黑龙江省齐齐哈尔市七区2022-2023学年九年级下学期数学开学考试试题
一、单选题
1．（2019七上·绿园期中）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．（2023九下·齐齐哈尔开学考）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018·齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3=a6 B．（a2）2=a4 C．a8÷a4=a2 D．（ab）3=ab3
4．（2023九下·齐齐哈尔开学考）如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为（ ）．
A．68° B．104° C．70° D．76°
5．（2019·广元）如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的中位数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
6．（2023·东莞模拟）把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·佳木斯模拟）天天超市将99个桔子装进两种包装盒，大包装盒每个装12个桔子，小包装盒每个装5个桔子，那么包装方式有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
8．（2021·河北）一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ）
A． 代表 B． 代表 C． 代表 D． 代表
9．（2022·鞍山模拟）如图1，中，，D，E分别是的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．9
10．（2022·舟山九上月考）如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2021·佳木斯模拟）我国2020年有551万农村贫困人口全部脱贫、52个贫困县全部摘帽．数据551万人用科学记数法表示为 人．
12．（2017·潮南模拟）若式子有意义，则x的取值范围是
13．（2022·海东模拟）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）．
14．（2020九下·开鲁月考）已知关于 x 的分式方程 的解是非负数，
则 m 的取值范围是 .
15．（2022·鞍山模拟）如图，在平行四边形中，，，M是边的中点，若线段绕点M旋转得到线段，如图，连接，则长度的最小值是 ．
16．（2023九下·齐齐哈尔开学考）已知在矩形ABCD中，点E在直线AD上，CE平分∠BCD，若CD=4，AE=1，连接AC，则tan∠DAC的值为 ．
17．（2023九下·齐齐哈尔开学考）我们规定：，，，，，…（即当n为大于1的奇数时，，当n为大于1的偶数时，），按此规律， ．
三、解答题
18．（2023九下·齐齐哈尔开学考）
（1）先化简，再求值：，其中
（2）因式分解：
19．（2021九上·伊通期末）解方程：2x2﹣4x﹣30＝0．
20．（2023九下·齐齐哈尔开学考）某校为了解学生对历史知识的掌握情况，从全体学生中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格和不及格四个级别进行了统计，并绘制了如图所示的条形统计图，抽调的学生成绩为优秀的占抽调学生总人数的20%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生．
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）请你估计该中学的2000名学生中约有多少人的成绩为不及格．
21．（2023九下·齐齐哈尔开学考）如图所示，已知是的直径，过的中点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，cm，求的半径．
22．（2021·佳木斯模拟）一辆轿车和一辆货车都从佳城到相距720 km的春城，已知货车先出发1 h，轿车到达春城后就地休息，两车行驶的路程 （单位：km）与轿车出发的时间 （单位：h）之间的关系如图所示．
（1）求轿车的速度；
（2）求货车行驶的路程 与轿车出发的时间 的函数解析式（写出自变量的取值范围）；
（3）直接写出货车行驶多长时间与轿车相距8km．
23．（2021·佳木斯模拟）在 中， ， ， 为直线 上一点，连接 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，在直线 上截取 ，连接 ．
（1）当点 ， 都在线段 上时，如图①，求证： ；
（2）当点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上时，如图②；当点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上时，如图③，直接写出线段 ， ， 之间的数量关系，不需要证明．
24．（2022九上·青秀月考）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：- 的相反数是 ．
故答案为：C．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一 一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2 a3=a5，故不符合题意；
B、（a2）2=a4，符合题意；
C、a8÷a4=a4，故不符合题意；
D、（ab）3=a3b3，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】同底数幂的乘法，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，利用法则即可一一判断。
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵PA、PB 是⊙O的两条切线，点A、C为切点，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∵∠B=52°，
∴∠AOC=2∠B=104°，
∴∠P=360°-90°-90°-104°=76°.
故答案为：D.
