第11章 三角形（含解析）2023-2024学年 人教版八年级上册数学新题速解
文档属性
| 名称 | 第11章 三角形（含解析）2023-2024学年 人教版八年级上册数学新题速解 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-25 17:50:49 | ||
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文档简介
2023年秋季学期人教版八年级数学新题速解：第11章--三角形
一、单选题
1．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，、的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
2．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在三角形内部时，与，之间的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（ ）
A．14 B．21 C．28 D．32
4．（2023秋·山东临沂·八年级临沂第九中学校考阶段练习）如图，是边的中线，点E在上，，的面积是3，则的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023秋·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）已知的三个内角满足，则这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．任意三角形 D．锐角三角形
6．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，是上一点，若为直角三角形，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2023秋·广东东莞·八年级东莞市东华初级中学校考阶段练习）如图，中，于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·湖北十堰·八年级校联考阶段练习）如图，点D，E分别在上，连接．若于D，，则的大小为（）
A． B． C． D．
9．（2023秋·陕西延安·八年级统考阶段练习）若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（ ）
A．14 B．28 C．24 D．20
10．（2023秋·山东临沂·八年级临沂第九中学校考阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，，的周长比的周长多2，则的长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
11．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2023秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图1，线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．其中正确的结论是（ ）
（1）在图1中；（2）在图2中“8 字形”的个数为 4；（3）图2中，当度，度时，度；（4）图2中和为任意角时其他条件不变．
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
13．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）多边形的内角和增加180°，则它的边数（ ）
A．增加1 B．增加2 C．增加3 D．不变
14．（2023秋·安徽淮南·八年级校联考阶段练习）以某公园西门为原点建立平面直角坐标系，东门
和景点的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图2，景点和分别在线段，上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图3，景点和分别在线段，上，景点在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列的大小关系正确的是（ ）
A． B．且
C． D．且
15．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，是的中线，是的中线．若的面积是12，则的面积是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
16．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，在五边形中，，分别是的外角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023秋·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于H，下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
18．（2023秋·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，，分别是的角平分线和高，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023秋·天津静海·八年级校考阶段练习）如图，在中，，和的平分线相交于点G，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，、的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③
二、填空题
21．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，点G为的三条中线的交点，，若
，则面积的最大值是 ．
22．（2023秋·陕西延安·八年级统考阶段练习）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为 ．
23．（2023秋·湖北随州·八年级校考阶段练习）如图，，分别是，的中点，若，则 ．
24．（2023秋·山东临沂·八年级临沂第九中学校考阶段练习）如图，在中，，点D、E分别是，上一点，将沿折叠，使点A落在点F处，已知，的度数 ．
25．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，和是的两个外角，若，则的度数为 .
26．（2023秋·陕西延安·八年级统考阶段练习）如图，正六边形和正五边形的边
重合，的延长线与交于点，则的度数是 ．
27．（2023秋·广东东莞·八年级东莞市东华初级中学校考阶段练习）在中，若，则 ．
28．（2023秋·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为，连接．若，，则的度数为 ．
29．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则 °．
30．（2023秋·内蒙古呼和浩特·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，D是边上一点，交于点F，若，，则的度数为 ．
三、解答题
31．（2023秋·陕西商洛·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，过点作交的延长线于点，点在边上，连接交于点．
若，求证：；(2)若，求的度数．
32．（2023秋·辽宁大连·八年级统考阶段练习）（1）如图，的外角和的平分线交于点F．用等式表示与的数量关系；
（2）如图，的平分线和的外角的平分线交于点H．用等式表示与的数量关系，并证明．
33．（2023秋·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形中，，平分，平分．求证．
34．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，与外角的角平分线相交于点.
(1)当，时，求的度数；(2)求证：.
35．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，是的中线，是的中线.
(1)若，求的长；(2)若的周长为，，且与的周长差为，求的长.
36．（2023秋·广东东莞·八年级东莞市东华初级中学校考阶段练习）在中，平分交于点D，
(1)求的度数；
(2)如图①，若于点F，交于点E．求的度数．
(3)如图②，若平分交于点E，交于点F，求的度数．
37．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图1，线段，相交于点，连接，，我们把形如图的图形称为“字形”.
