2023-2024学年甘肃省兰州重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年甘肃省兰州重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，使”的否定是( )
A. ，使 B. 不存在，使
C. ，使 D. ，使
3.下列命题是真命题的是( )
A. 是空集 B. 是无限集
C. 是有理数 D. 的根是自然数
4.已知集合，则满足条件的集合的个数为( )
A. B. C. D.
5.设：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知等式，则下列变形正确的是( )
A. B.
C. D.
7.关于的不等式的解集，下列说法不正确的是( )
A. 可能为 B. 可能为 C. 可能为 D. 可能为
8.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.如图中阴影部分所表示的集合是( )
A. B.
C. D.
10.已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
11.在下列命题中，真命题有( )
A. ， B. 是有理数
C. ，，使 D. ，
12.下列说法中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知集合，则______．
14.已知集合，，，，则集合中元素的个数为______ ．
15.当时，关于的一元二次不等式的解区间为______．
16.若，则角的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，，，．
求，；
若，求的取值范围．
18.本小题分
某单位在对一个长、宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是多少？当花坛宽度为多少时，绿草坪面积最小？
19.本小题分
已知集合，或．
当时，求；
“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知命题：，，命题：，若为真命题、为假命题，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知关于的不等式．
若的解集为，求实数，的值；
求关于的不等式的解集．
22.本小题分
已知函数．
若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；
若不等式在上有解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，，
所以．
故选：．
按照交集的运算法则直接计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据全称量词命题与存在量词命题的否定的定义可知，
命题“，使”的否定是“，使”．
故选：．
根据全称量词命题与存在量词命题的否定的定义，即可解决此题．
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定的定义，考查推理能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：集合里边含有一个元素，故不是空集，A错误；
，不是无限集，B错误；
是无理数，C错误；
中，的根为，，均为自然数，故D正确．
故选：．
利用集合的概念与一元二次方程的根对，，，四选项逐一判断即可．
本题考查命题的真假判断与应用，考查分析推理的能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，元素个数为个，
，
则，
故满足条件的集合的个数为．
故选：．
先对集合化简，再结合子集个数的求法，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：若，则，，所以，
所以，所以是的充分条件；
若，不妨取，不满足，
所以不是的必要条件，故是的充分不必要条件．
故选：．
由充分条件和必要条件的定义结合题意求解即可．
本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于，当时，满足，但无意义，故A错误；
对于，两边同时加上，该等式仍然成立，故B正确；
对于，当，，时，满足，但得不到，故C错误；
对于，当时，无法得到，故D错误．
故选：．
利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可．
本题考查等式的性质，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：若，不等式的左边，此时，B正确；
若，则，D正确；
若，则，C正确；
故选：．
对的取值进行分类讨论，然后解不等式．
本题考查了解一元一次不等式组，是基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的关系判断，属基础题．
将集合，中的表达式形式改为一致，由的元素都是的元素，即可得出结论．
【解答】
解：，
，
为整数，而为奇数，
集合、的关系为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由图可知，阴影部分的元素属于集合，但不属于集合，
所以阴影部分所表示的集合为，或．
故选：．
根据图象和集合之间的关系即可得到结论．
本题主要考查了图表达集合的关系和运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：不等式的解集为或，
所以，且和是方程的两根，选项A正确；
由根与系数的关系知，，所以，，
所以不等式可化为，解集为，选项B错误；
不等式可化为，解集为或，选项C错误；
因为不等式的解集为或，所以满足不等式，即，选项D正确．
故选：．
根据不等式的解集得出，且和是方程的两根，由根与系数的关系得出、与的关系，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由于，故A错误；
由于为有理数，所以也为有理数，故B正确；
当，时，，故选项C正确；
当时，，故D错误．
故选：．
直接利用关系式的变换判定和，利用赋值法的应用判定和的正误．
本题考查的知识要点：关系式的变换，存在性问题和恒成立问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为，，所以，故A正确；
对于，因为，所以，
又，所以，故B正确；
对于，因为，所以，
又，所以，故C错误；
对于，当，，，时，满足，，
但，，此时，故D错误．
故选：．
根据不等式性质及特值法即可作出判断．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
13.【答案】或或
【解析】解：，，若或，则或．
当时，，即，解得或舍去，此时或，
当时，，即，解得，，
所以或或，
故答案为：或或，
根据，利用集合元素的互异性，分别求出与即可．
本题考查集合元素的互异性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以时，；时，或；时，或或，
所以，，，，，，
所以集合中元素的个数为．
故答案为：．
由已知，根据条件给的集合，按照集合给的定义列举即可完成求解．
本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：不等式等价于，
因为，所以，，即，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
原不等式等价于，再通过，比较和的大小后，即可得解．
本题考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
，
由可得，，
故答案为．
欲求的取值范围，先求的取值范围，直接利用不等式的性质求解．
本题考查了不等式的基本性质，注意同向不等式可以相加，但不能相减．
17.【答案】解：，，，
，或，
则，
，，且，
，
即的取值范围为．
【解析】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．
由与，求出两集合的并集，求出的补集，找出的补集与的交集即可；
根据与的交集不为空集，求出的范围即可．
18.【答案】解：设花坛宽度为，则草坪的长为，宽为，，
根据题意得，
整理得，
解不等式得舍去或，
因比，
故当花坛的宽度在之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，
绿草坪的面积，
对称轴为，开口向上，在上单调递减，
所以当时，．
所以花坛的宽度为时，绿草坪面积最小．
【解析】设花坛宽度为，则草坪的长为，宽为，，结合实际问题抽象出不等式，解不等式可求的范围，再由二次函数的性质可求面积的最小值．
本题主要考查了二次不等式在实际问题中的应用，还考查了二次函数的性质的应用，属于中档题．
19.【答案】解：当时，，
所以 或，
由题可知，，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以，可得，解得．
【解析】可利用集合间的关系进行求解．
本题考查了集合间的关系，充要条件的判断，属于基础题．
20.【答案】解：根据题意，由命题是真命题，则，对任意的恒成立，
即对恒成立．
由于，则，所以，变形可得；
由命题是假命题，则：，使得为真命题，即关于的方程有实数根：
当时，有实数根；
当时；依题意得，即且，
综上，可得．
因为为真命题、为假命题，所以实数的取值范围是．
【解析】根据命题的真假，原问题可以转化为问题恒成立或有解问题，列出对应不等式组，可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及不等式的恒成立问题，属于基础题．
21.【答案】解：因为的解集为，
所以，是方程的根，
故，
解得；；
由得，
即，
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为或；
当时，解集为
【解析】由已知结合二次方程与二次不等式的关系及方程的根与系数关系可求；
先对已知方程进行变形，然后对两根大小的情况对进行分类讨论可求．
本题主要考查了二次方程与二次不等式关系的应用，还考查了含参数二次不等式的求法，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
22.【答案】解：对恒成立，
若，显然成立，
若，则，解得．
所以，．
不等式在上有解，
整理为在有解，
，
在有解，即求在的最大值，
的对称轴为，
在上单调递增，
，
，
可得，，
所以的取值范围是．
【解析】先分为和两种情况，再结合二次函数值域恒成立求解即可；
先参数分离把原不等式转化为在有解，再根据二次函数求最值即可求出范围．
此题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题．
第1页，共1页