2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一（上）调研数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一（上）调研数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，或
C. ， D. ，或
3.若，，则“”是“”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在等式的等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正实数，则这两个正实数之和的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为( )
A. 或 B.
C. 或 D.
6.若，使成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.设，，，则，，的大小顺序是( )
A. B. C. D.
8.已知集合，若，是的两个非空子集，记满足“中元素的最小值大于中元素的最大值”为集合对，则所有集合对的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知集合，，的关系如图所示，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若为自然数集，，，则
10.下列命题中，为真命题的是( )
A. “”的充要条件是“”
B. 若，，且，则，都不为
C. “”是“”的充分且不必要条件
D. 函数的零点是和
11.已知，，，若，且，则下列不等关系正确的是( )
A. B.
C. D.
12.用表示非空集合中的元素个数对于集合，，定义，若，，设实数的所有可能取值组成的集合是，则下列选项正确的是( )
A. 的可能值为，，，
B. 若，则的取值范围为
C. 若，则
D. 若，则的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，，则的取值范围是______ ．
14.已知集合，且，求实数的值 ．
15.设为实数，若二次函数在区间上有两个零点，则的取值范围是______ ．
16.古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，若以斜边为直径的半圆面积为，则以，为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
设全集为，集合，
若，求；
问题：已知_____，求实数的取值范围．
从下面给出的两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答请选出一种方案进行解答，若选择多个方案分别解答，则按第一个解答计分
；
．
18.本小题分
已知：，：．
分别求出，中关于的不等式的解；
当时，若是的必要且不充分条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知，求的最小值．
已知，，且，求的最小值．
20.本小题分
已知命题：，．
若为真命题，求实数的取值范围；
命题：关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若，至少有一个是真命题，求实数的取值范围．
21.本小题分
在国庆假期期间，某火车站为舒缓候车室人流的压力，决定在候车大楼外搭建临时候车区，其中某次列车的候车区是一个总面积为的矩形区域如图所示，矩形场地的一面利用候车厅大楼外墙长度为，其余三面用铁栏杆围挡，并留一个宽度为的入口现已知铁栏杆的租赁费用为元设该矩形区域的长为单位：，租赁铁栏杆的总费用为单位：元．
将表示为的函数，并求租赁搭建此区域的铁栏杆所需费用的最小值及相应的值．
若所需总费用不超过元，求的取值范围？
22.本小题分
由有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即定义，集合中的元素个数记为，当时，则称集合满足性质．
已知，，判断集合，是否满足性质，并说明理由；
设集合，且，若集合满足性质，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，
所以，．
故选C．
先解集合，然后判断元素和的关系．
本题主要考查集合和元素的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，或．
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】
【解析】解：由，，得，，，
，，得不出，比如，，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分条件和必要条件的定义，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：设填入的两数分别为，，，
即，
所以，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
由已知利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了乘法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由不等式的解集为，知且，即，
，即，
，
，
不等式的解集为．
故选：．
根据条件可知且，再由，可得，解不等式即可．
本题考查了不等式的解集与方程根的关系和分式不等式的解法，考查了转化思想，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：，使成立，
当时，，
设，
则，对称轴为，
故，
所以的取值范围为．
故选：．
根据已知条件，结合分离常数法，以及二次函数性质，即可求解．
本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
又，，
所以，
又且，
所以，即．
故选：．
先对已知式子进行变形，进而可比较大小．
本题主要考查了不等式大小的比较，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，当中最小数为时，不合题意，
当中最小数为时，或或或时，为的非空子集，则有个，
当中最小数为时，、时，为的非空子集，则有个，
当中最小数为时，，为的非空子集，则有个，
综上，满足题意的集合对的个数为个．
故选：．
根据题意，分别讨论当中最小数分别为，，这种情况，再结合元素与集合的关系可解．
本题考查元素与集合的关系，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由图可知，，，故A正确；
对于，由图可知，，，故B正确；
对于，由图可知，，
，，
，，
，故C错误；
对于，若为自然数集，，，
，故D正确．
故选：．
由图可知，，再结合集合的基本运算求解即可．