(1)求证：；
(2)如图2，求的度数；
(3)如图3，平分，平分的邻补角，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由.
38．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，与分别是的角平分线和高．
(1)已知，，求度数；
(2)探究：小明认为如果只知道，也能得出的度数，你认为可能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
39．（2023秋·河北沧州·八年级校考阶段练习）如果一个角是另一个角的2倍，那么称是的“二倍角”．例如：，，则是的“二倍角”．已知在中，．
(1)若是的“二倍角”，则______；
(2)若的三个内角中，有一个角是另一个角的“二倍角”，则______；
(3)如图1，作的外角平分线，过点作的平行线．
①求证：是的“二倍角”；
②如图2，再作的角平分线，求证：是的“二倍角”．
40．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，BD平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点．
(1)如图，点在线段上运动．
①若，则的度数是 ；的度数是 ，
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点在线段上运动时，请直接写出与之间的数量关系．
参考答案：
1．C
【分析】根据三角形内角和定理对进行判断；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得到，则可对进行判断；根据平行线的性质对进行判断；先根据角平分线的性质得到，然后根据平行线的性质对进行判断．
【详解】解：，，
∴，所以正确；
、的平分线相交于，
∴，，
∴，所以错误；
∵，
∴，所以正确；
平分，
∴，
∵，
∴，所以错误；
综上分析可知，①③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，掌握以上基础知识是解本题的关键．
2．A
【分析】首先根据折叠性质可得，，利用邻补角可得，，在中，根据三角形内角和定理可得，整理即可得出结果．
【详解】解：如图
三角形纸片沿折叠，当点落在三角形内部，
，，
，，
，，
在中，，
，
整理得：，
故选：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠性质，邻补角定义，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键．
3．C
【分析】由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案．
【详解】解：是的中点，
，
是的中点，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用题中所给的条件，将面积进行转化是解此题的关键．
4．D
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出．
【详解】解：∵是边的中线，的面积是3，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
5．B
【分析】设，，，根据三角形内角和定理可得，求出的值即可得到答案．
【详解】解：的三个内角满足，
设，，，
，
，
解得：，
，
这个三角形是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键．
6．C
【分析】利用三角形内角和先求出的度数，再根据点的位置不同分情况利用求出的度数，进而求出的度数．
【详解】解：在中，，，
，
如图，当时，
，
，
，
当时，
．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据直角三角形的性质可得，再由，可得，再根据等角的余角相等可得，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，故A选项不符合题意；
∵，
∴，
∴，故选项C不符合题意；
又∵，
∴，
∴不一定成立，故B选项符合题意；
∵，，
∴，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、余角的性质，利用直角三角形的性质和等角的余角相等得出，，是解题的关键．
8．D
【分析】由三角形的内角和定理和平角定义，可得由此解答即可．
【详解】解：∵
，，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，掌握这些知识点是解题的关键．
9．A
【分析】根据一个边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据边形对角线的总数为，即可求解．
【详解】解：根据题意，一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，
可知该多边形的边数为，
∴这个多边形对角线的总数为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，熟练掌握边形的相关公式是解题关键．
10．C
【分析】依据 是 的边 上的中线，可得 ，再根据 的周长比 的周长多 2 ， 即可得到 的长；
【详解】解：∵ 是 的边 上的中线，
又 ∵ 的周长比 的周长多2 ，
即 ，
故选 ：C．
【点睛】本题考查了三角形的中线， 求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
11．C
【分析】①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明
；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故①正确；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故②正确；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
由①知：，
∴．
故③正确；
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴
故④错误；
综上可知，正确的有①②③，共3个，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键．
12．C
【分析】根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理即可判断（1）正确；根据“8字形”的定义即可判断（2）错误；如图（见解析），根据角平分线的定义可得，再根据结论（1）可得，，两式相加即可判断（4）正确；将度，度代入结论（4）计算即可判断（3）正确．
【详解】解：，，
，则结论（1）正确；
在图2中，线段、相交于点，连接、，形成“8字形”，
线段、相交于点，连接、，形成“8字形”，
线段、相交于点，连接、，形成“8字形”，
线段、相交于点，连接、，形成“8字形”，
线段、相交于点，连接、，形成“8字形”，
线段、相交于点，连接、，形成“8字形”，
在图2中“8 字形”共有6个，则结论（2）错误；
如图，和的平分线和相交于点，
，
同结论（1）可知，，，
两式相加得：，
，则结论（4）正确；
则当度，度时，，
解得度，则结论（3）正确；
综上，正确的结论是（1）（3）（4），
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识点，掌握理解“8 字形”的定义是解题关键．
13．A
