万源市重点中学2023-2024学年高一上学期10月第一次月考
数 学
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
6.已知正数满足，则的最小值为（ ）
A.2 B. C. D.5
7.今有一坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放
在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a，b，设物体真实质量为G，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得
5分，部分选对得2分，有错选的得0分）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
16.已知关于的不等式组仅有一个整数解，则a的取值范围为 .
20.（12分）已知a，b为正实数，且ab+2a+b=6.
（1）求ab的最大值；
（2）求a+b的最小值
21.（12分）（1）若，求关于的不等式的解集；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
22.（12分）
2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）求调整后企业对全部技术人员的年总投入和对全部研发人员的年总投入的表达式.
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入
方面要同时满足以下两个条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总
投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整前的水平．请问是否存在这样的实
数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．2026 届第一次月考（高一上） 数学答案
1-5 ABDAA 6-8BCB
9.AB 10.AC 11.AC 12.BCD
13（. ， 1] (1, ) ; 14. 1;
15.a<-2; 16[ 5,3) (4,5]
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. ...........................................................................................（6 分）
描述清楚即可，不必有综上所述
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（2）解法一
.................................................................................................................（12 分）
解法二在讲解时注意区间处理为
22.2022 年 8 月 9 日，美国总统拜登签署《2022 年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短
期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新更强的爆发力
a 0
和持久动力．某企业原有 400名技术人员，年人均投入 a万元 ，现为加大对研发工作的投入，
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该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 x名（ x N且100 x 275），调整
2x
4x % a m
后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 25 万元．
1 f x g x （ ）求调整后企业对全部技术人员的年总投入 和对全部研发人员的年总投入 的表达式.
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足
以下两个条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入
始终不低于调整前的水平．请问是否存在这样的实数 m，满足以上两个条件，若存在，求出 m 的范
围；若不存在，说明理由．
f x ax m 2x a 25
2
x N 100 x 275 g x x 15ax 400a【答案】（1） ， 且 ， 25 x N， 且
100 x 275
2 m m 23 （ ）存在这样的 满足以上两个条件， 的范围为 .
【解析】
f x ax m 2x 4x g x a 1 25 100 400 x 【分析】（1）依题意可得 ， 整理即可得解；
m 400 x 15 m 2x 1
（2）由条件①得 x 25 ，由条件②得 25 ，假设存在m 同时满足以上两个条件，则上述不等
m 23
式恒成立，进而求得 23 m 23，即m 23，故确定存在m ，且 .
【小问 1 详解】
f x ax m 2x
25 x N 100 x 275 由题意得， ， 且 ，.............................................................（2 分）
g x a 1
4x
400 x
a
x2 15ax 400a
100 25 x N 100 x 275 ， 且 ...............................(4 分）
（定义域未写或写错扣 1 分）
【小问 2 详解】
a
x2 15ax 400a ax m 2x m 400 x
400 x
15 m
15
① x 25
由条件 得： 25 25 ，整理得 x 25 ，则 min，
400 x
15 2 400 x 15 23 400 x
因为 x 25 x 25 ，当且仅当 x 25，即 x 100时等号成立，所以m 23；
.......................................................................................................................................................................（8 分）
a 2x m a
2x
由条件②得： 25
m 1
，解得 25 ，
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2x
1
因为100 x 275，当 x 275时， 25 取得最大值 23，所以m 23；
.........................................................................................................................................................................(11 分）
23
综上所述，存在这样的m 满足以上两个条件，m的范围为 .............................................................(12 分）
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