第二章测评(二)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若直线ax+y-a+1=0与直线(a-2)x-3y+a=0垂直,则实数a的值可能为( )
A.-1 B.1
C.-3 D.-1或3
2.已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( )
A.(0,2) B.(0,4)
C.(2,0) D.(4,0)
3.已知双曲线=1的一条渐近线的方程为y=x,则双曲线的焦距为( )
A. B.10 C.2 D.2
4.若点(m,n)在直线l:3x+4y-13=0上,则的最小值为( )
A.3 B.4 C.2 D.6
5.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果,著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0,0),A(3,0),圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足|PA|=2|PO|,则r的取值为 ( )
A.1 B.5 C.1或5 D.不存在
6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于( )
A. B. C. D.
7. 我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应半椭圆的焦点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为( )
A.,1 B.,1
C.5,3 D.5,4
8.已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,点P是直线y=4上的动点,过P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则|AB|的最小值为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知圆x2+y2-2x+4y+3=0与直线x-y=1,则( )
A.圆心坐标为(1,-2)
B.圆心到直线的距离为
C.直线与圆相交
D.圆的半径为
10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为=1的条件是( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线过点
C.双曲线的渐近线方程为3x±4y=0
D.双曲线的实轴长为4
11. 如图所示,一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角θ=60°的平面所截,截面是一个椭圆,则下列说法正确的是( )
A.椭圆的长轴长为8
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的离心率为
D.椭圆的一个方程可能为=1
12.已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是( )
A.=1 B.|AF|=6
C.|BD|=2|BF| D.F为线段AD的中点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p= .
14.若等轴双曲线C的左顶点A,右顶点B分别为椭圆+y2=1(a>0)的左、右焦点,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2= .
15.圆过点A(1,-2),B(-1,4),则周长最小的圆的方程为 .
16.已知点A(1,)在抛物线y2=2px上,若△ABC的三个顶点都在抛物线上,记三边AB,BC,CA所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,则= .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知A(0,1),B(-2,-1),C(5,3)三点.
(1)求AB边上中线所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积.
18.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到双曲线x2-y2=1的渐近线距离为,且抛物线的焦点与椭圆:=1(a>b>0)的右焦点F重合,直线y=x与椭圆相交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)求椭圆的标准方程.
19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,左、右焦点分别为F1,F2,且过点P.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若=3,求直线l的方程.
20.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.
21.(12分)已知平面上动点M(x,y)与定点(1,0)的距离和M到定直线x=2的距离的比是常数,动点M的轨迹为曲线C.直线l与曲线C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两个不同的点.
(1)若直线l的方程为y=2x+2,求△OPQ的面积;
(2)若△OPQ的面积为,证明:均为定值.
22.(12分)给定椭圆C:=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”的方程;
(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N(异于点P).求证:弦长|MN|为定值.
第二章测评(二)
1.D 由题意得a(a-2)+1×(-3)=0,即a2-2a-3=0.解得a=-1或a=3.
故选D.
2.C 因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,
所以-=-2,得p=4,
则该抛物线的焦点坐标是(2,0).
3.C 由题意得,得m=4,
则双曲线的焦距为2=2.
4.C ∵点(m,n)在直线l:3x+4y-13=0上,
∴3m+4n-13=0,∴n=m,∴,
当且仅当m=时,取最小值为2.
故选C.
5.C 设点P(x,y).
∵|PA|=2|PO|,即=2,
整理得(x+1)2+y2=4,
∴点P的轨迹为以C1(-1,0)为圆心,半径r1=2的圆.
∵圆C:(x-2)2+y2=r2是以C(2,0)为圆心,半径r的圆,
由题意可得3=|CC1|=r+r1或3=|CC1|=|r-r1|,
∴r=1或r=5.
故选C.
6.B 由题可知,p=2,k>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.
由
得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
所以x1x2=4, ①
根据抛物线的定义得
|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+2.
因为|FA|=2|FB|,
所以x1=2x2+2, ②
由①②得x2=1(x2=-2舍去),
所以B(1,2),代入y=k(x+2)得k=.