本题主要考查了利用图表达集合的关系，以及集合的基本运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，当时，满足，但不会成立，
则“”不是“”的充分条件，A错误；
对于，若，，且，由乘法的性质，必有，都不为，B正确；
对于，若，即，必有，反之，若，不一定有，如，
则“”是“”的充分且不必要条件，C正确；
对于，函数的零点是和，D错误．
故选：．
根据题意，由充分必要条件的定义分析和，由实数乘法的性质分析，由函数零点的定义分析，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及充要条件和函数零点的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，．
对于，因为，，所以，故A正确；
对于，当时，满足，此时，故B错误；
对于，因为，所以，所以，
即，整理得，故C正确．
对于，因为，所以，所以，
又，所以，故D错误．
故选：．
由已知可得，，根据不等式的性质可判断，当可判断．
本题考查了不等式的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于集合，当时，方程的解为，，
当时，或，其中的解为，，
若，即或，
方程有两个不相等的实数根，此时；
若，即或，
方程有两个相等的实数根，此时；
若，即或，
方程无实数根，此时；
所以的可能值为，，，，故A正确；
若，且，则，
由此可知的取值范围为，故B不正确；
若，且，则或，当时，，
当时，或，此时集合，
则，故C正确；
若，且，则，
则的取值范围，故D正确．
故选：．
由已知得，对集合中的实数分和两种情况分类讨论，并结合判别式即可判断出方程根的情况，最后结合新定义即可判断每个选项的正误．
本题考查了集合新定义和一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
13.【答案】
【解析】解：，，
又，
，
即的取值范围是
故答案为：
利用不等式的性质求解．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合中元素与集合的关系，注意集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
利用，推出或，求出的值，然后验证集合是否成立，即可得到的值．
【解答】
解：因 ，且
所以或
即或或
当时，与元素的互异性相矛盾，舍去；
当时，与元素的互异性相矛盾，舍去；
当时，满足题意
．
故答案是：．
15.【答案】
【解析】解：二次函数的对称轴为，
若二次函数在区间上有两个零点，
则，解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
由二次函数图象与性质，结合函数零点个数可得，解之即可得答案．
本题主要考查二次函数的性质与图象，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，，，
又以斜边为直径的半圆面积为，
则，
则，
又，
则，
则，
即，当且仅当时取等号，
又以，为直径的两个半圆的弧长之和为，
则以，为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为．
故答案为：．
由扇形的弧长公式，结合圆的面积公式求解即可．
本题考查了弧长公式，重点考查了圆的面积公式，属中档题．
17.【答案】解：集合或，
则，
当时，，
故；
当选时，
所以，，
即，解得，
故的取值范围为；
当选时，
当，即时，满足，解得，
当即时，由，得，
即，解得．
综上所述，的取值范围是．
【解析】结合集合的补集及交集运算即可求解；
结合所选项条件，利用集合并集及补集性质可求．
本题主要考查了集合的交并补的运算，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
18.【答案】解：，
不等式的解集为：，
，
当，即时，，此不等式的解集为：，
当，即时，此不等式的解集为：，
当，即时，此不等式的解集为：，
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
记命题对应的集合为，
当时，对应的集合为，
是的必要且不充分条件，则，
则满足：，解得，
所以实数的取值范围为
【解析】利用一元二次不等式的解法求解；
命题对应的集合为，当时，对应的集合为，由题意可知，从而列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
19.【答案】解：设，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以原式最小值为；
法一：由可得，，
则，
当且仅当，时取等号，
所以最小值为；
法二：由可得，
，
当且仅当，时取等号，
所以最小值为．
【解析】设，则，代入到所求式子后整理变形，然后结合基本不等式可求；
法一：由可得，代入到所求式子后进行变形，然后结合基本不等式可求；
法二：由可得，然后直接利用基本不等式可求．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：根据题意，命题：，，
若为真，必有，解得或，
即的取值范围为或；
根据题意，若为真，，
方程两根为和，
则由题意得，所以，
当，均为假时，有，可得；
因此，如果，中至少有一个为真时，有或；
则的取值范围为或．
【解析】根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案；
根据题意，分析为真时的取值范围，由此可得、为假时，的取值范围，进而分析可得答案．
本题考查命题真假的应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．
21.【答案】解：由已知得：，
候车区宽为：，
则，；
，
即，当且仅当，即时取到最小值元．
由可知：，
即，
解得：．
故所需总费用不超过元时，．
【解析】由题意直接写出表示为的函数，再由基本不等式求最值；
由总费用不超过元列不等式，求解不等式可得的范围．
本题考查函数模型的性质及应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
22.【答案】解：因为，，
所以，，则集合不满足性质，
所以，，则集合不满足性质．
，且，，
要使取最大，则，，
当时，，则不满足性质，
要使取最大，则，，
当时，，则不满足性质，
当时，，则不满足性质，
当时，则满足性质，
则使得取最大，可得，，，
若集合满足性质，则的最大值为．
【解析】本题解决本题的关键是，通过第一问的两个集合判定是否满足性质，可得到结论为若集合中的三个数满足或四个数满足时，集合不满足性质，从而对集合中的运算进行检验判断．
本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．
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