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(总课时05)§1.5 三角函数的应用
一.选择题：
1.如图1，斜面AC坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A. 5米 B. 6米 C. 8米 D. （3+ ）米
2.某水坝的坡度 i ＝1∶，坡长AB＝20 m，则坝的高度为( )
A. 10 m B. 20 m C. 40 m D. 2m
3.如图2是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，如果顾客乘电梯从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（ ）
A 5m B. 5m C. 10m D. m
4.如图3，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD＝20 m，高度DC＝30 m，则信号发射塔顶端到地面的高度(即FG的长)为( )
A．(35＋55)m B．(25＋45)m C．(25＋75)m D．(50＋20)m
二.填空题：
5.如图4，在四边形ABCD中，∠B=90，AB=2，CD=8，AC⊥CD.若sin∠ACB=，则tanD=____.
6.根据图5中所给的数据，求得避雷针CD的长约为______m．(结果精确到0.01 m)
7.如图6，一艘轮船从位于灯塔的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东45°方向上的处，这时轮船与小岛的距离是___________海里．
8.小强和小明去测量一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60m处(A)用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD＝1.5m，则古塔BE的高为______________m．
三.解答题：
9.如图，在△ABC中，∠C=90 ，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45 ，DC=6，求AD的长.
10.某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）
四.提高题：
11.小林从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了650米到达点B，且sinα=．然后又沿着坡度i=1：3的斜坡向上走了500米达到点C．
（1）小明从A点到B点上升的高度是多少米？
（2）小明从A点到C点上升的高度CD是多少米？（结果保留根号）
图4
图3
图2
图1
图7
图6
图5
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(总课时05)§1.5 三角函数的应用
一.选择题：
1.如图1，斜面AC坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（A）
A. 5米 B. 6米 C. 8米 D. （3+ ）米
2.某水坝的坡度 i ＝1∶，坡长AB＝20 m，则坝的高度为( A)
A. 10 m B. 20 m C. 40 m D. 2m
3.如图2是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，如果顾客乘电梯从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（ C ）
A 5m B. 5m C. 10m D. m
4.如图3，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD＝20 m，高度DC＝30 m，则信号发射塔顶端到地面的高度(即FG的长)为( C )
A．(35＋55)m B．(25＋45)m C．(25＋75)m D．(50＋20)m
二.填空题：
5.如图4，在四边形ABCD中，∠B=90，AB=2，CD=8，AC⊥CD.若sin∠ACB=，则tanD=.
6.根据图5中所给的数据，求得避雷针 CD 的长约为__4.86__m．(结果精确到0.01 m)
7.如图6，一艘轮船从位于灯塔的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东45°方向上的处，这时轮船与小岛的距离是（30+30）海里．
8.小强和小明去测量一座古塔的高度，如图7，他们在离古塔60m处(A)用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD＝1.5m，则古塔BE的高为(20+1.5)m．
三.解答题：
9.如图，在△ABC中，∠C=90 ，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45 ，DC=6，求AD的长.
解：在△BDC中，∠C=90 ，∠BDC=45 ，DC=6∴tan45 =1∴BC=6
在△ABC中，sinA=，∴AB=15∴
∴
10.某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．∵∠B＝45°，∴∠BCD＝45°．
∴CD＝BD．设CD＝BD＝x，∵∠A＝30°，∴AC＝2x．
∴AD＝．∴x＋x＝2，所以x＝－1．∴CD＝－1≈0.732＞0.7．所以公路不会穿过公园．
四.提高题：
11.小林从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了650米到达点B，且sinα=．然后又沿着坡度i=1：3的斜坡向上走了500米达到点C．
（1）小明从A点到B点上升的高度是多少米？
（2）小明从A点到C点上升的高度CD是多少米？（结果保留根号）
解：（1）如图所示：过点B作BF⊥AD于点F，BE⊥CD于点E，过点C作CD⊥AD于点D，由题意得：AB=650米，BC=500米，
∴sinα===，∴BF=650×=200米，∴小明从A点到点B上升的高度是200米；
（2）∵斜坡BC的坡度为：1：3，∴CE：BE=1：3，
设CE=x，则BE=3x，由勾股定理得：x2+（3x）2=5002解得：x=50，
∴CD=CE+DE=BF+CE=200+50，答：点C相对于起点A升高了（50+200）米．
图4
图3
图2
图1
图7
图6
图5
D
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(总课时05)§1.5 三角函数的应用
【学习目标】通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用．
【学习重难点】用解直角三角形解决航海问题、仰角、俯角、坡度等实际问题．
【导学过程】
一.知识回顾
1.如图1，在Rt△ABC中，
三边的关系:a2+b2=c2.两个锐角的关系:∠A+∠B=∠C.边与角的关系:a=btanA,b=csinB.
2.互余两角之间的三角函数关系：sinA=cosB.
3.同角之间的三角函数关系：sin2A+cos2A=1
4.解直角三角形至少需要两个元素且其中至少有一条边.
