2023-2024学年吉林省长春市榆树市九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市榆树市九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.计算的结果是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列各组图形不是相似图形的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，直线，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、若，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是( )
A. 正方体 B. 圆柱
C. 圆锥 D. 球
7.某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，张老师告诉小丽总共要进行场比赛，小丽想通过列方程求出参与比赛的班级数．设参与比赛的班级有个，则所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
8.如图，抛物线的顶点在的边所在的直线上运动，的顶点的坐标为，点的坐标为，若抛物线与的边、都有公共点，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9.若，则化简的结果为______．
10.若，则______．
11.一元二次方程根的判别式的值是______．
12.某数学兴趣小组学习“用频率估计概率”知识后，在对某品种蔬菜的发芽情况进行试验后，并将试验结果制成如下的表格：
试验次数
发芽次数
发芽频率
据此估计这批蔬菜种子发芽的概率是______精确到．
13.最简二次根式与是同类二次根式，则 ______ ， ______ ．
14.如图，在中，，点、是边上的点，点在边上，连结、，将分别沿直线和折叠，使点、的对称点重合在边上的点处．若，，则的长是______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
15.先化简，然后从，，中选取一个的合适的数作为的值代入求值．
四、解答题（本大题共11小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
解下列方程：
．
．
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
如图所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味图是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．
19.本小题分
某社区组织，，，四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
王明被安排到小区进行服务的概率是______．
请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
20.本小题分
如图，图、图、图均为的正方形网格，线段的端点均在格点上，按要求在图、图、图中各画一条线段，将线段分为：两部分．
要求：
所画线段的位置不同．
点、均在格点上．
21.本小题分
如图，在中，，，求的三个三角函数值．
22.本小题分
如图，已知抛物线经过，两点．
求抛物线的解析式和顶点坐标．
当时，直接写出的取值范围．
23.本小题分
年某县总量为亿元，计划到年全县总量实现亿元的目标．如果每年的年平均增长率相同，求该县这两年总量的年平均增长率是多少？
24.本小题分
如图，为了测量旗杆的高度，在离旗杆底部米的处，用高米的测角仪测得旗杆顶端处的仰角为求旗杆的高．精确到米
参考数据：，，
25.本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，直线的函数表达式为．
求二次函数的表达式及顶点坐标；
求时的取值范围；
点是线段上任意一点不含端点，过点作轴的平行线交二次函数图象交于点，若点的横坐标，求为何值时，线段有最大值，最大值是多少．
26.本小题分
在函数的学习过程中，我们经历“画函数图象一利用函数图象研究其性质一运用函数图象解决问题”的学习过程．
下面根据学习函数的过程和方法，探究分段函数的相关性质和应用．
在如图所示的平面直角坐标系中，画出了分段函数图象的一部分，补全该分段函数的图象．
写出该分段函数的一条性质：______；
直线与该分段函数的图象有个交点，则的取值范围是______；
若该分段函数图象上有两点，且，则的取值范围是______；
当时，函数值的取值范围为，当取某个范围内的任意值时，为定值，直接写出满足条件的的取值范围及其对应的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据有理数的乘法法则，．
故选：．
根据有理数的乘法法则解决此题．
本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为，，．
故选：．
根据二次项系数，一次项系数及常数项的定义得到结果即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意；
C.形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
故选：．
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
5.【答案】
【解析】解：直线，
，
，
，
故选：．
由直线，得到，代入数据即可得到结论．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确应用平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：俯视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B.俯视图与主视图都是长方形，故选项B不合题意；
C.俯视图是圆，主视图是三角形；故选项C符合题意；
D.俯视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：．
从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．
此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
7.【答案】
【解析】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，，
故选：．
赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，个球队比赛总场数，由此可得出方程．
本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
8.【答案】
【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
直线为，
抛物线的顶点为，
，
抛物线的解析式为
当抛物线经过点时．
将代入得：，解得：，．
当抛物线经过点时，
将代入得：，整理得：，解得：，．
综上所述，的范围是．
故选：．