【分析】根据多边形的内角和公式，可知多边形的内角和是的整数倍，可得多边形的内角和增加180°，它就增加1条边．
【详解】∵多边形的内角和是，
∴多边形的内角和增加180°，它的边数就增加1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和与边数的关系，解决问题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．
14．D
【分析】根据三角形三边的关系即可证明，根据平移的性质可证明．
【详解】解：根据题意可得，，
∴；
将线段平移，可得到线段，线段移可得到线段，
∴，，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，平移的性质，题目新颖，灵活运用所学知识是解题的关键．
15．D
【分析】根据的面积是12，三角形中线将三角形面积两等分，即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的中线及三角形面积公式，掌握三角形的中线将三角形面积两等分是解题的关键．
16．A
【分析】如图，反向延长，根据平行线的性质可得，再结合多边形外角和定理即可求解．
【详解】解：反向延长，
∵，
∴，
根据多边形的外角和定理可得，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查多边形外角和问题，平行线的性质，解题的关键是掌握多边形外角和为360度．
17．C
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出①；根据等腰三角形的判定判断②即可；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断③；根据等底等高的三角形的面积相等即可判断④．
【详解】解：∵是角平分线，
∴，
∵为高，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
根据已知条件不能推出，即不能推出，
故②错误；
∵为高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
即，
故③正确；
∵是中线，
∴，
∴（等底等高的三角形的面积相等），
故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
18．B
【分析】利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线和高线，可求出和，进而可求出的度数．
【详解】解：，，
，
是的角平分线，
，
又是的高，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握三角形的内角和定理．
19．D
【分析】先利用角平分线的性质和三角形的内角和定理求出与和的度数，再利用三角形的外角和内角的关系得结论．
【详解】解：、分别是和的平分线，
，．
，，
．
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理及推论，掌握“三角形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”及角平分线的定义是解决本题的关键．
20．C
【分析】根据三角形内角和定理对进行判断；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得到，则可对进行判断；根据平行线的性质对进行判断；先根据角平分线的性质得到，然后根据平行线的性质对进行判断．
【详解】解：，，
∴，所以正确；
、的平分线相交于，
∴，所以错误；
∵，
∴，所以正确；
平分，
∴，
∵，
∴，所以错误；
综上分析可知，①②③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质：平行线的性质，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
21．4
【分析】由三角形的面积关系可证，即可求解．
【详解】解：点为的三条中线的交点，
，是的中线，
，，，即，
，
，
，
，
，
当时，面积有最大值，
∵，
面积的最大值，
故答案为4
【点睛】本题考查了三角形的中线与面积的关系，理解题意是解题的关键．
22．/度
【分析】根据平行线的性质，可得内错角相等，根据角的和差，可得、，根据三角形的内角和公式，可得答案．
【详解】解：如图，
根据方向角的定义，可得．
∵，
∴．
∵是正南正北方向，
∴，
又∵，
∴，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了方向角的定义，平行线的性质以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．
23．4
【分析】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，据此可得，．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形中线有关的面积计算，解题关键是理解并掌握三角形中线的定义和性质．
24．
【分析】由折叠可知：，由三角形的内角和定理可求，即可求得，再利用三角形的内角和定理可求，进而可求解．
【详解】解：由折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，翻折问题，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
25．/234度
【分析】根据三角形的外角的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：和是的两个外角，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形外角的性质是解答此题的关键．
26．/84度
【分析】利用多边形的内角和与正多边形的性质分别求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理求得的度数，再结合四边形的内角和为进行计算即可．
【详解】解：∵六边形为正六边形，
∴，
∵五边形为正五边形，
∴，
∴，
∵四边形的内角和为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
27．/75度
【分析】由：，，，可得出，求得，最后求得．
【详解】解：，，
又，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
28．/28度
【分析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合，即可求出的度数．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是
”是解题的关键．
29．/
【分析】根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解．
【详解】解：和的平分线交于点，
，
，
同理，，
，
，
当时，，
（度）
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外角性质与角平分线的定义，找出规律是解题的关键．
30．/79度
【分析】角平分线得到，根据已知条件得到，得到，根据三角形的内角和定理，得到，求出的度数，再根据三角形的内角和定理以及对顶角相等，即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题．熟练掌握角平分线平分角，以及三角形的内角和为，是解题的关键．
