(共23张PPT)
第二章
2.7.2 抛物线的几何性质
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]已知抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离等于6,则直线AF的斜率为( )
D
解析 由题意,点F(2,0),因为|AF|=xA+2=6,可得xA=4,又因为点A在抛物线上,
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2.[探究点二]过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=( )
A.6 B.8 C.9 D.10
B
解析 因为直线AB过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8.故选B.
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B
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4.[探究点一](多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=-8y
CD
解析 设抛物线方程为x2=2py或x2=-2py(p>0),2p=8,p=4,∴抛物线方程为x2=8y或x2=-8y.
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5.[探究点三]已知抛物线y2=8x的准线为l,点P是抛物线上的动点,直线l1的方程为2x-y+3=0,过点P分别作PM⊥l,垂足为M,PN⊥l1,垂足为N,则|PM|+|PN|的最小值为( )
B
解析 令抛物线y2=8x的焦点为F,则F(2,0),连接PF,如图.
因为l是抛物线y2=8x的准线,点P是抛物线上的动点,且PM⊥l于M,于是
得|PM|=|PF|,点F(2,0)到直线l1:2x-y+3=0的距离
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又PN⊥l1于N,显然点P在点F与N之间,于是有|PM|+|PN|=|PF|+|PN|≥d,当且仅当F,P,N三点共线时取“=”,所以|PM|+|PN|的最小值为d= .故选B.
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6.[探究点二](多选题)已知抛物线C:x2=4y,其焦点为F,准线为l,PQ是过焦点F的一条弦,点A(2,2),则下列说法正确的是( )
A.焦点F到准线l的距离为2
B.焦点F(1,0),准线方程l:x=-1
C.|PA|+|PF|的最小值是3
D.以弦PQ为直径的圆与准线l相切
ACD
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解析 由抛物线C:x2=4y,可得F(0,1),准线l:y=-1,故选项B错误;由抛物线C:x2=4y,可得2p=4,即p=2,所以焦点F到准线l的距离为p=2,故选项A正确;过点P作PP'⊥l,垂足为P',由抛物线的定义可得|PF|=|PP'|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥d=3(d为点A(2,2)到准线l的距离),当且仅当A,P,P'三点共线时等号成立,所以|PA|+|PF|的最小值是3,故选项C正确;过点P,Q分别作PP'⊥l,QQ'⊥l,垂足分别为P',Q',
设弦PQ的中点为M,则弦PQ为直径的圆的圆心为M,过点M作MM'⊥l,垂足为M',则MM'为直角梯形PP'Q'Q的中位线,
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7.[探究点三]已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+ y2+3的最小值是 .
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解析 因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,
所以当x=0时,z最小,其值为3.
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8.[探究点一]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F,A是C的准线上一点,线段AF与C交于点B( ,y0),O为坐标原点,且S△AOF=3,则p= .
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9.[探究点二]已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1.
(1)求p的值;
(2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.
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B 级 关键能力提升练
C
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11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,直线l':x-y+2=0,动点M在C上运动,记点M到直线l与l'的距离分别为d1,d2,O为坐标原点,则当d1+d2最小时,cos∠MFO的值为( )
A
解析 由抛物线的定义可知,d1=|MF|,设MN⊥l',垂足为N,
∴d1+d2=|MF|+|MN|,
当M,F,N三点共线时,d1+d2最小.
∵抛物线C:y2=4x,∴焦点F(1,0),
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设直线l'与x轴的交点为D,令y=0,得x=-2,即FD=2+1=3,在Rt△DNF
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12.(多选题)已知直线l: x-y- =0过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法错误的是( )
A.抛物线的方程为y2=4x
BD
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又l经过y2=2px的焦点,故F(1,0),可得p=2,
即抛物线方程为C:y2=4x,故A正确;
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13.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l于A,若直线AF的倾斜角为120°,那么|PA|= .
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解析 如图,令抛物线的准线l交x轴于点E,连接PF,点F(1,0),直线l:x=-1.
因为直线AF的倾斜角为120°,则有∠AFE=60°,又PA⊥l于A,即PA∥x轴,得∠PAF=60°.
由抛物线定义知|PF|=|PA|,于是得△PAF为正三角形,
即|PA|=|AF|=2|EF|=4,所以|PA|=4.
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C 级 学科素养创新练
14.(多选题)已知抛物线C:y= x2,过焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,直线AO,BO分别与直线m:y=-2相交于M,N两点,则下列说法正确的是( )
A.焦点F的坐标为(0,2)
B.y1y2=1
D.△AOB与△MON的面积之比为定值
BCD
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解析 由题意知抛物线方程为x2=4y,其焦点坐标为(0,1),故A错误;
显然直线AB的斜率存在,设斜率为k,则直线AB的方程为y=kx+1,
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14第二章2.3.2 圆的一般方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.[探究点一]圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为( )
A.2 B. C.1 D.
3.[探究点一]方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示( )
A.以(a,b)为圆心的圆
B.以(-a,-b)为圆心的圆
C.点(a,b)
D.点(-a,-b)
4.[探究点二](多选题)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(-2,3),C(-1,-2),则下列说法正确的有( )
A.AC边上的高所在直线的方程为x+y-1=0
B.△ABC的外接圆的方程为x2+y2+3x-y-4=0
C.△ABC的面积为12
D.直线BC在y轴上的截距为7
5.[探究点一](多选题)圆x2+y2-4x-1=0( )
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称
D.关于直线x-y+2=0对称
6.[探究点一]已知圆C:x2+y2-4y=0,则圆C的坐标为 ,圆C的半径为 .
7.[探究点二]已知直线与圆P:x2+y2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A,B两点,且弦AB的中点Q的坐标为(0,1),则直线AB的方程为 .
8.[探究点二]求圆C:x2+y2-8x+2y-8=0关于点(2,-1)对称的圆的方程为 .
9.[探究点二]求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的一般方程.
10.[探究点二·人教A版教材习题] 如图,在四边形ABCD中,AB=6,CD=3,且AB∥CD,AD=BC,AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径.
B级 关键能力提升练
11.已知方程x2+y2+kx-2y-k2=0表示的圆中,当圆面积最小时,此时k=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
12.(多选题)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是( )
A.圆M的圆心为(4,-3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.圆M的半径为25
D.圆M被y轴截得的弦长为6
13.(多选题)若a∈{-2,0,1,},方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的值可以为( )
A.-2 B.0 C.1 D.
14.已知点P(7,3),圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上一点,点S在x轴上,则|SP|+|SQ|的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
15.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+2y=4与x轴交于A点,直线m:kx+y-1=0与y轴及直线l分别交于B点,C点,且A,B,C,O四点共圆,则此圆的标准方程是 .
16.已知直线3x+4y-10=0与圆x2+y2-5y+F=0相交于A,B两点,且OA⊥OB(O是原点),则F= .
17.已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求圆的周长的最大值.
18.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R.
(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;
(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.
C级 学科素养创新练
19.已知圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0,有以下命题:
①E=-4,F=4是曲线C表示圆的充分不必要条件;
②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则0≤F≤1;
③若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),O为坐标原点,则||的最大值为2;
④若E=2F,则曲线C表示圆,且该圆面积的最大值为.
其中所有真命题的序号是 .
20.设△ABC顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.
(1)求圆M的方程;
(2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由.
2.3.2 圆的一般方程
1.D 因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为+(y-a)2=-a2-3a,故圆心坐标为,r2=-a2-3a.
又r2>0,即-a2-3a>0,解得-4
故该圆的圆心在第四象限.
2.D 因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=.
3.D 原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=0,
∴∴方程表示点(-a,-b).
4.AB 对于A,因为AC边的斜率为kAC==1,所以AC边上的高的斜率为-1,又经过B(-2,3),由直线的点斜式方程可得y-3=-(x+2),即x+y-1=0,故A正确;
对于B,设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
所以解得所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2+3x-y-4=0,故B正确;
对于C,直线AB的方程为,即为x+y-1=0,C(-1,-2)到直线x+y-1=0的距离为d==2,|AB|==3,所以△ABC的面积为|AB|d=×2×3=6,故C错误;
对于D,直线BC的方程为,即y=-5x-7,令x=0,所以在y轴上的截距为-7,故D错误.故选AB.
5.ABC x2+y2-4x-1=0 (x-2)2+y2=5,
即圆心的坐标为(2,0).
对于A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,故A正确;
对于B项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,故B正确;
对于C项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,故C正确;
对于D项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,故D不正确.
6.(0,2) 2 因为圆C:x2+y2-4y=0,即圆C:x2+(y-2)2=4,所以圆C的圆心为(0,2),半径为2.
7.x-y+1=0 易知圆心P的坐标为(-1,2).
∵弦AB的中点Q的坐标为(0,1),
∴直线PQ的斜率kPQ==-1,
∴直线AB的斜率k=1,故直线AB的方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.
8.x2+(y+1)2=25 圆C:x2+y2-8x+2y-8=0化为标准方程为(x-4)2+(y+1)2=25,所以C(4,-1),半径r=5,故圆C关于点(2,-1)对称的圆的半径为5,圆心设为D.
由中点坐标公式求得D(0,-1),所以对称圆的方程为x2+(y+1)2=25.
9.解∵圆心在直线2x-y-3=0上,
∴可设圆心坐标为(a,2a-3),半径为r(r>0),
则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.
把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,
得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2, ①
(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2, ②
由①②可得a=2,r2=10.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,
即x2+y2-4x-2y=5.
10.解(方法一)由题意可知A(-3,0),B(3,0),C,3.
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
故所求圆的方程为x2+y2-y-9=0,其圆心坐标为(0,),半径长为,所以四边形ABCD的外接圆的方程是x2+(y-)2=.
这个圆的圆心坐标是(0,),半径长是.
(方法二)由题意,可得点B的坐标是(3,0),点C的坐标是(,3).
线段BC的中点坐标是(),直线BC的斜率kBC=-2.
线段BC的垂直平分线的方程是y-(x-),与方程x=0联立,解得y=.
所以四边形ABCD外接圆的圆心E的坐标是(0,).
半径长|EB|=.
11.B 由x2+y2+kx-2y-k2=0,得(x+)2+(y-1)2=+1,易知当k=0,圆的半径最小,即圆的面积最小.故选B.
12.ABD 圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x-4)2+(y+3)2=25.圆的圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确,A,B,D均正确.
13.ABD 根据题意,若方程表示圆,
则有(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得a<1.
又a∈{-2,0,1,},所以a的值可以为-2,0,.
14. C 由题意知圆M的方程可化为(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1.
如图所示,作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,-3),连接MP',交圆M于点Q,交x轴于点S,此时|SP|+|SQ|的值最小且(|SP|+|SQ|)min=|P'M|-1=-1=9.
15.(x-2)2+(y-)2= 由题意A,B,C,O四点共圆且OA⊥OB,所以AB为圆的直径,易得B(0,1),A(4,0),所以此圆的圆心为(2,),半径为r=|AB|=,
所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-)2=.
16.0 易得圆x2+y2-5y+F=0的圆心坐标为,它在直线3x+4y-10=0上,再由OA⊥OB,可知圆x2+y2-5y+F=0过原点O,将O(0,0)代入圆的方程可求得F=0.
17.解(1)原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4,若方程表示一个圆,则-m2+3m+4>0,解得-1(2)圆的半径r=,当且仅当m=时,半径r取得最大值,所以圆的周长的最大值为5π.
18.解(1)m=1,配方得(x-1)2+(y-2)2=4,圆心到直线的距离为,所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为2=2.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
直线l的方程代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=x1x2-(x1+x2)+4=0,所以+4=0,所以m=,此时Δ>0.
19.①③ ①圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0中,应有4+E2-4F>0,当E=-4,F=4时,满足4+E2-4F>0,曲线C表示圆,但曲线C表示圆时,E不一定等于-4,F不一定等于4,故①正确;
②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则x1,x2是x2+2x+F=0的两根,所以解得0≤F<1,故②不正确;
③由②知,||=||=|x1-x2|=,故当F=0,即x1=2,x2=0,或x1=0,x2=2时,||取最大值2,故③正确;
④由于E=2F,则圆的半径的平方为(4+E2-4F)=(4+4F2-4F)=,
则圆面积有最小值,无最大值,故④不对.
20.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),
所以解得
所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.
