(共45张PPT)
第一章
1.1.2 空间向量基本定理
课程标准
1.掌握共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义;
2.理解基底、基向量的概念,能用恰当的基底表示空间向量;
3.能用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理和空间向量基本定理解决立体几何中的简单问题.
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知识点1
空间中的共线向量基本定理
由于向量可以平移,该定理与平面上的共线向量定理相同
两个空间向量a,b,如果a≠0,且b∥a,则 的实数λ,使得 .
名师点睛
存在唯一
b=λa
过关自诊
已知向量a,b不共线,p=ka+b,q=a-k2b,若p,q共线,则k的值是( )
A.0 B.1
C.-1 D.2
C
解析 若p,q共线,则存在唯一的实数x,使p=xq,即ka+b=xa-xk2b,则
知识点2
共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb.
名师点睛
证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示:只需判断三个向量中的一个向量是否可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.
(2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点O及不共线的三点A,B,C,
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
√
×
2.向量a,b均是非零向量,a,b不共线,在空间中任取一点O,作 =a, =b,若向量c与a,b共面,则表示c的有向线段所在的直线与平面OAB的关系是什么
解 表示c的有向线段所在直线与平面OAB平行或该直线在平面OAB内.
知识点3 空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a,b,c ,那么对空间中的任意一个向量p,存在 的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.空间中不共面的三个向量a,b,c组成空间向量的一组基底,记为{a,b,c}.此时,a,b,c都称为基向量;如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式.
名师点睛
任意三个不共面向量都可构成空间向量的一组基底,每一个空间向量都可被分解成任意一组基底的线性组合,同一个向量在同一组基底下的分解式是唯一的.
不共面
唯一
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.( )
(2)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底.( )
(3)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(x,y,z),使0=xa1+ya2+za3.( )
×
×
×
C
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探究点一 空间向量共线的判定
【例1】 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1,AB的中点,E在AA1上且AE=2EA1,F在CC1上且
变式探究本例中问题改为“用向量法证明四边形EMFN为平行四边形”.
∵点M,N,F,E不在一条直线上,∴四边形EMFN为平行四边形.
规律方法 1.判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.本例中紧紧围绕 之间的关系,正是体现了共线向量基本定理的应用要领.
2.求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,b≠0,则a=λb(λ∈R)”.这一结论可逆向解决已知条件为向量平行的若干问题.
3.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线的方法
变式训练1如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线.
证明 如图,取CD的中点E,连接AE,BE.
因为M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,所以M在BE上,N在AE上.
又因为BN与BG有公共点B,
所以B,G,N三点共线.
探究点二 空间向量共面问题
【例2】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在BB1和DD1
证明:A,E,C1,F四点共面.
规律方法 证明空间三向量共面或四点共面的方法
设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.对于此方法的使用要注意涉及的向量的始点、终点问题.
x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面.可使用这一推论进行共面的证明.
(2)点M是否在平面ABC内
∵它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,
∴M,A,B,C四点共面,即点M在平面ABC内.
探究点三 空间向量基本定理
角度1.基底的判断
∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3.
∵e1,e2,e3不共面,
规律方法 判断给出的某三个向量能否组成空间向量的一组基底,关键要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,那么常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.此例中将能否作为基底问题转化为一个方程组是否有解的讨论.
变式训练3下列说法正确的是( )
A.任何三个向量可构成空间向量的一组基底
B.空间向量的基底有且仅有一组
C.A,B,M,N是空间中的四个点,若 不能构成空间向量的一组基底,则点A,B,M,N共面
D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等
C
解析 A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的一组基底,所以A错.
B项中空间向量的基底有无数组,所以B错.C项显然正确.
D项中因为基底不唯一,所以D错.
故选C.
角度2.用基底表示向量
规律方法 1.空间中,任一向量都可以用一组基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量组成基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量组成基底.
变式训练4[人教A版教材例题]如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点
角度3.空间向量基本定理的应用
【例5】 如图所示,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM∶MC=2∶1,N为PD中点,求满足
规律方法 用基向量表示指定向量的方法
选定空间中不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示待求向量,再对照目标,将不符合目标要求的向量当作新的待求向量,如此继续下去,直到所有向量都符合目标要求为止.
D
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1
2
3
4
5
1.给出下列说法,其中错误的是( )
A.空间任意三个向量都可以组成空间向量的一组基底
B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间向量的一组基底
C.若{a+b,b+c,c+a}是空间向量的一组基底,则{a,b,c}也是空间向量的一组基底
D.已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间向量的一组基底
A
1
2
3
4
5
解析 A选项,空间任意三个不共面的向量才可以组成一组基底,故A错;
B选项,若a∥b,则a,b与任何向量都共面,故不能构成空间向量的一组基底,故B对;
C选项,设d是空间任意一个向量,由题意存在唯一一组实数(x,y,z),使d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,则{a,b,c}也是空间向量的一组基底,故C对;
D选项,∵{a,b,c}是空间向量的一组基底,∴a,b与向量m=a+c一定不共面,∴{a,b,m}也是空间向量的一组基底,故D对.故选A.
1
2
3
4
5
2.下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是( )
C
1
2
3
4
5
论正确的有( )
A.P∈直线AB B.P 直线AB
C.O,A,B,P四点共面 D.P,A,B三点共线
ACD
1
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1
2
3
4
5(共28张PPT)
第一章
1.2.4 二面角
课程标准
1.掌握二面角的概念;
2.理解二面角的平面角的含义;
3.能用向量法解决二面角的计算问题.
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知识点1
二面角及其度量
半平面
二面角
棱
面
二面角的平面角
过关自诊
1. 如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为( )
A.∠PAC B.∠CPA
C.∠PCA D.∠CAB
C
解析 ∵C是圆上一点(不同于A,B),AB是圆的直径,
∴AC⊥BC.又PA⊥BC,AC∩PA=A,AC,PA 平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又PC 平面PAC,∴BC⊥PC.又平面ABC∩平面PBC=BC,PC∩AC=C,∴由二面角的定义知∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.故选C.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA与平面BCDA所形成的平面角大小为 .