31．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据垂直等于得到，则，再证明，加上，则，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）先根据三角形内角和定理可计算出，则，根据三角形内角和定理得到，即，从而可求出的度数．
【详解】（1）证明：，
，
，
是的角平分线，
，
，
即，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
即，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线额判定，解题的关键是运用三角形内角和定理可根据两已知角求第三个角．
32．（1）；（2）．见解析
【分析】（1）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数．
（2）先根据三角形的外角性质得到，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：（1）∵为两外角的平分线，
∴；
由三角形内角和定理得：
（2）
证明：∵的外角的平分线和的平分线交于点H，
∴．
∵，
∴．
∴
∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理以及三角形外角的性质是解题的关键．
33．见解析
【分析】根据四边形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，则，再因为在中，，根据余角的性质即可得出结论．
【详解】证明：∵在四边形中，，，
∴．
∵平分，平分，
∴，
∴
∵在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，角平分线的定义，余角的性质，熟练掌握多边形的内角和外角、角平分线的定义、余角的性质是解题的关键．
34．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义分别求出和的度数，再利用三角形外角性质求出的度数；
（2）由三角形外角的性质可得，再由角平分线的定义可得，，则可求得，从而可得到的关系．
【详解】（1）解：平分，平分，
，，
，
；
（2）证明：为的外角，
，
平分，平分，
，，
是的外角，
．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
35．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形中线性质可以求出结果；
（2）根据是的中线，与的周长差为，可得到，根据的周长为，，即可得到，进而可求出的长．
【详解】（1）解：是的中线，
，
是的中线，
；
（2）是的中线，与的周长差为，
，
的周长为，，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题意找到，的关系是解答本题的关键．
36．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角形内角和定理求得，再由，可得，即可求解；
（2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解；
（3）根据角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质可得，由
，，求得，再由角平分线的定义可得，最后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵平分，，
∴，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
37．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和对顶角相等结合等式性质即可得出结论；
（2）连接，由（1）中得出的“字形”的性质结合三角形内角和定理即可求出结果；
（3）由角平分线性质得到，，由“字形”可知：，得出，再根据，，整理即可得到．
【详解】（1）证明：，，
又，
；
（2）如图：连接，
由（1）可知与相交，连接，，图形称为“字形”，
，
；
（3），理由如下：
如图：
平分，平分，
，，
由“字形”可知：，
即，
，，
．
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，对顶角相等，理解题意灵活运用题中得出的“字形”性质，是解答本题的关键．
38．(1)
(2)能，理由见解析
【分析】（1）由三角形内角和定理得度数，再根据角平分线定义得到，根据得，然后利用进行计算即可；
（2）结合，由三角形内角和定理得度数，再根据角平分线定义得到，根据得，然后利用进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
平分，
，
，，
，
；
（2）能，理由如下：
，
，
平分，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键．
39．(1)
(2)或或
(3)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据是的“二倍角”，得出，结合，即可求出的度数；
（2）分情况讨论：当或或或时，分别计算即可；
（3）①根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，于是有，再根据邻补角互补得出，根据直角三角形两锐角互余得出，通过计算得出，问题得证；
②根据角平分线的定义结合①中的结论先求出，即，从而问题得证．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∵是的“二倍角”，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）在中，，
∵有一个角是另一个角的“二倍角”，
∴或或或，
当时，；
当时，，此时∠A=45°；
当时，由（1）可知；
当时，，解得；
综上，的度数为或或；
故答案为：或或；
（3）①证明：平分，
，
，
，
，即：，
，
，
，
，
，
即：是的“二倍角”；
②证明：平分，
，
由①知，即，
，
即，
，
，
即是的“二倍角”．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论思想的运用，注意不要丟解．
40．(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据角平分线的定义及外角的性质即可解答．
【详解】（1）解：①，
∴在中，，
，
，
平分，
，
，
故答案为：；
②是是一个外角，
，
，
，
，
，
∵BD平分平分，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
是的平分线，
，
，
，
平分，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
一、单选题
1．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，、的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
2．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在三角形内部时，与，之间的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（ ）
A．14 B．21 C．28 D．32
