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(总课时04)§1.4解直角三角形
一.选择题：
1.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（D）
A． B． C． D．
2.如图1所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinC=0.6，BC=4，则AB长为（ B ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.在下列直角三角形中不能求解的是（C）
A．已知斜边，一锐角 B．已知两边 C．已知两角 D．已知一直角边，一锐角
4.如图2，如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（ B ）
A． B． C． D．
5.（2020·广东初三）如图3，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC=∠B=60°，则CD的长为（ D ）
A．0.5 B．1.5 C． D．1
二.填空题：
6.如图4，在矩形ABCD中，AB=2,BC=7，点E在边BC上，tan∠DAE=0.4，则BE=5；若EF⊥AE交AD于点F，则FD的长度为1.2．
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=，BC=4，那么AB的长为__6__．
8.如图5在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点E、F分别在边AB、AC上,将△AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点D恰好落在边BC上.若△BDE是直角三角形,则CF的长为或．
9.如图6，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA=0.6，则这个菱形的面积=60.
三.解答题：
10.如图7，Rt△ABC中，∠C=90，AC=2，BC=6，解这个直角三角形.
解：如图：∵∠C=90°，AC=2，BC=6，∴AB=，
∵，∴∠B=30°，∴∠A=60°，
11.如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB上的中点，DE⊥AB交AC于点E，AD=2DE.
（1）求sinB的值；（2）若CD=，求CE的值.
解（1）∵DE⊥AB，∴∠ACB=∠ADE.∴∠B=∠AED.
设DE=x，则AD=2DE=2x，∴AE=x，则sinB=sin∠AED=.
（2）∵D为斜边AB上的中点，∴AD=CD=，∴AB=2.
则， ，∴CE=AC-AE=4-2.5=1.5.
四.提高题：
如图9，已知：在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AB＝13，BC＝10，
（1）求△ABC的面积；（2）求tan∠DBC的值．
解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交BD于点E．
∵AB＝AC＝13，AH⊥BC，BC＝10∴BH＝5
在Rt△ABH中，AH＝12，∴△ABC的面积＝；
（2）由（1）知：AH＝12，BH=5
∵BD是AC边上的中线所以点E是△ABC的重心∴EH＝＝4，
∴在Rt△EBH中，tan∠DBC＝＝．
图2
图3
图1
图4
图5
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(总课时04)§1.4解直角三角形
一.选择题：
1.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）
A． B． C． D．
2.如图1所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinC=0.6，BC=4，则AB长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.在下列直角三角形中不能求解的是（ ）
A．已知斜边，一锐角 B．已知两边 C．已知两角 D．已知一直角边，一锐角
4.如图2，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（ ）
A． B． C． D．
5.（2020·广东初三）如图3，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC=∠B=60°，则CD的长为（ ）
A．0.5 B．1.5 C． D．1
二.填空题：
6.如图4，在矩形ABCD中，AB=2,BC=7，点E在边BC上，tan∠DAE=0.4，则BE=___；若EF⊥AE交AD于点F，则FD的长度为_____．
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=，BC=4，那么AB的长为____．
8.如图5在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点E、F分别在边AB、AC上,将△AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点D恰好落在边BC上.若△BDE是直角三角形,则CF的长为__________．
9.如图6，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA=0.6，则这个菱形的面积=_____.
三.解答题：
10.如图7，Rt△ABC中，∠C=90，AC=2，BC=6，解这个直角三角形.
11.如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB上的中点，DE⊥AB交AC于点E，AD=2DE.
（1）求sinB的值；（2）若CD=，求CE的值.
四.提高题：
如图9，已知：在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AB＝13，BC＝10，
（1）求△ABC的面积；
（2）求tan∠DBC的值．
图2
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(总课时04)§1.4解直角三角形
【学习目标】了解解直角三角形的含义,掌握解直角三角形的方法,会用计算器求锐角三角函数值
【学习重难点】掌握直角三角形边角之间的关系，选用适当的边角关系或三角函数解题．
【导学过程】
一.知识回顾
1.如图1在Rt△ABC中有__个元素，分别是__条边和__个角，它们之间有何关系？
(1)三边之间的关系:______ (2)锐角之间的关系:____________
(3)边角之间的关系:(锐角三角函数)
sinA=____=____;cosA=____=____;tanA=____=______
2.填一填：
300 450 600
sinA
cosA
tanA
二.探究新知
在生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题，为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角.