(2)圆M过定点(0,-3).理由如下,圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由解得x=0,y=-3.所以圆M过定点(0,-3).(共18张PPT)
第二章
2.2.4 点到直线的距离
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]在平面直角坐标系中,原点(0,0)到直线x+y-2=0的距离等于
( )
B
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2.[探究点一]已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则a=( )
D
解析 ∵A和B到直线l的距离相等,
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3.[探究点二]已知两平行直线x+2y+m=0与2x-ny-4=0之间的距离是 ,若m>0,则m+n=( )
A.0 B.-1 C.1 D.-2
B
∴直线2x-ny-4=0 2x+4y-4=0 x+2y-2=0.
m=3或m=-7(舍去),
∴m+n=3-4=-1.
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4.[探究点一](多选题)已知直线l过点(3,4),点A(-2,2),B(4,-2)到l的距离相等,则直线l的方程可能是( )
A.x-2y+2=0 B.2x-y-2=0
C.2x+3y-18=0 D.2x-3y+6=0
BC
解析 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时点A到直线l的距离为5,点B到直线l的距离为1,此时不成立;
当直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0.
∵点A(-2,2),B(4,-2)到直线的距离相等,
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当k=2时,直线l的方程为y-4=2(x-3),整理得2x-y-2=0.
综上,直线l的方程为2x+3y-18=0或2x-y-2=0.故选BC.
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5.[探究点一](多选题)与直线3x-4y+1=0垂直,且与点(-1,-1)距离为2的直线方程为( )
A.4x+3y-3=0 B.4x+3y+17=0
C.4x-3y-3=0 D.4x-3y+17=0
AB
解析 设所求直线方程为4x+3y+C=0,
即|C-7|=10,解得C=-3或C=17,
故所求直线方程为4x+3y-3=0或4x+3y+17=0.
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6.[探究点二]直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0之间的距离为 .
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7.[探究点一]已知直线l:3x+4y-1=0,则过坐标原点且与l垂直的直线方程是 ,点(2,0)到l的距离是 .
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4x-3y=0
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8.[探究点一]平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为
A(-1,2),B(-3,4),C(0,6).
(1)求BC边上的高所在的直线方程;
(2)求△ABC的面积.
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9.[探究点一]已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为3 ,求直线l的方程.
解 由题意知,若直线l过原点,可设直线l的方程为y=kx,由题意知
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B 级 关键能力提升练
10.已知直线l:kx-y-3k+1=0,当k变化时,O(0,0)到直线l的最大距离为( )
C
解析 直线l:kx-y-3k+1=0,即k(x-3)-y+1=0,
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11.(多选题)若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离是 ,则点P的坐标为( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-1,2)
AC
解析 设P点坐标为(a,5-3a),
∴P点坐标为(1,2)或(2,-1).故选AC.
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12.(多选题)已知点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d,则d的可能取值是( )
A.0 B.1 C. D.4
AB
解析 直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ,整理得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,所以
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13.若直线m经过直线x-y-1=0与直线2x+y-2=0的交点,且点(2,2)到直线m的距离为1,则直线m的方程为 .
3x-4y-3=0或x=1
此时直线m的方程为3x-4y-3=0;
当直线m的斜率不存在时,x=1,点(2,2)到直线m的距离等于1,满足条件.
综上,直线m的方程为3x-4y-3=0或x=1.
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14.已知直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,其中m∈R.
(1)当m变化时,求点Q(3,4)到直线的距离的最大值;
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时的直线方程.
解 (1)直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0即为m(2y-x+3)+(2x+y+4)=0,
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14第二章2.5 椭圆及其方程
2.5.1 椭圆的标准方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点二(角度1)]若椭圆C:=1的一个焦点坐标为(-1,0),则实数m的值为( )
A.9 B.6 C.4 D.1
2.[探究点一](多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是( )
A.当a=2时,点P的轨迹不存在
B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3
C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6
D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆
3.[探究点二(角度1)]已知命题p:方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则使命题p成立的充分不必要条件是( )
A.3C.11
4.[探究点三]椭圆=1(m>0)的焦点为F1,F2,与y轴的一个交点为A,若∠F1AF2=,则m=( )
A.1 B. C. D.2
5.[探究点二(角度1)]已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆C的标准方程为( )
A.=1
B.=1或=1
C.=1
D.=1或=1
6.[探究点二(角度2)]已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )
A.=1 B.+y2=1
C.=1 D.+x2=1
7.[探究点三]已知F1,F2为椭圆C:+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆C上,∠F1PF2=60°,则|PF1||PF2|=.
8.[探究点一]若△ABC的三边长a,b,c满足2b=a+c,A(-1,0),C(1,0),则顶点B的轨迹方程是 .
9.[探究点二(角度1)]求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
B级 关键能力提升练
10.如图,已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,B在x轴上,△ABF2是直角三角形,且|BF1|=|F1F2|,O为坐标原点,若点O到直线AB的距离为,则椭圆C的方程为( )
A.=1 B.=1
C.+y2=1 D.=1
11.椭圆=1的焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°,则点P到x轴的距离为( )
A. B. C. D.
12.(多选题)已知P是椭圆E:=1上一点,F1,F2为其左、右焦点,且△F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是( )
A.P点纵坐标为3
B.∠F1PF2>
C.△F1PF2的周长为4(+1)
D.△F1PF2的内切圆半径为-1)
13.已知P是椭圆=1上的点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若,则△F1PF2的面积为 .
14.已知定点A(0,-2),点B在圆C:x2+y2-4y-32=0上运动,C为圆心,线段AB的垂直平分线交BC于点P,则动点P的轨迹E的方程为 .
15.已知椭圆C:=1内有一点M(2,3),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆C上的一点,求:
(1)|PM|-|PF1|的最大值与最小值;
(2)|PM|+|PF1|的最大值与最小值.
16.已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆+y2=1上任意一点,求AQ的中点M的轨迹方程.
C级 学科素养创新练
17.(多选题)已知椭圆C:=1,F1,F2分别为它的左、右焦点,A,B分别为它的左、右顶点,点P是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有( )
A.存在点P使得∠F1PF2=
B.cos∠F1PF2的最小值为-
C.若PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为9
D.直线PA与直线PB斜率的乘积为定值
2.5.1 椭圆的标准方程
1.C 因为椭圆的焦点(-1,0)在x轴上,
所以a2=5,b2=m,所以c2=a2-b2=5-m,
即5-m=1,解得m=4.
2.AC 当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;
当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;
当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.
3.B 若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,
则m-1>5-m>0,解得3结合四个选项可知,p成立的充分不必要条件是4故选B.
4.C 在椭圆=1(m>0)中,a=,b=m,c=1.易知|AF1|=|AF2|=a.
又∠F1AF2=,所以△F1AF2为等边三角形,即|AF1|=|F1F2|,所以=2,即m=.故选C.
5.B 由已知2c=|F1F2|=2,所以c=.
因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,
所以a=2,所以b2=a2-c2=9.
故椭圆C的标准方程是=1或=1.
6.A 由题可知c=1.
由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2,
∴椭圆的方程为=1.
7. 由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=4,利用余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2,
所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=|F1F2|2=12,解得3|PF1||PF2|=4,即|PF1||PF2|=.
8.=1(y≠0) 设点B的坐标为(x,y).
∵2b=a+c,即|BC|+|BA|=2|AC|,又A(-1,0),C(1,0),∴|BC|+|BA|=4>2,
根据椭圆的定义可知,点B的轨迹是以A(-1,0),C(1,0)为焦点,以4为长轴长的椭圆,
故顶点B的轨迹方程为=1.
又B为三角形的顶点,故所求的轨迹方程为=1(y≠0).
9.解(1)由焦距是4可得c=2,
且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a==8,
所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.
又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为=1.
(2)由题意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为=1或=1.
10.B 因为△ABF2是直角三角形,且|BF1|=|F1F2|,
所以△AF1F2是等边三角形,设|F1F2|=2c,则a=2c, ①
所以直线AB的方程为=1,
即bx-3cy+3bc=0,
所以点O到直线AB的距离为, ②
又因为a2=b2+c2, ③
所以联立①②③,解得a2=4,b2=3,
所以椭圆C的方程为=1.
11.C 易得c==6.设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=20.
在△PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=-2r1r2cos60°,
即144=-r1r2=(r1+r2)2-3r1r2=400-3r1r2,
则r1r2=,
所以r1r2sin60°=.
设点P到x轴的距离为d,则×|F1F2|×d=6d,故6d=,解得d=.故选C.
12.CD 由已知a=2,b=2,c=2,不妨设P(m,n),m>0,n>0,则×2c×n=3,∴n=,故A错误;
∵n=,
∴=1,得m=,∴P(),
∴|PF1|2=(+2)2++2,|PF2|2=(-2)2+-2,
∴|PF1|2+|PF2|2-(2c)2=×2-16=>0,
∴cos∠F1PF2=>0,
∴∠F1PF2<,故B错误;
由椭圆的定义,△F1PF2的周长=2a+2c=4+4,故C正确;
设△F1PF2的内切圆半径为r,r·(4+4)=3,
∴r=-1),故D正确.故选CD.
13.3 因为=cos∠F1PF2=,0≤∠F1PF2≤π,所以∠F1PF2=.
又c==4,记|PF1|=m,|PF2|=n,
则
②2-①整理得mn=12,所以mnsin×12×=3.
14.=1 由题意,得|PA|=|PB|,
∴|PA|+|PC|=|PB|+|PC|=6>|AC|=4,
∴点P的轨迹E是以A,C为焦点的椭圆,其中c=2,a=3,∴b=,∴椭圆方程为=1.
15. 解(1)由椭圆C:=1可知a=5,b=4,c=3,
则F1(-3,0),F2(3,0),
则||PM|-|PF1||≤|MF1|=,当且仅当P,M,F1三点共线时成立,所以-≤|PM|-|PF1|≤,所以|PM|-|PF1|的最大值与最小值分别为和-.
(2)2a=10,F2(3,0),|MF2|=.
设P是椭圆上任一点,由|PF1|+|PF2|=2a=10,|PM|≥|PF2|-|MF2|,所以|PM|+|PF1|≥|PF2|-|MF2|+|PF1|=2a-|MF2|=10-,等号仅当|PM|=|PF2|-|MF2|时成立,此时P,M,F2共线.由|PM|≤|PF2|+|MF2|,所以|PM|+|PF1|≤|PF2|+|MF2|+|PF1|=2a+|MF2|=10+,等号仅当|PM|=|PF2|+|MF2|时成立,此时P,M,F2共线,故|PM|+|PF1|的最大值与最小值分别为10+和10-.
16.解设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0),利用中点公式,得所以
因为Q(x0,y0)在椭圆+y2=1上,所以=1.
将x0=2x-1,y0=2y代入上式,得+(2y)2=1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是+4y2=1.
17.ABC 设椭圆C短轴顶点为D,E,由题知椭圆C:=1中,a=5,b=3,c=4,所以F1(-4,0),F2(4,0),A(-5,0),B(5,0),D(0,3),E(0,-3).
对于A选项,由于=(-4,-3),=(4,-3),=-16+9=-7<0,所以∠F1PF2的最大角为钝角,故存在P使得∠F1PF2=,故A正确;
对于B选项,记|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=10,
由余弦定理得cos∠F1PF2=-1≥-1=-,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,故B正确;
对于C选项,由于PF1⊥PF2,故 mn=[(m+n)2-(m2+n2)]=18,所以mn=9,故C正确;
对于D选项,设P(x,y)(x≠±5),A(-5,0),B(5,0),则=1,kPA=,kPB=,于是kPAkPB==-,故D错误.故选ABC.(共17张PPT)
第二章
2.3.1 圆的标准方程
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一(角度1)]圆心为(-3,4),半径是2的圆的标准方程为( )
A.(x+3)2+(y-4)2=4 B.(x-3)2+(y+4)2=4
C.(x+3)2+(y-4)2=2 D.(x-3)2+(y+4)2=2
A
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2.[探究点一]方程y= 表示的曲线是( )
A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆
D
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3.[探究点一(角度2)]已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为( )
A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52
B
解析 由题意可知原点在圆上,圆的半径为r= .
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.
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4.[探究点二](多选题)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值不可能是( )
AD
解析 由已知条件可得(1-a)2+(1+a)2<4,即2a2+2<4,解得-11
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5.[探究点一(角度2)]过原点,圆心在x轴的负半轴上,且半径为2的圆的标准方程是 .
(x+2)2+y2=4
解析 设圆心为(a,0)(a<0),
则|a|=2,即a=-2,∴圆的标准方程为(x+2)2+y2=4.
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6.[探究点一(角度1)]将圆x2+y2=2沿x轴正方向平移2个单位后得到圆C,则圆C的标准方程为 .
(x-2)2+y2=2
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7.[探究点一(角度1)]圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是 .
(x-2)2+(y-4)2=20
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大时,圆心坐标和半径分别为 、 .
