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(总课时01)§1.1锐角三角函数（1）
一.选择题
1．把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切函数值（B）
A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
2.如图1，在平面直角坐标系中，直线OP过点（1，3），则tanα的值是（ A ）
A． B．3 C． D．
3.（2020·山东初三期末）如图2，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（D）
A． B． C． D．
4.在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（B）
A． B． C． D．3
5.如图3，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB上一点，且AD：DB=1：3，DE⊥AC于点E，连接BE，则tan∠CBE的值等于（C）
A． B． C． D．
二.填空题：
6.如图4，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是__4.5__．
7.如图5，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为_2__.
8.如图6，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为_1__．
9.如图7，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝_____．
三.解答题：
10.如图8，在平面直角坐标系xOy中，点P(4,3)，OP与x轴正半轴的夹角为α，求tanα的值.
解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO=∠PNO=90°，
∵x轴⊥y轴，∴∠MON=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形MONP是矩形，
∴PM=ON，PN=OM，∵P（4，3），∴ON=PM=4，PN=3，∴tanα=，
11.如图9，反比例函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）求tanC的值．
解：（1）把A（1，a）代入y＝2x，得a＝2，∴A（1，2），
把A（1，2）代入y＝ ，得k＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y＝，
∵点A和点B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）如图，∵CA∥y轴，∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠ADO＝90°，∴∠C＝∠AOD，
又∵A（1，2），∴AD＝2，OD＝1，∴tanC＝tan∠AOD＝＝2．
四.提高题：
12.如图10，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，求BD的长．
解：如图：延长BA、CD交于E，
∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴DE=2AD=8，∴CE=10+8=18，
∵tan∠ABC=∴tan60°=,∴
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BD=
图4
图3
图1
图2
图7
图5
图6
图8
图9
图10
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(总课时01)§1.1锐角三角函数（1）
【学习目标】能够用表示直角三角形中两直角边的比.
【学习重点】理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
【学习难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
【导学过程】
一.知识回顾
问题1：相似三角形有什么性质 答：相似三角形对角相等，对应边成比例.
问题2：直角三角形的三个内角之间满足怎样的数量关系 答：两锐角的和等于直角.
三边之间满足怎样的数量关系 答：两直角边的平方和等于斜边的平方.
猜想:直角三角形的锐角和边长之间满足特定的数量关系吗 是怎样的数量关系呢
二.探究新知
引入1.意大利著名的建筑——比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场四大建筑之一,也是意大利著名的标志之一.它从建成之日起便由于土层松软而倾斜,应该如何来描述它的倾斜程度呢
引入2.观察梯子的倾斜程度
图1和图2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？
引入3.在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？
如图3，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？答：Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
（2）和有什么关系？答：相等.
（3）如果改变梯子的位置呢？由此你得出什么结论？
锐角的三角函数--正切函数的定义
如图4,在Rt△ABC中,若锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比也随之确定,这个比叫做A的正切（tangent）,记作tanA.即
注意：
1．tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．
2．tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比．
3．tanA不表示“tan”乘以“A”．
4．初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切．
思考：
1．∠B的正切如何表示？它的数学意义是什么？
2．前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？tanA的值越大，梯子越陡.
三.典例与练习
例1.如图是甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
解：甲梯中，tanα＝;乙梯中，tanβ＝
因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡．
练习1.若△ABC在正方形网格纸中的位置如图4所示，则tanα的值是（ D ）
A． B． C． D．1
例2.如图5,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
．
结论：坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即：坡度等于坡角的正切值.
四.课堂小结：
1.内容总结：在RtΔABC中,设∠C=900，∠α为RtΔABC的一个锐角，则∠α的正切是：.
2.方法归纳：在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数来解决.
五.分层过关
1.在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值（ D ）
A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.大小不变
2.如图6所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（A ）
A. 2 B. C. D.
3.如图7，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（A）
A. B. C. D. 3
4.如图8，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝2．
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，AC=9，AB=15.
（1）求tan∠1和tan∠2；
（2）tanA和tanB可以用哪些边的比值来表示.
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=9，AB=15，∴
∵CD是AB边上的高∴∠ADC=∠BDC=90°∴∠B+∠1=90°，∠A+∠2=90°
∵∠1+∠2=90°∴∠B=∠2，∠A=∠1，
∴tan∠1=tanA=，tan∠2=tanB=.
