温州市重点中学2023-2024学年高一上学期第一次月考
数学试卷
考生须知：
1．本卷共4页满分120分，考试时间100分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．设命题，，则为（ ）
A．，或 B．，
C．， D．，
5．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若不等式对一切实数都成立，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正数a，b满足，则最小值为（ ）
A．25 B． C．26 D．19
8．设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错不给分.
9．下列命题为真命题的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．如果，那么 D．，则
10．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A． B． ，
C． D．
11．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
12．函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则有（ ）
A． B．在单调递增 C． D．
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增，的值可以是 .（写一个即可）
14．规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为 .
15．已知函数对定义域内的任意实数满足，则 .
16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如则点集所表示的平面区域的面积是 .
四、解答题：本大题共4小题，共40分。
17．已知，，
(1)当a＝1时，求和；
(2)若，求实数的取值范围．
18．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车 雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车 雪橇 高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？.
19．已知定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式;
(2)判断的单调性（并用单调性定义证明）;
(3)解不等式.
20．已知函数.
(1)讨论函数的奇偶性（写出结论，不需要证明）；
(2)如果当时，的最大值是，求的值参考答案：
1.A
2.B
【分析】依题意可得，求解即可.
【详解】依题意可得，解得，
所以函数的定义域是.
故选：B.
3．D
【分析】先解不等式得或，找“”的一个充分不必要条件，即找集合 或的真子集，从而选出正确选项.
【详解】由解得或，
找“”的一个充分不必要条件，即找集合或的真子集，
或，
“”的一个充分不必要条件是.
4．A
【分析】根据命题的否定的定义即可得到答案.
【详解】根据命题的否定得任意变存在，结论相反，
故为，或，
故选：A
5．D
【分析】由于为偶函数，所以，然后由在上是增函数比较大小即可.
【详解】因为为偶函数，所以，
因为在上是增函数，且，
所以，所以，
故选：D
6．C
【分析】将不等式对一切实数都成立分为和两种情况进行分类讨论即可求得结果.
【详解】因为不等式对一切实数都成立，
所以当时，不等式对一切实数都成立，满足题意；
当时，显然时，二次函数开口向上，
不等式对一切实数不恒成立，不满足题意；
所以，且，解得；
综上可知的范围是；
故选：C
7．A
【分析】先进行化简得，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正数a，b满足，
所以
，当且仅当，联立，
即时等号成立，
故选：A.
8．B
9．BCD
【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立.
【详解】对于A，令，，则，故A错误.
对于B，因为，所以，故B正确.
对于C，由于 ，同乘以，
得，又，所以，故C正确.
对于D，若，则，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
10．ACD
【分析】通过函数的定义域，对应法则是否一致进行判断.
【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于B，因为时，；时，；所以表示同一函数；
对于C，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于D，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
故选：ACD.
11．ABD
【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解.
【详解】由于不等式的解集为，
所以和是的两个实数根，
所以，故，
，故AB正确，
对于C,不等式为，故，故C错误，
对于D, 不等式可变形为，
解得，故D正确，
故选：ABD
12．AC
【分析】由抽象函数的性质一一判定即可.
【详解】∵是奇函数，∴，
∴，故C正确；
又，
故，
即是的一个周期，故A正确；
由是奇函数知关于中心对称，即函数在上的单调性与上的单调性一致，
由，则时，，显然此时函数单调递减，即B错误；
由上可知：，故D错误.
故选：AC.
13．（答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质确定出值作答.
【详解】由偶函数在上单调递增，得在上单调递减，
而是幂函数，则，取，符合题意.
故答案为：
14．-1
15．
16．4
【分析】根据定义有或，分别确定出所在区域，然后可求得面积．
【详解】根据定义有或，
，则，这是一个边长为1的正方形，面积为1，
同理，，也都形成一个边长为1的正方形，面积都是1，
所以，
故答案为：4．
17．(1)，或
(2)或
【分析】（1）先化简集合，再根据并集和补集的概念直接求解即可；
（2）由，可得，利用集合的包含关系列不等式组求解即可.
【详解】（1）由解得：，故，
当时，，
所以，或.
（2）因为，所以，
当时，，解得，满足；
当时，，解得，
所以实数的取值范围为或.
18．(1)
(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元
【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.
【详解】（1）当时，；
当时，.
所以
（2）当时，.
当时，取得最大值，且最大值为950.
当时，当且仅当时，等号成立.
因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.
19．(1)
(2)函数在上单调递增，证明见解析；
(3)
【分析】（1）由题意得，又，求解、，即可得出答案；
（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，通分、因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可，需注意函数的定义域.
【详解】（1）定义在上的奇函数，则，即，解得，
又，即，解得，
，经检验符合题意；
（2）函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，
则
，
因为，则，，
故，即，
因此函数在上是增函数.
（3），，
，解得，不等式的解集为．
20．【答案】(1)答案见解析
(2)1或3
【分析】（1）对进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.
（2）将表示为分段函数的形式，对进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得的值.
【详解】（1）当时，＝，则＝＝，即为奇函数，
当时，＝，，
，则不是奇函数，
，则不是偶函数，
∴当时是奇函数，当时，是非奇非偶函数.
（2）由题设，，
函数的开口向上，对称轴为；
函数的开口向下，对称轴为.
1、当，即时，在上是增函数，
∵，∴在上是增函数；
2、当，即时，在上是增函数，
∵1，∴在上是增函数；
∴或，在上的最大值是，
解得（舍去）或；
3、当，即时，在上为增函数，
令，解得或（舍去）.
综上，的值是1或3.
答案第6页，共8页