(0,-1)
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此时k=0.
圆心坐标为(0,-1).
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9.[探究点一(角度2)]已知点A(-1,2)和B(3,4).求:
(1)线段AB的垂直平分线l的方程;
(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.
解 由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).
(1)∵A(-1,2),B(3,4),
∴直线l的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.
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又圆心为C(1,3),∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.
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B 级 关键能力提升练
10.圆C:x2+y2=4关于直线l:x+y-1=0对称的圆的方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x+1)2+(y+1)2=4
C.(x-2)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y+2)2=4
A
解析 由题设,圆C的圆心为(0,0),半径为2,则对称圆的半径为2,若对称圆的
所以对称圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选A.
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11.已知圆(x+1)2+(y+2)2=4关于直线ax+by+1=0(a>0,b>0)对称,则 的最小值为( )
A. B.9 C.4 D.8
B
解析 圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心为(-1,-2),依题意,点(-1,-2)在直线ax+by+1=0上,
∴-a-2b+1=0,即a+2b=1(a>0,b>0),
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12.(多选题)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程可能为( )
AB
解析 根据题意,可设圆心为C(0,a),半径为r.
根据圆被x轴分成两段弧长之比为1∶2,可得圆被x轴截得的弧所对的圆心
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AB
解析 由题意设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,则有
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14.已知圆心C在直线x+2y-1=0上,且该圆经过(3,0)和(1,-2)两点,则圆C的标准方程为 .
(x-1)2+y2=4
解析 设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
因为圆心C在直线x+2y-1=0上,且该圆经过(3,0)和(1,-2)两点,
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15.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C被直线y=x截得的弦长为2 ,求圆C的方程.
当y0=2时,圆心C(4,2),半径r=4,此时圆C为(x-4)2+(y-2)2=16,
当y0=-2时,圆心C(-4,-2),半径r=4,此时圆C为(x+4)2+(y+2)2=16.第二章2.3 圆及其方程
2.3.1 圆的标准方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点一(角度1)]圆心为(-3,4),半径是2的圆的标准方程为( )
A.(x+3)2+(y-4)2=4 B.(x-3)2+(y+4)2=4
C.(x+3)2+(y-4)2=2 D.(x-3)2+(y+4)2=2
2.[探究点一]方程y=表示的曲线是( )
A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆
3.[探究点一(角度2)]已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为( )
A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52
4.[探究点二](多选题)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值不可能是( )
A.-2 B.- C. D.2
5.[探究点一(角度2)]过原点,圆心在x轴的负半轴上,且半径为2的圆的标准方程是 .
6.[探究点一(角度1)]将圆x2+y2=2沿x轴正方向平移2个单位后得到圆C,则圆C的标准方程为 .
7.[探究点一(角度1)]圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是 .
8.[探究点一(角度1)]若圆的方程为+(y+1)2=1-k2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别为 、 .
9.[探究点一(角度2)]已知点A(-1,2)和B(3,4).求:
(1)线段AB的垂直平分线l的方程;
(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.
B级 关键能力提升练
10.圆C:x2+y2=4关于直线l:x+y-1=0对称的圆的方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x+1)2+(y+1)2=4
C.(x-2)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y+2)2=4
11.已知圆(x+1)2+(y+2)2=4关于直线ax+by+1=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为( )
A. B.9 C.4 D.8
12.(多选题)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程可能为( )
A.x2+(y+)2= B.x2+(y-)2=
C.(x-)2+y2= D.(x+)2+y2=
13.(多选题)已知圆C和直线x-y=0及x轴都相切,且过点(3,0),则该圆的方程是( )
A.(x-3)2+(y-)2=3
B.(x-3)2+(y+3)2=27
C.(x+3)2+(y-)2=3
D.(x-3)2+(y-3)2=27
14.已知圆心C在直线x+2y-1=0上,且该圆经过(3,0)和(1,-2)两点,则圆C的标准方程为 .
15.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C被直线y=x截得的弦长为2,求圆C的方程.
2.3.1 圆的标准方程
1.A 2.D
3. B 由题意可知原点在圆上,圆的半径为r=.
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.
4.AD 由已知条件可得(1-a)2+(1+a)2<4,即2a2+2<4,解得-15.(x+2)2+y2=4 设圆心为(a,0)(a<0),
则|a|=2,即a=-2,∴圆的标准方程为(x+2)2+y2=4.
6.(x-2)2+y2=2
7.(x-2)2+(y-4)2=20 由可得即圆心为(2,4).
又圆过原点,所以圆的半径r==2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.
8.(0,-1) 1 ∵圆的方程为+(y+1)2=1-k2,∴r2=1-k2>0,rmax=1,此时k=0.
圆心坐标为(0,-1).
9.解由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).
(1)∵A(-1,2),B(3,4),
∴直线AB的斜率kAB=.
∵直线l垂直于直线AB,
∴直线l的斜率kl=-=-2,
∴直线l的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.
(2)∵A(-1,2),B(3,4),
∴|AB|==2,
∴以线段AB为直径的圆的半径R=|AB|=.
又圆心为C(1,3),∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.
10.A 由题设,圆C的圆心为(0,0),半径为2,则对称圆的半径为2,若对称圆的圆心为(m,n),则()在x+y-1=0上,即m+n-2=0.
由对称性,知圆心连线与直线l垂直,则·(-1)=-1,即m=n,所以m=n=1,
所以对称圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选A.
11.B 圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心为(-1,-2),依题意,点(-1,-2)在直线ax+by+1=0上,
∴-a-2b+1=0,即a+2b=1(a>0,b>0),
∴=()(a+2b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=b=时取等号,
∴的最小值为9.故选B.
12.AB 根据题意,可设圆心为C(0,a),半径为r.
根据圆被x轴分成两段弧长之比为1∶2,可得圆被x轴截得的弧所对的圆心角为,所以tan=,解得a=±,所以半径r=,
所以圆的方程为x2+(y±)2=.故选AB.
13.AB 由题意设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,则有解得
所以该圆的方程为(x-3)2+(y-)2=3或(x-3)2+(y+3)2=27.故选AB.
14.(x-1)2+y2=4 设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
因为圆心C在直线x+2y-1=0上,且该圆经过(3,0)和(1,-2)两点,
所以解得
所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.
15.解设圆心C(2y0,y0),半径r=|2y0|,圆心到直线x-y=0的距离为,由半径、弦心距、半弦长的关系得4=14+,∴y0=±2.
当y0=2时,圆心C(4,2),半径r=4,此时圆C为(x-4)2+(y-2)2=16,
当y0=-2时,圆心C(-4,-2),半径r=4,此时圆C为(x+4)2+(y+2)2=16.(共22张PPT)
第二章
2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]方程y-y0=k(x-x0)( )
A.可以表示任何直线
B.不能表示过原点的直线
C.不能表示与y轴垂直的直线
D.不能表示与x轴垂直的直线
D
解析 方程y-y0=k(x-x0)是直线的点斜式方程,当直线垂直x轴时,斜率不存在,不能用点斜式方程表示.故选D.
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2.[探究点一]经过点(0,3)且倾斜角为0°的直线方程为( )
A.x=3 B.y=3 C.y=x+3 D.y=2x+3
B
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4.[探究点一]直线y=k(x-2)+3必过定点 .
(2,3)
解析 化为点斜式y-3=k(x-2).
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5.[探究点一·人教A版教材习题](1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么此直线的斜率是 ,倾斜角是 ;
(2)已知直线的点斜式方程是y+2= (x+1),那么此直线的斜率是 ,倾斜角是 .
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-2或1
解得a=-2或a=1.
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7.[探究点二·北师大版教材例题]把直线l的方程3x-2y+6=0化成斜截式,求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距,并画图.
解 将原方程移项,得2y=3x+6.
令y=0,可得x=-2,即直线l在x轴上的截距是-2.
所以直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-2,0),B(0,3),过点A,B作直线,即可得直线.
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8.[探究点一、二·北师大版教材例题]已知直线l的方程为mx+(m-1)y+1=0, m∈R.
(1)若直线l在x轴上的截距为-2,求m的值;
(2)若直线l与y轴垂直,求m的值;
(3)若直线l的倾斜角为 ,求m的值.
解 (1)由已知,可得直线l与x轴交于点(-2,0),所以-2m+(m-1)·0+1=0,解得
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(2)因为直线l与y轴垂直,所以直线l的斜率为0,所以直线l的方程可化为斜
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B 级 关键能力提升练
9.已知直线l过A(-2,1),并与两坐标轴截得等腰三角形,那么直线l的方程是
( )
A.x-y-1=0或x+y-3=0
B.x-y-1=0或x-y+3=0
C.x+y+1=0或x-y+3=0
D.x+y+1=0或x+y-3=0
C
解析 由题意可知,所求直线的倾斜角为45°或135°,即直线的斜率为1或
-1,故直线方程为y-1=x+2或y-1=-(x+2),即x-y+3=0或x+y+1=0.故选C.
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10.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为( )
A.x-y+1=0
B.x+y-3=0
C.2x-y=0或x+y-3=0
D.2x-y=0或x-y+1=0
D
解析 易知斜率不存在时不满足条件;设直线方程为y=k(x-1)+2,则截距和为2-k- +1=0,解得k=1或k=2,故直线方程为x-y+1=0或2x-y=0.
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11.(多选题)下列说法正确的是( )
A.直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点(3,2)
B.直线y=3x-2在y轴上的截距为2
C.直线 x-y+1=0的倾斜角为60°
D.过点(-1,2)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y=0
AC
直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点(3,2),故A正确;
对于B,对于直线y=3x-2,令x=0得y=-2,所以直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,故B错误;
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即x-2y+5=0,故D错误.故选AC.
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12.将直线y=x+ -1绕其上面一点(1, )沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线的点斜式方程是 .
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13.求经过点(-1,2)且分别满足下列条件的直线方程.
(1)倾斜角为45°;
(2)在y轴上的截距为5;
(3)在第二象限与坐标轴围成的三角形面积为4.
解 (1)由倾斜角为45°,得直线的斜率k=1,得点斜式方程为y-2=x+1,则y=x+3.
(2)直线在y轴上的截距为5,即直线过点(0,5),则斜率k= =3,得斜截式方程为y=3x+5.
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(3)设直线的斜率为k(k>0),则直线方程为y-2=k(x+1),取x=0,得y=k+2,取
得点斜式方程为y-2=2(x+1),即y=2x+4.
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14.求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A(-1,-3),且斜率等于直线3x+8y-1=0斜率的2倍;
(2)过点M(0,4),且与两坐标轴围成三角形的周长为12.
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(2)设直线与x轴的交点为(a,0).
因为点M(0,4)在y轴上,
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C 级 学科素养创新练
15.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A,B.
(1)求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程;
解 (1)∵点P(3,1)在第一象限,且直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴相交,
∴直线l的斜率k<0,则设直线l的方程为y-1=k(x-3),k<0.
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(2)设A(a,0),B(0,b),a>3,b>1.(共27张PPT)
第二章
2.3.3 直线与圆的位置关系
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一·人教A版教材习题改编]直线3x+4y+2=0与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切
B
解析 圆(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径r=1,
由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m(x+y)=x+3y+2,由 得x=1,y=-1,所以直线过定点(1,-1),
代入(x-1)2+y2=1成立,所以点(1,-1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交.
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2.[探究点三]过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x-2)2+y2=1所截得的弦长为( )
C
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3.[探究点二]过点(1,2)作圆x2+y2=5的切线,则切线方程为( )
A.x=1 B.3x-4y+5=0
C.x+2y-5=0 D.x=1或x+2y-5=0
C
当斜率不存在时,x=1,显然不与圆相切.
综上,切线方程为x+2y-5=0.故选C.
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4.[探究点三]若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2 ,则实数a的值为( )
A.0或4 B.0或3 C.-2或6 D.-1或
A
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5.[探究点一、三](多选题)已知直线l:kx-y+2k=0和圆O:x2+y2=16,则( )
A.直线l恒过定点(2,0)
B.存在k使得直线l与直线l0:x-2y+2=0垂直
C.直线l与圆O相交
D.若k=-1,直线l被圆O截得的弦长为4
BC
所以直线l恒过定点(-2,0),故A错误;
对于C,因为直线l恒过定点(-2,0),而(-2)2+02=4<16,即(-2,0)在圆O:x2+y2=16内,所以直线l与圆O相交,故C正确;
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6.[探究点三]过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为 .
解析 由题意知直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+y-1=0,
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7.[探究点二]已知直线l:y=kx被圆C:x2+y2-6x+5=0截得的弦长为2,则|k|的值为 .