【分析】连接OA，OC，根据切线的性质得出∠PAO=∠PCO=90°，根据圆周角定理得出∠AOC=2∠B=104°，再根据四边形内角和为360°即可得出∠P=76°.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】∵一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，
∴ ，
解得： ，
则从大到小排列为：3，5，6，7，9，
故这组数据的中位数为：6．
故答案为：B．
【分析】根据平均数的定义，求得x的结果，利用中位数的定义，可得到数据的中位数。
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y=-（x+1）2+3．
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象平移的方法：上加下减，左加右减；即可得出结论．
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设大包装盒有x个，小包装盒有y个，根据题意列方程得，12x+5y＝99，
因为x、y为正整数，故满足题意的方程的解为 或 ，
故答案为：B．
【分析】先求出12x+5y＝99，再计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体展开图可知， 的对面点数是1； 的对面点数是2； 的对面点数是4；
∵骰子相对两面的点数之和为7，
∴ 代表 ，
故答案为：A．
【分析】正方体的展开图共有11种，其中“一四一”型 共有6种，“二三一”型共有3种，“二二二”，“三三”型各1种。
同色的为相对两面
三个正方形成一直线形成“目”字形，则两端的正方形必定为对面。如果四正方形形成Z形，则两端的正方形必定为对面。解题关键：如何找正方形展图中相对的两面。
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：当时，即BP=0，此时，即PD+PE=BD+BE=6，
当P点与E点重合时，PD+PE=DE，此时有最小值3，
∵D、E分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AC=2DE=6，
∵AC=AB，
∴AB=6，BD=3，
∴BE=3=CE，
∴△ABC为等边三角形，
∴△ABC的面积=；
故答案为：A．
【分析】当时，即BP=0，此时，即PD+PE=BD+BE=6，当P点与E点重合时，PD+PE=DE，此时有最小值3，根据中点的性质得出DE是△ABC的中位线，证出△ABC为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵对称轴为直线x＝ 2，OA＝5OB，
∴OA＝5，OB＝1，
∴点A（ 5，0），点B（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，
∴a＋b＋c＝0，
∴（a＋c）2 b2＝（a＋b＋c）（a＋c b）＝0，故②正确；
抛物线的对称轴为直线x＝ 2，即，
∴b＝4a，
∵a＋b＋c＝0，
∴5a＋c＝0，
∴c＝ 5a，
∴9a＋4c＝ 11a，
∵a＞0，
∴9a＋4c＜0，故③正确；
当x＝ 2时，函数有最小值y＝4a 2b＋c，
∴am2＋bm＋c≥4a 2b＋c，
∴am2＋bm＋2b≥4a，
∴若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a，故④正确；
∴正确结论的个数为3个.
故答案为：C.
【分析】观察函数图象，根据抛物线的开口方向可确定出a的取值范围，利用抛物线与y轴的交点情况，可确定出c的取值范围，利用抛物线的对称轴的位置：左同右异，可确定出b的取值范围，由此可得到abc的符号，可对①作出判断；由OA=5OB及抛物线的对称轴，可求出OA，OB的长，即可得到点A，B的坐标，同时由x＝1时，y＝0，可得到a＋b＋c＝0，可对②作出判断；利用抛物线的对称轴可得到b=4a，由a+b+c=0可得到c=-5a，分别代入9a+4c，可确定出9a+4c的符号，可对③作出判断；当x＝ 2时，函数有最小值y＝4a 2b＋c，可推出am2＋bm＋c≥4a 2b＋c，进行变形，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：551万=5510000=5.51×106，
故填： ．
【分析】 将一个数表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
12．【答案】x≥﹣1且x≠0
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x≥﹣1，
又因为分式的分母不能为0，
所以x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
13．【答案】18π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，
∴的长＝＝18π（cm），
故答案为：18π．
【分析】利用弧长公式求解即可。
14．【答案】m≥2且m≠3
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：原方程化为整式方程得:m-3=x-1
解得 x=m-2
∵分式方程的解是非负数，即x=m-2≥0，解得m≥2；
又∵x-1≠0
∴x≠1 即m-2≠1 ∴m≠3
综合得 m≥2且m≠3。
【分析】先利用去分母将分式方程化为整式方程，解这个整式方程求出未知数x的值，然后利用分式方程的解是非负数且x不能是分式方程的增根列不等式求出m的取值范围即可。
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：作于点E．
菱形中，，
，
在直角中，，，
则，
在直角中，，
当在上时最小，则长度的最小值是：．
故答案是：．
【分析】作于点E，根据在直角中，，，
则，在直角中，利用勾股定理得出MC的值，当在上时最小，即可得出长度的最小值。
16．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
如图，当点E在线段AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=∠DEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=4，
∴AD=AE+DE=5，
∴tan∠DAC=；
如图，当点E在DA的延长线上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=∠DEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=4，
∴AD=DE-AE=3，
∴tan∠DAC=，
∴tan∠DAC=或.
故答案为：或.
