24.1 圆的相关性质 学案（无答案）2023-2024学年人教版九年级数学上册

圆的相关性质
一、知识点
模块一 圆的基本概念
定 义 示例剖析
圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 表示为“”
圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆．
弦和弧： 1．连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 表示：劣弧 优弧或
圆心角和圆周角： 1．顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
模块二 垂径定理
1．圆的对称性
圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心．
2．垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三.
模块三 圆周角定理
定理 示例
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，．
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则
推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即．
二、精讲精练
例1.下列说法错误的是（　　）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
【变式练习】
1.下列说法正确的是（　　）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧
C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是弦且同一个圆中最长的弦
例2.如图，已知AB是⊙O的直径，∠AOE=60°，点C是AB延长线上一点，CE交⊙O于点D，且CD=OB，则∠C等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【变式练习】
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
例3.直线与 O相交于A、B两点，若 O的直径为26cm，圆心O到的距离是12cm，则线段AB的长是 .
【变式练习】
3.如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m，F是线段CD的中点， EF经过圆心O交⊙O与点E，EF＝3m，则⊙O直径的长是（　　）
A．m B．m C．m D．m
例4.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，
则∠CDB＝　　°．
【变式练习】
4.如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、BD．
(1)求弦AB的长；
(2)当∠ADC＝15°时，求弦BD的长．

沙场点兵，磨刀霍霍
1.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（　　）
A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB
3．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（　　）
A．CE＝DE B．＝ C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE
4.如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为 （ ）
A．50° B．80°或50°
C．130° D． 50°或130°
5.如图，AB是⊙O的直径，点D是弧的中点，∠ABC=52°，则∠DAB等于（　　）
A．58° B．61° C．72° D．64°
6.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是 （ ）
A．50° B．60°
C．80° D．100°
7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A．25m B．24m C．30m D．60m
8.如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC的度数为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．125°
9.如图，已知∠OBA＝20°，且OC＝AC，则∠BOC的度数是（　　）
A．70° B．80° C．40° D．60°
10．（2020 麻城市校级模拟）如图，⊙O的半径为6，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（　　）
A． B．6 C． D．
12. O中平行弦AB、CD的长分别为6cm，8cm， O的半径为5cm，求AB与CD间的距离__________.
13.一点到圆的最远距离为9cm，最近距离为4cm，则该圆的半径为 .
14..若M为 O内一点，0M=3，圆O半径为4，则圆O中过点M的最短的弦长为 .
15.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°， ∠BAC=20°,BC =2,以点C为圆心．CB为半径的圆交AB于点D．则BD的长为 ．
16.如果四边形中的四个顶点都在圆上，并且，则x的值为 .
17.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_________________．
18.如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC∥OD；
（2）若OE＝4，求AC的长．
19．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为D，连接AE、EC．
（1）若∠AEC＝25°，求∠AOB的度数；
（2）若∠A＝∠B，EC＝4，求⊙O的半径．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．
21.（广州市）如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC.
（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长.