2023-2024学年陕西省咸阳市武功县重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省咸阳市武功县重点中学高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
4.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
5.满足条件的所有集合的个数是( )
A. B. C. D.
6.设：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.设，为正数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知集合，，若，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
10.给出下列选项，其中正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知关于的不等式的解集为，则( )
A.
B.
C.
D. 不等式的解集为
12.若，，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知集合，则______．
14.若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系集合的个数为______个．
15.下列命题：
“且”是“”的充要条件；
“”是“不等式解集为”的必要不充分条件；
“”是“”的既不充分也不必要条件；
设，，则“”是“”的充分不必要条件．
其中真命题的序号为______．
16.已知圆和四边形四个角均为直角的周长相等，面积分别为，，则的最小值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知非空集合，，
当时，求，；
求能使成立的的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若关于的不等式的解集为，求，的值；
当时，解关于的不等式．
19.本小题分
已知全集为实数集，集合，．
若，求图中阴影部分的集合；
若，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知命题：，为假命题．
求实数的取值集合；
设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合．
21.本小题分
已知，，且．
求的最大值；
求的最小值．
22.本小题分
已知，若关于的不等式的解集是．
求不等式的解集；
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，得，，
所以．
故选：．
化简集合，根据交集运算求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：“，”的否定是，．
故选：．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，，结合不等式的加法法则可得，故A错误，B正确；
结合不等式的乘法法则，，可得，故C、D错误．
故选：．
根据不等式的性质进行判断．
本题主要考查了不等式的基本性质，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意集合，，
又因为，且全集，
所以，解得，
但当时，集合违背了元素之间的互异性，
而当时，集合，，满足题意，
综上所述：．
故选：．
根据，由集合相等的定义列方程求出的值，结合集合元素的互异性求出的值，即可得到本题的答案．
本题主要考查了集合的表示法、集合的补集集运算等知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意知一定包含，两个元素，可能含有，，，，中的个、个、个或个元素，
所有集合的个数是：．
故选：．
根据题意求集合的真子集个数即为所有集合的个数．
本题考查了子集和真子集的定义，真子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：若，则，，所以，
所以，所以是的充分条件；
若，不妨取，不满足，
所以不是的必要条件，故是的充分不必要条件．
故选：．
由充分条件和必要条件的定义结合题意求解即可．
本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意，为正数，且，
则
，当且仅当，结合，即时等号成立，
即的最小值为．
故选：．
将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意当时，不等式恒成立，
则恒成立，
只需即可．
易知当时，由基本不等式可得需，
当且仅当时取等号；
所以，即，
所以的取值范围是．
故选：．
将与自变量进行分离，利用基本不等式求得最值即可得出的取值范围．
本题考查用变量分离分离方法求参数取值范围，需要熟练应用基本不等式，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：集合，，且，
当时，，符合题意，
当时，若，则，得，
若，则，满足条件的不存在，
若，则，满足条件的不存在，
若，即的两根为和，则，满足条件的不存在．
综上所述，实数的取值范围是或，对照各选项可知只有符合．
故选：．
根据题意是的子集，从而分和两种情况讨论集合中的方程解的情况，即可求解．
本题主要考查了集合的包含关系、集合的包含关系及其应用等知识，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：是为元素的集合，所以，故A错误；
是为元素的集合，所以，又空集是任何集合的子集，故BC正确；
空集是任何非空集合的真子集，故D正确．
故选：．
空集与集合之间的关系即可判断．
本题考查空集与集合之间的关系，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由关于的不等式的解集为，可得，选项A正确；
对于，易知和是方程的两个不等实根，所以，又，所以，选项B正确；