45°
知识点2
用空间向量求二面角的大小
(1)如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则有θ=
或θ=π-,特别地,sin θ= .
(2)设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,有|cos θ|= |cos|= 成立.
sin
名师点睛
利用公式cos= (n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.
如图②④中就是二面角α -l-β的平面角的补角;如图①③中就是二面角α -l-β的平面角.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.( )
(2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.( )
×
√
2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.90°
C
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探究点一 二面角的平面角问题
【例1】如图所示,在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.
解 ∵PC⊥平面ABC,PC 平面PAC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于点D(图略),可得BD⊥平面PAC.
作DE⊥PA于点E,连接BE(图略),据三垂线定理,则BE⊥PA,从而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.设PC=a,依题意知△ABC是边长为a的正三角形,
规律方法 1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解.
2.二面角的求法
变式训练1已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形,且AD= a,则二面角A-BC-D的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
C
探究点二 利用空间向量求二面角
【例2】如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O, A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明:O1O⊥底面ABCD;
(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.
(1)证明 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD.又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD.因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.
(2)解 因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.
如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系.
设棱长为2.因为∠CBA=60°,
设平面OC1B1的法向量为m=(x,y,z),
变式探究如果本例条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值.
规律方法 利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.
变式训练2[北师大版教材例题]如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D',求二面角A'-DC-A的平面角.
解 由AA'⊥平面ABCD,可知n1=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
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2
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4
1.已知平面α内有一个以AB为直径的圆,PA⊥α,点C在圆周上(异于点A,B),点D,E分别是点A在PC,PB上的射影,则( )
A.∠ADE是二面角A-PC-B的平面角
B.∠AED是二面角A-PB-C的平面角
C.∠DAE是二面角B-PA-C的平面角
D.∠ACB是二面角A-PC-B的平面角
B
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4
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AC-D的正切值为( )
D
解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,易求得平面ACD1的一个法向量为n1=(1,-1,1),平面ACD的一个法向量为n2=(0,0,1),所
1
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4
3. 如图所示,点A,B,C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上,
=(0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2).设二面角C-AB-O的大小为θ,则cos θ= .
1
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3
4
4.在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,求平面SCD与平面SAB所成角的余弦值.
解 以A为原点,分别以AB,AD,AS为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图,
1
2
3
4(共31张PPT)
第一章
1.1.1 第1课时 空间向量的概念及线性运算
课程标准
1.了解由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念;
2.了解由平面向量的线性运算及其运算法则推广到空间向量的过程;
3.掌握空间向量的线性运算,并理解其几何意义.
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知识点1
空间向量的概念
(1)空间向量的定义
空间向量 空间中既有 ,又有 的量
向量的模(或长度) 向量的大小也称为向量的模,向量a的模可用 来表示
大小
方向
|a|
(2)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 始点和终点相同的向量称为 ,记为0(书写时,用 表示)
单位向量 的向量称为单位向量(常用e表示,即|e|=1)
相等向量 的向量称为相等向量
相反向量 与向量a大小 ,方向 的向量,称为a的相反向量,记作
向量共线 如果两个非零向量的方向 ,则称这两个向量平行(也称为两个向量共线),记作a∥b
共面向量 一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在 内,则称这些向量共面,否则称这些向量
零向量
模等于1
大小相等,方向相同
相等
相反
相同或者相反
-a
同一平面
不共面
名师点睛
1.平面向量的相关概念与约定,去掉“在平面内”的限定后,就都可以推广到空间中.
2.易错点重温:
(1)向量的模可以比较大小,而两个向量可以相等但不可以比较大小.
(2)通常规定零向量与任意向量平行,研究向量平行(共线)问题时勿遗漏这一特殊情况.例如,“a∥b,b∥c,则a∥c”这是一个假命题.
过关自诊
1.下列说法正确的是( )
A.若|a|=|b|,则向量a∥b
B.若|a|>|b|,则向量a>b
C.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
D.若a与b是相反向量,则|a|=|b|
D
2.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为棱AA',AB的中点.
知识点2
空间向量的线性运算及其运算律
(1)如图,任意给定两个不共线的向量a,b,在空间中任取一点O,作
①加法:a+b= .
②减法:a-b= .
(2)数乘:λa,
①当λ≠0,a≠0时,
|λa|= ,而且λa的方向:
当λ>0时,λa与a方向 ;
当λ<0时,λa与a方向 ;
②当λ=0或a=0时,λa=0.
(3)共线向量基本定理
如果a≠0且b≠a,则存在唯一的实数λ,使得 .
|λ||a|
相同
相反
b=λa
(4)线性运算律
①加法交换律:a+b= ;
②加法结合律:(a+b)+c= ;
③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)= .
b+a
a+(b+c)
λa+λb
名师点睛
1.空间向量的线性运算及其运算律为平面向量的推广.
2.以向量a,b为邻边的平行四边形中,a+b与a-b对应的有向线段所表示的是两条对角线,|a+b|与|a-b|为两条对角线的长度.
3.三个不共面的向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
4.首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,它们的和向量为0.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)空间中两个非零向量相加时,可以在空间中任取一点作为它们的共同始点.( )
(2)若a=λb(b≠0),则λ= .( )
√
×
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探究点一 空间向量的概念
【例1】 给出下列说法:①两个空间向量相等,则它们的始点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有 ;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
C
解析 当两个空间向量的始点相同,终点也相同时,这两个向量必相等;但两个向量相等,不一定有始点相同、终点相同,故①错误;根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错误;根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1
④显然正确;对于⑤,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错误.
故选C.
规律方法 解决有关向量概念的问题时,要熟练掌握空间向量的有关概念,注意区分向量与向量的模以及数量.尤其要注意解决此类概念问题时,要多结合几何图形进行分析,并要与平面向量中的结论进行类比.
变式训练1(多选题)下列命题正确的是( )
A.零向量没有确定的方向
ABD
探究点二 空间向量的线性运算
【例2】 如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.
