矩形的性质
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文档简介
课件27张PPT。矩形的性质 年级：八年级
学科：数学
课型：新授
授课：李祥翠 创设情境，引入新课 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片,想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？90°什么图形？教学目标：
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形 叫做矩形，通常也叫长方形。定义中的两个条件一个角是直角平行四边形 矩形是我们最常见的图形之一，例如 门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等都有矩形形象．想一想矩形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？ 师生互动，理解新知【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状． ① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？ 矩形性质1 矩形的四个角都是直角 已知：四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° A D
B C证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90° AD∥BC
∴∠A+∠B=180°
∴∠B=90°
∵∠A=∠C ∠B=∠D
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°矩形性质2 矩形的对角线相等已知：四边形ABCD是矩形
求证：AC=BDA D
B C证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠BCD=90° AB=CD
在 △ABC和 △BCD中
AB=CD
∠ABC=∠DCB
BC=CB
∴△ABC ≌△DCB
∴ AC=BD练一练1. 如图，四边形ABCD是矩形，找出相等的线段和相等的角。 解： 相等的线段有：
AB=CD AD=BC AC=BD
OA=OB=OC=OD
相等的角有：
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB
∠OAB=∠ABO ∠OBC=∠OCB
∠DAO=∠ADO ∠ODC=∠OCD
2. 过矩形ABCD的定点A作对角线BD的垂线，垂足为E，若BE=3.5，ED=10.5，求AB的长。A D
O
B C解: 连接AC交BD于O
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=1/2BD OA=OC=1/2AC
∵AC=BD
∴OA=OB
∵BE=3.5 DE=10.5
∴BD=14
∴OB=OD=7
∴OE=7-3.5=3.5
∴OE=BE
∵AE⊥BD
∴AB=OA
∵OA=OB
∴OA=OB=AB
∴△AOB是等边三角形
∴AB=7OE例1已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOB=60°，AB=4cm。
求矩形对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC= AC
OB=OD= BD
∵AC=BD
∴OA=OB
∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴OA=AB=4㎝
∴AC=BD=2OA=8㎝ 在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=1/2AC=1/2BD．
因此可以得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 A D
O
B C练一练 如果矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为120度，求矩形的边长。 A D
O
B C解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=1/2AC OB=OD=1/2BD
∵AC=BD
∴OA=OB
∵∠AOB=180°-120°=60°
∴△AOB是等边三角形
∴∠BAC=60° AB=OA=4㎝
∵∠ABC=90°
∴∠ACB=90°-60°=30°
在Rt△ABC中,根据勾股定理得
BC=4
∴矩形各边的长分别为4 ㎝,4㎝, 4 ㎝,4㎝尝试练习，感受新知1．填空
（1）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为________、________、________、 ________．
（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为________cm，________cm，________cm，________cm． 60°120°60°120°5 5 2．选择
（1）下列说法错误的是
（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有
（A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对
（3）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=
A. B. C. D.2 CAD3. 已知BD,CE是△ABC的两条高，M,N分别是BC,DE的中点，
求证：（1）EM=DM
（2）MN⊥DE证明:
（1）连接EM DM
∵BD,CE是△ABC的高
∴∠BEC=∠BDC=90°
∵M是BC的中点
∴EM=1/2BC DM=1/2BC
∴EM=DM
（2）∵EM=DM N是ED的中点
∴MN⊥DE 课堂小结，梳理新知这节课我们学习了什么？
大家有哪些收获？深化练习，巩固新知1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（ ）．
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
2. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
3. 矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．
4. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．
5. 如图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）．
（A）98 （B）196 （C）280 （D）284
6.如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．
7.如图3,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．若矩形ABCD的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______图1图2图38. 已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长．9. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的中点F处，折痕为AE。
求CE的长．10. 已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．
求 AD的长及点A到BD的距离AE的长．A D
E
B C开放练习，拓展新知阅读下列过程:
如图①，小肖过AB，CD的中点画直线EF，把矩形ABCD分割成甲、乙两部分．
如图②，小徐过A，C两点画直线AC，把矩形ABCD分割成丙、丁两部分．
回答下列问题：
（1）填空：S甲_____S乙，S丙_____S丁（填“〉”或“〈”或“＝”）；
（2）根据小肖、小徐的分割原理，你还能探索出其他的分割方法吗？请在图③中任意给出一种；