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8.[探究点三]过点A(3,5)作圆x2+y2-4x-8y-80=0的最短弦,则这条弦所在直线的方程是 .
x+y-8=0
解析 将圆x2+y2-4x-8y-80=0化成标准形式为(x-2)2+(y-4)2=100,圆心为M(2,4),则点A在圆内,当AM垂直这条弦时,所得到的弦长最短.
∵kAM= =1,∴这条弦所在直线的斜率为-1,其方程为y-5=-(x-3),
即x+y-8=0.
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9.[探究点三]如果一条直线过点M 且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8,求这条直线的方程.
解 圆x2+y2=25的半径长r为5,直线被圆所截得的弦长l=8,所以弦心距
因为圆心O(0,0)到直线x=-3的距离恰为3,所以直线x=-3是符合题意的一条直线.
综上可知,满足题意的直线方程为x=-3和3x+4y+15=0.
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10.[探究点二]已知圆x2+y2=25,求满足下列条件的切线方程.
(1)过点A(4,-3);
(2)过点B(-5,2).
解 (1)因为圆x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径为r=5,点A(4,-3)在圆x2+y2=25上,所以过点A(4,-3)的切线斜率存在,且其与直线AO垂直(O为坐标原点).
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(2)因为圆x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径为r=5,
所以当过点B(-5,2)的切线斜率不存在时,其方程为x=-5,满足题意;
当切线斜率存在时,设斜率为k,则其方程为y-2=k(x+5),即kx-y+5k+2=0,所
综上,所求切线方程为21x-20y+145=0或x=-5.
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B 级 关键能力提升练
11.圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+ =0的距离为1的点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 化x2+y2+2x-2y-2=0为(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为(-1,1),半径为2,
结合图形可知(图略),圆上有三点到直线l的距离为1.
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12.已知直线l:mx-y-3m+1=0恒过点P,过点P作直线与圆C:(x-1)2+(y-2)2=25相交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )
A
解析 直线方程可化为m(x-3)-y+1=0,故其恒过点P(3,1).
又(3-1)2+(1-2)2=5<25,即P在圆C内,要使|AB|最小,只需圆心C(1,2)与P的连线与该直线垂直.
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13.(多选题)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
ABD
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14.[2022天津卷]若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m= .
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15.过点(1,4)且斜率为k的直线l与曲线y= +1有公共点,则实数k的取值范围是 .
解析 曲线y= +1可化为(x+2)2+(y-1)2=1(1≤y≤2),设点C(1,4),如图所示,当直线l在直线AC和BC之间运动时,直线l与曲线有公共点,其中点A为(-1,1),点B为直线l与曲线的切点,即直线l与圆心为(-2,1),半径为1的半圆相切.
∵直线l的方程为y=k(x-1)+4,
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16.已知圆C:x2+y2-4x=0,直线l恒过点P(4,1).
(1)若直线l与圆C相切,求l的方程;
(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2 时,求l的方程.
解 (1)由题意可知,圆C的圆心为(2,0),半径r=2,
①当直线l的斜率不存在,即l的方程为x=4时,此时直线与圆相切,符合题意;
②当直线l的斜率存在时,设斜率为k,∴直线l的方程为y-1=k(x-4),化为一般式为kx-y+1-4k=0.
综上,当直线l与圆C相切时,直线l的方程为x=4或3x+4y-16=0.
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(2)由题意可知,直线l的斜率一定存在,设斜率为k,
∴直线l的方程为y-1=k(x-4),即kx-y+1-4k=0.
则直线l的方程为y=1或4x-3y-13=0.
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17.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
(1)证明 直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0化为(2x+y-7)m+x+y-4=0,则
在圆C内,所以不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点.
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(2)解 当直线l所过的定点为弦的中点,即CM⊥l时,直线l被圆截得的弦长
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C 级 学科素养创新练
18.已知A,B为圆C:(x+1)2+(y-1)2=5上两个动点,且|AB|=2,直线l:y=k(x-5),若线段AB的中点D关于原点的对称点为D',若直线l上任一点P,都有|PD'|≥1,
则实数k的取值范围是 .
则D的轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=4.
∵线段AB的中点D关于原点的对称点为D',
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∴D'的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=4.
要使直线l:y=k(x-5)上任一点P,都有|PD'|≥1,
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19.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+4=0经过点(5,3),(2,0).
(1)求圆C的标准方程.
(2)若直线l:y=kx+2与圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得 =6(O为坐标原点) 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
∴圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=9.
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∴k2-4k+3=0,∴k=1或3.(共32张PPT)
第二章
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一(角度1)]若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆 =1的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
C
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解析 ∵直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,
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3.[探究点一(角度2)]过点(1,2)且与双曲线x2- =1没有交点的直线l斜率的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.[-2,2] D.[-2,+∞)
B
解析 由题意,l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1),与双曲线方程联立,
消去y,并整理得(4-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-8=0.
若4-k2=0,即k=±2.
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当k=2时,方程即为-4=0,方程无解,直线l与双曲线无交点,符合题意;
当k=-2时,方程即为16x-20=0,方程有一个解,此时直线l与双曲线有一个交点,不符合题意.
若4-k2≠0,∵过点P(1,2)的直线l与双曲线没有交点,
∴Δ=[2(k2-2k)]2-4(4-k2)(-k2+4k-8)=64(-k+2)<0,解得k>2.
综上所述,直线l斜率的取值范围是[2,+∞).故选B.
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5.[探究点二]过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,若两点的横坐标之和为5,则|AB|= .
7
解析 由抛物线方程可得p=2,则由抛物线定义可得|AB|=xA+xB+p=5+2=7.
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6.[探究点二·人教A版教材习题]经过椭圆 +y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,则线段AB的长为 .
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(1)求椭圆的标准方程及离心率;
(2)过点P(0,2)的斜率为2的直线l交椭圆于A,B两点,求△OAB的面积.
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B 级 关键能力提升练
9.已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[-1,1] B.[-1,0)∪(0,1]
C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
A
解析 由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y并整理,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.
当k=0时,显然满足题意;
当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或0综上,-1≤k≤1.故选A.
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10.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线的斜率为 且经过点F,直线l与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是( )
A.p=2 B.F为AD中点
C.|BD|=2|BF| D.|BF|=2
ABC
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则F为AD中点.∴运算结论正确的是A,B,C.
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面积等于12,这样的点P共有 个.
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(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为坐标原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
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(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).
设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方
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13.已知直线l:y=x+b与抛物线C:y2=4x.
(1)若直线l与抛物线C相切,求实数b的值;
(2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AB|=8,求直线l的方程.
解 (1)∵直线l与抛物线C相切,
∴Δ=(2b-4)2-4b2=16-16b=0 b=1.
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(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)方程联立可知x2+(2b-4)x+b2=0,
∴x1+x2=4-2b,x1x2=b2.
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14.已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)若过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.
(1)解 由题意得2p=1,所以抛物线方程为y2=x.
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(2)证明 设M(x1,y1),N(x2,y2),
直线MN的方程为x=t(y+1)+3,
代入抛物线方程得y2-ty-t-3=0.
所以Δ=(t+2)2+8>0,y1+y2=t,y1y2=-t-3.
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(1)求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P,Q,点A(0,-1),当|AP|=|AQ|时,求实数m的取值范围.
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16.已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为- .记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.
①证明:△PQG是直角三角形;
②求△PQG面积的最大值.
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(2)①证明:设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).
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16第二章2.3.4 圆与圆的位置关系
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]已知圆O1:x2+y2=4,圆O2:x2+y2-2x-2y-4=0,则同时与圆O1和圆O2相切的直线有( )
A.4条 B.2条 C.1条 D.0条
2.[探究点一]已知圆C1的标准方程是(x-4)2+(y-4)2=25,圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+y+1=0对称,则圆C1与圆C2的位置关系为( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.内含
3.[探究点一]“a=3”是“圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[探究点三]过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是( )
A.x2+y2-x-=0
B.x2+y2-x+=0
C.x2+y2+x-=0
D.x2+y2+x+=0
5.[探究点一](多选题)当实数m变化时,圆x2+y2=1与圆N:(x-m)2+(y-1)2=4的位置关系可能是( )
A.外离 B.外切
C.相交 D.内含
6.[探究点二](多选题)若圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-2y=0的交点为A,B,则( )
A.公共弦AB所在直线方程为x+y-3=0
B.线段AB中垂线方程为x-y+1=0
C.公共弦AB的长为2
D.在过A,B两点的所有圆中,面积最小的圆是圆C1
7.[探究点一]已知圆C1:x2+y2+2x+3y+1=0,圆C2:x2+y2+4x+3y+2=0,则圆C1与圆C2的位置关系是 .
8.[探究点一]圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-6x+8y+m=0外切,则实数m= .
9.[探究点一、二、三]已知圆C1:x2+y2=10与圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0.
(1)求证:圆C1与圆C2相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程;
(3)求经过两圆交点,且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程.
10.[探究点一、二]已知圆x2+y2-2x-6y-1=0和圆x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切
(2)m取何值时两圆内切
(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
B级 关键能力提升练
11.已知圆M:x2+y2-2ax=8截直线l:x-y=0所得的弦长为,则圆M与圆N:x2+(y-1)2=4的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
12.已知直线l:mx+y-m-1=0与圆M:(x-2)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,则当弦AB最短时,圆M与圆N:x2+(y-m)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相离 C.外切 D.相交
13.(多选题)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+1=0相交于A,B两点,下列说法正确的是 ( )
A.圆O与圆M有两条公切线
B.圆O与圆M关于直线AB对称
C.线段AB的长为
D.若E,F分别是圆O和圆M上的点,则|EF|的最大值为4+
14.已知圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4和圆C2:(x-2)2+(y-1)2=2交于A,B两点,直线l与直线AB平行,且与圆C2相切,与圆C1交于点M,N,则|MN|= .
15.与圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-4)2+(y+4)2=4均外切的圆中,面积最小的圆的方程是 .
16.已知圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点.
(1)求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程;
(2)求圆C1与圆C2的公共弦长|AB|.
C级 学科素养创新练
17.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个结论中正确的有( )
A.存在一条定直线与所有的圆均相切
B.存在一条定直线与所有的圆均相交
C.存在一条定直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
2.3.4 圆与圆的位置关系
1.B 圆O2的圆心为O2(1,1),半径为r2=.
圆O1的圆心为O1(0,0),半径为r1=2.
因为|O1O2|=,|r1-r2|=-2,r1+r2=+2,所以|r1-r2|<|O1O2|2.C 由题意可得,圆C1:(x-4)2+(y-4)2=25的圆心为(4,4),半径为5.
因为圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+y+1=0对称,所以2+×(-)+1=0,得m=2,所以圆C2:(x-2)2+(y+)2=4的圆心为(2,-),半径为2,则两圆圆心距|C1C2|=.
因为5-2<|C1C2|<<7=2+5,所以圆C1与圆C2的位置关系是相交.故选C.
3.A 若圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切,
当两圆外切时,=2+1,所以a=-3或a=3;
当两圆内切时,=2-1,所以a=1或a=-1.
所以“a=3”是“圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切”的充分不必要条件.故选A.
4.A 设经过圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是x2+y2-5x+λ(x2+y2-2)=0,λ≠-1,
再把点M(2,-2)代入可得4+4-10+λ(4+4-2)=0,求得λ=,故要求的圆的方程为x2+y2-x-=0.
5.ABC 圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-m)2+(y-1)2=4的圆心为C2(m,1),半径r2=2,则|C1C2|=,|r1-r2|=1,r1+r2=3.
∵|C1C2|=≥1,
∴当|C1C2|=1时,两圆内切;
当1<|C1C2|<3时,两圆相交;
当|C1C2|=3时,两圆外切;
当|C1C2|>3时,两圆外离,
∴两圆的位置关系可能是相切、外离和相交.故选ABC.
6.AD 对于A,由圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-2y=0,联立两个圆的方程可得x+y-3=0,即公共弦AB所在直线方程为x+y-3=0,故A正确;
对于B,圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0,其圆心C1为(),圆C2:x2+y2-2x-2y=0,其圆心C2为(1,1),直线C1C2的方程为y=x,即线段AB中垂线的方程为x-y=0,故B错误;
对于C,圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0,即(x-)2+(y-)2=,其圆心C1为(),半径r=,圆心C1()在公共弦AB上,则公共弦AB的长为,故C错误;
对于D,圆心C1()在公共弦AB上,在过A,B两点的所有圆中,面积最小的圆是圆C1,故D正确.故选AD.