规律方法 1.对于借助几何图形的向量运算,应该在线性运算的基础上挖掘几何体本身的特征,如平行、相等、垂直等.
2.转化与化归思想意识要加强,除借助向量的运算律外,还可以将已知向量转化为与之相等的向量以方便运算.
B
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1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
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2.若向量a=2i-k,向量b=j-2k,则2a-b=( )
A.-4i+j
B.-4i+j-4k
C.4i-j
D.4i-j-4k
C
解析 因为向量a=2i-k,向量b=j-2k,
所以2a=4i-2k,所以2a-b=(4i-2k)-(j-2k)=4i-j.故选C.
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3. [北师大版教材习题]如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,点M为A'C'与
A
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4. (多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC和BD的交点为O,设
AC
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5
5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD中点,若(共36张PPT)
第一章
1.2.3 直线与平面的夹角
课程标准
1.掌握直线与平面所成角的概念,并理解其唯一性;
2.理解最小角定理及公式cos θ=cos θ1cos θ2,能用这一公式解决相关问题;
3.能用空间向量求直线与平面所成的角问题.
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知识点1
直线与平面所成的角
90°
0°
射影
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角.( )
(2)若直线与平面相交,则该直线与平面所成的角的范围为(0, ).( )
2.直线与平面所成的角的取值范围是什么 斜线与平面所成的角的取值范围是什么
×
×
知识点2
最小角定理
(1)线线角、线面角的关系式
如图,设OA是平面α的一条斜线段,O为斜足,A'为A在平面α内的射影,而OM是平面α内的一条射线.θ是OA与OM所成的角,θ1是OA与OB所成的角,θ2是OB与OM所成的角,则有cos θ= .
(2)最小角定理
平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内 中最小的角.
cos θ1cos θ2
所有直线所成角
过关自诊
1.已知平面α内的角∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成角均为135°,则PC与平面α所成角的余弦值是( )
B
解析 设PC与平面α所成的角为θ,由最小角定理知cos 45°=cos θcos 30°,
2.将公式cos θ=cos θ1cos θ2中角的余弦值换成正弦值是否成立
解 不成立.只有在特定的条件下能相等.也只能是数值上的相等,不具有等式的一般性结论.
知识点3
用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,则有
(2)cos θ=sin,sin θ= .
|cos|
过关自诊
1.已知向量m,n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量,若
cos=- ,则l与α所成的角为( )
A.30° B.60°
C.150° D.120°
B
解析 设l与α所成的角为θ,则sin θ=|cos|= ,
∴θ=60°.
故选B.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为 .
解析 设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系如图,
则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).
重难探究·能力素养全提升
探究点一 用定义法求直线与平面所成的角
【例1】 在正四面体ABCD中,E为棱AD的中点,连接CE,求CE和平面BCD所成角的正弦值.
解 如图,过A,E分别作AO⊥平面BCD,EG⊥平面BCD,O,G为垂足,则AO∥GE,AO=2GE.连接GC,则∠ECG为EC和平面BCD所成的角.
因为AB=AC=AD,所以OB=OC=OD.
因为△BCD是正三角形,所以O为△BCD的中心.
连接DO并延长交BC于F,则F为BC的中点.
令正四面体ABCD的棱长为1,
变式探究在本例中将条件“E为棱AD的中点”改为 .其他不变,结论又如何
规律方法 1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.
2.找射影的两种方法
3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响结论.
变式训练1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.求EB与平面ABCD夹角的余弦值.
解 如图,取CD的中点M,连接EM,BM,则EM∥PD.
∵PD⊥平面ABCD,∴EM⊥平面ABCD,∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角.
设PD=DC=a(a>0).
探究点二 向量法求直线与平面的夹角
【例2】 [人教A版教材习题]如图,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=OC=3,OB=2.求直线OB与平面ABC所成角的正弦值.
解 ∵OA,OB,OC两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵OA=OC=3,OB=2,
∴O(0,0,0),A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0),
取z=2,则x=3,y=2,
∴n=(3,2,2)是平面ABC的一个法向量,
规律方法 通过此类例题不仅要熟悉求直线与平面夹角的一般流程,更重要的是注意对所给几何体的结构分析、合理建系是问题的关键,如果求夹角还要结合线面角的范围.
变式训练2 [北师大版教材例题]如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,底面边长为2,AA'= ,求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值.
解 由正三棱柱知AA'⊥平面ABC,故以点A为原点,AC,AA'所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直线坐标系如图所示,易知n=(1,0,0)是平面ACC'A'的一个法向量.
探究点三 最小角定理的应用
【例3】 如图,在正四面体ABCD中,CD在平面α内,点E是线段AC的中点,在该四面体绕CD旋转的过程中,直线BE与平面α所成的角θ不可能是( )
D
规律方法 1.最小角定理是立体几何的重要定理之一,指与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于该直线与平面内其他直线的夹角.
2.本例中先明确直线BE与CD所成角的余弦值是突破口,再利用最小角定理即可做出判断.
变式训练3PA,PB,PC是由P点出发的三条射线,两两夹角均为60°,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( )
C
解析 设所求角为θ,根据最小角定理及公式可得cos 60°=cos 30°cos θ,得
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1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos= ,则l与α所成的角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
A
解析 设l与α所成的角为θ且0°≤θ≤90°,
则sin θ=|cos|= ,∴θ=30°.
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2.AB⊥平面α于点B,BC为AC在α内的射影,CD在α内,若∠ACD=60°, ∠BCD=45°,则AC和平面α所成的角为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
C
解析 设AC和平面α所成的角为θ,
则cos 60°=cos θcos 45°,故cos θ= ,所以θ=45°.
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3.[2023甘肃永昌高二阶段检测]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2, AA1=1,则直线BC1与平面BB1DD1所成角的正弦值为( )
D
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解析 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),
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4.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α成30°角,则斜边上的中线CM与平面α所成的角为 .
45°
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5.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,求CS与平面ABCD所成的角的正弦值.