【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段AD上时，②当点E在DA的延长线上时，根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠DEC=∠DCE，由等角对等边得DE=CD=4，再分别求出AD的长，然后利用锐角三角函数的定义即可求出tan∠DAC的值.
17．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：S1=1，S2=2，S3=-1，S4=0，S5=1…
∴Sn的值每4个为一个循环，
∵2023÷4=55…3，
∴S2023=-1.
故答案为：-1.
【分析】先求出S1，S2，S3，S4，S5的值，根据Sn的变化规律得出Sn的值每4个为一个循环，再用2023÷4=55…3，看余数即可得出答案.
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
∵，
∴原式；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先将第一个分式的分子、分母分别分解因式，同时将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，进而根据同分母分式的减法计算出最简结果；再代入特殊锐角三角函数值求出x的值，最后把x的值代入分式运算的最简结果计算即可得出答案；
（2）先提公因式4，再根据完全平方公式进行因式分解，即可得出答案.
19．【答案】解：∵2x2﹣4x﹣30=0，
∴x2﹣2x﹣15=0，
∴（x﹣5）（x+3）=0，
∴x1=5，x2=﹣3．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解进行解方程即可.
20．【答案】（1）解：本次接受调查的学生人数为20÷20%=100（名），
答：一共抽取了100名学生；
（2）解：学生成绩为及格的学生人数为：100-10-30-20=40（名），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：2000×=200（名），
答：约有200名学生的成绩为不及格．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）成绩优秀的学生人数是20人，占比为20%，用绩优秀的学生人数除以其占比即可求出本次抽查学生的总人数；
（2）根据各个级别的学生人数之和等于本次调查的总人数，求出成绩合格的学生人数，补全条形统计图即可；
（3） 求出样本中成绩不合格的学生占比，再乘以全校总人数，列式进行计算，即可得出答案.
21．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示，
是AB中点，D是BC中点，
，
，
又 ，
，
，
是的切线；
（2）解：连接AD，OD，如图所示，
是的直径，
，
是直角三角形，
，
，
，
在中，，
．
，，，
，
∴，
，
为等边三角形．
（cm）．
的半径为（cm）．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OD，根据三角形中位线定理得出OD∥AC，从而根据平行线的性质得出OD⊥DE，即可证出DE是的切线；
（2）连接AD、OD，根据圆周角定理可得∠BDA=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根据含30°角直角三角形性质可得AD=AC，根据勾股定理求出AD的长，再证出△ODA是等边三角形，得出OD=AD，即可得出的半径.
22．【答案】（1）解：轿车的速度为 （km/h）
（2）解：由图象知货车的速度为80km/h．
．
∴ ．
设货车行驶的路程 与轿车出发的时间 的函数解析式为 ．
把点 ， 的坐标代入，得
解得
∴
（3）解：分四种情况进行讨论；
第一种：货车先出发与轿车相距 ，
根据货车的速度 ，可得行驶 所需要的时间为： ，
第二种：轿车与货车相遇前相距 得；
，
，
，
第三种：轿车与货车相遇后相距 得；
，
解得： ，
，
第四种：轿车到春城后，货车后到春城前相距 得；
，
解得： ，
，
综上所述： 或 或 或
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据计算求解即可；
（2）先求出
，再利用待定系数法计算求解即可；
（3）分类讨论，计算求解即可。
23．【答案】（1）证明：如图，过点 作 交 的延长线于点 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴
（2）解：图②： ．
证明：过点 作 交 于点 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∵
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
图③： ．
证明：如图，过点 作 交 的延长线于点 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴
【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先求出
，再证明
，最后证明求解即可；
（2）图②：先求出
，再证明
最后求解即可；
图③：先求出
，再证明
，最后求解即可。
24．【答案】（1）解：将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴于点，如图：
设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
当，是对角线，则，的中点重合，
，
解得与重合，舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（5，0）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，设△BMN面积为S，根据题意得ON=t，BM=t，由点B的坐标可得BN=5-t，令二次函数解析式中的x=0，求出y的值，可得点C的坐标，进而得到∠OBC=45°，然后根据三角函数的概念可得ME，再根据三角形的面积公式表示出S，利用二次函数的性质进行解答；
（3）存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设Q（m，-m+5），P（n，-n2+4n+5），然后分①PQ、AC为对角线，②QA、PC为对角线，③QC、PA为对角线，结合中点坐标公式可得m的值，进而可得点Q的坐标.