7.相交 圆C1:x2+y2+2x+3y+1=0可化为(x+1)2+(y+)2=,圆C2:x2+y2+4x+3y+2=0可化为(x+2)2+(y+)2=,则两圆圆心分别为C1(-1,-),C2(-2,-),半径分别为R=,r=,圆心距为d=1.
∵>1>,∴两圆相交.
8.9 圆O1的圆心O1(0,0),半径r1=1,圆O2的圆心O2(3,-4),半径r2=,则|O1O2|=5.
根据题意可得|O1O2|=r1+r2,即5=1+,
∴m=9.
9.(1)证明圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0化为标准方程为(x+1)2+(y+1)2=16,∴C2(-1,-1),r=4.
∵圆C1:x2+y2=10的圆心坐标为C1(0,0),半径为R=,
∴|C1C2|=.
∵4-<4+,∴两圆相交.
(2)解由圆C1:x2+y2=10与圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0,将两圆方程相减,可得2x+2y-4=0,
即两圆公共弦所在直线的方程为x+y-2=0.
(3)解由解得则交点为A(3,-1),B(-1,3).
过两圆圆心的直线为x-y=0,联立故圆心P(3,3),半径r=|AP|=4,∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=16.
10.解两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为.
两圆圆心之间的距离d==5.
(1)当两圆外切时,5=,
解得m=25+10.
(2)当两圆内切时,因定圆的半径小于两圆圆心间距离5,故只有=5,解得m=25-10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,∴公共弦长为2=2.
11.B 由圆M:x2+y2-2ax=8,即(x-a)2+y2=8+a2,故圆心M(a,0),半径rM=,所以点M到直线l:x-y=0的距离d=,故2,即2,解得a=±1,所以M(±1,0),rM=3.
又圆N:x2+(y-1)2=4,圆心N(0,1),rN=2,
所以|MN|=,且|rM-rN|=1<<5=rM+rN,即圆M与圆N相交.故选B.
12.D 易知直线l:mx+y-m-1=0过定点P(1,1),弦AB最短时直线l垂直于PM.
又kPM==1,所以1·(-m)=-1,解得m=1,
此时圆N的方程是x2+(y-1)2=4.
两圆圆心之间的距离MN=.
又2-1<<2+1,所以两圆相交.故选D.
13.ABD 圆O:x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2,圆M:x2+y2+4x-2y+1=0,即(x+2)2+(y-1)2=4,其圆心为(-2,1),半径R=2,
所以0=R-r<|OM|=对于A,因为圆O与圆M相交,所以有两条公切线,故A正确;
对于B,两圆方程相减得4x-2y+5=0,即直线AB的方程为4x-2y+5=0.
因为圆心O(0,0)与圆心M(-2,1)关于直线AB对称,且两圆半径相等,故B正确;
对于C,由B的结论可知,|AB|=2=2,故C错误;
对于D,E,F分别是圆O和圆M上的点,则|EF|的最大值为|MO|+r+R=+4,故D正确.故选ABD.
14.4 由圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4,可知圆心C1(1,2),半径为2,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=2,可知圆心C2(2,1),半径为.
又圆C1:x2+y2-2x-4y+1=0,圆C2:x2+y2-4x-2y+3=0,所以可得直线AB:x-y-1=0.
设直线l:x-y+C=0,直线l与圆C2相切,则,解得C=1,或C=-3.
当C=1时,直线l:x-y+1=0,所以|MN|=2=4;
当C=-3时,直线l:x-y-3=0,>2,故不符合题意.
15.=1 当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小.
设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为d==5,所以所求圆半径为1.由已知可知,所以a=,所以b=-,
所以所求圆的方程为=1.
16.解(1)已知圆C1:x2+y2=5的圆心坐标为(0,0),半径为,圆C2:x2+y2-4x+3=0的圆心坐标为(2,0),半径为1.
若过圆C1的圆心(0,0)与圆C2相切的直线斜率存在,则可设直线方程为y=kx,则圆心(2,0)到直线kx-y=0的距离d==1,整理得3k2=1,解得k=±,
所以直线方程为y=±x.
若直线斜率不存在,直线不与圆C2相切.
综上所述,直线方程为y=±x.
(2)圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点,则过点A和B的直线方程为4x-3=5,即x=2.
所以(0,0)到直线x=2的距离d=2,所以|AB|=2=2.
17.BD 根据题意得,圆心(k-1,3k),圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项B正确;
考虑两圆的位置关系,圆Ck:圆心(k-1,3k),半径为r=k2,圆Ck+1:圆心(k-1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为R=(k+1)2,两圆的圆心距d=,两圆的半径之差R-r=(k+1)2-k2=2k+,任取k=1或2时,(R-r>d),Ck含于Ck+1之中,选项A错误;
若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项C错误;
将(0,0)代入圆的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,
即10k2-2k+1=2k4(k∈N*),
因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆均不过原点,选项D正确.(共21张PPT)
第二章
2.2.2 第2课时 直线的两点式方程与一般式方程
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]过点(1,2)和(5,3)的直线方程是( )
B
解析 ∵所求直线过点(1,2),(5,3),
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2.[探究点二]直线 =1过第一、三、四象限,则( )
A.a>0,b>0
B.a>0,b<0
C.a<0,b>0
D.a<0,b<0
B
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3.[探究点二](多选题)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为( )
A.x-y+1=0 B.x+y-3=0
C.2x-y=0 D.x-y-1=0
ABC
解析 当直线经过原点时,斜率为k= =2,所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;
当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或1+2=k,
求得k=-1或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0 或x+y-3=0.
综上,所求的直线方程为2x-y=0或x-y+1=0或x+y-3=0.故选ABC.
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4.[探究点二、三](多选题)下列说法正确的是( )
A.截距相等的直线都可以用方程 =1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
BD
解析 对于A,截距相等为0的直线都不可以用方程 =1表示,故A错误;
对于B,当m=0时,方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线x=2,故B正确;
对于C,经过点P(1,1),倾斜角为θ=90°的直线方程不能写成y-1=tan θ(x-1),故C错误;
对于D,经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线均可写成(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1) =0,故D正确.故选BD.
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5.[探究点一]瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中△ABC各顶点的坐标分别为A(0,0),B(8,0),C(0,6),则其“欧拉线”的方程为 .
3x-4y=0
解析 由题设知,△ABC是直角三角形,则垂心为直角顶点A(0,0),外心为斜边BC的中点M(4,3),
∴“欧拉线”的方程为3x-4y=0.
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6.[探究点二]过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为 .
2x-y=0或x-y+1=0
解析 当直线过原点时,得直线方程为2x-y=0,当在坐标轴上的截距不为零时,可设直线方程为 =1,将x=1,y=2代入方程可得a=-1,
∴直线方程为x-y+1=0.
综上,直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.
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7.[探究点四·人教A版教材习题]求直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的系数A,B,C分别满足什么关系时,这条直线有以下性质:
(1)与两条坐标轴都相交;
(2)只与x轴相交;
(3)只与y轴相交;
(4)是x轴所在的直线;
(5)是y轴所在的直线.
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解 (1)直线Ax+By+C=0与x轴相交,即方程组 有唯一解,于是A≠0.
同理,直线Ax+By+C=0与y轴相交时有B≠0.
所以,当A≠0,且B≠0时,已知直线与两条坐标轴都相交.
(2)已知直线只与x轴相交,即直线平行于y轴或与y轴重合,
所以A≠0,B=0,此时直线方程为x=- ,只与x轴相交.
(4)当A=0,B≠0,C=0时,已知直线为y=0,就是x轴所在直线的方程.
(5)当A≠0,B=0,C=0时,已知直线为x=0,就是y轴所在直线的方程.
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8. [探究点一、二]已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程;
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),
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B 级 关键能力提升练
9.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
D
解析 因为AB<0,所以直线Ax+By+C=0的斜率- >0.
又因为BC<0,所以直线在y轴上的截距- >0,
所以直线Ax+By+C=0不经过第四象限.故选D.
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10.过点(-1,0),且与直线 有相同方向向量的直线的方程为( )
A.3x+5y-3=0 B.3x+5y+3=0
C.3x+5y-1=0 D.5x-3y+5=0
B
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11.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是( )
A.2x+y-1=0 B.2x+y+1=0
C.2x-y+1=0 D.x+2y+1=0
B
解析 把A(2,1)坐标代入两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0,得2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0,
∴2(a1-a2)=b2-b1,
∴y-b1=-2(x-a1),则2x+y-(2a1+b1)=0.
∵2a1+b1+1=0,∴2a1+b1=-1,∴所求直线方程为2x+y+1=0.故选B.
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12.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是( )
A.直线l的斜率可以等于0
C.直线l恒过点(2,1)
D.若直线l在两坐标轴上的截距相等,则m=1或m=-1
BD
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解析 当m=0时,直线l:x=1,斜率不存在,当m≠0时,直线l的斜率为
∵直线l与y轴的夹角为30°,
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直线l的方程可化为(x-1)-m(y-1)=0,
∴直线l过定点(1,1),故C选项错误;
当m=0时,直线l:x=1,在y轴上的截距不存在,
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13.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,且此三角形的面积为18,则直线l的方程为 .
x+y±6=0或x-y±6=0
解析 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.
若l在两坐标轴上的截距相等,且设为a(a≠0),
∴直线方程为x+y±6=0.
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若l在两坐标轴上的截距互为相反数,不妨设在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为-a(a≠0),
∴a=±6,∴直线方程为x-y±6=0.
综上所述,直线l的方程为x+y±6=0或x-y±6=0.
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14.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,则顶点C的坐标为 ,直线MN的方程为 .
(-5,-3)
5x-2y-5=0
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15.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=-1时,y=-3,不符合题意.
解得a=2或a=0,
∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0.
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(2)直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2,
∴a≤-1,∴a的取值范围为(-∞,-1].第二章2.4 曲线与方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点二(角度1)]在平面直角坐标系xOy中,动点P关于x轴对称的点为Q,且=2,则点P的轨迹方程为( )
A.x2+y2=2
B.x2-y2=2
C.x+y2=2
D.x-y2=2
2.[探究点一]方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是( )
3.[探究点一]已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )
A. B.
C. D.
4.[探究点二(角度3)]已知A(2,1),B(2,-1),O为坐标原点,动点P(x,y)满足=m+n,其中m,n∈R,且m2+n2=,则动点P的轨迹方程是( )
A.x2+=1 B.+y2=1
C.x2-=1 D.-y2=1
5.[探究点三]曲线x2+y2+2x=0与曲线y+|x|=0的交点个数是 .
6.[探究点二(角度1)]已知圆O1:x2+y2=1和圆O2:(x-4)2+y2=4,过点P(x,y)分别作O1,O2的切线PA,PB,其中A,B为切点,且|PA|=|PB|,则动点P的轨迹方程为 .
7.[探究点二(角度1)]动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-,则动点P的轨迹方程为 .
8.[探究点二(角度3)]已知圆M经过原点和点(3,-1),且它的圆心M在直线2x+y-5=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)若点D为圆M上的动点,定点C(2,0),求线段CD的中点P的轨迹方程.
B级 关键能力提升练
9.阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:在平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足,则△PAB面积的最大值是( )
A. B.2 C.2 D.4
10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
11.(多选题)在平面直角坐标系中,曲线C上任意一点P与两个定点A(-2,0)和B(2,0)连线的斜率之和恒等于2,则关于曲线C的结论正确的是( )
A.曲线C是轴对称图形
B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外
C.曲线C是中心对称图形
D.曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于2
12.在平面直角坐标系xOy中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P满足||=||,则动点P的轨迹方程是 .
13.已知A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足∠APO=∠BPO,其中O为原点,则点P的轨迹方程是 .
14.已知P为圆(x+2)2+y2=1上的动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,求点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.
15.在边长为1的正方形ABCD中,边AB,BC上分别有一个动点Q,R,且|BQ|=|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程.
C级 学科素养创新练
16.[人教A版教材习题]求由曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形的面积.
17.已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:x2+y2=1,动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0),求动点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.
2.4 曲线与方程
1.B 设P(x,y),则Q(x,-y).
因为=2,所以x2-y2=2.故选B.
2.C 方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分.
3.C 由(cosα-2)2+sin2α=3,得cosα=.
又0≤α<2π,∴α=.
4.B 由题意得(x,y)=(2m+2n,m-n),
∴x=2m+2n,y=m-n,∴m=,n=.
∵m2+n2=,
∴()2+()2=,即+y2=1.故选B.
5.2 由可得x2+x=0,所以所以交点个数是2.
6.x= 设P(x,y),则由|PA|=|PB|,得|PA|2=|PB|2,所以x2+y2-1=(x-4)2+y2-4,化简得x=.