（3）由本题的操作过程，你发现了什么规律？ Thank you
学科：数学
课型：新授
授课：李祥翠 创设情境，引入新课 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片,想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？90°什么图形？教学目标：
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形 叫做矩形，通常也叫长方形。定义中的两个条件一个角是直角平行四边形 矩形是我们最常见的图形之一，例如 门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等都有矩形形象．想一想矩形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？ 师生互动，理解新知【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状． ① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？ 矩形性质1 矩形的四个角都是直角 已知：四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° A D
B C证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90° AD∥BC
∴∠A+∠B=180°
∴∠B=90°
∵∠A=∠C ∠B=∠D
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°矩形性质2 矩形的对角线相等已知：四边形ABCD是矩形
求证：AC=BDA D
B C证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠BCD=90° AB=CD
在 △ABC和 △BCD中
AB=CD
∠ABC=∠DCB
BC=CB
∴△ABC ≌△DCB
∴ AC=BD练一练1. 如图，四边形ABCD是矩形，找出相等的线段和相等的角。 解： 相等的线段有：
AB=CD AD=BC AC=BD
OA=OB=OC=OD
相等的角有：
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB
∠OAB=∠ABO ∠OBC=∠OCB
∠DAO=∠ADO ∠ODC=∠OCD
2. 过矩形ABCD的定点A作对角线BD的垂线，垂足为E，若BE=3.5，ED=10.5，求AB的长。A D
O
B C解: 连接AC交BD于O
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=1/2BD OA=OC=1/2AC
∵AC=BD
∴OA=OB
∵BE=3.5 DE=10.5
∴BD=14
∴OB=OD=7
∴OE=7-3.5=3.5
∴OE=BE
∵AE⊥BD
∴AB=OA
∵OA=OB
∴OA=OB=AB
∴△AOB是等边三角形
∴AB=7OE例1已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOB=60°，AB=4cm。
求矩形对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC= AC
OB=OD= BD
∵AC=BD
∴OA=OB
∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴OA=AB=4㎝
∴AC=BD=2OA=8㎝ 在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=1/2AC=1/2BD．
因此可以得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 A D
O
B C练一练 如果矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为120度，求矩形的边长。 A D
O
B C解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=1/2AC OB=OD=1/2BD
∵AC=BD
∴OA=OB
∵∠AOB=180°-120°=60°
∴△AOB是等边三角形
∴∠BAC=60° AB=OA=4㎝
∵∠ABC=90°
∴∠ACB=90°-60°=30°
在Rt△ABC中,根据勾股定理得
BC=4
∴矩形各边的长分别为4 ㎝,4㎝, 4 ㎝,4㎝尝试练习，感受新知1．填空
（1）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为________、________、________、 ________．
（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为________cm，________cm，________cm，________cm． 60°120°60°120°5 5 2．选择
（1）下列说法错误的是
（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有
（A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对
（3）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=
A. B. C. D.2 CAD3. 已知BD,CE是△ABC的两条高，M,N分别是BC,DE的中点，
求证：（1）EM=DM
（2）MN⊥DE证明:
（1）连接EM DM
∵BD,CE是△ABC的高
∴∠BEC=∠BDC=90°
∵M是BC的中点
∴EM=1/2BC DM=1/2BC
∴EM=DM
（2）∵EM=DM N是ED的中点
∴MN⊥DE 课堂小结，梳理新知这节课我们学习了什么？
大家有哪些收获？深化练习，巩固新知1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（ ）．
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
2. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
3. 矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．
4. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．
5. 如图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）．
（A）98 （B）196 （C）280 （D）284
6.如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．
7.如图3,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．若矩形ABCD的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______图1图2图38. 已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长．9. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的中点F处，折痕为AE。
求CE的长．10. 已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．
求 AD的长及点A到BD的距离AE的长．A D
E
B C开放练习，拓展新知阅读下列过程:
如图①，小肖过AB，CD的中点画直线EF，把矩形ABCD分割成甲、乙两部分．
如图②，小徐过A，C两点画直线AC，把矩形ABCD分割成丙、丁两部分．
回答下列问题：
（1）填空：S甲_____S乙，S丙_____S丁（填“〉”或“〈”或“＝”）；
（2）根据小肖、小徐的分割原理，你还能探索出其他的分割方法吗？请在图③中任意给出一种；
（3）由本题的操作过程，你发现了什么规律？ Thank you