数学九年级上青岛版3.3圆周角课件6

课件52张PPT。圆周角回 忆1.什么叫圆心角?顶点在圆心的角叫圆心角2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。探 究OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？C顶点在圆上两边都与圆相交这样的角叫圆周角。B问题探讨：判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。PPPP不是是不是不是顶点不在圆上。顶点在圆上，两边和圆相交。两边不和圆相交。有一边和圆不相交。练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？ oABoABoABoABoABoABoABoABCCCCCCCC图1图2图3图4图5图6图7图8图9画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置?圆心在一边上圆心在角内圆心在角外 想一想在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？ 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.合作与探究：圆心角与圆周角的关系如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与
圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?动动手：你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗?1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即 ∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.要理解并掌握这个模型.圆周角和圆心角的关系如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得: ∴ ∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,圆周角和圆心角的关系 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:∴∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,圆周角和圆心角的关系 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆周角定理综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即 ∠ABC = ∠AOC.ＯＣＢＡ7001200ＯＡＣＢＯＣＢＡ10001.求下列各图中角 的度数.练一练∠ACB的度数与它所对的弧AB的度数有什么关系?分析:连接OA,OB,∴ ∠ACB的度数等于它所
对的弧AB的度数的一半.规律：
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半观察与思考？2. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，
∠COD=50°，
则∠CAD=______；25°练一练3.如图，∠A是⊙O的圆周角， ∠A=40°，
则∠OBC的度数是（ ）。 练一练50°4.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ，
那么∠BOC的度数是
（ ）。140° 练一练例1.已知, ⊙O的弦AB长等于圆的半径,求该弦所对的圆心角和圆周角的度数,练一练1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°D2、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 。解：连接OA、OB∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。2 第二课时观察与思考？问题1：如图,在⊙O中,∠ABC,∠ADC,∠AEC 的大小有什么关系?为什么?∠ABC = ∠ADC= ∠AEC 若已知∠BEA与∠ADC，你又会得到什么结论？为什么？规律：同弧或等弧所对的圆周角相等。相等的圆周角所对的弧相等。 思考：在等圆中上述结论成立吗？问题：在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？
如图，∠ABC=30°，∠A′B′C′=30°，但是弧AC 与A′C′不等观察与思考？规律：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等。问题1、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，那么你发现了些什么结论？定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角12证明：连接OC. AB是⊙O的直径，
OA=OB=OC ∴∠A=∠1,∠2=∠B.∴∠ACB= ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠B ，∵△ABC中，∠ACB+∠A + ∠B=180° ∴2∠ACB =180 ° ∴∠ACB =90 ° 它的逆命题
也成立吗？逆定理：90°的圆周角所对的弦是直径。已知：A,B,C是⊙O上任一点,求证：AB是⊙O的直径∠ACB =90 ° 你自己可以证明出来吗吗？1、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（ ）A、30°； B、60°；C、90°； D、45°2、如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A、70°； B、110°；
C、90°； D、120°
例2：如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=28°，求∠BAD的度数. 例题讲解补充例题例3、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：AB · AC = AE · ADAOBCDE分析：要证AB · AC = AE · AD△ADC∽ △ABE或△ACE∽ △ADB题后思：1、证明题的思路寻找方法；
2、等积式的证明方法；
3、辅助线的思考方法。例 4如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，解：∵AB是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.例题例5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。∴△ABC是锐角三角形解：（1）AB=AC
证明：连接AD又∵DC=BD，∴AB=AC。（2）△ABC是锐角三角形。由（1）知，∠B=∠C＜90 °连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 °∵AB是直径，∴∠ADB=90°，1.填空题:
(1)如图所示,
∠BAC= ,∠DAC= .∠DBC∠BDC(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm,
C为⊙O上一点,∠BAC=30°,
则BC= cm 53.如图,△ABC的顶点均在⊙O上,
AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径. E　　 4.如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E
求证：BE=EC
⌒⌒展示自我 第三课时∠ACB的度数与它所对的弧AB的度数有什么关系?分析:连接OA,OB,∴ ∠ACB的度数等于它所
对的弧AB的度数的一半.规律：
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半观察与思考？ABDC如图:四边形ABCD中,∠A 与 ∠C有何关系?∠A +∠C=180例1：已知:如图,四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，求证：∠B+∠D=1800例题欣赏变式1：已知:如图,四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，∠A＝100°，点E在BC的延长线上，求∠DCE的度数。结论:圆的内接四边形对角互补ＯＣＢＡＤ例题欣赏变式3：如图,在⊙O中，∠AOC=1200，∠ACB=250,求∠BAC的度数。驶向胜利的彼岸 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理例1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径 ∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∠ACB= ∠AOB12∠BAC= ∠BOC2∠AOB=2∠BOC∠ACB=2∠BAC1 ⌒　例2、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A所以∠CDB= ∠CAB=20所以∠DAB=50°°　
例3.在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A例5. 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)．此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出⊙BMN，显然，A点在⊙BMN外，设MA交圆于C，则 ∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，
　　所以∠MAN＜∠MBN．
　　因此，甲应将球回传给乙，让乙射门. ·o(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于
“危险角”时,船位于哪个区域?为什么?(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小
于“危险角”时,船位于哪个区域?
为什么?例6.船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图所示,A,B表示灯塔,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点∠ACB就是“危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁. ·o答(1)船位于暗礁区域内(即圆o内).
理由:假设船在⊙O上,则有∠α=∠C,这与
∠α＞ ∠ C矛盾.所以船不可能在⊙O上;
假设船在⊙O外,则有∠ α＜ ∠AEB,即
∠ α ＜ ∠C,这与∠ α ＞ ∠C矛盾.
所以:
船不可能在⊙O外.
因此,船只能位于⊙O内.(2)船位于暗礁区域外(即⊙O外).拓展 化心动为行动1.如图(1),在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?
3.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD12345678∠1 = ∠4∠5 = ∠8∠2 = ∠7∠3 = ∠6练 习∠A=21° 练 习3、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_ _；20°1、圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。2、圆周角定理的推论2：用于找相等的角用于找相等的弧用于判断某个圆周角是否是直角用于判断某条线是否过圆心半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。 想一想1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°
90°的圆周角所对的弦是圆的直径小结: