江苏省普通高中学业水平合格性考试模拟卷（2）
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷包含选择题(第1题～第28题，共28小题84分)、解答题(第29题～第30题，共2题16
分)。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。本次考试时间75分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题
卡上。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．设全集，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若，且，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．若复数z满足（其中是虚数单位），则z的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
4．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17．记这组数据的中位数为a，平均数为b，众数为c，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若，使得成立是假命题，则实数可能取值是 （ ）
A． B． C．4 D．5
6．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合终边经过点，且，则m＝ （ ）
A． B．－4 C．4 D．
7．函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 （ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示．高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得银杏树的数量为 （ ）
A．34 B．46 C．50 D．70
10．随机安排甲、乙、丙、丁、戊位同学中的位同学负责扫地和拖地两项工作，每人负责一项工作，则甲负责扫地工作的概率是 （ ）
A． B． C． D．
11．若，，，则 （ ）
A． B． C． D．
12．平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行
13．下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
14．已知是第一象限角，，则 （ ）
A． B． C． D．
15．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史 久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
16．函数的零点所在的区间是 （ ）
A． B． C． D．
17．函数（）的最小值为 （ ）
A．1 B．5 C．8 D．10
18．函数的值域为 （ ）
A． B． C． D．
19．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
20．当越来越大时，下列函数中增长速度最快的是 （ ）
A． B． C． D．
21．若，，则角的终边在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22．在中，已知D是AB边上一点，且，则 （ ）
A． B． C． D．
23．已知一个圆锥的底面半径，若其体积与侧面积之间满足，则该圆锥的母线长度为 （ ）
A． B． C． D．
24．若，则 （ ）
A．7 B． C．5 D．2
25．某人在C点测得某塔在南偏西，塔顶仰角为，此人沿南偏东方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为，则塔高为 （ ）
A．10米 B．12米 C．15米 D．20米
26．若，则的值为 （ ）
A． B．2 C． D．3
27．圆柱的高等于球的直径，圆柱的侧面积等于球的表面积，设球的体积为V，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
28．已知函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数k的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点．求证：
（1）平面PCD；
（2）平面平面PBC．
30．（本小题满分8分）
已知锐角三角形内角的对应边分别为，且．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的面积的最大值．江苏省普通高中学业水平合格性考试模拟卷（2）
数 学 试 题 答案解析
注意事项：
1．本试卷包含选择题(第1题～第28题，共28小题84分)、解答题(第29题～第30题，共2题16
分)。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。本次考试时间75分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题
卡上。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．设全集，，则 （ ）
A． B． C． D．
1．C 解析：．故选C．
2．若，且，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．D解析：对于A：当，此时，但不满足，故A错误；对于B：若，则，故B错误；对于C：只有当，有，若，则，故C错误；对于D：由条件可知，，则，故D正确．故选D．
3．若复数z满足（其中是虚数单位），则z的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
3．B解析：，所以．故选B．
4．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17．记这组数据的中位数为a，平均数为b，众数为c，则 （ ）
A． B． C． D．
4．C解析：这10个数据已经从小到大进行了排序，中位数，众数为，平均数，．故选C．
5．若，使得成立是假命题，则实数可能取值是 （ ）
A． B． C．4 D．5
5．B解析：由题意得：，成立是真命题，故在上恒成立，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，故．故选B．
6．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合终边经过点，且，则m＝ （ ）
A． B．－4 C．4 D．
6．C解析：，则题意得，解得．故选C．
7．函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
7．D解析：由，解得．故选D．
8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 （ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．C解析：为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度．故选C．
9．某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示．高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得银杏树的数量为 （ ）
A．34 B．46 C．50 D．70
9．B解析：由题意，高三年级应分得银杏树的数量为棵．故选B．
10．随机安排甲、乙、丙、丁、戊位同学中的位同学负责扫地和拖地两项工作，每人负责一项工作，则甲负责扫地工作的概率是 （ ）
A． B． C． D．
10．A解析：由题意得其样本空间为：（甲扫，乙拖），（甲扫，丙拖），（甲扫，丁拖），（甲扫，戊拖），（乙扫，甲拖），（乙扫，丙拖），（乙扫，丁拖），（乙扫，戊拖），（丙扫，甲拖），（丙扫，乙拖），（丙扫，丁拖），（丙扫，戊拖），（丁扫，甲拖），（丁扫，乙拖），（丁扫，丙拖），（丁扫，戊拖），（戊扫，甲拖），（戊扫，乙拖），（戊扫，丙拖），（戊扫，丁拖）}，共个样本点；“甲负责扫地工作”对应的事件为（甲扫，乙拖），（甲扫，丙拖），（甲扫，丁拖），（甲扫，戊拖）}，含有个样本点，甲负责扫地工作的概率为．故选A．
11．若，，，则 （ ）
A． B． C． D．
11．D解析：根据题意，，，，故．故选D．
12．平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行
12．D解析：如图1，若，则平面上任一点到平面距离相等，故平面上一定存在三个不共线点到平面距离相等；如图2，若与相交，则平面上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面距离相等；故平面与平面的位置关系是相交或平行．故选D．
13．下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
13．A解析：A，D为奇函数，B为非奇非偶函数，C为偶函数，排除B和C，在上单调递增，不满足题意，排除D，易知在区间上为增函数．故选A．
14．已知是第一象限角，，则 （ ）
A． B． C． D．
14．B解析：因为是第一象限角，，由平方关系得．故选B．
15．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史 久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
15．D解析：如图，取AB的中点O，连接MO，连接，分别过点，点作的垂线，垂足分别为， 所以，
当点M与点F或点E重合时，取得最大值，易得四边形为矩形，为等腰直角三角形，则，，则，，取得最大值为，所以的最大值为．故选D.
