，应用基本不等式可求最小值．
本题考查利用基本不等式求函数的最值，属基础题，灵活对目标式进行合理变形是解题关键．
【解答】
解：正数，满足，，且；变形为，，，，；
，，
当且仅当，即时取“”由于，故取，
的最小值为；
故答案为：．
17.【答案】解：由，可得，
解得．
原不等式的解集为．
，
，
，则，
解得或，
原不等式的解集为或．
【解析】由一元二次不等式的解法直接求解即可；
由分式不等式的解法直接求解即可．
本题考查不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：或，
，
当，即时，，
当，即时，，
要使，
应满足或是，
即或，
综上可知，实数的取值范围为或．
【解析】化简集合，从而分类讨论以确定集合是否是空集，从而解得．
本题考查了集合的化简与集合的运算．
19.【答案】解：由题意可知：，是的两根，
所以，解得：，；
把，代入得
因为，所以，
得，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为．
【解析】先根据题意可知：，是的两根，然后利用根与系数的关系建立方程组，解之即可；
将与的值代入，然后利用均值不等式即可求出的最大值．
本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系等有关知识，同时考查了计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：原不等式可化为，
若，则原不等式变为，即，
此时原不等式解集为；
若，则，
，即时，原不等式的解集为；
，即时，原不等式的解集为；
，即时，原不等式的解集为；
若，则原不等式变为，
解得或，原不等式的解集为或．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式的解集为或．
【解析】本题考查了含有参数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，属于基础题．
讨论，和时，求出原不等式的解集即可．
21.【答案】解：要证，
只要证，
只要证，
只要证，
只要证明，显然成立，
故求证：．
【解析】利用分析法即可证明结论
本题考查不等式的证明，考查比较法、分析法的运用，属于中档题．
22.【答案】解：函数，
当时，解得：，所以，不合题意，
当时，解得：，
故，解得：．
故参数的取值范围为
不等式的解集为，若，
即：时，恒成立，
即：，由于恒成立，
所以恒成立，
设，因为，
则，则，
所以，
由于，当且仅当时，等号成立，
故，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，
所以参数的取值范围为
【解析】本题考查了函数的性质和不等式的应用，基本不等式的应用，恒成立问题的应用，属于中档题．
直接利用分类讨论思想和一元二次不等式的解法求出参数的取值范围；
利用函数的关系式的变换和函数的恒成立问题及基本不等式的应用求出参数的取值范围．
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