7.A |OF2|=,
|OF0|=c=|OF2|=,
∴b=1,
∴a2=b2+c2=,
得a=.
8.B 圆C:x2+y2-4x-2y+1=0化为标准方程:(x-2)2+(y-1)2=4,其圆心C(2,1),半径r=2.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为A,B,如图.在△PAC中,有S△PAC=|CA||AP|=×|CP|,即|AP|=×|CP|,变形可得|AB|=.
设|CP|=x,则|AB|==4.
所以当|CP|的值即x最小时,的值最大,此时|AB|最小.而|CP|的最小值为点C到直线y=4的距离,即|CP|min=3,所以|AB|min=4.
故选B.
9.AD 把圆的方程化为标准形式得(x-1)2+(y+2)2=2,所以圆心坐标为(1,-2),半径为,所以圆心到直线x-y=1的距离为d=,直线与圆相切.
故选AD.
10.ABC 双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),可得c=5.
如果离心率为,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为=1,故A正确;
c=5,双曲线过点,可得解得所以双曲线C的方程为=1,故B正确;
c=5,渐近线方程为3x±4y=0,可得解得所以双曲线C的方程为=1,故C正确;
c=5,实轴长为4,可得a=2,b=,双曲线C的方程为=1,故D不正确.
11.BD 由题意易知椭圆的短半轴长b=4.
∵截面与底面所成的角为θ=60°,
∴椭圆的长轴长为2a==16,则a=8,
∴c==4,离心率为,当以椭圆中心为原点,椭圆的长轴为x轴,短轴为y轴建立坐标系时,则椭圆的方程为=1.
故选BD.
12.BCD 如图,F,设A(xA,yA),B(xB,yB),由A,B分别向准线作垂线,交点为A',B',直线l的斜率为,则直线方程为y=,
联立得12x2-20px+3p2=0,
解得xA=,xB=.
由|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p==8,得p=3.
所以抛物线方程为y2=6x.
则|AF|=xA+=2p=6,故B正确;
所以|BF|=2,,故A错误;
|BD|==4,则|BD|=2|BF|,故C正确;
所以|AF|=|DF|=6,则F为AD的中点,故D正确.
13.2 依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x0≥0),
则|QF|=x0+的最小值是=1,则p=2.
14.1 依题意,椭圆+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为A(-a,0),B(a,0),
所以以A,B分别为左、右顶点的等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2.
设双曲线上异于A,B的点P的坐标为(x,y)(x≠±a),
则直线PA,PB的斜率分别为k1=,k2=,
所以k1k2==1.
15.x2+y2-2y-9=0 显然当AB为直径时,圆周长最小,此时圆心为,即(0,1),半径为,故圆的方程为x2+(y-1)2=10,即x2+y2-2y-9=0.
16. ∵点A(1,)在抛物线Γ:y2=2px上,
∴2=2p×1,解得p=1,
∴抛物线Γ的方程为y2=2x.
设B,y1,C,y2,则k1=,k2=,k3=,
.
17.解(1)已知A(0,1),B(-2,-1),C(5,3)三点,
所以AB的中点坐标D(-1,0),
故直线CD的方程为y=(x-1),整理得x-2y-1=0.
(2)由于A(0,1),B(-2,-1),
所以|AB|==2,
直线AB的方程为y-1=x,整理得x-y+1=0,
利用点C到直线AB的距离d=,
所以S△ABC=×2=3.
18.解(1)设抛物线的焦点F,0,
双曲线x2-y2=1的渐近线的方程为x±y=0,可得F到渐近线的距离d=,可得p=2,
所以抛物线的焦点F(1,0),
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)由题意可得椭圆的右焦点F(1,0),即c=1,设左焦点F'(-1,0),直线y=x关于原点对称,椭圆也关于原点对称,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=4,可得2a=4,即a=2,
可得b2=a2-c2=4-1=3,
所以椭圆的方程为=1.