1 / 1黑龙江省齐齐哈尔市七区2022-2023学年九年级下学期数学开学考试试题
一、单选题
1．（2019七上·绿园期中）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：- 的相反数是 ．
故答案为：C．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
2．（2023九下·齐齐哈尔开学考）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一 一判断得出答案.
3．（2018·齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3=a6 B．（a2）2=a4 C．a8÷a4=a2 D．（ab）3=ab3
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2 a3=a5，故不符合题意；
B、（a2）2=a4，符合题意；
C、a8÷a4=a4，故不符合题意；
D、（ab）3=a3b3，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】同底数幂的乘法，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，利用法则即可一一判断。
4．（2023九下·齐齐哈尔开学考）如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为（ ）．
A．68° B．104° C．70° D．76°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵PA、PB 是⊙O的两条切线，点A、C为切点，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∵∠B=52°，
∴∠AOC=2∠B=104°，
∴∠P=360°-90°-90°-104°=76°.
故答案为：D.
【分析】连接OA，OC，根据切线的性质得出∠PAO=∠PCO=90°，根据圆周角定理得出∠AOC=2∠B=104°，再根据四边形内角和为360°即可得出∠P=76°.
5．（2019·广元）如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的中位数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】∵一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，
∴ ，
解得： ，
则从大到小排列为：3，5，6，7，9，
故这组数据的中位数为：6．
故答案为：B．
【分析】根据平均数的定义，求得x的结果，利用中位数的定义，可得到数据的中位数。
6．（2023·东莞模拟）把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y=-（x+1）2+3．
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象平移的方法：上加下减，左加右减；即可得出结论．
7．（2021·佳木斯模拟）天天超市将99个桔子装进两种包装盒，大包装盒每个装12个桔子，小包装盒每个装5个桔子，那么包装方式有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设大包装盒有x个，小包装盒有y个，根据题意列方程得，12x+5y＝99，
因为x、y为正整数，故满足题意的方程的解为 或 ，
故答案为：B．
【分析】先求出12x+5y＝99，再计算求解即可。
8．（2021·河北）一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ）
A． 代表 B． 代表 C． 代表 D． 代表
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体展开图可知， 的对面点数是1； 的对面点数是2； 的对面点数是4；
∵骰子相对两面的点数之和为7，
∴ 代表 ，
故答案为：A．
【分析】正方体的展开图共有11种，其中“一四一”型 共有6种，“二三一”型共有3种，“二二二”，“三三”型各1种。
同色的为相对两面
三个正方形成一直线形成“目”字形，则两端的正方形必定为对面。如果四正方形形成Z形，则两端的正方形必定为对面。解题关键：如何找正方形展图中相对的两面。
9．（2022·鞍山模拟）如图1，中，，D，E分别是的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．9
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：当时，即BP=0，此时，即PD+PE=BD+BE=6，
当P点与E点重合时，PD+PE=DE，此时有最小值3，
∵D、E分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AC=2DE=6，
∵AC=AB，
∴AB=6，BD=3，
∴BE=3=CE，
∴△ABC为等边三角形，
∴△ABC的面积=；
故答案为：A．
【分析】当时，即BP=0，此时，即PD+PE=BD+BE=6，当P点与E点重合时，PD+PE=DE，此时有最小值3，根据中点的性质得出DE是△ABC的中位线，证出△ABC为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解。
10．（2022·舟山九上月考）如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵对称轴为直线x＝ 2，OA＝5OB，
∴OA＝5，OB＝1，
∴点A（ 5，0），点B（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，
∴a＋b＋c＝0，
∴（a＋c）2 b2＝（a＋b＋c）（a＋c b）＝0，故②正确；
抛物线的对称轴为直线x＝ 2，即，
∴b＝4a，
∵a＋b＋c＝0，
∴5a＋c＝0，
∴c＝ 5a，
∴9a＋4c＝ 11a，
∵a＞0，
∴9a＋4c＜0，故③正确；
当x＝ 2时，函数有最小值y＝4a 2b＋c，
∴am2＋bm＋c≥4a 2b＋c，
∴am2＋bm＋2b≥4a，
∴若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a，故④正确；
∴正确结论的个数为3个.
故答案为：C.