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5(共28张PPT)
第一章
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
课程标准
1.会利用空间直线上的点求直线的方向向量;
2.能用直线的方向向量求空间两直线所成的角.
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知识点1
点的位置向量、直线的方向向量
点的位 置向量 一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量 唯一确定,此时, 通常称为点P的位置向量
直线的方 向向量 一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l
过关自诊
[北师大版教材习题]已知点A(1,2,1),B(0,1,3), (点O为坐标原点),求点C的坐标,并写出直线BC的一个方向向量的坐标.
所以直线BC的一个方向向量的坐标为(1,2,1).
知识点2
空间中两条直线所成的角
设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=或θ=π-,特别地,sin θ= ,cos θ= ;
l1⊥l2 = v1·v2=0.
过关自诊
已知直线a,b的方向向量分别是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若a⊥b,则k= .
sin
|cos|
-2或-1
解析 ∵a⊥b,
∴m⊥n,即m·n=0.
∴k+k2+2k+2=0,即k2+3k+2=0,
∴k=-2或k=-1.
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探究点一 利用向量法求解直线的位置关系
角度1.判定直线的位置关系
【例1】 (1)[2023江苏高二课时练习]已知直线l的方向向量为a=(2,1,3),且直线l经过点A(0,y,6)和点B(-2,-4,z),则y= ,z= .
-3
3
(2)设a,b分别是两条不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的位置关系:
①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);
②a=(5,0,2),b=(0,4,0).
解 ①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),
∴a=-b,∴a∥b,∴l1∥l2.
②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),∴a·b=0,
∴a⊥b,∴l1⊥l2.
规律方法 解决直线的位置关系,可用直线对应的方向向量的坐标来刻画,对于此类问题应注意先要进行宏观判断,再合理地选取坐标公式.
若直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为u2=(a2,b2,c2).(注:下面的λ,k∈R)
(1)如果l1∥l2,那么u1∥u2 u1=λu2 (a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2);
(2)如果l1⊥l2,那么u1⊥u2 u1·u2=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
变式训练1[北师大版教材例题]在空间直角坐标系中,已知点A(1,1,0), B(2,3,3),C(0,1,2),点D为直线AB上的一点,且CD⊥AB,
角度2.证明线线垂直问题
【例2】如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2, ∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.求证:EF⊥BC.
证明 由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,
在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐
规律方法 证明两直线垂直的基本步骤
对于几何体为三棱锥的情况一定要注意建系的合理性,要使已知数据和所用的点更多地落在坐标平面或坐标轴上为标准.本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直这一条件.
变式训练2已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN= CC1.求证:AB1⊥MN.
证明 设AB中点为O,作OO1∥AA1.以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
探究点二 异面直线所成的角
【例3】 如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB, ∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA= ,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.
规律方法 1.求解异面直线夹角方法,常用的就是建系后利用向量的坐标处理,除此之外还要注意其他方法的要领.
(1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形求解.这种方法灵活技巧性强,强调对夹角定义的挖掘;
2.运用向量法常用两种途径
(1)基底法
在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底的方法.在由公式cos= 求向量a,b的夹角时,关键是求出a·b及|a|与|b|,一般是把a,b用基向量表示出来,再求有关的量;
(2)坐标法
根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出各相关点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.
变式训练3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A
解析 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则
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1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是( )
A.(2,2,6) B.(-1,1,3)
C.(3,1,1) D.(-3,0,1)
A
解析 ∵A,B在直线l上,∴ =(1,1,3),与 共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.
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2.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于
( )
A.-2 B.2 C.10 D.6
C
解析 因为a⊥b,故a·b=0,
即-2×3+2×(-2)+m=0,解得m=10.
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解析 如图所示,以C为原点,以CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设AC=BC=CC1=2,可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),
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4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上的动点,求证:A1E⊥BD.
证明 以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).(共38张PPT)
第一章
1.2.5 空间中的距离
课程标准
会用向量方法求两点之间、点到直线、点到平面、相互平行的直线与平面、平面与平面之间的距离及它们之间的相互转化,能用法向量求距离.
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知识点1
空间中点与点、直线、平面的距离
借助图形理解公式的由来并记忆
(1)空间中两点之间的距离
(2)点到直线的距离
n0是直线l的单位方向向量,A∈l,则点P到直线l的距离
(3)点到平面的距离
一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离
过关自诊
1.若已知点A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段AB的长为( )
A
2.已知空间中三点A(1,0,0),B(2,1,-1),C(0,-1,2),则点C到直线AB的距离为
( )
A
3.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为( )
D
知识点2
相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
两类距离都可以转化为点到面的距离
(1)如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为d= .
(2)如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为d= .
名师点睛
解决立体几何问题的三种方法
(1)综合方法:以逻辑推理作为工具解决问题.
(2)向量方法:利用向量的概念及其运算解决问题.
(3)坐标方法:建立直角坐标系,利用坐标表示几何对象或向量,通过运算解决几何问题.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离等于直线l上的点到平面α的距离.( )
(2)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.( )
√
√
2.已知平面α∥平面β,直线l α,α与β之间的距离为d,下列说法中正确的有
( )
①β内有且仅有一条直线与l的距离为d;
②β 内所有的直线与l的距离都等于d;
③β内有无数条直线与l的距离为d;
④β内所有直线与α的距离都等于d.
A.① B.②
C.①④ D.③④
D
解析 在直线l上任取一点O,过O作OA⊥β于A,在平面β内,过点A且与l不平行的所有直线与l的距离都是d,否则不一定是d,所以①②错误.故选D.
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探究点一 求两点间的距离
【例1】 已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,求点B,D之间的距离.
解 (方法一)过点D和点B分别作DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,则由已知条件可知AC=5,
∵平面ADC⊥平面ABC,DE⊥AC,平面ADC∩平面ABC=AC,∴DE⊥平面ABC.
又BF 平面ABC,
(方法二)如图,过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F,过点E作FB的平行线EP,易知EP,EC,ED两两垂直.以E为坐标原点,EP,EC,ED所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
规律方法 用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法,设
变式训练1如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是( )
A.2
C
解析 (方法一)如图,以线段AC中点O为原点,分别以OB,OC,OF为x轴、y
(方法二)设AC中点为G,连接GE,GF.在Rt△FGE中,|EF|2=|FG|2+|GE|2=4+1=5,∴EF= .
