江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试试卷（4）
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷包含选择题(第1题～第28题，共28小题84分)、解答题(第29题～第30题，共2题16
分)。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。本次考试时间75分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题
卡上。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
4．已知，的均值为6，则=（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
5．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
6．（ ）
A． B． C． D．
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．若将函数的图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的，则所得到的图象对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
9．新冠疫情防控期间，某市中小学实行线上教学，停课不停学．某校对240名职工线上教学期间的办公情况进行了调查统计，结果如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．x=5.0
B．从该校任取一名职工，该职工不在家办公的概率为0.525
C．该校休假的职工不超过10名
D．该校在家办公或在校办公的职工不超过200名
10．分别抛掷4枚质地均匀的硬币，则朝上的面不全相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
12．直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有（ ）
A．无数条 B．0条 C．1条 D．以上均不对
13．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，能比较近似地反映出图中时间与治愈率关系的是（ ）
A． B．
C． D．
16．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
17．若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是 （ ）
A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4
C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4
18．已知函数，若，，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与直线平行的直线是（ ）
A． B． C． D．
20．下列区间中，函数f(x)＝7sin的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
21．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
22．在中，，是边上的中线，且，，则（ ）
A． B．5 C． D．8
23．用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
24．如图，在等腰梯形中，，，，若分别是边上的点，且，，则（ ）
A． B． C． D．5
25．如图，，两点在河的两岸，为测量，两点间的距离，测量人员在的同侧选定一点，测出，两点间的距离为60米，，，则，两点间的距离为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
26．已知函数，则使的x的集合是（ ）
A． B． C． D．
27．设甲 乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
28．已知函数且，且，则的零点是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
（1）求证：平面EAC；
（2）求三棱锥的体积．
30．（本小题满分8分）
已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试试卷（4）
数 学 试 题 答案解析
注意事项：
1．本试卷包含选择题(第1题～第28题，共28小题84分)、解答题(第29题～第30题，共2题16
分)。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。本次考试时间75分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题
卡上。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
1．C 解析：由并集运算的定义，．故选C．
2．若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．B解析：因为，所以，故错误；因为，所以，则有，故正确；因为，所以，又因为，所以，则，故错误；因为，所以，两边同时除以2可得：，故错误．故选.
3．已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
3．C解析：，则，所以，故．故选C．
4．已知，的均值为6，则=（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
4．D解析：由题意得，，．故选D．
5．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
5．B解析：命题“”的否定是“”．故选B．
6．（ ）
A． B． C． D．
6．A解析：．故选A．
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．B解析：由题意，所以的定义域为．故选B．
8．若将函数的图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的，则所得到的图象对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．B解析：函数的图象向左平移个单位，得，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得．故选B．
9．新冠疫情防控期间，某市中小学实行线上教学，停课不停学．某校对240名职工线上教学期间的办公情况进行了调查统计，结果如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．x=5.0
B．从该校任取一名职工，该职工不在家办公的概率为0.525
C．该校休假的职工不超过10名
D．该校在家办公或在校办公的职工不超过200名