【分析】观察函数图象，根据抛物线的开口方向可确定出a的取值范围，利用抛物线与y轴的交点情况，可确定出c的取值范围，利用抛物线的对称轴的位置：左同右异，可确定出b的取值范围，由此可得到abc的符号，可对①作出判断；由OA=5OB及抛物线的对称轴，可求出OA，OB的长，即可得到点A，B的坐标，同时由x＝1时，y＝0，可得到a＋b＋c＝0，可对②作出判断；利用抛物线的对称轴可得到b=4a，由a+b+c=0可得到c=-5a，分别代入9a+4c，可确定出9a+4c的符号，可对③作出判断；当x＝ 2时，函数有最小值y＝4a 2b＋c，可推出am2＋bm＋c≥4a 2b＋c，进行变形，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
11．（2021·佳木斯模拟）我国2020年有551万农村贫困人口全部脱贫、52个贫困县全部摘帽．数据551万人用科学记数法表示为 人．
【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：551万=5510000=5.51×106，
故填： ．
【分析】 将一个数表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
12．（2017·潮南模拟）若式子有意义，则x的取值范围是
【答案】x≥﹣1且x≠0
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x≥﹣1，
又因为分式的分母不能为0，
所以x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
13．（2022·海东模拟）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）．
【答案】18π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，
∴的长＝＝18π（cm），
故答案为：18π．
【分析】利用弧长公式求解即可。
14．（2020九下·开鲁月考）已知关于 x 的分式方程 的解是非负数，
则 m 的取值范围是 .
【答案】m≥2且m≠3
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：原方程化为整式方程得:m-3=x-1
解得 x=m-2
∵分式方程的解是非负数，即x=m-2≥0，解得m≥2；
又∵x-1≠0
∴x≠1 即m-2≠1 ∴m≠3
综合得 m≥2且m≠3。
【分析】先利用去分母将分式方程化为整式方程，解这个整式方程求出未知数x的值，然后利用分式方程的解是非负数且x不能是分式方程的增根列不等式求出m的取值范围即可。
15．（2022·鞍山模拟）如图，在平行四边形中，，，M是边的中点，若线段绕点M旋转得到线段，如图，连接，则长度的最小值是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：作于点E．
菱形中，，
，
在直角中，，，
则，
在直角中，，
当在上时最小，则长度的最小值是：．
故答案是：．
【分析】作于点E，根据在直角中，，，
则，在直角中，利用勾股定理得出MC的值，当在上时最小，即可得出长度的最小值。
16．（2023九下·齐齐哈尔开学考）已知在矩形ABCD中，点E在直线AD上，CE平分∠BCD，若CD=4，AE=1，连接AC，则tan∠DAC的值为 ．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
如图，当点E在线段AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=∠DEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=4，
∴AD=AE+DE=5，
∴tan∠DAC=；
如图，当点E在DA的延长线上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=∠DEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=4，
∴AD=DE-AE=3，
∴tan∠DAC=，
∴tan∠DAC=或.
故答案为：或.
【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段AD上时，②当点E在DA的延长线上时，根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠DEC=∠DCE，由等角对等边得DE=CD=4，再分别求出AD的长，然后利用锐角三角函数的定义即可求出tan∠DAC的值.
17．（2023九下·齐齐哈尔开学考）我们规定：，，，，，…（即当n为大于1的奇数时，，当n为大于1的偶数时，），按此规律， ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：S1=1，S2=2，S3=-1，S4=0，S5=1…
∴Sn的值每4个为一个循环，
∵2023÷4=55…3，
∴S2023=-1.
故答案为：-1.
【分析】先求出S1，S2，S3，S4，S5的值，根据Sn的变化规律得出Sn的值每4个为一个循环，再用2023÷4=55…3，看余数即可得出答案.
三、解答题
18．（2023九下·齐齐哈尔开学考）
（1）先化简，再求值：，其中
（2）因式分解：
【答案】（1）解：，
，
，
，
∵，
∴原式；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先将第一个分式的分子、分母分别分解因式，同时将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，进而根据同分母分式的减法计算出最简结果；再代入特殊锐角三角函数值求出x的值，最后把x的值代入分式运算的最简结果计算即可得出答案；
（2）先提公因式4，再根据完全平方公式进行因式分解，即可得出答案.
19．（2021九上·伊通期末）解方程：2x2﹣4x﹣30＝0．
【答案】解：∵2x2﹣4x﹣30=0，
∴x2﹣2x﹣15=0，
∴（x﹣5）（x+3）=0，
∴x1=5，x2=﹣3．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解进行解方程即可.