探究点二 求点到直线的距离
【例2】如图,在空间直角坐标系Axyz中,有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1, BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离.
解 因为AB=1,BC=2,AA'=3,
所以A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0),
规律方法 求点到直线的距离在特定的几何结构中还可以直接根据定义用平面几何知识解决或用体积法解决,但这两类解法技巧性强.用向量法就避免了这一构造技巧,但要注意在选取方向向量时要用上几何体中的已知点,然后用向量计算公式解决.
变式训练2如图,六面体ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若P在正方体
C
解析 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
探究点三 求点到平面的距离
【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解 (1)以点D为原点,分别以DA,DC,DP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则
(2)连接AC,则AC∥EF,直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离,
规律方法 向量法求点到平面的距离的一般步骤
变式训练3[人教A版教材习题]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为CD的中点,求点D1到平面AEC1的距离.
图1
图2
成果验收·课堂达标检测
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D
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2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是( )
D
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3.已知直线l过点A(2,3,1),且向量n=(1,0,-1)所在直线与l垂直,则点P(4,3,2)到l的距离为 .
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4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若M,N,P,Q分别为A1B1,BC,A1D1, DC的中点,则直线MN与直线PQ之间的距离为 . (共57张PPT)
第一章
1.2.2 空间中的平面与空间向量
课程标准
1.理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平面的法向量;
2.能用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系;
3.理解三垂线定理及其逆定理.
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知识点1
平面的法向量
平面的位置关系问题一般借助平面的法向量处理
(1)如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α ,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作 .
(2)平面的法向量的求法
在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤:
①设平面的法向量为n=(x,y,z);
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);
垂直
n⊥α
④解方程组,取其中的一组解,即得平面的一个法向量.
名师点睛
如果n是平面α的法向量,则对于任意实数λ≠0,向量λn也是平面α的法向量.
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1.[人教A版教材习题]判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量.( )
(2)在空间直角坐标系中,j=(0,0,1)是坐标平面Oxy的一个法向量.( )
2.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A.(0,-3,1) B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)
√
√
D
知识点2
用空间向量处理线面(面面)平行或垂直关系
(1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则当________ 时,l与α垂直;当n⊥v时, .
(2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则当________ 时,α1与α2垂直;当n1∥n2时,α1与α2平行,或者α1与α2重合.
n∥v
l与α平行,或者l在α内
n1⊥n2
名师点睛
解答这类问题的关键:一是要清楚直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系;二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法.在把向量问题转化为几何问题时,要注意两者的区别,直线的方向向量和平面平行,则直线可能在平面内,也可能与平面平行.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.( )
(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.( )
(3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.( )
√
√
√
2.设直线l的一个方向向量d=(6,2,3),平面α的一个法向量n=(-1,3,0),则直线l与平面α的位置关系是( )
A.垂直
B.平行
C.直线l在平面α内
D.平行或直线l在平面α内
D
知识点3
三垂线定理及三垂线定理的逆定理
这两个定理即为线面垂直判定与性质的引申
三垂线定理:如果 的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的
垂直,则它也和这条 垂直.
三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条 在该平面内的 垂直.
平面内
射影
斜线
斜线
射影
过关自诊
在平面α内和这个平面的斜线l垂直的直线( )
A.只有一条
B.可能一条也没有
C.可能有一条也可能有两条
D.有无数多条
D
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探究点一 求平面的法向量
【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD= ,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.
解 因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.
变式探究本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
规律方法 求平面的法向量的注意事项
(1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.
(2)取特值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个为特殊值得另两个值,得到平面的一个法向量.
(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.
变式训练1[北师大版教材例题]已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),求平面ABC的一个法向量的坐标.
不妨取x=1,得y=z=-1,
所以平面ABC的一个法向量的坐标为(1,-1,-1).
探究点二 有关空间向量的证明问题
角度1.利用空间向量证明平行问题
【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
令z2=2,得y2=-1,所以n2=(0,-1,2).
因为n1=n2,即n1∥n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.
规律方法 证明线面、面面平行问题的方法
(1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内,如例2(1)中,FC1 平面ADE一定不能漏掉.
(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.当然要注意当法向量坐标中有0时,要使用n1=λn2这一形式.
变式训练2[人教A版教材例题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=4,BC=3,CC1=2.线段B1C上是否存在点P,使得A1P∥平面ACD1
解 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为A,C,D1的坐标分别为(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),
取z=6,则x=4,y=3,
所以n=(4,3,6)是平面ACD1的一个法向量.
角度2.证明线面垂直问题
【例3】 如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
证明 如图所示,取BC的中点O,连接AO.
因为△ABC为正三角形,
所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO 平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1,以O为坐标原点,OB,OO1,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,
又因为BA1∩BD=B,BA1,BD 平面A1BD,
所以AB1⊥平面A1BD.
变式探究本例中增加条件,E,F分别是BC,BB1的中点,求证:EF⊥平面ADE.
证明 建系同例3:点E与点O重合.
即EF⊥EA,EF⊥ED.
又EA∩ED=E,EA,ED 平面ADE,∴EF⊥平面ADE.
规律方法 1.用坐标法证明线面垂直的常用方法
2.对于容易建系的几何载体要尽量用坐标法处理有关垂直问题,如果只用基向量法解决涉及的线性运算和数量积运算比较复杂.而建系后只需一切交给坐标即可.
变式训练3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.
证明 (方法一)设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),
又AB1∩AC=A,AB1,AC 平面B1AC,
∴EF⊥平面B1AC.
同理,EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C 平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.
角度3.证明面面垂直问题
【例4】如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE, AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.求证:平面ADE⊥平面ABE.
证明 取BE的中点O,连接OC,易知OC⊥BE.
又AB⊥平面BCE,所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示),则
又AB⊥平面BCE,OC 平面BCE,
所以AB⊥OC.
