重庆松树桥中学高2023级高一数学
第一次抽测试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集的概念进行求解.
【详解】.
故选：D
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得出答案
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以“，”的否定为“，”
故选：A
3. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦恩图表达的集合和之间的关系，求解阴影部分所表达的集合即可．
【详解】根据韦恩图，阴影部分表达的是集合中不属于集合的元素组成的集合，即.
故选：A.
4. 对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】对任意的，记，则，利用题中定义、不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】对任意的，记，则，
若，则，即，则，
因为，，则，由不等式的基本性质可得，
所以，，所以，，即，
所以，“”“”；
若，如取，，则，故“” “”.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，然后分和两种情况由可求出值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数.
【详解】由，得，解得或，
所以，
当时，，满足，
当时，，因为，所以或，得或，
综上，实数取值的集合为，
所以实数取值集合的真子集的个数为，
故选：C
6. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】取特殊值可判断ACD，利用不等式的性质判断B.
【详解】对A，取，显然不成立，故A错误；
对B，由不等式性质知，，则正确，故B正确；
对C，取时，由可得，故C错误；
对D，时，显然，故D错误.
故选：B.
7. 若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由题意可得，
所以且，解得，
故选：C
8. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，
因此要想有解，
只需，
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的将2分.
9. 下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】BD
【解析】
【分析】由集合的概念对选项逐一判断
【详解】对于A，由集合的无序性可知，
对于B，与表示不同的点，故，
对于C，，，故，
对于D，集合M是二次函数的所有y因变量组成的集合，
而集合P是二次函数图象上所有点组成的集合，故.
故选：BD
10. 设，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用作差比较逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以，因此本选项正确；
B：因为，所以，因此本选项正确；
C：因为，所以，因此本选项不正确；
D：因为，所以，因此本选项不正确，
故选：AB
11. 设正实数x，y满足，则（ ）
A. 的最大值是 B. 的最小值是9
C. 的最小值为 D. 的最小值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式一一求解最值即可.
详解】对于A， ，，
当且仅当，即，时等号成立，故A错误；
对于B，，
当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；
对于D，，
所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；
故选：BC.
12. 19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（ ）
A. 设，则为的二划分
B. 设，则为的二划分
C. 存在一个的二划分，使得对于；对于
D. 存在一个的二划分，使得对于，则；，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例结合“二划分”的定义判断A；利用“二划分”的定义判断B；找出两集合符合二划分定义判断C，D.
【详解】对于A，由于，故，不是的二划分，A错误；
对于B，，
，
显然，由于任意一个正整数M，都可写成形式，
其中为素数，，则M必为形式，其中k为正奇数，，
故可得，故B正确；
对于C，存在满足，
对于；对于，C正确；
对于D，选项B中集合，
使得对于，则；
，比如取3，5，则，D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解二划分的含义，并按照其定义去判断每个选项.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，则与的大小关系为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】解：因为，，
所以，
所以.
故答案为：
14. 已知集合，且，则实数m的取值范围是________.
【答案】.
【解析】
【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解.
【详解】由集合，
若时，可得，此时满足；
若时，要是得到，则满足，解得，
综上可得，实数取值范围是.
故答案为：.
15. 设集合，若集合中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为，则集合________.
【答案】
【解析】
【分析】根据集合中的每个元素出现三次，利用元素和相等求得，再利用元素的确定性建立方程求解即可.
【详解】集合中所有三个元素的子集中，每个元素均出现3次，
所以，故，
所以不妨设，，，，
所以，，，
，所以集合.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查了子集的概念、集合中元素的特性，是新定义题型，解答时要正确理解三元集合的定义，从而明确集合中各个元素的由来，即可解答.
16. 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________.
【答案】1或
【解析】
【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.
【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，
①当时，，满足题意；
②当时，，所以，
综上所述，或.
故答案为：1或.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
（1）求A∪B，；
（2）若A∩C≠ ，求a的取值范围.
【答案】（1）A∪B＝{x|1（2）{a|a<8}
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并补的定义，即可求解；
（2）利用运算结果，结合数轴，即可求解.
【小问1详解】
A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1∵＝{x|x<2或x>8}，
∴∩B＝{x|1【小问2详解】
∵A∩C，作图易知，只要a在8的左边即可，
∴a<8.
∴a的取值范围为{a|a<8}.
18. 比较下列式子大小
（1）与
（2）若，与
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用作差法计算比大小即可；
（2）利用作差法计算比大小即可；
【小问1详解】
∵恒成立，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，即，
∴.
19. 已知命题p：，不等式恒成立；命题q：，成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）命题p是二次不等式恒成立问题，只需即可；
（2）命题q是二次不等式存在性问题，只需即可求得m的取值范围，再分类讨论p真q假与p假q真两种情况，从而求得m的取值范围.
【小问1详解】
若命题p为真命题，则，解得，
故实数m的取值范围.
【小问2详解】
若命题q为真命题．则，解得，
∵命题p，q中恰有一个为真命题，
∴命题p，q一真一假，
①当p真q假时，，故；
②当p假q真时，，故；
综上：或，即实数m的取值范围为．
20. 已知．
（1）比较与的大小；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用作差法及完全平方公式即可求解；
（2）根据已知条件及基本不等式即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
当且仅当时取等号，
所以.
【小问2详解】
因为
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
21. 已知命题，命题．
（1）若，则是的什么条件？
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）是的必要不充分条件
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求出中范围，然后观察包含关系.
(2)根据题意得，列不等式组解决.
【小问1详解】
，
若，
所以是的必要不充分条件.
【小问2详解】
由（1），知，
因为是的必要不充分条件，所以
解得，即．
22. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为．
（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低
（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
【答案】（1）长度为4米时，报价最低
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解；
（2）由（1）可知，转化为不等式恒成立，参变分离后，转化为求最值问题.
【小问1详解】
设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（），
则屋子前面新建墙体长为，
则
即，
当且仅当，即时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；
【小问2详解】
由题意可知，当对任意的恒成立，
即，所以，即，
，
当，，即时，的最小值为12，
即，重庆松树桥中学高2023级高一数学
第一次抽测试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知全集，，，则图中阴影部分表示集合为（ ）
A B.
C. D.
4. 对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 7 D. 8
6. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
7. 若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的将2分.
9. 下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10. 设，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
11. 设正实数x，y满足，则（ ）
A. 的最大值是 B. 的最小值是9
C. 的最小值为 D. 的最小值为2
12. 19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（ ）
A. 设，则为的二划分
B. 设，则为的二划分
C. 存在一个的二划分，使得对于；对于
D. 存在一个的二划分，使得对于，则；，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，则与的大小关系为__________．
14. 已知集合，且，则实数m的取值范围是________.
15. 设集合，若集合中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为，则集合________.
16 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
（1）求A∪B，；
（2）若A∩C≠ ，求a取值范围.
18. 比较下列式子大小
（1）与
（2）若，与
19. 已知命题p：，不等式恒成立；命题q：，成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围．
20. 已知．
（1）比较与的大小；
（2）求的最小值．
21. 已知命题，命题．
（1）若，则是的什么条件？
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
22. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为．
（1）当左右两面墙长度为多少米时，甲工程队的报价最低