7.x2+2y2-2=0(x≠±) 设P(x,y),由题意知,x≠±,kAP=,kBP=,由条件知kAP·kBP=-,所以=-,整理得x2+2y2-2=0(x≠±).
8.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则圆心M(-,-),
依题意得解得
所以圆M的方程为x2+y2-4x-2y=0.
(2)设P(x,y),D(x1,y1),
依题意得
点D(x1,y1)为圆M上的动点,得(2x-2)2+(2y)2-4(2x-2)-2(2y)=0,
化简得P的轨迹方程为x2+y2-4x-y+3=0.
9. C 设经过点A,B的直线为x轴,的方向为x轴正方向,线段AB的垂直平分线为y轴,线段AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).
设P(x,y),∵,∴,两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8.
要使△PAB的面积最大,只需点P到AB(x轴)的距离最大,此时面积为×2×2=2.故选C.
10.B ∵图形关于y轴对称,∴只考虑x≥0的情况,此时曲线C:x2+y2=1+xy,曲线C上任意一点P(x,y)到原点距离d=.
当x=0时,y=±1,∴d=1;
当x>0时,x2+y2=1+xy≤1+ x2+y2≤2 d≤,∴曲线C上任意一点到原点距离的最大值为.故选B.
11.BC 设P(x,y),依题意有=2,整理,得x2=xy+4,于是曲线C的方程为y=x-(x≠0,x≠±2),所以曲线C不是轴对称图形,而是中心对称图形,原点是它的对称中心,因此A选项错误,C选项正确;
又因为x2+y2=x2+(x-)2=2x2+-8≥2-8=8-8>2,当且仅当x=±2时等式成立,所以曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外,故B选项正确;
代入点(1,-3),得-3=1-,所以点(1,-3)在曲线C上,但其横坐标的绝对值不大于2,故D选项错误.故选BC.
12.y2=4x 设P(x,y).
由M(-1,2),N(1,0),得=(-1-x,2-y),=(1,0),=(1-x,-y).
因为||=||,
所以|1+x|=,整理得y2=4x.
13.(x-2)2+y2=4(y≠0) 由角平分线的性质定理得|PA|=2|PB|,设P(x,y),则=2,
整理得(x-2)2+y2=4(y≠0).
14.解设M(x,y),P(x1,y1).∵M为线段OP的中点,
∴即P(2x,2y).
将P(2x,2y)代入圆的方程(x+2)2+y2=1,可得
(2x+2)2+(2y)2=1,即(x+1)2+y2=,
此方程为点M的轨迹方程.
∴点M的轨迹曲线是以(-1,0)为圆心,为半径的圆.
15.解分别以AB,AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系.
如图所示,则点A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
设动点P(x,y),Q(t,0)(0≤t≤1),
由|BQ|=|CR|知|AQ|=|BR|,则R(1,t).
当t≠0时,直线AR:y=tx, ①
直线DQ:+y=1,则1-y=, ②
①×②,得y(1-y)=tx·,化简得x2+y2-y=0.
当t=0时,点P与原点重合,坐标(0,0)也满足上述方程.
故点P的轨迹方程为x2+y2-y=0(0≤x≤,0≤y≤).
16.解当x≥0,y≥0时,方程x2+y2=|x|+|y|化成x2+y2=x+y,即(x-)2+(y-)2=.
上式表示圆心为(),半径为的圆.
所以,当x≥0,y≥0时,方程x2+y2=|x|+|y|表示圆(x-)2+(y-)2=在第一象限的部分以及点(1,0),(0,1),(0,0).
同理,当x≥0,y<0时,方程x2+y2=|x|+|y|表示圆(x-)2+(y+)2=在第四象限的部分以及点(0,-1);
当x<0,y≥0时,方程x2+y2=|x|+|y|表示圆(x+)2+(y-)2=在第二象限的部分以及x轴负半轴上的点(-1,0);
当x<0,y<0时,方程x2+y2=|x|+|y|表示圆(x+)2+(y+)2=在第三象限的部分.
以上合起来构成如图所示的图形,面积为2+π.
17. 解如图所示,设直线MN切圆于N点,则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}(λ>0).
因为圆的半径|ON|=1,
所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1.
设点M的坐标为(x,y),则λ2[(x-2)2+y2]=x2+y2-1,整理,得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0,当λ=1时,方程化为x=,它表示一条直线;
当λ≠1时,方程化为+y2=,它表示圆心为,半径为的圆.(共26张PPT)
第二章
2.3.4 圆与圆的位置关系
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]已知圆O1:x2+y2=4,圆O2:x2+y2-2x-2y-4=0,则同时与圆O1和圆O2相切的直线有( )
A.4条 B.2条 C.1条 D.0条
B
|r1-r2|<|O1O2|1
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2.[探究点一]已知圆C1的标准方程是(x-4)2+(y-4)2=25,圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+ y+1=0对称,则圆C1与圆C2的位置关系为( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.内含
C
解析 由题意可得,圆C1:(x-4)2+(y-4)2=25的圆心为(4,4),半径为5.
因为5-2<|C1C2|< <7=2+5,所以圆C1与圆C2的位置关系是相交.故选C.
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3.[探究点一]“a=3”是“圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A
解析 若圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切,
所以“a=3”是“圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切”的充分不必要条件.故选A.
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4.[探究点三]过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是
( )
A
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解析 设经过圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是
x2+y2-5x+λ(x2+y2-2)=0,λ≠-1,
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5.[探究点一](多选题)当实数m变化时,圆x2+y2=1与圆N:(x-m)2+(y-1)2=4的位置关系可能是( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内含
ABC
解析 圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-m)2+(y-1)2=4的圆心
∴当|C1C2|=1时,两圆内切;当1<|C1C2|<3时,两圆相交;
当|C1C2|=3时,两圆外切;当|C1C2|>3时,两圆外离,
∴两圆的位置关系可能是相切、外离和相交.故选ABC.
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6.[探究点二](多选题)若圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-2y=0的交点为A,B,则( )
A.公共弦AB所在直线方程为x+y-3=0
B.线段AB中垂线方程为x-y+1=0
C.公共弦AB的长为2
D.在过A,B两点的所有圆中,面积最小的圆是圆C1
AD
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解析 对于A,由圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-2y=0,联立两个圆的方程可得x+y-3=0,即公共弦AB所在直线方程为x+y-3=0,故A正确;
对于B,圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0,其圆心C1为( ),圆C2:x2+y2-2x-2y=0,其圆心C2为(1,1),直线C1C2的方程为y=x,即线段AB中垂线的方程为x-y=0,故B错误;
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7.[探究点一]已知圆C1:x2+y2+2x+3y+1=0,圆C2:x2+y2+4x+3y+2=0,则圆C1与圆C2的位置关系是 .
相交
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8.[探究点一]圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-6x+8y+m=0外切,则实数m= .
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解析 圆O1的圆心O1(0,0),半径r1=1,圆O2的圆心O2(3,-4),半径
∴m=9.
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9.[探究点一、二、三]已知圆C1:x2+y2=10与圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0.
(1)求证:圆C1与圆C2相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程;
(3)求经过两圆交点,且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程.
(1)证明 圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0化为标准方程为(x+1)2+(y+1)2=16,
∴C2(-1,-1),r=4.
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(2)解 由圆C1:x2+y2=10与圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0,将两圆方程相减,可得2x+2y-4=0,
即两圆公共弦所在直线的方程为x+y-2=0.
r=|AP|=4,∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=16.
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10.[探究点一、二]已知圆x2+y2-2x-6y-1=0和圆x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切
(2)m取何值时两圆内切
(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为
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B 级 关键能力提升练
11.已知圆M:x2+y2-2ax=8截直线l:x-y=0所得的弦长为 ,则圆M与圆N:x2+(y-1)2=4的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
B
又圆N:x2+(y-1)2=4,圆心N(0,1),rN=2,
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12.已知直线l:mx+y-m-1=0与圆M:(x-2)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,则当弦AB最短时,圆M与圆N:x2+(y-m)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相离 C.外切 D.相交
D
解析 易知直线l:mx+y-m-1=0过定点P(1,1),弦AB最短时直线l垂直于PM.
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13.(多选题)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+1=0相交于A,B两点,下列说法正确的是( )
A.圆O与圆M有两条公切线
B.圆O与圆M关于直线AB对称
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解析 圆O:x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2,圆M:x2+y2+4x-2y+1=0,即(x+2)2+(y-1)2=4,其圆心为(-2,1),半径R=2,
对于A,因为圆O与圆M相交,所以有两条公切线,故A正确;
对于B,两圆方程相减得4x-2y+5=0,即直线AB的方程为4x-2y+5=0.
因为圆心O(0,0)与圆心M(-2,1)关于直线AB对称,且两圆半径相等,故B正确;
对于D,E,F分别是圆O和圆M上的点,则|EF|的最大值为|MO|+r+R=+4,故D正确.故选ABD.
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14.已知圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4和圆C2:(x-2)2+(y-1)2=2交于A,B两点,直线l与直线AB平行,且与圆C2相切,与圆C1交于点M,N,则|MN|= .
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解析 由圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4,可知圆心C1(1,2),半径为2,
又圆C1:x2+y2-2x-4y+1=0,圆C2:x2+y2-4x-2y+3=0,所以可得直线AB:x-y-1=0.
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15.与圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-4)2+(y+4)2=4均外切的圆中,面积最小的圆的方程是 .
解析 当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小.
设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为
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16.已知圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点.
(1)求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程;
(2)求圆C1与圆C2的公共弦长|AB|.
解 (1)已知圆C1:x2+y2=5的圆心坐标为(0,0),半径为 ,圆C2:x2+y2-4x+3=0的圆心坐标为(2,0),半径为1.
若过圆C1的圆心(0,0)与圆C2相切的直线斜率存在,则可设直线方程为y=kx,
若直线斜率不存在,直线不与圆C2相切.
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(2)圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点,则过点A和B的直线方程为4x-3=5,即x=2.
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C 级 学科素养创新练
17.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个结论中正确的有( )
A.存在一条定直线与所有的圆均相切
B.存在一条定直线与所有的圆均相交
C.存在一条定直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
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解析 根据题意得,圆心(k-1,3k),圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项B正确;
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将(0,0)代入圆的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,
即10k2-2k+1=2k4(k∈N*),
因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆均不过原点,选项D正确.(共28张PPT)
第二章
2.3.2 圆的一般方程
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
D
解析 因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为
故该圆的圆心在第四象限.
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2.[探究点一]圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为( )
D
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3.[探究点一]方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示( )
A.以(a,b)为圆心的圆
B.以(-a,-b)为圆心的圆
C.点(a,b)
D.点(-a,-b)
D
解析 原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=0,
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4.[探究点二](多选题)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),
B(-2,3),C(-1,-2),则下列说法正确的有( )
A.AC边上的高所在直线的方程为x+y-1=0
B.△ABC的外接圆的方程为x2+y2+3x-y-4=0
C.△ABC的面积为12
D.直线BC在y轴上的截距为7
AB
解析 对于A,因为AC边的斜率为kAC= =1,所以AC边上的高的斜率为
-1,又经过B(-2,3),由直线的点斜式方程可得y-3=-(x+2),即x+y-1=0,故A正确;
对于B,设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
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对于D,直线BC的方程为 ,即y=-5x-7,令x=0,所以在y轴上的截距为-7,故D错误.故选AB.
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5.[探究点一](多选题)圆x2+y2-4x-1=0( )
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称
D.关于直线x-y+2=0对称
ABC
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解析 x2+y2-4x-1=0 (x-2)2+y2=5,
即圆心的坐标为(2,0).
对于A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,故A正确;
对于B项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,故B正确;
对于C项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,故C正确;
对于D项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,故D不正确.
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6.[探究点一]已知圆C:x2+y2-4y=0,则圆C的坐标为 ,圆C的半径为 .
(0,2)
2
解析 因为圆C:x2+y2-4y=0,即圆C:x2+(y-2)2=4,所以圆C的圆心为(0,2),半径为2.
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7.[探究点二]已知直线与圆P:x2+y2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A,B两点,且弦AB的中点Q的坐标为(0,1),则直线AB的方程为 .
x-y+1=0
解析 易知圆心P的坐标为(-1,2).
∵弦AB的中点Q的坐标为(0,1),
∴直线AB的斜率k=1,故直线AB的方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.
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8.[探究点二]求圆C:x2+y2-8x+2y-8=0关于点(2,-1)对称的圆的方程为 .
x2+(y+1)2=25
解析 圆C:x2+y2-8x+2y-8=0化为标准方程为(x-4)2+(y+1)2=25,所以C(4,-1),半径r=5,故圆C关于点(2,-1)对称的圆的半径为5,圆心设为D.
