江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试试卷（5）
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷包含选择题(第1题～第28题，共28小题84分)、解答题(第29题～第30题，共2题16
分)。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。本次考试时间75分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题
卡上。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．如果，那么下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
4．一组数据6，7，8，a，10的平均数为8，则此组数据的方差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
8．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
9．某机构对某篮球赛事的各项主要收入进行了统计，得到的数据如图所示，已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多25亿元，则估计该篮球赛事的这几项主要收入总和约为（ ）
A．221亿元 B．203亿元 C．133亿元 D．108亿元
10．从一副标准的52张（不含大小王）扑克牌中任意抽一张，抽到方片K的概率为（ ）
A． B． C． D．1
11．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
13．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知，则（ ）
A． B． C． D．
15．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＜b，则 B．若a＞b＞0，则
C．若a＞b，则 D．若，则a＞b
16．已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
17．在实数集中定义一种运算“”，，是唯一确定的实数，且具有以下性质：①；②．则函数的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
18．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
19．在正四棱锥P-ABCD中，，E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
20．一组关于的观测数据通过的转换数据对应关系如表所示：
则y与t近似满足这些数据的函数是（ ）
A． B．
C． D．
21． 的值是（ ）
A． B． C． D．
22．化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
23．如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点，B，E的截面图形为（ ）
A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
24．已知向量，如果向量与垂直，则（ ）
A． B． C．2 D．
25．如图，一艘船上午8：00在处测得灯塔在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东75°处，且与它相距海里，则此船的航行速度是（ ）
A．16海里/小时 B．15海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
26．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
27．如图所示几何体是底面直径为2，高为3的圆柱的上底面挖去半个球，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
28．设，若有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
如图，在四棱锥中，是正方形，平面，， 分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面．
30．（本小题满分8分）
已知函数在区间上的最大值为．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，对于给定的实数，若方程有解，则记该方程所有解的和为，求的所有可能取值．江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试试卷（5）
数 学 试 题 答案解析
注意事项：
1．本试卷包含选择题(第1题～第28题，共28小题84分)、解答题(第29题～第30题，共2题16
分)。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。本次考试时间75分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题
卡上。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
1．B 解析：由题意得，所以．故选B．
2．如果，那么下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．C解析：对于A：，因为，所以，，所以，所以，故A错误；对于B：，因为，所以，所以，所以，故B错误；对于C：因为，根据不等式的性质可得，故C正确；对于D：因为，所以，根据不等式的性质可得，即，故D错误．故选C．
3．复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．C解析：，则．故选C．
4．一组数据6，7，8，a，10的平均数为8，则此组数据的方差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．B解析：由题意，，解得，故此组数据的方差为．
故选B．
5．命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
5．B解析：的否定为．故选B．
6．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．D解析：因为角的终边经过点，所以．故选D．
7．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
7．C解析：由可得，又因为，所以函数的定义域为．
故选C．
8．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
8．B解析：由题知，所以由变到只需向左平移个单位，故由变到只需向右平移个单位．故选B．