4．（2023秋·山东临沂·八年级临沂第九中学校考阶段练习）如图，是边的中线，点E在上，，的面积是3，则的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023秋·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）已知的三个内角满足，则这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．任意三角形 D．锐角三角形
6．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，是上一点，若为直角三角形，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2023秋·广东东莞·八年级东莞市东华初级中学校考阶段练习）如图，中，于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·湖北十堰·八年级校联考阶段练习）如图，点D，E分别在上，连接．若于D，，则的大小为（）
A． B． C． D．
9．（2023秋·陕西延安·八年级统考阶段练习）若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（ ）
A．14 B．28 C．24 D．20
10．（2023秋·山东临沂·八年级临沂第九中学校考阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，，的周长比的周长多2，则的长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
11．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2023秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图1，线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．其中正确的结论是（ ）
（1）在图1中；（2）在图2中“8 字形”的个数为 4；（3）图2中，当度，度时，度；（4）图2中和为任意角时其他条件不变．
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
13．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）多边形的内角和增加180°，则它的边数（ ）
A．增加1 B．增加2 C．增加3 D．不变
14．（2023秋·安徽淮南·八年级校联考阶段练习）以某公园西门为原点建立平面直角坐标系，东门
和景点的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图2，景点和分别在线段，上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图3，景点和分别在线段，上，景点在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列的大小关系正确的是（ ）
A． B．且
C． D．且
15．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，是的中线，是的中线．若的面积是12，则的面积是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
16．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，在五边形中，，分别是的外角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023秋·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于H，下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
18．（2023秋·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，，分别是的角平分线和高，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023秋·天津静海·八年级校考阶段练习）如图，在中，，和的平分线相交于点G，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，、的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③
二、填空题
21．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，点G为的三条中线的交点，，若
，则面积的最大值是 ．
22．（2023秋·陕西延安·八年级统考阶段练习）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为 ．
23．（2023秋·湖北随州·八年级校考阶段练习）如图，，分别是，的中点，若，则 ．
24．（2023秋·山东临沂·八年级临沂第九中学校考阶段练习）如图，在中，，点D、E分别是，上一点，将沿折叠，使点A落在点F处，已知，的度数 ．
25．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，和是的两个外角，若，则的度数为 .
26．（2023秋·陕西延安·八年级统考阶段练习）如图，正六边形和正五边形的边
重合，的延长线与交于点，则的度数是 ．
27．（2023秋·广东东莞·八年级东莞市东华初级中学校考阶段练习）在中，若，则 ．
28．（2023秋·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为，连接．若，，则的度数为 ．
29．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则 °．
30．（2023秋·内蒙古呼和浩特·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，D是边上一点，交于点F，若，，则的度数为 ．
三、解答题
31．（2023秋·陕西商洛·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，过点作交的延长线于点，点在边上，连接交于点．
若，求证：；(2)若，求的度数．
32．（2023秋·辽宁大连·八年级统考阶段练习）（1）如图，的外角和的平分线交于点F．用等式表示与的数量关系；
（2）如图，的平分线和的外角的平分线交于点H．用等式表示与的数量关系，并证明．
33．（2023秋·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形中，，平分，平分．求证．
34．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，与外角的角平分线相交于点.
(1)当，时，求的度数；(2)求证：.
35．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，是的中线，是的中线.
(1)若，求的长；(2)若的周长为，，且与的周长差为，求的长.
36．（2023秋·广东东莞·八年级东莞市东华初级中学校考阶段练习）在中，平分交于点D，
(1)求的度数；
(2)如图①，若于点F，交于点E．求的度数．
(3)如图②，若平分交于点E，交于点F，求的度数．
37．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图1，线段，相交于点，连接，，我们把形如图的图形称为“字形”.
(1)求证：；
(2)如图2，求的度数；
(3)如图3，平分，平分的邻补角，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由.