求得直线为，然后由抛物线的顶点在直线可求得，于是可得到抛物线的解析式为，由图形可知当抛物线经过点和点时抛物线与菱形的边、都有公共点，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式可求得的值，从而可判断出的取值范围．
本题主要考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边、均有交点时抛物线经过的“临界点”为点和点是解题解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
直接利用二次根式的化简的知识求解即可求得答案．
此题考查了二次根式的化简．注意．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
解得：，
则，
故．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的值是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：，，，
．
所以一元二次方程根的判别式的值为．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式即可求出值．
本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
12.【答案】
【解析】解：由题知，试验次数越多，发芽频率在，
这批蔬菜种子发芽的概率是，
故答案为：．
应用用频率估计概率的方法得出结果即可．
本题主要考查频率和概率的关系，熟练掌握频率和概率的关系是解题的关键．
13.【答案】；
【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，，
解得：，，
故答案为：，．
根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是明确同类二次根式的定义．
14.【答案】
【解析】解：，
，
由翻折可知：，，
，
，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得，
．
故答案为：．
根据翻折的性质证明，设，则，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
15.【答案】解：原式
．
，
，，
当时，原式．
答：原式的值为．
【解析】首先化简分式时，有公因数式就先提取公因数式，括号里分式的加减法，先通分，找到最小公分母是，则原式可以化简为注意整个过程中分母不能为，即，所以，将代入求解得．
此题考查了分式的化简和增根，在计算的时候需要考虑分母不为这种情况．
16.【答案】解：，
，
解得，；
，
，
则，即，
，
，．
【解析】利用因式分解法求解即可；
利用配方法求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】原式化简后，合并即可得到结果；
原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：连接，
过圆心，为的中点，
，
，为的中点，
，
设圆的半径为分米，则分米，
，
，
在中，，
，
分米，
答：拱门所在圆的半径是分米．
【解析】连接，根据垂径定理求得，设圆的半径为分米，则，，根据勾股定理即可求得．
本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．
19.【答案】
列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为．
【解析】解：王明被安排到小区进行服务的概率是，
故答案为：；
见答案。
根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：如图，线段即为所求．

【解析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
21.【答案】解：在中，，，，
，
，，．
【解析】在中先利用勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义求出的三个三角函数值．
本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在中，，则，，．
22.【答案】解：将点，代入，得
，解得：，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的顶点坐标为．
由图可知，当时，．
【解析】将点、点代入抛物线解析式，求得与的值，然后得到函数的解析式与顶点坐标；
结合函数图象直接得到时的取值范围．
本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和二次函数的性质，解题的关键是熟知函数与不等式的关系．
23.【答案】解：设该县这两年总量的平均增长率为，根据题意，
得：，
解得：舍，，
答：该县这两年总量的平均增长率为．
【解析】设该县这两年总量的平均增长率为，根据：年某县总量增长百分率年全县总量，列一元二次方程求解可得．
本题主要考查一元二次方程的应用，关于增长率问题：若原数是，每次增长的百分率为，则第一次增长后为；第二次增长后为，即：原数增长百分率后来数．
24.【答案】解：过点作交于，
则米，
在中，有米，
米
故BC米，
答：旗杆的高度约为米．
【解析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形，解其可得的长，进而借助可解即可求出答案．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
25.【答案】解：二次函数的图象过点，，
，解得，
二次函数的解析式为；
，
顶点坐标为；
的对称轴为直线，
与关于直线对称，
．
由图象可知，时的取值范围或；
将，代入直线的函数解析式，
得，解得，
直线的函数解析式．
则，，
，
，
当时，有最大值．
【解析】将，代入，得到关于、的二元一次方程组，求解即可得到二次函数的解析式；再利用配方法把一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
先根据抛物线的对称性求出点坐标，根据图象即可求得；
利用待定系数法求出直线的函数解析式，则，，用含的代数式表示，然后根据二次函数的性质即可求出的最大值．
本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
26.【答案】当时，随的增大而增大答案为唯一 或 或
【解析】解：根据图象可知，当时，随的增大而增大答案为唯一，
故答案为：当时，随的增大而增大答案为唯一；
由函数图象可知，当或时，线与该分段函数的图象有个交点，
直线与该分段函数的图象有个交点，则的取值范围是或，
故答案为：或，
是函数图象上的点，
，
，
，
由函数图象知，当时，或，
在函数图象上，
或，
故答案为：或；
由函数图象可知，若，，当时，函数值的取值范围为，
当时，函数值的取值范围为，当取某个范围内的任意值时，为定值，则，．
根据函数图象进行解答便可；
观察函数图象，根据函数图象的特征进行解答便可；
根据函数图象解答便可；
根据函数图象解答便可．
本题考查了分段函数图象，根据函数图象的信息解题是本题的关键．
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