19.解 (1)由题意得c=,则F1(-,0),F2(,0),
则2a=|PF1|+|PF2|==4,
则a=2,b==1,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为x=my+(m>0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+2my-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
Δ=16(m2+1)>0恒成立,由根与系数的关系可得y1+y2=,y1y2=. ①
由=3,得y1=-3y2, ②
由①②可得m=.
故直线l的方程为2x-y+2=0.
20.(1)解 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-,
由抛物线的定义可得,|AF|=4+=5,
解得p=2,
即抛物线的方程为y2=4x.
(2)证明 设直线l:x=my+4,由题可知m≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),
将x=my+4代入抛物线方程y2=4x,可得y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>0恒成立,
y1+y2=4m,y1y2=-16,
x1x2==16,
即有x1x2+y1y2=0,则,则以AB为直径的圆必过坐标原点.
21.(1)解由题意可知,|x-2|,化简,得曲线C的方程为+y2=1,
联立直线与椭圆
消去y,整理得9x2+16x+6=0,则Δ=40.
O到直线PQ的距离d=,
所以△OPQ的面积S=,
所以△OPQ的面积为.
(2)证明当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程x=m,解得Pm,,Qm,-,所以△OPQ的面积S=×|m|×2,
解得m2=1,
所以=2,=1,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,联立
消去y,整理得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0,所以Δ=8(2k2-m2+1),
所以x1+x2=-,x1x2=,
所以|PQ|=.
O到直线PQ的距离d=,
所以△POQ的面积S=×|PQ|×d=,化简得2m2=2k2+1,
所以=(x1+x2)2-2x1x2==2,=1-+1-=1,
所以=2,=1.
22.(1)解 由条件可得
解得
所以椭圆的方程为=1,
其“卫星圆”的方程为x2+y2=12.
(2)证明 ①当l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设l1斜率不存在,因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=2或x=-2,当l1方程为x=2时,此时l1与“卫星圆”交于点(2,2)和(2,-2),
此时经过点(2,2)或(2,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2,即l2为y=2或y=-2,
所以l1⊥l2,
所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=4.
②当l1,l2的斜率都存在时,设点P(x0,y0),其中=12,设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线分别为y=t1(x-x0)+y0,y=t2(x-x0)+y0,统一记为y=t(x-x0)+y0,
联立方程组消去y,
整理得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0,
所以Δ=(64-8)t2+16x0y0t+32-8=0,
则方程的两根为t1,t2,
所以t1t2==-1,
满足条件的两直线l1,l2垂直.
所以线段MN应为“卫星圆”的直径,
所以|MN|=4.
综合①②知,弦长|MN|为定值4.第二章测评(一)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是( )
A.4 B. C. D.
2.已知圆(x-1)2+y2=4内一点P(2,1),则过P点的最短弦所在的直线方程是( )
A.x-y-1=0 B.x+y-3=0
C.x+y+3=0 D.x=2
3.已知椭圆C:=1(m>4)的离心率为,则椭圆C的长轴长为( )
A. B.6 C.2 D.12
4.若α∈,则直线4xcos α+6y-7=0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.,π
C.0, D.
5.设双曲线C:=1(a>b>0)的两条渐近线夹角为α,且tan α=,则其离心率为( )
A. B.2或
C. D.
6.已知从点(-5,3)发出的一束光线,经x轴反射后,反射光线恰好平分圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆周,则反射光线所在的直线方程为( )
A.2x-3y+1=0 B.2x-3y-1=0
C.3x-2y+1=0 D.3x-2y-1=0
7.已知a>0,b>0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,则的最小值为( )
A.2 B.4 C. D.