38．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，与分别是的角平分线和高．
(1)已知，，求度数；
(2)探究：小明认为如果只知道，也能得出的度数，你认为可能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
39．（2023秋·河北沧州·八年级校考阶段练习）如果一个角是另一个角的2倍，那么称是的“二倍角”．例如：，，则是的“二倍角”．已知在中，．
(1)若是的“二倍角”，则______；
(2)若的三个内角中，有一个角是另一个角的“二倍角”，则______；
(3)如图1，作的外角平分线，过点作的平行线．
①求证：是的“二倍角”；
②如图2，再作的角平分线，求证：是的“二倍角”．
40．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，BD平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点．
(1)如图，点在线段上运动．
①若，则的度数是 ；的度数是 ，
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点在线段上运动时，请直接写出与之间的数量关系．
参考答案：
1．C
【分析】根据三角形内角和定理对进行判断；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得到，则可对进行判断；根据平行线的性质对进行判断；先根据角平分线的性质得到，然后根据平行线的性质对进行判断．
【详解】解：，，
∴，所以正确；
、的平分线相交于，
∴，，
∴，所以错误；
∵，
∴，所以正确；
平分，
∴，
∵，
∴，所以错误；
综上分析可知，①③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，掌握以上基础知识是解本题的关键．
2．A
【分析】首先根据折叠性质可得，，利用邻补角可得，，在中，根据三角形内角和定理可得，整理即可得出结果．
【详解】解：如图
三角形纸片沿折叠，当点落在三角形内部，
，，
，，
，，
在中，，
，
整理得：，
故选：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠性质，邻补角定义，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键．
3．C
【分析】由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案．
【详解】解：是的中点，
，
是的中点，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用题中所给的条件，将面积进行转化是解此题的关键．
4．D
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出．
【详解】解：∵是边的中线，的面积是3，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
5．B
【分析】设，，，根据三角形内角和定理可得，求出的值即可得到答案．
【详解】解：的三个内角满足，
设，，，
，
，
解得：，
，
这个三角形是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键．
6．C
【分析】利用三角形内角和先求出的度数，再根据点的位置不同分情况利用求出的度数，进而求出的度数．
【详解】解：在中，，，
，
如图，当时，
，
，
，
当时，
．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据直角三角形的性质可得，再由，可得，再根据等角的余角相等可得，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，故A选项不符合题意；
∵，
∴，
∴，故选项C不符合题意；
又∵，
∴，
∴不一定成立，故B选项符合题意；
∵，，
∴，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、余角的性质，利用直角三角形的性质和等角的余角相等得出，，是解题的关键．
8．D
【分析】由三角形的内角和定理和平角定义，可得由此解答即可．
【详解】解：∵
，，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，掌握这些知识点是解题的关键．
9．A
【分析】根据一个边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据边形对角线的总数为，即可求解．
【详解】解：根据题意，一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，
可知该多边形的边数为，
∴这个多边形对角线的总数为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，熟练掌握边形的相关公式是解题关键．
10．C
【分析】依据 是 的边 上的中线，可得 ，再根据 的周长比 的周长多 2 ， 即可得到 的长；
【详解】解：∵ 是 的边 上的中线，
又 ∵ 的周长比 的周长多2 ，
即 ，
故选 ：C．
【点睛】本题考查了三角形的中线， 求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
11．C
【分析】①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明
；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故①正确；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故②正确；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
由①知：，
∴．
故③正确；
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴
故④错误；
综上可知，正确的有①②③，共3个，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键．
12．C
【分析】根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理即可判断（1）正确；根据“8字形”的定义即可判断（2）错误；如图（见解析），根据角平分线的定义可得，再根据结论（1）可得，，两式相加即可判断（4）正确；将度，度代入结论（4）计算即可判断（3）正确．
【详解】解：，，
，则结论（1）正确；
在图2中，线段、相交于点，连接、，形成“8字形”，
线段、相交于点，连接、，形成“8字形”，
线段、相交于点，连接、，形成“8字形”，
线段、相交于点，连接、，形成“8字形”，
线段、相交于点，连接、，形成“8字形”，
线段、相交于点，连接、，形成“8字形”，
在图2中“8 字形”共有6个，则结论（2）错误；
如图，和的平分线和相交于点，
，
同结论（1）可知，，，
两式相加得：，
，则结论（4）正确；
则当度，度时，，
解得度，则结论（3）正确；
综上，正确的结论是（1）（3）（4），
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识点，掌握理解“8 字形”的定义是解题关键．