二.探究新知
问题1.如图2,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25°的C处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
（1）货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？
答：过A作AD⊥BC，D为垂足，即由AD的长度决定．
（2）如何求AD 在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD．
你能在哪一个三角形中求出AD呢？
①在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD．
②在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC=20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD．
（3）那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？
在Rt△ABD中，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，CD=ADtan25°．
利用BC=BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°=20．
解：过A作BC的垂线，交BC于点D得到Rt△ABD和Rt△ACD，
从而BD=ADtan55°，CD=ADtan25°，由BD-CD=BC，又BC=20海里．
得ADtan55°-ADtan25°=20．
∵AD≈20.79海里>10海里，∴货轮没有触礁的危险．
问题2.如图3，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处．测得仰角为60°．那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）
解：∵∠DAC＝30°，∠DBC=60°=∠DAC+∠ADB，
∴∠DBC=∠BDA∴DB=AB＝50m
在Rt△BCD中，CD=BDsin∠DBC=50×sin60°=25≈43，
即塔CD的高度约为43m．
三.典例与练习
例1.某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.0lm）如图4.
注意到调整前后梯楼的高度是一个不变量．
解：由条件可知，在Rt△BCD中，即BC＝4sin40°,原楼梯占地长DC＝4cos40°
调整后，在Rt△ABC中，则AB＝（m），楼梯占地长AC＝m．
∴调整后楼梯加长AB-BD＝－4≈0.48（m）．
楼梯比原来多占AD＝AC－DC＝－4cos40°≈0.61（m）．
练习1.如图5，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m，
现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？
解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5m，BC=BDtan40°=5tan40°≈4.20（m）．
在Rt△EDB中，DB=5m，BE=BC+EC=2+5sin40°=6.20（m）．
（m）．所以钢缆ED的长度为7.96m．
例2如图6，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD=6m，坡长CD=8m．坡底BC=30m，∠ADC=135°
（1）求∠ABC的大小；
（2）如果坝长100m．那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01m3）
解：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足．
（1）在梯形ABCD中．∠ADC=135°，∴∠FDC=45°，EF=AD=6m．在Rt△FDC中，
DC=8m．DF=FC=CD（m）．
∴（m）．
在Rt△AEB中，（m）．．∴∠ABC≈17°8′21″．
（2）梯形ABCD的面积：（m2）．
坝长为100m，那么建筑这个大坝共需土石料（m3）．
综上所述，∠ABC=17°8′21″，建筑大坝共需10182.34 m3土石料．
四.课堂小结:
1.解题中需要把实际问题转化为数学问题.要注意两个转化：
①是把实际问题的图形转化为数学图形；
②是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.若所转化的图形不是直角三角形，可添加辅助线构造直角三角形.
2.方向角、仰角、俯角、坡度、坡角
五.分层过关：
1.铁路的路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为1∶1.5,上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为（A）
A. 18m B. 15m C. 12m D. 10m
2.已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B＝40°，则直角边BC的长是( B )
A. m·sin40° B. m·cos40° C. m·tan40° D.
3.如图7,要测量B点到河岸AD的距离,在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=100m,则B点到河岸AD的距离为(B)
A. 100m B. 50m C. m D. 50m
4.如图8，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了1000米．
5.如图9，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是6海里（不近似计算）．
思考题：
如图10，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，求A、B两点间的距离．（结果保留根号）
解：如图，∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A=60°，∠B=45°，
在Rt△ACD中，∵tanA=，∴AD==100，
在Rt△BCD中，BD=CD=100，
∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．
答：A、B两点间的距离为100（1+）米．
图1
图2
图3
图4
图5
图6
斜坡AB的坡角为α
斜坡AB的坡度为tanα
图10
图9
图8
图7
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【学习目标】通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用．
【学习重难点】用解直角三角形解决航海问题、仰角、俯角、坡度等实际问题．
【导学过程】
一.知识回顾
1.如图1，在Rt△ABC中，
三边的关系:_________.两个锐角的关系:___________.边与角的关系:___________________.
2.互余两角之间的三角函数关系：_________.
3.同角之间的三角函数关系：____________
4.解直角三角形至少需要___个元素且其中至少有______.
二.探究新知
问题1.如图2,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25°的C处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
（1）货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？
答：__________________________________________．
（2）如何求AD 在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD．
你能在哪一个三角形中求出AD呢？
①在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD．
②在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC=20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD．
（3）那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？
在Rt△ABD中，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，CD=ADtan25°．
利用BC=BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即___________________________．
问题2.如图3，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处．测得仰角为60°．那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）
三.典例与练习
例1.某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.0lm）如图4.
注意到调整前后梯楼的高度是一个不变量．
练习1.如图5，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m，
现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？
例2如图6，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD=6m，坡长CD=8m．坡底BC=30m，∠ADC=135°
（1）求∠ABC的大小；
（2）如果坝长100m．那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01m3）
四.课堂小结:
1.解题中需要把实际问题转化为数学问题.要注意两个转化：
①是把实际问题的图形转化为数学图形；
②是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.若所转化的图形不是直角三角形，可添加辅助线构造直角三角形.
2.方向角、仰角、俯角、坡度、坡角
五.分层过关：
1.铁路的路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为1∶1.5,上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为（ ）
A. 18m B. 15m C. 12m D. 10m
2.已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B＝40°，则直角边BC的长是( )
A. m·sin40° B. m·cos40° C. m·tan40° D.
3.如图7,要测量B点到河岸AD的距离,在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=100m,则B点到河岸AD的距离为( )
A. 100m B. 50m C. m D. 50m
4.如图8，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了______米．
5.如图9，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是______海里（不近似计算）．
思考题：
如图10，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，求A、B两点间的距离．（结果保留根号）
图1
图2
图3
图4
图5
图6
斜坡AB的坡角为α
斜坡AB的坡度为tanα
图10
图9
图8
图7
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