因为BE⊥OC,AB∩BE=B,AB,BE 平面ABE,
所以OC⊥平面ABE,
规律方法 证明面面垂直的两种方法
(1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
(2)向量法:证明两个平面的法向量互相垂直.本例就是用的向量法,关键是明确两个平面的法向量.
变式训练4[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=2,BC=CC1=1,E是CD的中点,F是BC的中点.求证:平面EAD1⊥平面EFD1.
取x1=1,则y1=1,z1=1,
∴n1=(1,1,1)是平面EAD1的一个法向量.
取x2=2,则y2=-1,z2=-1,
∴n2=(2,-1,-1)是平面EFD1的一个法向量.
又n1·n2=1×2+1×(-1)+1×(-1)=0,
∴n1⊥n2,
∴平面EAD1⊥平面EFD1.
探究点三 三垂线定理及其逆定理
【例5】如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形, ∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.
证明 如图,取BC的中点O,连接AO,交BD于点E,连接PO.
因为PB=PC,
所以PO⊥BC.
又平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO 平面PBC,
所以PO⊥平面ABCD,所以AP在平面ABCD内的射影为AO.
在直角梯形ABCD中,AB=BC=2CD,易知Rt△ABO≌Rt△BCD,
所以∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°,
即AO⊥BD.
由三垂线定理,得PA⊥BD.
规律方法 1.三垂线定理及其逆定理用于判定空间直线互相垂直时的注意事项
(1)从条件上看,三垂线定理的条件是“和射影垂直”;其逆定理的条件是“和斜线垂直”.
(2)从功能上看,三垂线定理用于解决已知共面垂直,证明异面垂直的问题;逆定理正好相反.解决垂心问题需要两次垂直的证明,都能用上定理和其逆定理的框架结构.
2.三垂线定理及其逆定理应用中的三个环节
用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的关键在于构造三垂线定理的基本图形,创设应用定理的环境.构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节:(1)确定投影面;(2)作出垂线;(3)确定射影.
变式训练5如图,BC是Rt△ABC的斜边,过点A作△ABC所在平面α的垂线AP,连接PB,PC,过点A作AD⊥BC于点D,连接PD,那么图中的直角三角形共有
( )
A.4个
B.6个
C.7个
D.8个
D
解析 ∵AP⊥平面α,
∴PD在平面α内的射影为AD.
∵AD⊥BC,由三垂线定理可得,PD⊥BC,
∴△ABC,△ABD,△ACD,△PBD,△PCD,△PAB,△PAD,△PAC均为直角三角形,共8个.故选D.
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1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( )
A.l∥α B.l⊥α
C.l α D.l与α相交但不垂直
B
解析 ∵n=-2a,∴a∥n,即l⊥α.
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2.[2023山东潍坊高二阶段练习]过空间三点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1)的平面的一个法向量是( )
A.(1,1,1) B.(1,1,-1)
C.(1,0,1) D.(-1,0,1)
A
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令z=1,得平面的一个法向量是(1,1,1).
故选A.
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3.若平面α,β的法向量分别为a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),则α与β的位置关系是
( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
B
解析 ∵a·b=-2+2+0=0,∴a⊥b,∴α⊥β.
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4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AB1,平面A1C1的中心.求证:EF∥平面ACD1.
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证明 如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,
则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,1,1),F(1,1,2),
又EF 平面ACD1,∴EF∥平面ACD1.
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5.在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°, E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=a,则
∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC.
又AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
又AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,∴CD⊥平面ABC,
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第一章
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
课程标准
1.理解空间向量基本定理,掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示;
2.能用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算;
3.能用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题.
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知识点1
空间中向量的坐标
(1)一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量
(2)空间向量的运算与坐标的关系
空间向量a,b,其坐标形式为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
体会坐标运算从平面到空间的推广
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b a+b=
减法 a-b a-b=
数乘 λa λa=
数量积 a·b a·b=
(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
(λx1,λy1,λz1)
x1x2+y1y2+z1z2
特别地,
①如果μ,v是两个实数,那么
μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2);
(3)空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有a∥b (其中x1,y1,z1均不为0);
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
名师点睛
1.若不明确x1y1z1≠0,则可以用以下结论进行求解,即
2.空间向量的坐标运算可类比平面向量的坐标运算进行记忆.
过关自诊
1.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于( )
A.(16,0,4) B.(8,-16,4)
C.(8,16,4) D.(8,0,4)
D
解析 4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).
2.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则( )
D
3.向量a=(2,-3, ),b=(1,0,0),则cos= .
4.已知向量a=(1,-2,-1),b=(3,m,-1),若a⊥b,则m= .
2
解析 ∵a⊥b,
∴a·b=3-2m+1=0,∴m=2.
知识点2
空间直角坐标系
为了刻画空间中点的位置,按照如下方式建立空间直角坐标系:在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy,然后过O作一条与xOy平面 的数轴z轴.这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.
在空间直角坐标系Oxyz中,x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴;通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面.z轴的正方向一般按照如下方式确定:在z轴的正半轴看xOy平面,x轴的正半轴绕O点沿 时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合.
垂直
逆
空间中建立了空间直角坐标系之后,三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分,如图.每一部分都称为一个卦限.
命名体会传统文化,四象生八卦
名师点睛
1.空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间,有了一一对应关系,空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z).此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标).
2.八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点:
Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(-,+,+);
Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+);
Ⅴ:(+,+,-);Ⅵ:(-,+,-);
Ⅶ:(-,-,-);Ⅷ:(+,-,-).
过关自诊
1.点P(1,2,1)关于xOz平面的对称点的坐标是( )
A.(1,-2,1) B.(-1,-2,1)
C.(1,2,-1) D.(-1,-2,-1)
2.点A(0,-2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A.在x轴上 B.在xOy平面内
C.在yOz平面内 D.在xOz平面内
A
C
解析 ∵点A的横坐标为0,∴点A(0,-2,3)在yOz平面内.故选C.