对于，令，则，所以不满足，
将代入可得，即，所以选项C错误；
对于，由、分析可知，即，又，
所以不等式可化为，也即，解得，
因此不等式的解集为，选项D错误．
故选：．
利用一元二次不等式的解集可知，且和是方程的两个不等实根，再利用根与系数的关系即可得解．
本题考查了一元二次不等式与对应方程应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，且，
所以，
所以，
根据二次函数性质可知，当时，取最小值，故有成立，A正确；
B.因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，故B正确．
：因为，当且仅当时取等号，
所以，C正确；
：，当且仅当时取等号，D错误．
故选：．
由已知结合二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．
本题主要考查了二次函数的性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】或或
【解析】解：，，若或，则或．
当时，，即，解得或舍去，此时或，
当时，，即，解得，，
所以或或，
故答案为：或或，
根据，利用集合元素的互异性，分别求出与即可．
本题考查集合元素的互异性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由和，和，，组成集合，和，和都以整体出现，
有个集合
集合为非空集合，有个
故答案为：
本题关键看清楚和本身也具备这种运算，这样由，，和，和四“大”元素组成集合
若把集合中元素改为，答案是什么同学们可以再做一遍，若把去掉结果又如何？本类问题通常以选择和填空出现，考查集合和元素之间的关系，有时也出现在以其他知识为背景的综合题中，渗透集合的思想，体现基础性与应用性
15.【答案】
【解析】解：对于，当且时，可得出，充分性成立，当时，不能得出且，必要性不成立，是充分不必要条件，错误；
对于，时，不等式解集不一定为，充分性不成立；不等式解集为时，有且，且，必要性不成立，是既不充分也不必要条件，错误；
对于，若，则或，故充分性不成立，若，则，故必要性成立，“”是“”的必要不充分条件，故错误；
对于，由，则且，故充分性成立，由得不到，必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故正确；
故答案为：．
根据充分必要条件的定义对四个命题逐一进行判断．
本题考查了充分必要条件的判断，命题的真假判断，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设圆的半径为，长方形的长为，宽为，周长为，则：，，
，
，当且仅当时等号成立，
的最小值为．
故答案为：．
可设圆的半径为，长方形的长为，宽为，周长为，然后得出，，然后求出，根据基本不等式即可求出的最小值．
本题考查了圆的周长和面积公式，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：当时，集合，，
求，
．
非空集合，，，
，
，，解得．
的取值范围是．
【解析】本题考查集合、交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、子集等基础知识，考查运算求解能力．
当时，集合，，由此能求出和．
由非空集合，，，得，由此能求出的取值范围．
18.【答案】解：由题设条件可知：关于的方程的两个根为和，
，解得：，；
当时，原不等式可化为：，即，
当时，解得：或；
当时，解得：；
当时，解得：或；
综上可知，当时，原不等式的解为；
当时，解得：；
当时，原不等式的解为．
【解析】先由二次函数与二次不等式的关系关于的方程的两个根为和，再由韦达定理得到关于，的方程组，然后求解出，即可；
由题设条件对分类讨论分别求解出原不等式的解即可．
本题主要考查二次函数与二次不等式之间的关系及含参不等式的解法，属于中档题．
19.【答案】解：时，，由图知，，
因为，所以或，
所以．
当时，，解得，此时成立；
当时，，解得，
因为，所以，解得，
所以；
综上可得，实数的取值范围是．
【解析】由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合即可．
讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围．
本题考查补集、子集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：当时，原式为，此时存在使得，故不符合题意，舍去；
当时，要使：，为假命题，此该一元二次方程无实数根，
所以，，
故A；
由题意可知是的真子集；
当时，；
当时，，
所以的取值范围是或，
【解析】根据一元二次方程无解，即可由判别式求解，
根据集合的包含关系，即可分类讨论求解．
本题考查集合的应用，考查简易逻辑，属于基础题．
21.【答案】解：因为，，且，
由基本不等式，得，解得，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最大值为；
，
当且仅当且，即，时取等号，
此时取最小值．
【解析】由已知结合基本不等式即可直接求解；
，然后结合基本不等式即可直接求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
22.【答案】解：由题意得和是的两根，
所以，解得，
不等式即为，
解得或，
即不等式的解集为．
由可知在上恒成立，
即在上恒成立，
因为函数在上单调递减，
所以当时取得最小值为，
所以，
即实数的取值范围为．
【解析】由题意得和是的两根，由根与系数的关系即可求出，所求不等式转化为，求解即可；
采用分离参数法将不等式恒成立问题转化为最值问题，进而求出实数的取值范围．
本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系及不等式的恒成立与最值求解的相互转化，体现了转化思想的应用，属于中档题．
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