平昌县2023-2024学年高一上学期10月第一次月考
数学试题参考答案
1．C
【分析】先表达出与角终边相同的角，从四个选项中挑选符合要求的角.
【详解】与终边相同的角为，，当时，， C选项符合要求，经过检验，其他选项不符合要求.故选：C
2．B
【分析】根据且求解.
【详解】因为且，所以要求恒过定点，则满足
解得，所以恒过定点. 故选：B
3．A
【分析】根据三角函数值求得再根据正弦值的定义求解即可
【详解】由题意可知，则． 故选：A
4．B
【分析】令，再根据正弦函数的性质即可得解.
【详解】令，则，所以，
所以函数的零点是. 故选：B.
5．D
【分析】复合函数单调性遵循“同增异减”，外层是增函数，内层函数的增区间是整个函数的增区间，注意定义域.
【详解】要满足，解得：或，又是增函数，所以只需求出的单调递增区间，的对称轴为，且开口向上，结合函数的定义域可得：的单调递增区间为 故选：D
6．D
【分析】分别计算，后结合零点存在性定理可得答案.
【详解】计算得到，
,.
则，，.
根据零点存在性定理，函数零点所在的一个区间为. 故选：D
7．C
【分析】先使用诱导公式化简已知条件，然后使用利用同角三角函数关系和与的关系解决.
【详解】由已知，，
平方得：，
∴
∴
∵，∴，，∴，
∴. 故选：C.
8．D
【分析】根据面度数的定义，可求得角的弧度数，继而求得答案.
【详解】设角所在的扇形的半径为r，则， 所以，所以
9．ABD
【分析】利用诱导公式、指数幂的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，；
对于B选项，；对于C选项，；
对于D选项，. 故选：ABD.
10．ABD
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A；由命题为假命题可得方程无解，则，即可判断B；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD.
【详解】解：对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以“，”的否定是“，”，故A正确；
对于B，若命题“，”为假命题，
则方程无解，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，故B正确；
对于C，当时，，则由不能推出，
所以“”的充要条件不是“”，故C错误；
对于D，若，则，
故由可以推出，
若当时，，则由不可以推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：ABD.
11．ABD
【解析】根据函数的奇偶性和对称性，以及图象的变换，结合函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数是定义在R上的奇函数，可得，
又由是偶函数，可得其图像关于轴对称，
根据函数的图象变换，可得函数关于对称，即，
联立可得，即，即
所以函数的一个周期是4，所以A 正确；
又由当时，单调递减，根据函数是定义在R上的奇函数，
可得当时，单调递减，再由函数关于对称，
可得在单调递增，所以B正确；
由函数是定义在R上的奇函数，可得，
即原点为函数的一个对称中心，又由函数关于对称，且周期，
可得，且为函数的对称中心，
所以C不正确，D正确. 故选：ABD.
12．CD
【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.
【详解】对于A选项，若为的跟随区间，
因为在区间为增函数，故其值域为，
根据题意有，解得或，因为故.故A错误．
对于B选项，由题，因为函数在区间与上均为增函数，
若存在跟随区间则有，即为的两根．
即的根.故.故B错误．
对于C选项，若函数存在跟随区间，
因为为减函数，
故由跟随区间的定义可知，
即，
因为，所以．
易得．
所以，
令代入化简可得，
同理也满足，
即在区间上有两不相等的实数根．
故，解得，故C正确．
对于D选项，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为.
当时，易得在区间上单调递增，
此时易得为方程的两根，
求解得或.故定义域，则值域为．D正确．
故选：CD
【点睛】关于新定义函数类型问题的求解，主要的解题思路是理解新定义，并将新定义的知识转化为学过的知识来进行求解，如本题中新定义的“跟随区间”，根据它的定义，可转化为函数的定义域和值域问题来进行求解.
13．
【分析】直接根据正切函数的周期公式得答案.
【详解】函数的最小正周期为 故答案为：
14．
【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，
所以函数在的值域是. 故答案为：.
15．
【分析】利用同角三角函数的关系求出，再利用诱导公式转化，即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以. 故答案为：.
16．
【分析】由题意，设函数，得函数在上的单调递增函数，进而得到函数为偶函数，即可求解当时，不等式等价于的解集，以及当时，的解集，即可得到答案.
【详解】由题意，设函数，由对于任意，都有成立，则可得函数在上的单调递增函数，
又由函数为定义在上的奇函数，
则函数，即函数为偶函数，
又由，则，且，
又由，可知：
当时，不等式等价于，即，解得；
当时，不等式等价于，即，解得
即不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，以及利用函数的性质求解不等式的解集，其中解答其中熟练应用函数的基本性质，合理转化不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
17．(1)， (2)
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系公式可求出结果；
（2）根据诱导公式可求出结果.
【详解】（1）由，，所以所以
（2）
18．(1) (2)
【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行化简求值.
（2）利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式．
19．(1)对称轴为，单调递增区间为(2)
【分析】（1）令求得对称轴方程；令求得单调增区间；
（2）由得到，将看作一个整体求解.
【详解】（1）解：因为， 由，得，
所以函数的对称轴为；
令，得，
所以的单调递增区间为.
（2）由可得，,所以,
解得,即不等式的解集为.
20．(1)1 (2)或
【分析】（1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.
【详解】（1），解得.
（2）当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，
所以，解得：或0（舍去）.
综上：或
21．(1)答案见解析； (2).
【分析】（1）讨论的大小关系分别求解集即可；
（2）将不等式化为在上恒成立，利用基本不等式求右侧最小值，即可得a的取值范围．
【详解】（1）当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（2）因为，由可得：，即，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以．
22．(1) (2)
【分析】（1）结合函数的单调性及零点存在定理可得结论；
（2）由题意可得在，上，，由函数的单调性求得最值，解不等式可得所求范围．
【详解】（1）函数，
因为在区间上单调递减，又，所以在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，若在区间上存在零点，则.
（2）存在，，，使得成立，等价为在，上，．
由在，递增，可得的最小值为，
又，所以在，递减，可得的最大值为，
由，解得，所以；
综上可得，的范围是．
试卷第1页，共3页平昌县2023-2024学年高一上学期10月第一次月考
数学试题
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列选项中与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．函数过定点（ ）
A． B． C． D．
3．已知角α的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列各式中，值为的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的有（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
C．若，，，则“”的充要条件是“”
D．“”是“”的充分不必要条件
11．已知是定义在R上的奇函数，是偶函数，当时，单调递减，则下面关于的判断正确的是（ ）
A．的一个周期是4 B．在单调递增
C．是的一个对称中心 D．
12．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．下列结论正确的是
A．若为的跟随区间，则
B．函数不存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数存在“3倍跟随区间”
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的最小正周期为_____________．
14．函数在的值域是___________.
15．已知，且，那_____________.
16．函数为定义在上的奇函数，且，对于任意，都有成立.则的解集为________________.
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知，．
(1)求，的值；
(2)求的值．
18．化简求值：
(1)；
(2)已知，求的值.
19．已知函数．
(1)求的对称轴和单调递增区间；
(2)求不等式的解集．
20．已知函数（，且）．
(1)若函数的图象过点，求b的值；
(2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值．
21．设函数，．
(1)解关于x的不等式，；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
22．已知函数，．
(1)若函数在区间上存在零点，求正实数的取值范围；
(2)若，，使得成立，求正实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