知识点3
空间直角坐标系中两点之间的距离公式及中点坐标
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则
过关自诊
1.已知点A(-3,1,5)与点B(4,3,1),则AB的中点坐标是( )
B
2.[2023湖南祁东高二阶段练习]已知点A(3,-1,0),若向量 =(2,5,-3),则点B的坐标是( )
A.(1,-6,3)
B.(5,4,-3)
C.(-1,6,-3)
D.(2,5,-3)
B
重难探究·能力素养全提升
探究点一 空间向量坐标的计算
【例1】 [北师大版教材例题]已知向量a=(-1,-3,2),b=(1,2,0),求:
(1)2a;(2)(a+2b)·(-2a+b).
解 (1)2a=2(-1,-3,2)=(-2,-6,4).
(2)因为a+2b=(-1,-3,2)+2(1,2,0)=(-1,-3,2)+(2,4,0)=(1,1,2),
-2a+b=-2(-1,-3,2)+(1,2,0)=(2,6,-4)+(1,2,0)=(3,8,-4),
所以(a+2b)·(-2a+b)=(1,1,2)·(3,8,-4)=1×3+1×8+2×(-4)=3.
规律方法 空间向量坐标的计算技巧
(1)直接代入公式计算
首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量按坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程组求出其坐标.变式中的求参问题便属于这一类型题目.
变式训练1若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x= .
2
解析 据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2.
探究点二 空间向量平行、垂直的坐标表示
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
又因为(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)
变式探究若将本例改为“若ka-b与ka+2b互相垂直”,求k的值.
解 由题意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4).
∵(ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)·(ka+2b)=0,
规律方法 1.判断空间向量垂直或平行的步骤
2.求出参数值后还要再回归到原题检验解的可行性,解决平行或垂直时用的坐标,若含参数还要注意分类讨论思想的应用.
变式训练2[2023河南高二阶段练习]已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2).
(1)若a∥b,求x的值;
(2)若(a+b)⊥c,求x的值.
解 (1)∵a∥b,∴b=λa,
(2)a+b=(-2,1,3+x).
∵(a+b)⊥c,
∴(a+b)·c=0,
∴-2-x+2(3+x)=0,
∴x=-4.
探究点三 空间向量的夹角与长度的计算
【例3】 [2023安徽高二阶段练习]棱长为2的正方体中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,且CG= CD,H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下列问题:
(1)求证:EF⊥B1C;
(3)求FH的长.
(1)证明 如图,以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,
规律方法 通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷.对于正方体载体常用的建系方法一般如例题中所述.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
变式训练3如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N为A1A的中点.
(1)求BN的长;
解 已知∠BCA=90°,如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
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1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O为坐标原点,若 ,则点B的坐标为( )
A.(-1,3,-3) B.(9,1,1)
C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1)
6
B
因为O为坐标原点,则点B坐标为(9,1,1).
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2.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标是
( )
A.(0,0,0)
B.(2,-1,-4)
C.(6,-3,-12)
D.(-2,3,12)
6
C
解析 设对称点为P3,则点M为线段PP3的中点,设P3(x,y,z),由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,
所以P3(6,-3,-12).
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3.(多选题)已知a=(2,-3,1),则下列向量中不与a平行的是( )
A.(1,1,1) B.(-4,6,-2)
C.(2,-3,5) D.(-2,-3,5)
6
ACD
解析 若a∥b,b≠0,必有b=λa.当b=(-4,6,-2)时,b=-2(2,-3,1)=-2a,所以a∥b.经检验,其他向量均不与a平行.
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4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是 .
6
解析 依题意得(ka+b)·(2a-b)=0,
所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,
而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,
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6.[2023辽宁沈阳高二阶段练习]设空间向量a=(-1,2,m),b=(2,n,-4),若a∥b,则|a-b|= .
6
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解析 因为a∥b,所以b=λa,
即(2,n,-4)=λ(-1,2,m),
所以a=(-1,2,2),b=(2,-4,-4),
则a-b=(-3,6,6),(共40张PPT)
第一章
本章总结提升
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
目录索引
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
专题一 空间向量的运算
1.空间向量的运算主要包括空间向量的加减数乘运算以及坐标运算,一般与共线向量定理、共面向量定理以及空间向量基本定理综合考查.
2.掌握基本的运算及共面、共线定理以及空间向量基本定理,重点提升数学运算和直观想象素养.
规律方法 1.空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的,要用类比的思想去掌握,在空间向量的加、减、数乘等线性运算中,要选择适当的向量为基底,用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算,同时还要以相应的图形为指导.
2.在求一个向量由其他几个向量来表示的时候,通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点,把所求的向量逐步分解最终归结为基底下的表示.
变式训练1如图,在四面体OABC中,G是△ABC的重心,D是OG的中点,则
( )
B
专题二 空间向量与线面位置关系
1.主要考查利用直线的方向向量与平面的法向量,判定、证明空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直.
2.掌握直线的方向向量与平面的法向量,理解并记忆判定平行与垂直的公式,提升逻辑推理和直观想象素养.
【例2】 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形, ∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.
(1)求证:DE∥平面ABC;
(2)求证:B1F⊥平面AEF.
证明 如图,建立空间直角坐标系Axyz.
令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),A1(0,0,4),B1(4,0,4),D(2,0,2).
∵AF∩FE=F,AF,FE 平面AEF,
∴B1F⊥平面AEF.
规律方法 证明线面平行和垂直问题,可以用几何法,也可以用向量法.用向量法的关键在于构造向量,再用共线向量定理或共面向量定理及向量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系,其证法将更为灵活方便,但要注意向量可平移这一特性,例如证明线面平行时需要强调直线上有一点不在平面内.
变式训练2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.
(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在直线AE上求一点M,使得A1M⊥平面AED.
(1)证明 以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),
同理,平面A1FD1的一个法向量为n2=(0,2,1),
∴n1·n2=(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n1⊥n2,
∴平面AED⊥平面A1FD1.
专题三 空间向量与角
1.主要考查利用直线的方向向量与平面的法向量,求直线与直线所成的角、直线与平面的夹角和平面与平面所成的角.