定义：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
探究一：如图2.在直角三角形中，已知一个元素能求出其余元素吗？
分类讨论：已知；
结论：如果知道一个锐角，只可以再求出另一个锐角；如果知道一条边，任何其余元素都求不出来，所以知道一个元素不可以求出其余元素。
探究二：如图2.知道两个元素能求出其余元素吗？
分类讨论：已知
（1）知道两条边，能求其余元素吗？
已知：在Rt△ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.
若a=6,b=2,求∠A、∠B、c.答：_________________________________________.
结论：如果知道两边，可以利用勾股定理求解第三边，再利用三角函数求两锐角；
也可以先根据已知两边选择对应的三角函数求角，再选择某三角函数求第三边。
深入思考：对照三角形全等的知识思考一下，为什么知道两条边就可以解直角三角形呢？
答：________________________________________________________.
(2)知道两个锐角能求出其余元素吗？
已知：∠A=300，∠B=600
结论：知道两锐角等同于只知道一个锐角，所以也求不出其余元素。
（3）知道一边一锐角，能求其余元素吗？
已知b=3,∠A=300,求其它元素。答：_____________________________
结论：如果知道一边一锐角，先根据两锐角互余求出另一个锐角，再根据已知的边和角选择某两个三角函数求出另外两边；或者可以先选某三角函数求另一边，再根据勾股定理求第三边。
三.典例与练习：
例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c，且∠B=25°,b=30,求这个三
角形的其他元素(边长精确到1). (sin250≈0.4，cos250≈0.9，tan250≈0.5)
练习1.如图3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c，
且a=19，c=，解这个直角三角形.
例2.如图4，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.
则BC=___；sin∠ADC=___．
练习2.如图5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，
则AB的长为_________．
练习3.已知在△ABC中，∠A=45°，∠NCB=75°，且AC=10cm，求AB的长.
四.课堂小结：
1.解直角三角形至少需要___个元素且其中至少有_______.
2.解直角三角形的依据.答：______________________.
3.解直角三角形的原则：①有角先求角，无角先求边.②有斜用弦，无斜用切；③宁乘毋除，取原避中.
五.分层过关：
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tanA的值为( )
A. B. C. D. 2
2.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是( )
A. 计算tanA的值求出 B. 计算sinA的值求出
C. 计算cosA的值求出 D. 先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
3.如图7,在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°,点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( )
A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3
4.如图8，已知A点坐标为（5，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（ ）
A. 3 B. C. 4 D.
5.在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为（ ）
A. 7 B. 8 C. 8或17 D. 7或17
6.在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是________________．
7.如图9，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sinA=，则菱形ABCD的周长是___.
8.若等腰三角形两边为4，10，求底角的正弦值
思考题：
我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，求该三角形的面积
图1
图2
图3
图4
图5
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图5
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图5
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图6
图9
图8
图7
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(总课时04)§1.4解直角三角形
【学习目标】了解解直角三角形的含义,掌握解直角三角形的方法,会用计算器求锐角三角函数值
【学习重难点】掌握直角三角形边角之间的关系，选用适当的边角关系或三角函数解题．
【导学过程】
一.知识回顾
1.如图1在Rt△ABC中有6个元素，分别是3条边和3个角，它们之间有何关系？
(1)三边之间的关系:a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=∠C
(3)边角之间的关系:(锐角三角函数)
sinA==cosB;cosA==sinB;tanA==
2.填一填：
300 450 600
sinA
cosA
tanA 1
二.探究新知
在生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题，为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角.