20．（2023九下·齐齐哈尔开学考）某校为了解学生对历史知识的掌握情况，从全体学生中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格和不及格四个级别进行了统计，并绘制了如图所示的条形统计图，抽调的学生成绩为优秀的占抽调学生总人数的20%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生．
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）请你估计该中学的2000名学生中约有多少人的成绩为不及格．
【答案】（1）解：本次接受调查的学生人数为20÷20%=100（名），
答：一共抽取了100名学生；
（2）解：学生成绩为及格的学生人数为：100-10-30-20=40（名），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：2000×=200（名），
答：约有200名学生的成绩为不及格．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）成绩优秀的学生人数是20人，占比为20%，用绩优秀的学生人数除以其占比即可求出本次抽查学生的总人数；
（2）根据各个级别的学生人数之和等于本次调查的总人数，求出成绩合格的学生人数，补全条形统计图即可；
（3） 求出样本中成绩不合格的学生占比，再乘以全校总人数，列式进行计算，即可得出答案.
21．（2023九下·齐齐哈尔开学考）如图所示，已知是的直径，过的中点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，cm，求的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示，
是AB中点，D是BC中点，
，
，
又 ，
，
，
是的切线；
（2）解：连接AD，OD，如图所示，
是的直径，
，
是直角三角形，
，
，
，
在中，，
．
，，，
，
∴，
，
为等边三角形．
（cm）．
的半径为（cm）．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OD，根据三角形中位线定理得出OD∥AC，从而根据平行线的性质得出OD⊥DE，即可证出DE是的切线；
（2）连接AD、OD，根据圆周角定理可得∠BDA=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根据含30°角直角三角形性质可得AD=AC，根据勾股定理求出AD的长，再证出△ODA是等边三角形，得出OD=AD，即可得出的半径.
22．（2021·佳木斯模拟）一辆轿车和一辆货车都从佳城到相距720 km的春城，已知货车先出发1 h，轿车到达春城后就地休息，两车行驶的路程 （单位：km）与轿车出发的时间 （单位：h）之间的关系如图所示．
（1）求轿车的速度；
（2）求货车行驶的路程 与轿车出发的时间 的函数解析式（写出自变量的取值范围）；
（3）直接写出货车行驶多长时间与轿车相距8km．
【答案】（1）解：轿车的速度为 （km/h）
（2）解：由图象知货车的速度为80km/h．
．
∴ ．
设货车行驶的路程 与轿车出发的时间 的函数解析式为 ．
把点 ， 的坐标代入，得
解得
∴
（3）解：分四种情况进行讨论；
第一种：货车先出发与轿车相距 ，
根据货车的速度 ，可得行驶 所需要的时间为： ，
第二种：轿车与货车相遇前相距 得；
，
，
，
第三种：轿车与货车相遇后相距 得；
，
解得： ，
，
第四种：轿车到春城后，货车后到春城前相距 得；
，
解得： ，
，
综上所述： 或 或 或
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据计算求解即可；
（2）先求出
，再利用待定系数法计算求解即可；
（3）分类讨论，计算求解即可。
23．（2021·佳木斯模拟）在 中， ， ， 为直线 上一点，连接 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，在直线 上截取 ，连接 ．
（1）当点 ， 都在线段 上时，如图①，求证： ；
（2）当点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上时，如图②；当点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上时，如图③，直接写出线段 ， ， 之间的数量关系，不需要证明．
【答案】（1）证明：如图，过点 作 交 的延长线于点 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴
（2）解：图②： ．
证明：过点 作 交 于点 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∵
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
图③： ．
证明：如图，过点 作 交 的延长线于点 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴
【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先求出
，再证明
，最后证明求解即可；
（2）图②：先求出
，再证明
最后求解即可；
图③：先求出
，再证明
，最后求解即可。
24．（2022九上·青秀月考）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴于点，如图：
设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
当，是对角线，则，的中点重合，
，
解得与重合，舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（5，0）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，设△BMN面积为S，根据题意得ON=t，BM=t，由点B的坐标可得BN=5-t，令二次函数解析式中的x=0，求出y的值，可得点C的坐标，进而得到∠OBC=45°，然后根据三角函数的概念可得ME，再根据三角形的面积公式表示出S，利用二次函数的性质进行解答；
（3）存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设Q（m，-m+5），P（n，-n2+4n+5），然后分①PQ、AC为对角线，②QA、PC为对角线，③QC、PA为对角线，结合中点坐标公式可得m的值，进而可得点Q的坐标.
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