2024年广东省普通高中数学科学业水平考试模拟试题五
一、单选题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.
1.集合的真子集有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.设，为复数，“”是“”( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.某市电视台为调查节目收视率，想从全市个县按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知个县人
口数之比为，如果人口最多的一个县抽出人，那么这个样本的容量等于( )
A. B. C. D.
4.若向量，，则( )
A. B. C. D.
5.若且，则是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
6.若,,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为( )
A. B. C. D.
9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
10.设是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
11.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
12.如图，要测出山上一座天文台的高，从山脚处测得，天文台最高处的仰角为，天文台底部的
仰角为，则天文台的高为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13.函数的定义域是____.
14.函数的图象的对称轴方程是____.
15.已知函数的图象过点，那么____.
16. 某校从高一新生中随机抽取了一个容量为的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：，，，
，，，，，，，，，，，，，，，，.若样本数据的第
百分位数是，则的值为____.
17.已知中，设三个内角，，对应的边长分别为，，，且，，，则____.
18.设有以下四个命题:
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;
②底面是矩形的平行六面体是长方体;
③直四棱柱是直平行六面体;
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是____.
三、解答题：本大题共4小题，其中，第19-21每小题10分，第22题12分，共42分.
19.在中，已知，，，求，和.
20.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将只小鼠随机分成,两组,每组只,其中
组小鼠给服甲离子溶液,组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某
种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图所示的直方图:记为事件:"乙离子残留
在体内的百分比不低于",根据直方图得到的估计值为.(1)求乙离子残留百分比直方图中,的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
21.某乡镇为了提高当地的经济总量，决定引进资金对原有的两个企业和进行改造，计划每年对两个企业共投资
万元，要求对每个企业至少投资万元．根据已有经验，改造后企业的年收益（单位：万元）和企业的年收益
（单位：万元）与投入资金（单位：万元）分别满足关系式：，．设对企业投
资额为（单位：万元），每年两个企业的总收益为（单位：万元）．(1)求；(2)试问如何安排对两个企业的
投入资金，才能使两个企业的年总收益达到最大，并求出最大值．
22. 如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,,,分别是,的中点.
(1)求证:平面平面;(2)求证:平面;(3)求三棱锥的体积.2024年广东省普通高中数学科学业水平考试模拟试题五答案
一、选择题.
1.C解：集合中的元素个数为个，故真子集的个数为，故选C.
2.B解：由题意，例如复数，，可得，但此时复数，为虚数，不能比较大小，
所以充分性不成立；反之：若，可得复数，都为实数，此时即必要性成立，所以
“”是“”必要不充分条件.故选：B.
3.B解：因为个县人口数之比为，而人口最多的一个县抽出人，则根据分层抽样的性质，有
，故选：B．
4.C解：由向量，，则.故选：C
5.B解：是第一或二象限角；是第二或四象限角，综上所述，是第二象限角，选B。
6.D解：,,,当且仅当时取得等号,故的最小值为.
7.A解：解得：或故选A.
8.C解：，.将与联立，解得，
．
9.D解：A选项不正确，因为可能；B选项不正确，因为，，则可能与平行或相交或；C选项
不正确，因为，，可能；D选项正确．故选D
10.C解：利用函数是奇函数，将转化为进行求值.因为函数是奇函数，所以，
时，，.故选：C
11.D解：容易看出，，，，从而可得出，，的大小关系．，，
；．故选D．
12.B解:由题图，可得，，故．
二、选择题.
13.（或表示为）解：由题意，有：解得：
14.解：由正弦函数图象可知图象的对称轴方程为，，.故图象的对称轴方程为.
15.解：将点代入即可求得答案.因为函数的图象过点，所以，解得.
16.解：，得：.
17.或解：因为根据余弦定理可知，解：，，，由余弦定理得：，即，因式分解得：，解得：或，经检验都符合题意，则或.故答案为或
18.①④解：命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的;因直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③是错误的;由棱台的定义知,命题④是正确的.
三、解答题.
19.解：由正弦定理，得.，，，或.当时，，；当时，，.，，或，，.
20.(1)解 由已知得,故,.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为：.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为：.
21.解：(1)对企业投资万元，则对企业投资万元，
(2)由题知，对企业投资万元，则对企业投资万元．每个企业至少投资万元，
解得，
令，则，上式化为．
当时，取最大值，即时，取最大值，最大值为万元．
综上，对企业投资万元，对企业投资万元时总收益最大，最大收益为万元．
22.(1)证明:在三棱柱中,底面.所以.又因为,,所以平面.又因为平面,所以平面平面.
(2)证明:取的中点,连接,.
因为,分别是,的中点,所以,且.因为,且,所以,且.所以四边形为平行四边形.所以.又因为平面, 平面,所以平面.
(3)因为,,,所以,所以.所以三棱锥的体积.
