江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试试卷（3）
数 学 试 题 答案解析
注意事项：
1．本试卷包含选择题(第1题～第28题，共28小题84分)、解答题(第29题～第30题，共2题16
分)。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。本次考试时间75分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题
卡上。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
1．B解析：由题意知，，所以．故选B．
2．若，，均为实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．A解析：对于A：由，可得，故A正确；对于B：的符号不定，则与的大小关系不定，故B错误；对于C：由，可得，故C错误；对于D：由，可得，则，故D错误．故选A．
3．若，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．4
3．D解析：因为，所以，得，所以，则，所以的虚部为4．故选D．
4．已知数据的平均数为4，则数据的平均数为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．14
4．D解析：由题意，，数据，，，的平均数为．故选．
5．P：，为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．A解析：由题设命题为真，即在上恒成立，所以，故A为充分不必要条件，B为充要条件，CD为必要不充分条件．故选A．
6．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．A解析：由题意，，则，所以．故选A．
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．D解析：由得，，所以函数的定义域为．故选D．
8．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
8．C解析：将函数的图象向左平移个单位，得到，再将向上平移1个单位，得到，即．故选C．
9．如图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户居民旅游支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（ ）．
A．甲户比乙户大 B．乙户比甲户大
C．甲、乙两户一般大 D．无法确定哪一户大
9．A解析：由饼状图，可得甲户旅游支出占．根据条形图，可得乙户旅游支出占，所以甲户比乙户大．故选A．
10．从1，2，3，4这4个数中，不放回的任意取两个数，两个数都是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．A解析：由题知，不放回的从1,2,3,4中任意取两个数，所有可能的结果有：，共12种，其中包含两个数都是偶数的结果有：，共2种，所以两个数都是偶数的概率是．故选A．
11．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
11．A解析：，，，所以．故选A．
12．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．，，则
B．，，，，则
C．，，，则
D．，，，则
12．D解析：对于A，，，则或，A错误；对于B，若，，，，则或相交，只有加上条件相交，结论才成立，B错误；对于C，，，无法得到，只有加上条件才能得出结论，C错误；对于D，，，则，又因为，所以，正确．故选D．
13．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
13．D解析：函数为非奇非偶函数；函数为非奇非偶函数；函数为奇函数，函数为偶函数．故选D．
14．若且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．A解析：，故，因为，所以，
所以．故选A．
15．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(单位：)和燃料的质量(单位：)，火箭的质量(除燃料外)(单位：)的函数关系是．当火箭的最大速度达到时，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据：）（ ）
A．314 B．313 C．312 D．311
15．B解析：由题意将代入，可得，，.．故选B．
16．已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
16．B解析：因为函数是上的增函数，函数是上的减函数，所以函数是上的增函数，函数是上的减函数，函数，的单调性无法判断．故选B．
17．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（ ）
A． B．－ C．－2 D．2
17．A解析：因为函数和在上均为减函数，所以f(x)在上是减函数，∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝．故选A．
18．碌碡(liù zhóu)是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为( )
A．3∶1 B．3∶2
C．1∶3 D．2∶3
18．B解析：由题意可设圆柱形碌碡的高为h，其底面圆的直径为d，则有2πh＝πd×3，所以h∶d＝3∶2．故选B．
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
19．A解析：分别取的中点，连接.过点作，垂足为，则是的中点，如图所示，，，所以，，四边形为平行四边形， 有，又，则是异面直线与所成的角（或补角）.，，则有， 设，则，，，， ，，，
故.则异面直线与所成角的余弦值为．故选A．
20．某种植物生长发育的数量与时间的关系如下表：
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（ ）
A． B．
C． D．
20．D解析：由题知：当时，，而选项B，当时，，故排除B．
当时，，而选项A，当时，，故排除A，选项C，当时，，故排除C，选项D，当时，，时，，D正确．故选D．
21．已知，则（ ）
A． B． C． D．
21．B解析：．故选B．
22．在中，，，若D是BC的中点，则（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
22．B解析：∵D为BC的中点，，∴，，
∴，∴．故选B．
23．已知直线和两个不同的平面，则下列结论正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
23．C解析：对于A，如图（1），，则，满足题中条件，但与相交，故错误；对于B，如图（2），若，当在内且与的交线垂直时，符合题中条件，但不满足结论，故B错误；对于C，如图（3），设过的平面与相交于直线，则，且，由，则，由面面垂直的判定定理可得：，故C正确；对于D，若，则与可能平行，如图（4）中，也可能在内，如图中，故D错误．故选C．