2.掌握并理解利用直线的方向向量与平面的法向量求角的公式,提升逻辑推理和直观想象素养.
【例3】 [人教A版教材习题]如图,△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°.求:
(1)直线AD与直线BC所成角的大小;
(2)直线AD与平面BCD所成角的大小;
(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
解 在平面ABC内过B点作z轴垂直于BC,在平面BCD内过B点作x轴垂直于BC.
∵平面ABC⊥平面DBC,
∴∠xBz=90°.
建立空间直角坐标系Bxyz如图所示,
过A点向z轴作垂线可求得纵、竖坐标.
设AB=a,
∴直线AD与直线BC所成角的大小为90°.
(2)设直线AD与平面BCD所成角为θ1,
∵n=(0,0,1)是平面BCD的一个法向量,
∴θ1=45°,即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°.
(3)设m=(x,y,z)是平面ABD的法向量.
规律方法 1.线线角
(1)用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角),解三角形求角.
(2)用“向量法”求两直线的方向向量所成的角.
2.线面角
(1)按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影),解三角形.
(2)求平面的法向量,利用直线的方向向量与平面的法向量所成的角和直线与平面所成角的关系求线面角.
(3)利用等体积法求点到面的距离,由距离与斜线段长的比值等于线面角的正弦值求线面角.
3.二面角
(1)可以用定义法作出二面角的平面角解决.
(2)向量法是计算二面角大小的常用方法,只要合理建系,将所求归结为向量运算就可以较容易地解决问题.
这三种空间角的求解方法很多,学习中应以向量法为主,侧重渗透向量坐标法这一特色.
变式训练3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 .
变式训练4正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
变式训练5如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2, AC=4,∠ACB=∠ACD= ,F为PC的中点,AF⊥PB.
(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
解 (1)如图,连接BD交AC于O.因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.
专题四 利用空间向量计算距离
1.空间距离的计算思路
(2)设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到
2.通过利用向量计算空间的角,可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
【例4】 在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.
解 如图所示,以AD的中点O为原点,以OD,OC所在直线为x轴、y轴,过O作OM⊥平面ACD交AB于M,以直线OM为z轴建立空间直角坐标系,
变式训练6[人教A版教材习题]如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离;
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
解 以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则(共39张PPT)
第一章
1.1.1 第2课时 空间向量的数量积
课程标准
1.理解空间向量夹角的概念;
2.掌握空间向量的数量积的概念、相关性质及数量积的运算律;
3.能运用向量的数量积,判断向量垂直,并用于证明两直线垂直.
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知识点1
空间向量数量积的概念
(1)空间向量的夹角
定义 给定两个非零向量a,b,任意在空间中选定一点O,作 =a, =b,则大小在[0,π]内的 称为a与b的夹角,记作
范围
向量 垂直 如果= ,则称向量a与b互相垂直,记作
∠AOB
0≤≤π
a⊥b
(2)向量的投影
一般地,给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α),过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线,假设垂足为A,B,则向量 称为a在直线l(或平面α)上的投影.
(3)空间向量的数量积
两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cos.规定零向量与任意向量的数量积为0.
向量的投影仍是一个向量
名师点睛
1.空间向量的数量积是一个实数而不是一个向量.
2.数量积的正负取决于向量的夹角,注意两向量反向时夹角为π.
3.数量积的几何意义:向量a在b上投影的数量与b的模的乘积.
过关自诊
判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)[北师大版教材习题]向量b在a方向上的投影的数量等于向量a在b方向上的投影的数量.( )
×
×
知识点2
空间向量数量积的性质及其运算律
(1)性质
①若a,b为非零向量,则 a·b=0(垂直条件);
④|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时等号成立).
a⊥b
|a|2
(2)
运算律 表示
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R
交换律 a·b=b·a
分配律 (a+b)·c=a·c+b·c
名师点睛
1.a⊥b的充要条件是a·b=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法,同时也说明由a·b=0不能得到a=0或b=0.
2.向量的数量积不满足结合律.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.( )
(2)若非零向量a,b为共线且同向的向量,则a·b=|a||b|.( )
×
√
2.对于空间任意两个非零向量a,b,“a∥b”是“=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
A.30° B.60° C.150° D.120°
D
4. [人教A版教材习题]如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设
(1)a·(b+c);
(2)a·(a+b+c);
(3)(a+b)·(b+c).
解 (1)a·(b+c)=a·b+a·c=0+0=0.
(2)a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=1+0+0=1.
(3)(a+b)·(b+c)=a·b+a·c+b2+b·c=0+0+12+0=1.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 向量的数量积的求解
【例1】如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算:
规律方法 求两个向量数量积的方法
变式训练1如图,在三棱锥P-ABC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=2,AB=AC=1,M
D
探究点二 数量积的应用
角度1.利用数量积求解夹角和模
【例2】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,点N为AA1的中点.求:
变式探究2本例中,若CA=CB=AA1=1,其他条件不变,求异面直线CA1与AB所成的角.
规律方法 求向量的夹角和模
(1)求两个向量的夹角:利用公式cos= 求cos,进而确定.
(2)求线段长度(距离):①取此线段对应的向量;②用其他已知夹角和模的向量表示该向量;③利用|a|= ,计算出|a|,即得所求长度(距离).
角度2.利用数量积证明垂直问题
【例3】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,
∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.
证明 由底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,知DA⊥BD,
规律方法 1.由数量积的性质a⊥b a·b=0(a,b是非零向量)可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的非零向量,只要证明这两个向量的数量积为0即可.
2.用向量法证明线面(面面)垂直,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直.
变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.
又OG∩BD=O,OG 平面GBD,BD 平面GBD,
∴A1O⊥平面GBD.
成果验收·课堂达标检测
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A
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2. [北师大版教材习题]如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',设
D
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4. [北师大版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,已知|AB|=1,|AD|=2,|AA'|=3,分别求向量
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5.[人教A版教材习题]如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°.求:
(2)AB'的长;
(3)AC'的长.
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