定义：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
探究一：如图2.在直角三角形中，已知一个元素能求出其余元素吗？
分类讨论：已知；
结论：如果知道一个锐角，只可以再求出另一个锐角；如果知道一条边，任何其余元素都求不出来，所以知道一个元素不可以求出其余元素。
探究二：如图2.知道两个元素能求出其余元素吗？
分类讨论：已知
（1）知道两条边，能求其余元素吗？
已知：在Rt△ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.
若a=6,b=2,求∠A、∠B、c.答：由勾股定理求出c,由三角函数反求出∠A、∠B.
结论：如果知道两边，可以利用勾股定理求解第三边，再利用三角函数求两锐角；
也可以先根据已知两边选择对应的三角函数求角，再选择某三角函数求第三边。
深入思考：对照三角形全等的知识思考一下，为什么知道两条边就可以解直角三角形呢？
答：直角三角形中，若已知两条边，则此直角三形就是唯一确定的。
(2)知道两个锐角能求出其余元素吗？
已知：∠A=300，∠B=600
结论：知道两锐角等同于只知道一个锐角，所以也求不出其余元素。
（3）知道一边一锐角，能求其余元素吗？
已知b=3,∠A=300,求其它元素。答：∠B=600，a=tan300,c=2a
结论：如果知道一边一锐角，先根据两锐角互余求出另一个锐角，再根据已知的边和角选择某两个三角函数求出另外两边；或者可以先选某三角函数求另一边，再根据勾股定理求第三边。
三.典例与练习：
例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c，且∠B=25°,b=30,求这个三
角形的其他元素(边长精确到1). (sin250≈0.4，cos250≈0.9，tan250≈0.5)
解：∵∠B=25°，∠C=90°∴∠A=65°
∵tanB=,b=30∴
练习1.如图3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c，
且a=19，c=，解这个直角三角形.
解：∵
∴∴∠A=45°∴∠B=45°，b=a=19.
例2.如图4，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.
则BC=4；sin∠ADC=．
练习2.如图5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，
则AB的长为3＋．
练习3.如图6，已知在△ABC中，∠A=45°，∠NCB=75°，且AC=10cm，求AB的长.
解：∵∠A=45°，∠NCB=75°∴∠B=30°
过点C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°∵sinA=AC=10
∴CD==AD，∵∠B=30°∴BC=2CD=
∵tanB= ∴ ∴AB=
四.课堂小结：
1.解直角三角形至少需要两个元素且其中至少有一条边.
2.解直角三角形的依据.答：勾股定理和三角函数
3.解直角三角形的原则：①有角先求角，无角先求边.②有斜用弦，无斜用切；③宁乘毋除，取原避中.
五.分层过关：
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tanA的值为( C )
A. B. C. D. 2
2.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是( C )
A. 计算tanA的值求出 B. 计算sinA的值求出
C. 计算cosA的值求出 D. 先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
3.如图7,在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°,点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( A )
A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3
4.如图8，已知A点坐标为（5，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（B）
A. 3 B. C. 4 D.
5.在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为（D）
A. 7 B. 8 C. 8或17 D. 7或17
6.在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是4或或．
7.如图9，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sinA=，则菱形ABCD的周长是40
8.若等腰三角形两边为4，10，求底角的正弦值
解：∵4+4=8＜10，∴AB=AC=10，BC=4．过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC=2．∵AB=AC=10，
∴AD=∴sin∠ABD=
思考题：
我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，求该三角形的面积
解：当顶角为最大角时，设底角为x，则顶角为x+45°时，所以x+x+x+45°=180°，解得x=45°，所以此三角形为等腰直角三角形，此三角形的面积=0.5×2×2=2；
当顶角为最小角时，设顶角为x时，则底角为x+45°，所以x+x+45°+x+45°=180°，解得x=30°，所以此三角形为顶点为30°的等腰三角形，AB=AC=2，∠A=30°，
作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠A=30°，∴CD=0.5AC=1，∴三角形ABC的面积=0.5CD AB=0.5 ×1×2=1，
综上所述，该三角形的面积等于1或2．
图1
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