图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
24．已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A． B． C．-2 D．2
24．A解析：由于，所以．故选A．
25．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为（ ）
A． km B．km
C． km D．2 km
25．A解析：如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，所以＝，所以AC＝2×＝ (km)．故选．
26．已知，则的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．±2
26．D解析：，所以．故选D．
27．下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是( )
A． B．
C． D．
27．D解析：是最小正周期为的奇函数，故A错误；的最小正周期是π是偶函数，故B错误；是最小正周期是π是偶函数，故C错误；最小正周期为π的奇函数，故D正确﹒故选D．
28．函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．B解析：当时，令，即，解得：，，（舍），即当时，零点的个数是2；当时，，此时没有零点．故选B．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
已知定义在区间上的函数．
（1）求函数的零点；
（2）若方程有四个不等实根，且，证明：．
29．解析：（1）令，解得，．（2分）
所以函数的零点是和.（4分）
（2）证明：易知对勾函数的图象如下图所示：
则的图象如下：
如图，要使有四个根，则，（6分）
令，当，则，
由韦达定理知：；
当，则，
由韦达定理知：．
∴．（8分）
30．（本小题满分8分）
已知函数，且的最小正周期为．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在有且仅有两个零点，求实数的取值范围．
30．解析：（1）函数．
因为，所以，解得．
所以．（2分）
由得．
故函数的单调递增区间为．
由得．
故函数的单调递减区间为．（4分）
（2）由（1）知，在上为增函数；
在上为减函数，（6分）
由题意可知：，即．
解得，故实数的取值范围为．（8分）江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试试卷（3）
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷包含选择题(第1题～第28题，共28小题84分)、解答题(第29题～第30题，共2题16
分)。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。本次考试时间75分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题
卡上。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，，均为实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．4
4．已知数据的平均数为4，则数据的平均数为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．14
5．P：，为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户居民旅游支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（ ）．
A．甲户比乙户大 B．乙户比甲户大
C．甲、乙两户一般大 D．无法确定哪一户大
10．从1，2，3，4这4个数中，不放回的任意取两个数，两个数都是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．，，则
B．，，，，则
C．，，，则
D．，，，则
13．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
14．若且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(单位：)和燃料的质量(单位：)，火箭的质量(除燃料外)(单位：)的函数关系是．当火箭的最大速度达到时，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据：）（ ）
A．314 B．313 C．312 D．311
16．已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
17．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（ ）
A． B．－ C．－2 D．2
18．碌碡(liù zhóu)是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为( )
A．3∶1 B．3∶2
C．1∶3 D．2∶3
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
20．某种植物生长发育的数量与时间的关系如下表：
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知，则（ ）
A． B． C． D．
22．在中，，，若D是BC的中点，则（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
23．已知直线和两个不同的平面，则下列结论正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
24．已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A． B． C．-2 D．2
25．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为（ ）
A． km B．km
C． km D．2 km
26．已知，则的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．±2
27．下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是( )
A． B．
C． D．
28．函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
已知定义在区间上的函数．
（1）求函数的零点；
（2）若方程有四个不等实根，且，证明：．
30．（本小题满分8分）
已知函数，且的最小正周期为．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在有且仅有两个零点，求实数的取值范围．