由中点坐标公式求得D(0,-1),所以对称圆的方程为x2+(y+1)2=25.
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9.[探究点二]求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的一般方程.
解 ∵圆心在直线2x-y-3=0上,
∴可设圆心坐标为(a,2a-3),半径为r(r>0),
则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.
把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,
得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2,①
(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2,②
由①②可得a=2,r2=10.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,即x2+y2-4x-2y=5.
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10.[探究点二·人教A版教材习题] 如图,在四边形ABCD中,AB=6,CD=3,且AB∥CD,AD=BC,AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径.
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B 级 关键能力提升练
11.已知方程x2+y2+kx-2y-k2=0表示的圆中,当圆面积最小时,此时k=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
B
即圆的面积最小.故选B.
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12.(多选题)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是
( )
A.圆M的圆心为(4,-3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.圆M的半径为25
D.圆M被y轴截得的弦长为6
ABD
解析 圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x-4)2+(y+3)2=25.圆的圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确,A,B,D均正确.
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13.(多选题)若a∈{-2,0,1, },方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的值可以为( )
A.-2 B.0 C.1 D.
ABD
解析 根据题意,若方程表示圆,
则有(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得a<1.
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14.已知点P(7,3),圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上一点,点S在x轴上,则|SP|+|SQ|的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
C
解析 由题意知圆M的方程可化为(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1.
如图所示,作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,-3),连接MP',交圆M于点Q,交x轴于点S,此时|SP|+|SQ|的值最小且(|SP|+|SQ|)min=|P'M|-1
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15.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+2y=4与x轴交于A点,直线m:kx+y-1=0与y轴及直线l分别交于B点,C点,且A,B,C,O四点共圆,则此圆的标准方程是 .
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16.已知直线3x+4y-10=0与圆x2+y2-5y+F=0相交于A,B两点,且OA⊥OB(O是原点),则F= .
0
解析 易得圆x2+y2-5y+F=0的圆心坐标为 ,它在直线3x+4y-10=0上,再由OA⊥OB,可知圆x2+y2-5y+F=0过原点O,将O(0,0)代入圆的方程可求得F=0.
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17.已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求圆的周长的最大值.
解 (1)原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4,若方程表示一个圆,则
-m2+3m+4>0,解得-11
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18.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R.
(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;
(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.
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(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
直线l的方程代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,
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C 级 学科素养创新练
19.已知圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0,有以下命题:
①E=-4,F=4是曲线C表示圆的充分不必要条件;
②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则0≤F≤1;
③若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),O为坐标
其中所有真命题的序号是 .
①③
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解析 ①圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0中,应有4+E2-4F>0,当E=-4,F=4时,满足4+E2-4F>0,曲线C表示圆,但曲线C表示圆时,E不一定等于-4,F不一定等于4,故①正确;
②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则x1,x2是
则圆面积有最小值,无最大值,故④不对.
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20.设△ABC顶点坐标A(0,a),B(- ,0),C( ,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.
(1)求圆M的方程;
(2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由.
解 (1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.
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(2)圆M过定点(0,-3).理由如下,圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由第二章2.2 直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0)
C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5)
2.[探究点二](多选题)下列说法中,不正确的有( )
A.任何一条直线都有唯一的斜率
B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大
C.任何一条直线都有唯一的倾斜角
D.任何一条直线都能找出方向向量
3.[探究点一](多选题)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角可能为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.[探究点二]在平面直角坐标系中,正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0,则AC,AB边所在直线的斜率之和为( )
A.-2 B.0 C. D.2
5. [探究点二]如图所示,下列四条直线中,斜率最大的是( )
A.l1 B.l2
C.l3 D.l4
6.[探究点一]已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的范围是 .
7.[探究点一]已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为 .
8.[探究点一]已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,则x= ,直线AB的倾斜角为 .
9.[探究点二]已知点A(1,2),B(-3,-4),C(2,),D(x,-2).
(1)证明:A,B,C三点共线;
(2)若∠DAB=,求x的值.
10.[探究点二·人教A版教材例题] 如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
B级 关键能力提升练
11.(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,直线l绕点A顺时针旋转后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为( )
A.α+ B.α+ C.α- D.-α
12.直线l1经过两点A(0,0),B(,1),直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,则直线l2的斜率为( )
A. B. C.1 D.
13.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为( )
A.[0,] B.[]
C.[0,]∪[,π) D.[0,]∪[,π)
14.若直线l的一个法向量为n=(2,1),则直线l的斜率k= .
15.已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).
(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;
(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD的斜率的取值范围.
C级 学科素养创新练
16.一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,经过点B(5,7),则点P的坐标为 .
17.将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中,已知AB=OB=1,AB⊥OB,点P()是三角形木板内一点.现因三角形木板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分钻掉,可用经过点P的任一直线MN将三角形木板钻成△AMN.设直线MN的斜率为k.
(1)求点M,N的坐标(用k表示)及直线MN的斜率k的取值范围;
(2)令△AMN的面积为S,试求出S的取值范围.
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
1.D D项,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,斜率不存在.
2.AB A错,因为倾斜角为90°的直线没有斜率;B错,因为当0°<α<90°时,k>0,当90°<α<180°时,k<0;C对,D对.
3.BC y轴正方向对应的直线的倾斜角为90°,因此所求直线的倾斜角为60°或120°.故选BC.
4.B 由BC边所在直线的斜率是0知,直线BC与x轴平行或重合,所以直线AC,AB的倾斜角互为补角,根据直线斜率的定义知,直线AC,AB的斜率之和为0.故选B.
5.D 由图可知,l3斜率为负,l2斜率为0,l1,l4的斜率为正.
又l4的倾斜程度大于l1,所以l4的斜率最大.故选D.
6.10°≤α<100° 由0°≤2α-20°<180°,得10°≤α<100°.
7.(3,0)或(0,-3) 若设点P的坐标为P(x,0),
则k==tan45°=1,∴x=3,即P(3,0).
若设点P的坐标为P(0,y),则k==tan45°=1,
∴y=-3,即P(0,-3).
8.3 直线AB斜率为kAB==1,直线BC斜率为kBC=,因为A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,所以kAB=kBC,则x=3,由tanθ=1得θ=,所以直线AB的倾斜角为.
9.(1)证明A(1,2),B(-3,-4),C(2,),
∴kAB=,kAC=,
∴kAB=kAC,∴A,B,C三点共线.
(2)解由=(-4,-6),=(x-1,-4),
若∠DAB=,则=0,
即-4(x-1)+24=0,解得x=7,∴x的值为7.
10.解直线AB的斜率kAB=,直线BC的斜率kBC==-,直线CA的斜率kCA==1.
由kAB>0及kCA>0可知,直线AB与CA的倾斜角均为锐角;由kBC<0可知,直线BC的倾斜角为钝角.
11.BC 因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),
所以当≤α<π时,直线l1的倾斜角为α-.
当0≤α<时,直线l1的倾斜角为π-(-α)=+α.
故选BC.
12.D 因为直线l1的斜率为,
所以直线l1的倾斜角为.
又因为直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,
所以直线l2的倾斜角为,
所以直线l2的斜率为tan.故选D.
13.D 设直线xsinα-y+1=0的倾斜角为θ,可得tanθ=sinα∈[-1,1],
所以θ的取值范围为[0,]∪[,π).故选D.
14.-2 根据题意,设直线l的斜率为k,则其方向向量为a=(1,k),若直线l的一个法向量为n=(2,1),则有a·n=2+k=0,解得k=-2.
15.解(1)由斜率公式,得kAB==0,kBC=,kAC=,
所以直线AB的倾斜角为0°,直线BC的倾斜角为60°,直线AC的倾斜角为30°.
(2)如图,当直线CD由CA绕点C逆时针转到CB时,直线CD与线段AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kAC增大到kBC,所以k的取值范围为[].
16. (方法一)设P(x,0),由光的反射原理知,入射角等于反射角,即α=β,如图①.
所以反射光线PB的倾斜角β与入射光线AP的倾斜角(π-α)互补,因此,kAP=-kBP,即=-,解得x=,即P.
图①
图②
(方法二)由题意知,x轴是镜面,易知入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为A'(-2,-3).
由光学知识知点A'应在反射光线所在的直线上,即A',P,B三点共线,如图②.
从而有kA'P=kPB,即,解得x=,即P.
17.解(1)设直线MN:y=kx+b.
∵直线MN过点P(),
∴=k·+b,b=,
∴直线MN:y=kx+,直线OA:y=x,直线AB:x=1,∴M(),N(1,).
易知kOP=,kBP=-,∴-≤k≤.
(2)设△AMN中,AN边上的高为d.
∵|AN|=1-,d=1-,
∴S=|AN|·d=+(1-k)+1]≥,当且仅当1-k=,即k=时等号成立.
∵-≤k≤,∴≤1-k≤,∴≤S≤,
∴S的取值范围为[].第二章2.6.2 双曲线的几何性质
A级 必备知识基础练
1.[探究点一(角度1)]若双曲线x2-=1的一条渐近线的斜率是-2,则实数k的值为( )
A.4 B. C.-4 D.-
2.[探究点一(角度1)·2021全国卷,文]点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
3.[探究点一、二(角度2)]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为1,且与椭圆=1有公共焦点,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
4.[探究点一(角度2)](多选题)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A1(-a,0),A2(a,0),P,Q的坐标分别为(0,b),(0,-b),且四边形A1PA2Q的面积为2,四边形A1PA2Q内切圆的周长为,则双曲线C的方程可以为( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.=1 D.=1
5.[探究点一(角度1)](多选题)已知双曲线C:=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,P为C上一点,则( )
A.双曲线C的实轴长为2
B.双曲线C的一条渐近线方程为y=x
C.|PF1|-|PF2|=2
D.双曲线C的焦距为4
6.[探究点一(角度1)·2021全国乙,理13]已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为 .
7.[探究点一(角度1)]已知F1,F2为双曲线C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
8.[探究点一(角度2)]求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;
(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
9.[探究点二(角度1)]过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.
B级 关键能力提升练
10.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A.3 B.2 C. D.
11.已知双曲线=1(a,b均为正数)的两条渐近线与直线x=-1围成的三角形的面积为,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.2
12.(多选题)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右两个顶点分别是A1,A2,左、右两个焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是( )
A.||PA1|-|PA2||=2a
B.直线PA1,PA2的斜率之积等于定值
C.使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有四个
D.若=b2,则=0
13.设双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别交双曲线的左、右两支于M,N.若以MN为直径的圆经过右焦点F2,且|MF2|=|NF2|,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
14.(多选题)定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是( )
A.与=1(a>0,b>0)共轭的双曲线是=1(a>0,b>0)
B.互为共轭的双曲线渐近线不相同
C.互为共轭的双曲线的离心率为e1,e2,则e1e2≥2
D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
15.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆交y轴正半轴于点P,线段PF1交双曲线的渐近线于点A,若点A恰好为线段PF1的中点(O为坐标原点),则∠AOF1的大小为 ,双曲线的离心率为 .
16.求适合下列条件的双曲线的离心率:
(1)双曲线的渐近线方程为y=±x;
(2)双曲线=1(0C级 学科素养创新练
17.已知双曲线C的焦点F(,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为.
(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程;
(2)已知点M(0,1),设P是双曲线C上的点,Q是P关于原点的对称点.设λ=,求λ的取值范围.
2.6.2 双曲线的几何性质
1.A 双曲线x2-=1的一条渐近线的斜率是-2,
可得=2,解得k=4.
2.A 由题意可知,双曲线的渐近线方程为=0,即3x±4y=0,结合对称性,不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离d=.故选A.
3.C 由题意知椭圆的焦点坐标为(±,0),即为双曲线的焦点坐标,双曲线中c=,
渐近线方程为y=±x,其中一条为bx-ay=0,
于是有=1,b=1,∴a=,
∴渐近线方程为y=±x.故选C.
4.AB 因为四边形A1PA2Q的面积为2,
所以×2a×2b=2,整理得ab=,
记四边形A1PA2Q内切圆半径为r,则2πr=π,得r=.
又4×cr=2,所以c=.
又c2=a2+b2=3,联立可得
所以双曲线C的方程为-y2=1或x2-=1.故选AB.
5.ABD 由双曲线方程知b=,离心率为e==2,解得a=1,故C:x2-=1,实半轴长为1,实轴长为2a=2,故A正确;因为可求得双曲线渐近线方程为y=±x,故一条渐近线方程为y=x,故B正确;由于P可能在C的不同分支上,则有||PF1|-|PF2||=2,故C错误;焦距为2c=2=4,故D正确.故选ABD.