13．A
【分析】根据多边形的内角和公式，可知多边形的内角和是的整数倍，可得多边形的内角和增加180°，它就增加1条边．
【详解】∵多边形的内角和是，
∴多边形的内角和增加180°，它的边数就增加1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和与边数的关系，解决问题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．
14．D
【分析】根据三角形三边的关系即可证明，根据平移的性质可证明．
【详解】解：根据题意可得，，
∴；
将线段平移，可得到线段，线段移可得到线段，
∴，，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，平移的性质，题目新颖，灵活运用所学知识是解题的关键．
15．D
【分析】根据的面积是12，三角形中线将三角形面积两等分，即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的中线及三角形面积公式，掌握三角形的中线将三角形面积两等分是解题的关键．
16．A
【分析】如图，反向延长，根据平行线的性质可得，再结合多边形外角和定理即可求解．
【详解】解：反向延长，
∵，
∴，
根据多边形的外角和定理可得，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查多边形外角和问题，平行线的性质，解题的关键是掌握多边形外角和为360度．
17．C
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出①；根据等腰三角形的判定判断②即可；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断③；根据等底等高的三角形的面积相等即可判断④．
【详解】解：∵是角平分线，
∴，
∵为高，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
根据已知条件不能推出，即不能推出，
故②错误；
∵为高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
即，
故③正确；
∵是中线，
∴，
∴（等底等高的三角形的面积相等），
故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
18．B
【分析】利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线和高线，可求出和，进而可求出的度数．
【详解】解：，，
，
是的角平分线，
，
又是的高，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握三角形的内角和定理．
19．D
【分析】先利用角平分线的性质和三角形的内角和定理求出与和的度数，再利用三角形的外角和内角的关系得结论．
【详解】解：、分别是和的平分线，
，．
，，
．
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理及推论，掌握“三角形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”及角平分线的定义是解决本题的关键．
20．C
【分析】根据三角形内角和定理对进行判断；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得到，则可对进行判断；根据平行线的性质对进行判断；先根据角平分线的性质得到，然后根据平行线的性质对进行判断．
【详解】解：，，
∴，所以正确；
、的平分线相交于，
∴，所以错误；
∵，
∴，所以正确；
平分，
∴，
∵，
∴，所以错误；
综上分析可知，①②③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质：平行线的性质，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
21．4
【分析】由三角形的面积关系可证，即可求解．
【详解】解：点为的三条中线的交点，
，是的中线，
，，，即，
，
，
，
，
，
当时，面积有最大值，
∵，
面积的最大值，
故答案为4
【点睛】本题考查了三角形的中线与面积的关系，理解题意是解题的关键．
22．/度
【分析】根据平行线的性质，可得内错角相等，根据角的和差，可得、，根据三角形的内角和公式，可得答案．
【详解】解：如图，
根据方向角的定义，可得．
∵，
∴．
∵是正南正北方向，
∴，
又∵，
∴，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了方向角的定义，平行线的性质以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．
23．4
【分析】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，据此可得，．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形中线有关的面积计算，解题关键是理解并掌握三角形中线的定义和性质．
24．
【分析】由折叠可知：，由三角形的内角和定理可求，即可求得，再利用三角形的内角和定理可求，进而可求解．
【详解】解：由折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，翻折问题，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
25．/234度
【分析】根据三角形的外角的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：和是的两个外角，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形外角的性质是解答此题的关键．
26．/84度
【分析】利用多边形的内角和与正多边形的性质分别求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理求得的度数，再结合四边形的内角和为进行计算即可．
【详解】解：∵六边形为正六边形，
∴，
∵五边形为正五边形，
∴，
∴，
∵四边形的内角和为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
27．/75度
【分析】由：，，，可得出，求得，最后求得．
【详解】解：，，
又，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
28．/28度
【分析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合，即可求出的度数．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是
”是解题的关键．
29．/
【分析】根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解．
【详解】解：和的平分线交于点，
，
，
同理，，
，
，
当时，，
（度）
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外角性质与角平分线的定义，找出规律是解题的关键．