8.已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,N是x轴上点F右侧一点,若以FN为始边,FM为终边的角∠NFM=60°,则|FM|等于( )
A.2 B. C.2 D.4
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知方程=1表示的曲线为C,则以下四个判断正确的为( )
A.当1B.当t>4或t<1时,曲线C表示双曲线
C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4
10.已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于A,B两点,下列说法正确的为( )
A.两圆有两条公切线
B.直线AB的方程为y=2x+4
C.线段AB的长为
D.圆O上点E,圆M上点F,|EF|的最大值为+3
11.已知椭圆M:=1的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A1,A2,点P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,则下列说法正确的是( )
A.|PF1|+|PF2|=5
B.直线PA1与直线PA2的斜率之积为-
C.存在点P满足∠F1PF2=90°
D.若△F1PF2的面积为4,则点P的横坐标为±
12.设A,B是抛物线x2=y上的两点,O是坐标原点,下列结论正确的是( )
A.若OA⊥OB,则|OA||OB|≥2
B.若OA⊥OB,直线AB过定点(1,0)
C.若OA⊥OB,点O到直线AB的距离不大于1
D.若直线AB过抛物线的焦点F,且|AF|=,则|BF|=1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.在平面直角坐标系中,从点P(5,2)发出的光线射向x轴,经x轴反射到直线y=x上,再反射经过点(10,9),则光线由P到Q经过的路程长为 .
14.已知半径为1的圆C关于直线2x-y-4=0对称,写出圆C的一个标准方程 .
15.双曲线=1(b>0)的离心率为,则b= ,过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为A,设O为坐标原点,则|OA|= .
16.设椭圆=1上的一点P到椭圆两焦点的距离的乘积为s,则当s取得最大值时,点P的坐标是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知F1(-4,0),F2(4,0)是双曲线C:=1(m>0)的两个焦点,点M是双曲线C上一点,且∠F1MF2=60°,求△F1MF2的面积.
18.(12分)过点P(1,2)作直线l分别与x,y轴正半轴交于点A,B.
(1)若△AOB是等腰直角三角形,求直线l的方程;
(2)对于①|OA|+|OB|最小,②△AOB面积最小,若选择 作为条件,求直线l的方程.
19.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4.
(1)求p,t的值;
(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标.
20.(12分)已知抛物线C1:y2=8x的准线与x轴交于点F1,其焦点为F2,椭圆C2以F1,F2为焦点,且离心率为.
(1)求椭圆C2的标准方程;
(2)设直线l:y=x+t与椭圆C2交于A,B两点,若|AB|=4,求△AOB(点O为坐标原点)的面积.
21.(12分)已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.
(1)求直线l的方程;
(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称 若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.
22.(12分)已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ的端点Q的坐标是(4,3),端点R在圆C上运动,且点T满足=2,记T点的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)过点A(0,3)斜率为k的直线l与曲线Γ交于M,N两点,试探究:
①设O为坐标原点,若=26,这样的直线l是否存在 若存在,求出|MN|;若不存在,说明理由.
②求线段MN的中点D的轨迹方程.
第二章测评(一)
1.D 由直线平行可得3m-6=0,解得m=2,则直线方程为6x+2y+1=0,即3x+y+=0,则距离是.
故选D.
2.B 由题意可知,当过圆心且过点P(2,1)时所得弦为直径,当与这条直径垂直时所得弦长最短,圆心为C(1,0),P(2,1),则由两点间斜率公式可得kCP==1,所以与PC垂直的直线斜率为k=-1,则由点斜式可得过点P(2,1)的直线方程为y-1=-1×(x-2),化简可得x+y-3=0.
故选B.
3.C 由题意可知,解得m=6,即a=,
所以椭圆长轴长为2.
4.B 因为α∈,则cosα∈0,,
所以直线4xcosα+6y-7=0的斜率为k=-∈-,0,因此直线4xcosα+6y-7=0的倾斜角的取值范围是,π.
故选B.
5.A ∵双曲线=1(a>b>0)的两条渐近线夹角为α,且tanα=,
∴一条渐近线的斜率为tan,
则,解得tan或tan=-2(舍),
∴e2=1+,
∴e=(负值舍去).
6.A 设点A的坐标为(-5,3),圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆心坐标为B(1,1),
设C(x,0)是x轴上一点,因为反射光线恰好平分圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆周,
所以反射光线经过点B(1,1).
由反射的性质可知kAC+kBC=0 =0 x=-,于是kBC=,所以反射光线所在的直线方程为y=x+ 2x-3y+1=0.故选A.