9．某机构对某篮球赛事的各项主要收入进行了统计，得到的数据如图所示，已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多25亿元，则估计该篮球赛事的这几项主要收入总和约为（ ）
A．221亿元 B．203亿元 C．133亿元 D．108亿元
9．B解析：设该篮球赛事的收入总和为亿元，则，所以．故选B．
10．从一副标准的52张（不含大小王）扑克牌中任意抽一张，抽到方片K的概率为（ ）
A． B． C． D．1
10．A解析：由题意知本题是一个等可能事件的概率，由于方块K只有一张，扑克牌有52张，则随机地抽出一张牌，它恰好是方块K的概率为．故选A．
11．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．B解析：，在上单调递增，，
，，．故选B．
12．若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．D解析：对于A：若，则或，故A错误；对于B：若，则或，故B错误；对于C：若，则或，故C错误；对于D：若，则，故D正确．故选D．
13．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
13．B解析：A选项，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，A错误；B选项，的定义域为R，且，故为奇函数，且为增函数，为减函数，故为增函数，故B正确；C选项，为减函数，C错误；D选项，不是单调函数，在上单调递减，D错误．故选B．
14．已知，则（ ）
A． B． C． D．
14．D解析：∵，即，∴．故选D．
15．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＜b，则 B．若a＞b＞0，则
C．若a＞b，则 D．若，则a＞b
15．D解析：当时，，A错误；，所以，所以B错误；时，，所以C错误；时，，所以D正确．故选D．
16．已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
16．A解析：由题意，，在中，，∴为奇函数，设对于任意的，且，，∵，∴，，∴，函数单调递增，∵，，∴，解得：，∴不等式的解集为．故选A．
17．在实数集中定义一种运算“”，，是唯一确定的实数，且具有以下性质：①；②．则函数的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
17．B解析：由题意得：，因为的范围是，所以．故选B．
18．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
18．B解析：当时，在区间上为增函数，则当时，取得最大值，即，解得；当时，在区间上为减函数，则当时，取得最大值，即，解得舍去，所以．故选B．
19．在正四棱锥P-ABCD中，，E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
19．C解析：如图，连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，又E为PC的中点，所以，所以∠DEO为异面直线AP与DE所成的角或其补角．又 为等比三角形，且边长为2，故又，所以，所以∠EOD=，所以．故选C．
20．一组关于的观测数据通过的转换数据对应关系如表所示：
则y与t近似满足这些数据的函数是（ ）
A． B．
C． D．
20．B解析：根据题意求得和的对应数据，
对于A：当时，和相差较远，故排除A，对于C：当时，和相差较远，故排除C，对于D：当时，，和7．1相差较远，故排除D，对于B：各个数据代入基本符合．故选B．
21． 的值是（ ）
A． B． C． D．
21．A解析：．故选A．
22．化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
22．C解析：．故选C．
23．如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点，B，E的截面图形为（ ）
A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
23．D解析：分别取的中点，连接，如图即为过点、B、E截正方体所得的截面图形，由题意可知：且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，同理，所以四边形为平行四边形，又因为，所以平行四边形为菱形，故选．
24．已知向量，如果向量与垂直，则（ ）
A． B． C．2 D．
24．D解析：，若向量与垂直，则，解得．故选D．
25．如图，一艘船上午8：00在处测得灯塔在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东75°处，且与它相距海里，则此船的航行速度是（ ）
A．16海里/小时 B．15海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
25．A解析：由图可知，，则，得，所以该船的航行速度为（海里/小时）．故选A．
26．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
26．C解析：．故选C．
27．如图所示几何体是底面直径为2，高为3的圆柱的上底面挖去半个球，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
27．B解析：由题意，该几何体的表面积是圆柱的侧面积，圆柱的一个底面面积和半个球面面积的和．因为圆柱底面直径为2，高为3，所以，圆柱的侧面积为，一个底面面积为，半个球面的面积为，所以，该几何体的表面积为．故选B．
28．设，若有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．B解析：由题意得，与有3个不同的交点，画出与的图象，所以，即实数的取值范围是．故选B．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
如图，在四棱锥中，是正方形，平面，， 分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面．
29．解析：（1）由平面，得，（2分）
又，，
所以平面，所以．（4分）
（2）由分别是线段的中点，所以，
又为正方形，，
所以．（6分）
又平面，所以平面．
因为分别是线段的中点，
所以，又平面，所以平面．
因为平面，
所以平面平面．（8分）
30．（本小题满分8分）
已知函数在区间上的最大值为．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，对于给定的实数，若方程有解，则记该方程所有解的和为，求的所有可能取值．
30．解析：（1）
，
因为，所以，（2分）
所以，则，
则．（4分）
（2）当，则，所以当时函数单调递减，
时函数单调递增，当时函数单调递减，
又，,
则可得函数的图象如下：
对于给定的实数，若方程有解，（6分）
则当时，方程的根为，此时；
当时，方程的两根关于直线对称，此时；
当时，方程的根有三个，关于直线对称，此时；
当，方程有四个根，关于直线对称，关于直线对称，
此时；
当时，方程的根有三个，此时；
综上，的所有可能取值为．（8分）