（2）tanA=，tanB=.
思考题:
如图，△ABC中，∠A＝90°，点D是AC边上一点，∠ABD＝∠C，CD＝，tan∠DBC＝，则AB的长是___________
图1中
（左图）AC：BC=5：2=2.5
（右图）ED：FD=5:2.5=2，左边的比较陡.
图2中
（左图）AC：BC=5：2=2.5
（右图）ED：FD=4:2=2， 左边的比较陡.
图1
图2
图3
图4
分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tanα、tanβ的值，比较大小，正切值越大，扶梯就越陡．
图4
图5
图6
图8
图7
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一.选择题
1．把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
2.如图1，在平面直角坐标系中，直线OP过点（1，3），则tanα的值是（ ）
A． B．3 C． D．
3.（2020·山东初三期末）如图2，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A． B． C． D．
4.在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tanA的值为（ ）
A． B． C． D．3
5.如图3，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB上一点，且AD：DB=1：3，DE⊥AC于点E，连接BE，则tan∠CBE的值等于（ ）
A． B． C． D．
二.填空题：
6.如图4，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是____．
7.如图5，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为___.
8.如图6，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为___．
9.如图7，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝_____．
三.解答题：
10.如图8，在平面直角坐标系xOy中，点P(4,3)，OP与x轴正半轴的夹角为α，求tanα的值.
11.如图9，反比例函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）求tanC的值．
四.提高题：
12.如图10，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，求BD的长．
图4
图3
图1
图2
图7
图5
图6
图8
图9
图10
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【学习目标】能够用表示直角三角形中两直角边的比.
【学习重点】理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
【学习难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
【导学过程】
一.知识回顾
问题1：相似三角形有什么性质 答：_______________________________.
问题2：直角三角形的三个内角之间满足怎样的数量关系 答：____________________.
三边之间满足怎样的数量关系 答：_____________________________.
猜想:直角三角形的锐角和边长之间满足特定的数量关系吗 是怎样的数量关系呢
二.探究新知
引入1.意大利著名的建筑——比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场四大建筑之一,也是意大利著名的标志之一.它从建成之日起便由于土层松软而倾斜,应该如何来描述它的倾斜程度呢
引入2.观察梯子的倾斜程度
图1和图2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？
引入3.在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？
如图3，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？答：_____________________
（2）和有什么关系？答：______.
（3）如果改变梯子的位置呢？由此你得出什么结论？
锐角的三角函数--正切函数的定义
如图4,在Rt△ABC中,若锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比也随之确定,这个比叫做A的正切（tangent）,记作tanA.即
注意：
1．tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．
2．tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比．
3．tanA不表示“tan”乘以“A”．
4．初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切．
思考：
1．∠B的正切如何表示？它的数学意义是什么？
2．前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？_____________________.
三.典例与练习
例1.如图是甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
解：甲梯中，tanα＝;乙梯中，tanβ＝
因为tanβ____tanα，所以______更陡．
练习1.若△ABC在正方形网格纸中的位置如图4所示，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．1
例2.如图5,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
．
结论：坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即：坡度等于坡角的正切值.
四.课堂小结：
1.内容总结：在RtΔABC中,设∠C=900，∠α为RtΔABC的一个锐角，则∠α的正切是：.
2.方法归纳：在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数来解决.
五.分层过关
1.在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值（ ）
A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.大小不变
2.如图6所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
3.如图7，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A. B. C. D. 3
4.如图8，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝____．
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，AC=9，AB=15.
（1）求tan∠1和tan∠2；
（2）tanA和tanB可以用哪些边的比值来表示.
思考题:
如图，△ABC中，∠A＝90°，点D是AC边上一点，∠ABD＝∠C，CD＝，tan∠DBC＝，则AB的长是___________
图1中
（左图）AC：BC=___________
（右图）ED：FD=_________________.
图2中
（左图）AC：BC=______________
（右图）ED：FD=_________________.
图1
图2
图3
图4
分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tanα、tanβ的值，比较大小，正切值越大，扶梯就越陡．
图4
图5
图6
图8
图7
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