7.D 因为l1⊥l2,所以2b+a-4=0,即a+1+2b=5.
因为a>0,b>0,所以a+1>0,2b>0,
所以=×(a+1+2b)=2+≥2+2=,当且仅当a=,b=时,等号成立.
故选D.
8.D 如图所示,由题意得焦点坐标F(1,0),准线方程为x=-1,
设M的坐标为,y,∠NFM=60°,
∴>1,
∴|y|=-1,
整理得y2-4|y|-4=0,
解得|y|=2,
又∠NFM=60°,
∴|FM|==4.
9.BCD 若曲线C:=1表示椭圆,
则
∴1若曲线C:=1表示双曲线,
则(4-t)(t-1)<0,
∴t<1或t>4,故B正确;
若曲线C:=1表示焦点在x轴上的椭圆,则∴1若曲线C:=1表示焦点在y轴上的双曲线,则∴t>4,故D正确.
故选BCD.
10.ABD 圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径r1=2,圆M:(x+2)2+(y-1)2=1的圆心M(-2,1),r2=1,
|OM|=,显然有r1-r2<|OM|由得4x-2y+8=0,则直线AB的方程为y=2x+4,故B正确;
圆心O到直线AB:2x-y+4=0的距离d=,
则|AB|=2=2,故C不正确;
|EF|≤|EO|+|OF|≤|EO|+|OM|+|MF|=r1+|OM|+r2=+3,当且仅当点E,O,M,F四点共线时等号成立,如图,
因此当点E,F分别是直线OM与圆O交点E',与圆M交点F'时,|EF|max=+3,故D正确.
故选ABD.
11.BD 由椭圆方程可得:a=5,c=,
则F1(-,0),F2(,0),A1(-5,0),A2(5,0),
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10,故A错误;
设点P的坐标为(m,n),
则=1,即n2=20(25-m2),
则,
所以=-,故B正确;
=(--m,-n),=(-m,-n),
若∠F1PF2=90°,则=m2-5+n2=0,
又n2=(25-m2),联立可得m2+15=0,方程无解,故C错误;
|F1F2||yP|=×2×|yP|=4,
解得yP=±4,代入椭圆方程可得xP=±,故D正确.
12.ACD 对于A,设A(x1,),B(x2,).
∵OA⊥OB,∴=0,∴x1x2+(x1x2)2=0,
∴x1x2(1+x1x2)=0,∴x2=-,
∴|OA||OB|==2,当且仅当x1=±1时等号成立,故A正确;
对于B,若OA⊥OB,显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,
联立方程消去y得x2-kx-m=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴x1+x2=k,x1x2=-m,
∴y1y2==(x1x2)2=m2.
∵OA⊥OB,∴=0,∴x1x2+y1y2=0,
∴-m+m2=0,∴m=0或m=1,
易知直线AB不过原点,∴m=1,
∴直线AB的方程为y=kx+1,恒过定点(0,1),故B错误;
∴点O到直线AB的距离d=.
∵k2≥0,∴k2+1≥1,∴d≤1,故C正确;
对于D,直线AB过抛物线的焦点F,设直线AB的方程为y=kx+,
联立方程消去y得x2-kx-=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设点A在y轴右侧,
∴x1+x2=k,x1x2=-,
∴|AF|=y1+,
∴y1=,∴x1=,
∴x2==-,
∴y2=,
∴|BF|=y2+=1,故D正确.
13.4 设光线自点P射向x轴上的A点,经过反射后射向直线y=x上的B点,再经过反射后射向Q点,点P关于x轴的对称点P',点Q关于直线y=x的对称点Q',则P'(5,-2),Q'(9,10),所以光线由P到Q经过的路程长为|PA|+|AB|+|BQ|=|P'A|+|AB|+|BQ'|=|P'Q'|==4.
14.(x-2)2+y2=1(答案不唯一,只要圆心C在直线2x-y-4=0上,半径为1,均可) 由题可知,圆C关于直线2x-y-4=0对称,半径为1,
则圆心C在直线2x-y-4=0上,则当x=2时,y=0,
所以当圆心C为(2,0)时,圆C的标准方程为(x-2)2+y2=1.