9．C解析：，A正确；由图知，在家办公的职工占，所以不在家办公的职工占，故B正确；该校休假的职工人数为人，故C错误；在家或在校办公的职工人数为人，故D正确．故选C．
10．分别抛掷4枚质地均匀的硬币，则朝上的面不全相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．B解析：朝上的面可能全部为正面，也可能全部为反面，故全部相同的概率为，所以朝上的面不全相同的概率为．故选B．
11．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．B解析：因为，所以，因为 ，所以，因为，所以，综上可得．故选B．
12．直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有（ ）
A．无数条 B．0条 C．1条 D．以上均不对
12．D解析：因为直线与平面不平行，所以直线与平面的关系有两种，即以及直线与平面相交．当时，显然在内与a平行的直线有无数条；当直线与平面相交时，设．当，且时，此时，即直线，相交；当，且时，可知直线，异面．综上，当直线与平面相交时，内与a平行的直线有0条．所以，直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有无数条或0条．故选D．
13．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
13．D解析：对于A：为偶函数，但是在上不具有单调性，故A错误；对于B：为偶函数，但是在上单调递减，故B错误；对于C：为奇函数，故C错误；对于D：，则，所以为偶函数，且当时，则函数在上单调递增，故D正确．故选D．
14．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．B解析：分子分母同时除以，得．故选B．
15．面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，能比较近似地反映出图中时间与治愈率关系的是（ ）
A． B．
C． D．
15．B解析：根据图象可知，治愈率先减后增，B选项符合.ACD选项都是单调函数，不符合．故选B．
16．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
16．C解析：时，是增函数（增函数+增函数=增函数），只有选项C满足．故选C．
17．若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是 （ ）
A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4
C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4
17．A解析：由于函数是偶函数，函数图象关于轴对称，又在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是减函数，且最小值为﹣4 ．故选A．
18．已知函数，若，，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．C解析：函数的图象开口向下，对称轴方程为，函数在区间上单调递增，，，即函数的值域为．由方程有解知，，因此，且，解得．故选C．
19．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与直线平行的直线是（ ）
A． B． C． D．
19．C解析：如图所示为正方体的平面展开图所对应的几何体，其中点E，F重合，直线平面，点平面，，点平面，则与是异面直线，同理与是异面直线，A，D错误；而，平面，平面，则与是异面直线，B错误；，即四边形是平行四边形，，C正确．故选C．
20．下列区间中，函数f(x)＝7sin的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
20．A解析： 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．故选A．
21．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
21．C解析：定义域为．，最小正周期为．故选C．
22．在中，，是边上的中线，且，，则（ ）
A． B．5 C． D．8
22．B解析：如图，由，所以，又，所以为的中点，所以，所以．故选B．
23．用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
23．B解析：正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示， 因此截面边数最多有6条．故选B．
24．如图，在等腰梯形中，，，，若分别是边上的点，且，，则（ ）
A． B． C． D．5
24．C解析：如图所示建立直角坐标系，则，，，，
所以，，又，，所以，，则，，所以．故选C．
25．如图，，两点在河的两岸，为测量，两点间的距离，测量人员在的同侧选定一点，测出，两点间的距离为60米，，，则，两点间的距离为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
25．A解析：由题意可得，由正弦定理可知，．故选A．
26．已知函数，则使的x的集合是（ ）
A． B． C． D．
26．C解析：当时，，所以不满足题意；当时，，所以或，即或，所以的x的集合是．故选C．
27．设甲 乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
27．C解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径为，由得，所以甲、乙两个圆柱的底面周长满足：，又因为甲、乙两个圆柱的侧面积相等，所以甲、乙两个圆柱的高满足：，所以甲、乙两个圆柱的体积满足：．故A，B，D错误．故选C．
28．已知函数且，且，则的零点是（ ）
A． B． C． D．
28．B解析：由题意可知：，化简得：，即，解得：或（舍），所以．令可得：，函数的零点是．故选．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
（1）求证：平面EAC；
（2）求三棱锥的体积．
29．解析：（1）连接交于，连接，
∵，分别为，的中点，
∴．（2分）
∵平面，平面，
∴∥平面．（4分）
（2）过P作PF⊥AD于F，
∵侧面PAD是正三角形，∴PF⊥AD，（6分）
∵平面底面ABCD，平面底面ABCD＝AD，平面PAD，
∴PF⊥平面ABCD，
故．（8分）
30．（本小题满分8分）
已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．
30．解析：（1）
，（2分）
令，解得
所以单调递增区间为．（4分）
（2），，，
即有解，只需要即可，（6分）
，
令为减函数，
所以当时，，所以．（8分）
答案：江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试试卷（4）
1．C 解析：由并集运算的定义，．故选C．
2．B解析：因为，所以，故错误；因为，所以，则有，故正确；因为，所以，又因为，所以，则，故错误；因为，所以，两边同时除以2可得：，故错误．故选.
