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(总课时07)§1.7直角三角形的边角关系复习
【学习目标】梳理本章知识内容，应用三角函数解决相关的实际问题.
【学习重难点】应用三角函数解决现实生活中的问题.
【导学过程】
一.知识网络图
二.典例与练习
考点1.锐角三角函数的概念
例1.如图1，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是弧AB上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（C）
A．（sinα，sinα），B．（cosα，cosα），C．（cosα，sinα），D．（sinα，cosα）
练习1.如图2，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（D）
A． B． C． D．
考点2.三角函数值的计算
例2.计算：cos245°+sin245°=（B） A． B．1 C． D． EQ \F(,2)
练习2.在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（ D ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
考点3.解直角三角形
例3.一座楼梯的示意图如图3，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（D）
A．米2 B． 米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
练习3.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图4，则下列关系或说法正确的是（B）
A．斜坡AB的坡度是10°，B．斜坡AB的坡度是tan10°，C．AC=1.2tan10°米，D．AB=米
考点4. 三角函数的应用
例4.如图5，MN表示深圳市在背街小巷改建中某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,在A周围500m的范围内为居民区,沿MN向前走400m到B处,测得
∠ABN=45°,请通过计算说明如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区（参考数据：）
解：不会穿过居民区．
理由是：过A作AH⊥MN于H，作BE//MQ，
∵∠EBN=∠QMB=∠FMN=30，∴∠NMA=30，设AH=x，则BH=x，∴MH=，
∵MH=BM+BH=x+400，∴，∴
∴不会穿过居民区．
练习4.如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（B）
A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63
三.课堂小结:解直角三角形基本题型归纳
条件 基本类型 选择的关系式
两边 斜边和直角边(c、a) b＝；由sinA＝a/c，求∠A；∠B＝90°－∠A
两直角边(a、b) c＝；由tanA＝a/b，求∠A；∠B＝90°－∠A
边角 斜边和锐角(c、∠A) ∠B＝90°－∠A；由sinA＝a/c，求a；由cosA＝b/c，求b
直角边和锐角(a、∠A) ∠B＝90°－∠A；由tanA＝a/b，求b；由sinA＝a/c，求c
四.分层过关
1.等腰三角形的底角为30°，底边长为2，则腰长为（ C ）
A．4 B．2 C．2 D．2
2.在△ABC中，∠C＝90°，，则sinB＝( D )
A． B． C． D．
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是（ C）
A. sinA=cosB B. sin2A+cos2A=1 C. sin2A+cos2B=1 D. tanA tanB=1
4.河堤的横断面如图7所示，堤高BC=5m，迎水斜坡AB的长为13m，那么斜坡AB的坡度是（ C ）
Ａ．1:3 Ｂ．1:2.6 Ｃ．1:2.4 Ｄ．1:2
5.课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图8，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是13.9米．（结果精确度0.1，≈1.732）
6.如图9，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN=．
7.如图，一束光线从点A(3，3)出发，经过y轴上点C反射后经过点B(1，0)，求光线从点A到点B经过的路径长．
解：如图所示，
延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．
则AD=3，DB′=3+1=4．由勾股定理AB′=5
∴AC+CB = AC+CB′= AB′=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．
思考题：
如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，AC⊥BC，垂足为C.将△ABC沿AC翻折得到△AEC,连接DE.
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若AC=4，BC=3，求sin∠ABD的值.
解（1）由折叠性质得：BC=CE.在□ABCD中，BC=AD，BC//AD，∴CE=AD，
又AD//CE,∴四边形ACED是平行四边形.∵AC⊥BC，∴∠ACE=90.∴□ACED是矩形.
（2）在矩形ACED中，AC=DE=4，∠DEC=∠ADE=90.∵∠ACE=90，由折叠性质可知：B、C、E三点共线，
∴BE=BC+CE=3+3=6.在Rt△BED中，由勾股定理得：.
在Rt△ABC中，同理可得：AB=5.如图1，过点A作AF⊥BD于点F，
∴，∴，.
在中，.
图4
图3
图2
图1
图5
图6
图6
图9
图8
图7
F
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(总课时07)§1.7直角三角形的边角关系复习
【学习目标】梳理本章知识内容，应用三角函数解决相关的实际问题.
【学习重难点】应用三角函数解决现实生活中的问题.