16．函数的零点所在的区间是 （ ）
A． B． C． D．
16．C解析：由于均为单调递增，所以随着的增大也增大，故在单调递增，，根据零点存在定理，零点在区间内．故选C．
17．函数（）的最小值为 （ ）
A．1 B．5 C．8 D．10
17．A解析：因为幂函数在上单调递增，所以在上单调递增，因此．故选A．
18．函数的值域为 （ ）
A． B． C． D．
18．C解析：函数在上单调递减，当时，，．所以值域为．故选C．
19．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
19．D解析：如图，连接，，，因为，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，设正方体的棱长为2，则，，在中，，所以．故选．
20．当越来越大时，下列函数中增长速度最快的是 （ ）
A． B． C． D．
20．D解析：结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．故选D．
21．若，，则角的终边在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．D解析： ， ， 的终边在第四象限．故选D．
22．在中，已知D是AB边上一点，且，则 （ ）
A． B． C． D．
22．B解析：由可得，则有，可得，所以．故选B．
23．已知一个圆锥的底面半径，若其体积与侧面积之间满足，则该圆锥的母线长度为 （ ）
A． B． C． D．
23．C解析：设圆锥的高为，则，，
，即，解得，该圆锥的母线长度为．故选C．
24．若，则 （ ）
A．7 B． C．5 D．2
24．B解析：因为，所以．故选B．
25．某人在C点测得某塔在南偏西，塔顶仰角为，此人沿南偏东方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为，则塔高为 （ ）
A．10米 B．12米 C．15米 D．20米
25．A解析：由题意作出图形，如图所示，设塔高为，在中，，则，在中，，则，在△中，，，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去）．故选．
26．若，则的值为 （ ）
A． B．2 C． D．3
26．C解析：因为，则，因此，所以．故选C．
27．圆柱的高等于球的直径，圆柱的侧面积等于球的表面积，设球的体积为V，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
27．A解析：由题意知，设球的半径为R，圆柱底面圆的半径为r，对于球，表面积，对于圆柱，侧面积，因为圆柱的侧面积等于球的表面积，所以，得，则，又，所以．故选A．
28．已知函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数k的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
28．D解析：如图，作函数的大致图象，平移直线，由可得，，，故当时，直线与曲线相切；当时，直线经过点，且与曲线有2个不同的交点；当时，直线经过点，且与的图象有3个不同的交点．由图分析可知，当时，的图象与直线有3个不同的交点．故选D．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点．求证：
（1）平面PCD；
（2）平面平面PBC．
29．解析：（1）由题意，N是AC的中点，∴．（2分）
∵平面PCD，平面PCD，
∴平面PCD．（4分）
（2）由(1)知，平面PBC，平面PBC，
∴MN∥平面PBC，
∵ABCD为平行四边形，∴N是BD中点，又∵Q是PD中点，
∴在△PBD中，NQ∥PB．（6分）
∵PB平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC，
∵MN∩NQ=N，MN，NQ平面MNQ，
∴平面平面PBC．（8分）
30．（本小题满分8分）
已知锐角三角形内角的对应边分别为，且．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的面积的最大值．
30．解析：（1），又，
，即，
解得（舍去）或，
为锐角，，
为锐角三角形，，
，（2分）
，
，
的取值范围为．（4分）
（2）在中，由余弦定理可得，即，
（当且仅当时取等号），，（6分）
的面积为
，故当为等边三角形时，有最大面积为．（8分）