15.1 2 因为双曲线=1(b>0)的离心率为,可得,则b=1,
所以双曲线-y2=1的右焦点F(,0),
其中一条渐近线方程为x-2y=0,
所以|AF|==1,
所以|OA|==2.
16.(0,3)或(0,-3) 设椭圆=1的焦点为F1,F2,
由椭圆定义可得,|PF1|+|PF2|=2a=10,
则s=|PF1|·|PF2|≤2=a2=25,
当且仅当|PF1|=|PF2|=a=5,即P(0,3)或(0,-3),s取得最大值25.
17.解因为F1(-4,0),F2(4,0)是双曲线C:=1(m>0)的两个焦点,
所以m+4=16,所以m=12.
设|MF1|=t1,|MF2|=t2.因为点M是双曲线上一点,且∠F1MF2=60°,所以|t1-t2|=4.
在△F1MF2中,由余弦定理可得-2t1t2cos60°=64.联立上述两式可得t1t2=16,
所以△F1MF2的面积S=t1t2sin60°=4.
18.解(1)因为过点P(1,2)作直线l分别与x,y轴正半轴交于点A,B,且△AOB是等腰直角三角形,所以直线l的倾斜角为,
所以直线l的斜率为k=tan=-1,
所以直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
(2)设A(a,0),B(0,b)(a,b>0),直线l的方程为=1,代入点P(1,2)可得=1.
若选①:|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=3+≥3+2=3+2,当且仅当a=+1,b=2+时等号成立,此时直线l的斜率k=-=-,
所以直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+y-2-=0.
若选②:由=1≥2,可得ab≥8,当且仅当a=2,b=4时等号成立,
所以S△AOB=ab≥4,即△AOB面积最小为4,
此时直线l的斜率k=-=-2,
所以直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
19.(1)解 由抛物线的定义,得3+=4,解得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x,
将点T(3,t)代入,得t2=12,解得t=±2.
(2)证明 设直线AB的方程为x=my+n,
A,B,
联立消去x得y2-4my-4n=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4n.
由=5,得+y1y2=5,
所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),
即-4n=-20,n=5,
所以直线AB的方程为x=my+5,
所以直线AB过定点(5,0).
20.解(1)因为抛物线C1:y2=8x的焦点F2(2,0),设椭圆C2的标准方程为=1(a>b>0),
则c=2.又因为其离心率为,
所以,所以a=2,
所以b==2,
所以椭圆C2的标准方程为=1.
(2)联立直线l:y=x+t与椭圆C2的标准方程可得3x2+4tx+2t2-8=0,
所以x1+x2=-,x1x2=,
所以|AB|=|x2-x1|==4,
所以t2=3,
所以△AOB的面积为S=×4×.
21.解 (1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.
设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,
与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.
判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)=64m-2+>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有y1+y2=8m,
由8m=4,得m=,
所以直线l的方程为2x-y-2=0.
(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,
则可设lCD:y=-x+n,与抛物线方程y2=8x联立,
消去y,得x2-(n+8)x+n2=0,
其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,
则n>-4. (*)
又xC+xD=4(n+8),
所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,
得n=-,不满足(*)式.
所以满足题意的C,D两点不存在.
22.解(1)设R(x0,y0),则(x0-1)2+(y0-3)2=9,
设T(x,y),因为=2,
所以
则(3x-8-1)2+(3y-6-3)2=9,
即曲线Γ的方程为(x-3)2+(y-3)2=1.
(2)①由题意,知直线l方程为y=kx+3,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立
可得(1+k2)x2-6x+8=0,
则Δ=36-32(1+k2)>0,解得k2<,且有x1+x2=,x1x2=,
所以y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=,
则=x1x2+y1y2==26,解得k=1,不符合k2<,
故不存在这样的直线l,使得=26.
②由①知,MN中点坐标为0即D点坐标为+3,
又因为=k,所以xD=,
整理可得xD-2+(yD-3)2=,即点D的轨迹方程为x-2+(y-3)2=.