【导学过程】
一.知识网络图
二.典例与练习
考点1.锐角三角函数的概念
例1.如图1，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是弧AB上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（ ）
A．（sinα，sinα），B．（cosα，cosα），C．（cosα，sinα），D．（sinα，cosα）
练习1.如图2，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
考点2.三角函数值的计算
例2.计算：cos245°+sin245°=（ ）A． B．1 C． D． EQ \F(,2)
练习2.在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0,
则∠C的大小是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
考点3.解直角三角形
例3.一座楼梯的示意图如图3，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2 B． 米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
练习3.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图4，则下列关系或说法正确的是（ ）
A．斜坡AB的坡度是10°，B．斜坡AB的坡度是tan10°，C．AC=1.2tan10°米，D．AB=米
考点4. 三角函数的应用
例4.如图5，MN表示深圳市在背街小巷改建中某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,在A周围500m的范围内为居民区,沿MN向前走400m到B处,测得
∠ABN=45°,请通过计算说明如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区（参考数据：）
练习4.如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（ ）
A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63
三.课堂小结:解直角三角形基本题型归纳
条件 基本类型 选择的关系式
两边 斜边和直角边(c、a) b＝_________；由________，求∠A；∠B＝90°－∠A
两直角边(a、b) c＝_________；由__________，求∠A；∠B＝90°－∠A
边角 斜边和锐角(c、∠A) ∠B＝90°－∠A；由________，求a；由_________，求b
直角边和锐角(a、∠A) ∠B＝90°－∠A；由________，求b；由_________，求c
四.分层过关
1.等腰三角形的底角为30°，底边长为2，则腰长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．2
2.在△ABC中，∠C＝90°，，则sinB＝( )
A． B． C． D．
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是（ ）
A. sinA=cosB B. sin2A+cos2A=1 C. sin2A+cos2B=1 D. tanA tanB=1
4.河堤的横断面如图7所示，堤高BC=5m，迎水斜坡AB的长为13m，那么斜坡AB的坡度是（ ）
Ａ．1:3 Ｂ．1:2.6 Ｃ．1:2.4 Ｄ．1:2
5.课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图8，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是______米．（结果精确度0.1，≈1.732）
6.如图9，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN=___．
7.如图，一束光线从点A(3，3)出发，经过y轴上点C反射后经过点B(1，0)，求光线从点A到点B经过的路径长．
思考题：
如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，AC⊥BC，垂足为C.将△ABC沿AC翻折得到△AEC,连接DE.
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若AC=4，BC=3，求sin∠ABD的值.
图4
图3
图2
图1
图5
图6
图6
图9
图8
图7
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(总课时07)§1.7直角三角形的边角关系复习.
一.选择题：
1.在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，则cosA的值等于（C）
A． B． C．或 D．或
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列关系式中正确的是(C)
A. sinA＞cosB B. cosA＞sinB C. cosA＜cosB D. sinA＜sinB
3.在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值(C）
A. 扩大2倍 B. 缩小 C. 不变 D. 无法确定
4.若锐角A满足，则∠A的度数为（ A ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5.如图1，在△ABC中．∠ACB=90，∠ABC=15，BC=1，则AC=(B）
A. B. C. D.
二.填空题：
6.如图，为了测量河宽AB(假设河两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为m(结果保留根号)．
7.如图3，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A，B，C，D 都在这些小正方形的格点上，AB、CD 相交于点E，则sin∠AEC的值为．
8.如图4，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点E为BD的中点，∠BAC+∠BDC=180°，AB=CD=5，tan∠ACB=，则AD=2．
9.如图5，在一次测绘活动中，某同学站在点观测放置于，两处的标志物，数据显示点在点南偏东方向米处，点在点南偏西方向米处，则点与点的距离为________米．
三.解答题：
10.如图，港口A在观测站 O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船与观测站之间的距离（即OB的长）长.
解：如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，
由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，
在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝2（km），
OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝2（km），
在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，∴OB＝OD＋BD＝2＋2（km），故答案为：2＋2．
11.已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，求tanB的值．
解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，
∴S△AOC=1，S△OBD=4，∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，
则在Rt△AOB中，tan∠ABO=．
四.提高题：
12.如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB延长线与点G．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若tan∠CAB=，∠CBG=45°，BC=，则ABCD的面积是24．
解（1）证明：∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC
∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，
∴△DFA≌△BEC，∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
图1
图5
图4
图3
图2
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(总课时07)§1.7直角三角形的边角关系复习
一.选择题：
1.在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，则cosA的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列关系式中正确的是( )
A. sinA＞cosB B. cosA＞sinB C. cosA＜cosB D. sinA＜sinB
3.在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值( ）
A. 扩大2倍 B. 缩小 C. 不变 D. 无法确定
4.若锐角A满足，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5.如图1，在△ABC中．∠ACB=90，∠ABC=15，BC=1，则AC=( ）
A. B. C. D.
二.填空题：
6.如图，为了测量河宽AB(假设河两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为______m(结果保留根号)．
7.如图3，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A，B，C，D 都在这些小正方形的格点上，AB、CD 相交于点E，则sin∠AEC的值为______．
8.如图4，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点E为BD的中点，∠BAC+∠BDC=180°，AB=CD=5，tan∠ACB=，则AD=_________．
9.如图5，在一次测绘活动中，某同学站在点观测放置于，两处的标志物，数据显示点在点南偏东方向米处，点在点南偏西方向米处，则点与点的距离为________米．
三.解答题：
10.如图，港口A在观测站 O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船与观测站之间的距离（即OB的长）长.
11.已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，求tanB的值．
四.提高题：
12.如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB延长线与点G．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若tan∠CAB=，∠CBG=45°，BC=，则ABCD的面积是____．
图1
图5
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图3
图2
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