3．C解析：，则，所以，故．故选C．
4．D解析：由题意得，，．故选D．
5．B解析：命题“”的否定是“”．故选B．
6．A解析：．故选A．
7．B解析：由题意，所以的定义域为．故选B．
8．B解析：函数的图象向左平移个单位，得，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得．故选B．
9．C解析：，A正确；由图知，在家办公的职工占，所以不在家办公的职工占，故B正确；该校休假的职工人数为人，故C错误；在家或在校办公的职工人数为人，故D正确．故选C．
10．B解析：朝上的面可能全部为正面，也可能全部为反面，故全部相同的概率为，所以朝上的面不全相同的概率为．故选B．
11．B解析：因为，所以，因为 ，所以，因为，所以，综上可得．故选B．
12．D解析：因为直线与平面不平行，所以直线与平面的关系有两种，即以及直线与平面相交．当时，显然在内与a平行的直线有无数条；当直线与平面相交时，设．当，且时，此时，即直线，相交；当，且时，可知直线，异面．综上，当直线与平面相交时，内与a平行的直线有0条．所以，直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有无数条或0条．故选D．
13．D解析：对于A：为偶函数，但是在上不具有单调性，故A错误；对于B：为偶函数，但是在上单调递减，故B错误；对于C：为奇函数，故C错误；对于D：，则，所以为偶函数，且当时，则函数在上单调递增，故D正确．故选D．
14．B解析：分子分母同时除以，得．故选B．
15．B解析：根据图象可知，治愈率先减后增，B选项符合.ACD选项都是单调函数，不符合．故选B．
16．C解析：时，是增函数（增函数+增函数=增函数），只有选项C满足．故选C．
17．A解析：由于函数是偶函数，函数图象关于轴对称，又在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是减函数，且最小值为﹣4 ．故选A．
18．C解析：函数的图象开口向下，对称轴方程为，函数在区间上单调递增，，，即函数的值域为．由方程有解知，，因此，且，解得．故选C．
19．C解析：如图所示为正方体的平面展开图所对应的几何体，其中点E，F重合，直线平面，点平面，，点平面，则与是异面直线，同理与是异面直线，A，D错误；而，平面，平面，则与是异面直线，B错误；，即四边形是平行四边形，，C正确．故选C．
20．A解析： 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．故选A．
21．C解析：定义域为．，最小正周期为．故选C．
22．B解析：如图，由，所以，又，所以为的中点，所以，所以．故选B．
23．B解析：正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示， 因此截面边数最多有6条．故选B．
24．C解析：如图所示建立直角坐标系，则，，，，
所以，，又，，所以，，则，，所以．故选C．
25．A解析：由题意可得，由正弦定理可知，．故选A．
26．C解析：当时，，所以不满足题意；当时，，所以或，即或，所以的x的集合是．故选C．
27．C解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径为，由得，所以甲、乙两个圆柱的底面周长满足：，又因为甲、乙两个圆柱的侧面积相等，所以甲、乙两个圆柱的高满足：，所以甲、乙两个圆柱的体积满足：．故A，B，D错误．故选C．
28．B解析：由题意可知：，化简得：，即，解得：或（舍），所以．令可得：，函数的零点是．故选．
29．解析：（1）连接交于，连接，
∵，分别为，的中点，
∴．（2分）
∵平面，平面，
∴∥平面．（4分）
（2）过P作PF⊥AD于F，
∵侧面PAD是正三角形，∴PF⊥AD，（6分）
∵平面底面ABCD，平面底面ABCD＝AD，平面PAD，
∴PF⊥平面ABCD，
故．（8分）
30．解析：（1）
，（2分）
令，解得
所以单调递增区间为．（4分）
（2），，，
即有解，只需要即可，（6分）
，
令为减函数，
所以当时，，所以．（8分）