30．/79度
【分析】角平分线得到，根据已知条件得到，得到，根据三角形的内角和定理，得到，求出的度数，再根据三角形的内角和定理以及对顶角相等，即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题．熟练掌握角平分线平分角，以及三角形的内角和为，是解题的关键．
31．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据垂直等于得到，则，再证明，加上，则，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）先根据三角形内角和定理可计算出，则，根据三角形内角和定理得到，即，从而可求出的度数．
【详解】（1）证明：，
，
，
是的角平分线，
，
，
即，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
即，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线额判定，解题的关键是运用三角形内角和定理可根据两已知角求第三个角．
32．（1）；（2）．见解析
【分析】（1）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数．
（2）先根据三角形的外角性质得到，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：（1）∵为两外角的平分线，
∴；
由三角形内角和定理得：
（2）
证明：∵的外角的平分线和的平分线交于点H，
∴．
∵，
∴．
∴
∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理以及三角形外角的性质是解题的关键．
33．见解析
【分析】根据四边形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，则，再因为在中，，根据余角的性质即可得出结论．
【详解】证明：∵在四边形中，，，
∴．
∵平分，平分，
∴，
∴
∵在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，角平分线的定义，余角的性质，熟练掌握多边形的内角和外角、角平分线的定义、余角的性质是解题的关键．
34．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义分别求出和的度数，再利用三角形外角性质求出的度数；
（2）由三角形外角的性质可得，再由角平分线的定义可得，，则可求得，从而可得到的关系．
【详解】（1）解：平分，平分，
，，
，
；
（2）证明：为的外角，
，
平分，平分，
，，
是的外角，
．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
35．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形中线性质可以求出结果；
（2）根据是的中线，与的周长差为，可得到，根据的周长为，，即可得到，进而可求出的长．
【详解】（1）解：是的中线，
，
是的中线，
；
（2）是的中线，与的周长差为，
，
的周长为，，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题意找到，的关系是解答本题的关键．
36．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角形内角和定理求得，再由，可得，即可求解；
（2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解；
（3）根据角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质可得，由
，，求得，再由角平分线的定义可得，最后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵平分，，
∴，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
37．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和对顶角相等结合等式性质即可得出结论；
（2）连接，由（1）中得出的“字形”的性质结合三角形内角和定理即可求出结果；
（3）由角平分线性质得到，，由“字形”可知：，得出，再根据，，整理即可得到．
【详解】（1）证明：，，
又，
；
（2）如图：连接，
由（1）可知与相交，连接，，图形称为“字形”，
，
；
（3），理由如下：
如图：
平分，平分，
，，
由“字形”可知：，
即，
，，
．
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，对顶角相等，理解题意灵活运用题中得出的“字形”性质，是解答本题的关键．
38．(1)
(2)能，理由见解析
【分析】（1）由三角形内角和定理得度数，再根据角平分线定义得到，根据得，然后利用进行计算即可；
（2）结合，由三角形内角和定理得度数，再根据角平分线定义得到，根据得，然后利用进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
平分，
，
，，
，
；
（2）能，理由如下：
，
，
平分，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键．
39．(1)
(2)或或
(3)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据是的“二倍角”，得出，结合，即可求出的度数；
（2）分情况讨论：当或或或时，分别计算即可；
（3）①根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，于是有，再根据邻补角互补得出，根据直角三角形两锐角互余得出，通过计算得出，问题得证；
②根据角平分线的定义结合①中的结论先求出，即，从而问题得证．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∵是的“二倍角”，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）在中，，
∵有一个角是另一个角的“二倍角”，
∴或或或，
当时，；
当时，，此时∠A=45°；
当时，由（1）可知；
当时，，解得；
综上，的度数为或或；
故答案为：或或；
（3）①证明：平分，
，
，
，
，即：，
，
，
，
，
，
即：是的“二倍角”；
②证明：平分，
，
由①知，即，
，
即，
，
，
即是的“二倍角”．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论思想的运用，注意不要丟解．
40．(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据角平分线的定义及外角的性质即可解答．
【详解】（1）解：①，
∴在中，，
，
，
平分，
，
，
故答案为：；
②是是一个外角，
，
，
，
，
，
∵BD平分平分，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
是的平分线，
，
，
，
平分，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．