3.1.1椭圆及其标准方程（第1课时） 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
3.1.1 椭圆及其标准方程（第1课时）
第 三 章 圆锥曲线的方程
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
01情景导入
PART ONE
情境导入
生活中的椭圆
情境导入
椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。
02椭圆的标准方程
PART ONE
椭圆的标准方程
取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1,F2 ，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
动画演示
椭圆的标准方程
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数。
把平面内与两个定点F1F2的距离的和等于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
由椭圆的标准定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆。
椭圆的标准方程
注意:
（1）必须在平面内;
（2）常数——轨迹上任意点到
两定点距离和确定. (常记作2a)
1 .椭圆定义：
　　平面内与两个定点F1F2的距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
集合语言表示：P＝{M| ,2a＞|F1F2|}
|MF1|＋|MF2|＝2a
椭圆的标准方程
思考：
(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
线段F1F2
轨迹不存在
动画演示
椭圆的标准方程
探究：根据椭圆的形状，我们怎样建立坐标系可能使椭圆的方程形式简单呢？你能推导出椭圆的标准方程吗？
如果椭圆的焦点为，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足 ，其中a>c>0. 以 所在直线为 轴，线段的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
此时,椭圆的焦点分别为（ ,0）,,
=2 ①
椭圆的标准方程
将其左边一个根式移到右边，得 =2 ， ②
两边平方，得 =
整理得 = ③
对方程③两边平方，得 =
整理得 ， ④
将方程④两边同除以 ，得 。⑤
由椭圆的定义可知 a>c>0 ，所以>0.
椭圆的标准方程
思考：观察下图，你能从中找出表示 ，的线段吗？
由图可知，=，==c ,
令 ,那么方程⑤就是
(a>b>0) ⑥
我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程。它表示焦点在 x 轴上，两个焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0)的椭圆，这里c2=a2+b2
x
y
O
(x,y)
F1
F2
P


椭圆的标准方程
思考: 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么
F1
F2
M


x
y
O
(焦点在y轴上)
容易知道，此时椭圆的方程是
椭圆的标准方程
b2＋c2
椭圆的标准方程
原点
坐标轴
03求椭圆的标准方程
PART ONE
椭圆的标准方程
焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上．
椭圆的标准方程
例1
解1: (定义法)
椭圆的标准方程
解2: (待定系数法)
椭圆的标准方程
【方法说明】
(3) 求椭圆的标准方程，要先定“位”，
1. 求椭圆标准方程的主要方法有：
a, b, c 满足的关系有：
根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值.
用定义寻找a, b, c的方程；
(1) 定义法：
(2) 待定系数法：
待定系数法更为常用，是解此类问题的通法.
即求 a, b 的大小 .
即确定焦点的位置；
其次是定“量”，
椭圆的标准方程
练习.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；
(3)经过两点(2，－)，.
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝3，
所以椭圆的标准方程为.
椭圆的标准方程
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，
解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4. 所以椭圆的标准方程为 ＝1.
法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32. 所以椭圆的标准方程为 ＝1.
椭圆的标准方程
(3)法一：①若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为(a＞b＞0)．
由已知条件得 解得 所以所求椭圆的标准方程为＝1.
②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得 解得 则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＝1.
椭圆的标准方程
(3)法二：设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的方程，
得 解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1＝1.
椭圆的标准方程
【类题通法】
1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程 ＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0).
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
2．求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为 ＝1(m>0，n>0，且m≠n)．再根据条件确定m、n的值．
3．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．将点的坐标代入解方程组求得系数．
椭圆的标准方程
例2.若方程＝1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．－9
解析：依题意可得 解得 C
椭圆的标准方程
A
椭圆的标准方程
D
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程
随堂练习
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程．
两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；
变式1：两个焦点的坐标分别是(0,-4)、(0,4),椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；
变式2：两焦点距离是8，椭圆上一点P到两焦点距离之和为10.
04课堂小结
PART ONE
课堂小结
1.椭圆的定义
2.椭圆的标准方程
3.椭圆标准方程的应用