6.4 由双曲线方程可知其渐近线方程为±y=0,即y=±x,得-=-,解得m=3.
可得C的焦距为2=4.
7. 8 由双曲线的对称性以及|PQ|=|F1F2|可知,四边形PF1QF2为矩形,所以
解得|PF1||PF2|=8,
所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=8.
8.解(1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.
由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为=1或=1.
(2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),
即=1(λ≠0),由题意得a=3.
当λ>0时,=9,λ=36,双曲线方程为=1;
当λ<0时,=9,λ=-81,双曲线方程为=1.
故所求双曲线的标准方程为=1或=1.
9.解如图所示,与渐近线平行的直线l的斜率为,又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的方程为y=(x-c).因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得=1,化简得y=-b或y=b(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-b),代入直线方程得-b=(2a-c),化简可得离心率e==2+.
10.B 设椭圆与双曲线的标准方程分别为=1(a>b>0),=1(m>0,n>0),因为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c,所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1=,e2=,由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a,所以=2.
11.D 双曲线的渐近线为y=±x,令x=-1,可得y= ,不妨令A(-1,),B(-1,-),
所以|AB|=,所以S△AOB=|AB|·|xA|=,
所以|AB|=2,即=2,所以,
所以e==2.故选D.
12.BD 由题意,点P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,设P(x0,y0).
对于A,由双曲线的定义知,||PA1|-|PA2||≠2a,所以A错误;
对于B,由A1(-a,0),A2(a,0),可得,又由=1,所以-a2),可得,所以B正确;
对于C,若P在第一象限,则当|PF1|=2c时,|PF2|=2c-2a,△PF1F2为等腰三角形;当|PF2|=2c时,|PF1|=2c+2a,△PF1F2也为等腰三角形,故点P在第一象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P有两个.同理可得,在第二、三、四象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P也各有两个,因此使得△PF1F2为等腰三角形的点P共有八个,所以C错误;
对于D,由-a2=b2,得=c2,从而-c2=0,所以D正确.故选BD.
13.C 若以MN为直径的圆经过右焦点F2,
则=0,又|MF2|=|NF2|,
可得△MNF2为等腰直角三角形,
设|MF2|=|NF2|=m,则|MN|=m,
由|MF2|-|MF1|=2a,|NF1|-|NF2|=2a,
两式相加可得|NF1|-|MF1|=|MN|=4a,
即有m=2a.
过F2作MN的垂线交于点H,则|F2H|=2a.
在直角三角形HF1F2中可得4c2=4a2+(2a+2a-2a)2,化为c2=3a2,即e=.
14.CD 对于A选项,由共轭双曲线的定义可知,与=1(a>0,b>0)共轭的双曲线是=1(a>0,b>0),故A错;
对于B选项,双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,故B错;
对于C选项,设c=,双曲线=1的离心率为e1=,双曲线=1的离心率为e2=,所以,e1e2=≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故C对;
对于D选项,设c=,双曲线=1的焦点坐标为(±c,0),双曲线=1的焦点坐标为(0,±c),这四个焦点都在圆x2+y2=c2上,故D对.故选CD.
15. 由点P为以F1F2为直径的圆与y轴正半轴的交点,可知∠PF2F1=,又因为原点O为F1F2的中点,A为PF1的中点,所以OA∥PF2,所以∠AOF1=,从而双曲线的渐近线AO为第二、四象限的平分线,所以a=b,而a2+b2=c2,则2a2=c2,即c=a,所以e=.
16.解(1)若焦点在x轴上,则,
故e=.
若焦点在y轴上,则,即,
故e=.
综上所述,双曲线的离心率为.
(2)依题意,得直线l:bx+ay-ab=0.由原点到l的距离为c,得c,即ab=c2,
∴16a2b2=3(a2+b2)2,即3b4-10a2b2+3a4=0,
∴3-10×+3=0.解得=3.
∵017.解(1)∵双曲线C的焦点F(,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为,可设双曲线的方程为=1,
∴c=,c-a=,∴a=,
∴b2=c2-a2=()2-()2=1,则双曲线的方程为-y2=1,令-y2=0,则y=±x,即渐近线方程为y=±x.
(2)设P的坐标为(x0,y0),则Q的坐标为(-x0,-y0),
∴λ==(x0,y0-1)·(-x0,-y0-1)=-+1=-+2.
∵|x0|≥,∴λ的取值范围是(-∞,-1].(共26张PPT)
第二章
2.6.1 双曲线的标准方程
A 级 必备知识基础练
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C
解析 由题意知2c=8,c=4,a2=m,b2=1.
因为c2=a2+b2,所以16=m+1,解得m=15.故选C.
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2.[探究点二]设点P在双曲线 =1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于( )
A.22 B.16 C.14 D.12
A
由双曲线定义知||PF2|-|PF1||=6.
又|PF1|∶|PF2|=1∶3,∴|PF1|=3,|PF2|=9,
∴△F1PF2的周长为3+9+10=22.故选A.
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3.[探究点一](多选题)若方程 =1所表示的曲线为C,则下面四个说法错误的是( )
A.若C为椭圆,则1B.若C为双曲线,则t>3或t<1
C.曲线C可能是圆
D.若C为椭圆,且长轴在y轴上,则1AD
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4.[探究点二]已知双曲线 =1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
A
解析 设右焦点为F2,连接PF2,ON(图略),ON是△PF1F2的中位线,
∴|ON|= |PF2|.
∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,
∴|ON|= |PF2|=7或3.
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5.[探究点二]已知F是双曲线 =1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
A
|PF|+|PA|≥9,当且仅当A,P,F'三点共线时取等号,所以|PF|+|PA|的最小值为9.故选A.
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7.[探究点一]已知双曲线对称轴为坐标轴,中心在原点,焦点在直线x+y=6上,且c=2a,则此双曲线的标准方程为 .
解析 直线x+y=6与坐标轴的交点坐标为(6,0),(0,6).
当双曲线的焦点在横轴时,c=6,因为c=2a,所以a=3,
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8.[探究点二]已知双曲线C: =1的两焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,若|PF1|=10,则|PF2|= .
18或2
点,|PF1|=10,
所以||PF2|-|PF1||=2a=8,即||PF2|-10|=8,
所以|PF2|=18或|PF2|=2.
因为|PF1|=10>a+c=9,
所以|PF2|=18或|PF2|=2都符合题意.
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9.[探究点一·北师大版教材习题]已知双曲线的焦点与椭圆 =1的左、右顶点相同,且经过椭圆的右焦点,求该双曲线的方程.
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10.[探究点三]如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
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解 圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;
圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,
∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.
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B 级 关键能力提升练
11.(多选题)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),则下列说法正确的是( )
A.当m>0时,点C的轨迹是双曲线
B.当m>0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点)
C.当m=-1时,点C在圆x2+y2=25(除去点(5,0),(-5,0))上运动
D.当m<-1时,点C的方程表示焦点在x轴上的椭圆(不含左、右顶点)
BC
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当m>0时,方程表示焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点),故A错误,B正确;
当m=-1时,方程为x2+y2=25(y≠0),则点C在圆x2+y2=25(除去点(5,0),(-5,0))上运动,故C正确;
当m<-1时,方程表示焦点在y轴上的椭圆(不含左、右顶点),故D错误.故选BC.
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12.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为2∶1,则称此双曲线存在“L点”,下列双曲线中存在“L点”的是( )
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整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,①
根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②
①-②,得|PF1||PF2|=64,则△PF1F2的面积为
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14.已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为 .
所以P(2,±3),|PF|=3.
又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,
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解析 设A(-5,0),B(5,0).
|MB|=6<10,故点M到定点A(-5,0)与到定点B(5,0)的距离差为6,则动点M(x,y)的轨迹是以(±5,0)为焦点,以6为实轴长的双曲线的右支.
由于2a=6,c=5,则b2=c2-a2=25-9=16,故M的轨迹的标准方程为
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16.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN= ,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.
解 因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN= ,
所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.
由3k+4k+5k=48,得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.
以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.
由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.
由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,
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18第二章2.1 坐标法
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]已知A,B都是数轴上的点,A(3),B(-2),则3+4的坐标为( )
A.17 B.1 C.-1 D.-17
2.[探究点二(角度2)]已知点P(1,2),Q(3,0),则线段PQ的中点为( )
A.(4,2) B.(2,1) C.(2,4) D.(1,2)
3.[探究点二(角度2)]点P(2,-1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为( )
A.(1,5) B.(4,9) C.(5,3) D.(9,4)
4.[探究点二(角度2)]已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点坐标不是( )
A.(9,-4) B.(1,8) C.(-3,0) D.(1,-3)
5.[探究点二(角度1)]在平面直角坐标系中,若点(2,b)到原点的距离不小于5,则实数b的取值范围是 .
6.[探究点二]已知点A(2,1),B(-2,3),C(0,1),则△ABC中,BC边上的中线长为 .
7.[探究点三]用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
B级 关键能力提升练
8.已知P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),则|PQ|的最大值为( )
A. B.2 C.4 D.2
9.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经反射以后过点B(2,10),则光线从A到B经过的路程为( )
A.5 B.2 C.5 D.10
10.使得|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为 .
11.在平面直角坐标系xOy中,x轴上的动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为 .
12.[北师大版教材例题] 如图,已知△ABC的三个顶点分别为A(4,3),B(1,2),C(3,-4).
(1)试判断△ABC的形状;
(2)设点D为BC的中点,求BC边上中线的长.
13. 河流的一侧有A,B两个村庄,如图所示,计划在河上共建一座水电站给两村供电.已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m,且两村相距500 m.为了使水电站到两村的距离之和最小,水电站P应建在什么位置
2.1 坐标法
1.B 由题意,可得向量的坐标为3,向量的坐标为-2,所以向量3+4的坐标为3×3+4×(-2)=1.故选B.
2.B 因为P(1,2),Q(3,0),所以PQ的中点的横坐标为=2,纵坐标为=1,所以线段PQ的中点为(2,1).故选B.
3.B 设点Q的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得所以故点Q的坐标为(4,9).
4.D 设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论.
(1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有,解得x=9,y=-4,即(9,-4);
(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);
(3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选D.
5.(-∞,-]∪[,+∞) 根据两点的距离公式得点(2,b)到原点的距离d=≥5,即4+b2≥25,所以b2≥21,解得b≤-或b≥.
6. BC中点坐标为(-1,2),所以BC边上中线长为.
7.证明以线段BC的中点为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(a,b),C(c,0)(c>0),
则B(-c,0).
线段AB的中点E的坐标是(),线段AC的中点F的坐标是(),
则|EF|==c.
因为|BC|=2c,所以|EF|=|BC|.
又E,F的纵坐标相同,所以EF∥BC.
综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
8.B ∵P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),
∴|PQ|==
=
=.
∵cos(α-β)∈[-1,1],∴|PQ|∈[0,2].故选B.
9. C 如图,点A(-3,5)关于x轴的对称点为C(-3,-5),则光线从A到B经过的路程为CB的长度,即|CB|==5.故选C.
10.(-∞,4] 在数轴上,设点A(x),B(3),C(-1),则|x-3|+|x+1|=|AB|+|AC|的最小值为|BC|=4,所以使|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为(-∞,4].
11. 5 如图,设点A(0,1)关于x轴的对称点为A'(0,-1),则AR=A'R,所以AR+BR=A'R+BR≥A'B,所以动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为A'B的长.
因为|A'B|==5,所以x轴上的动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为5.
12.解(1)根据两点间的距离公式,得|AB|=,|BC|==2,|CA|==5,因为()2+(2)2=(5)2,即|AB|2+|BC|2=|CA|2,所以△ABC是直角三角形.
(2)因为BC的中点D的横坐标x==2,纵坐标y==-1,
所以BC边上中线的长|AD|==2.
13. 解如图所示,以河边所在直线为x轴,以AC为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,300),B(400,600).
设A关于x轴的对称点为A',则A'(0,-300),连接A'B交OD于点P,此时|PA|+|PB|最小.
设|OP|=x,则由△OA'P∽△DBP,得.解得x=,故水电站P应建在C,D之间距离点Cm的地方.(共25张PPT)
第二章
2.4 曲线与方程
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点二(角度1)]在平面直角坐标系xOy中,动点P关于x轴对称的点为Q,且 =2,则点P的轨迹方程为( )
A.x2+y2=2
B.x2-y2=2
C.x+y2=2
D.x-y2=2
B
解析 设P(x,y),则Q(x,-y).
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2.[探究点一]方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是( )
C
解析 方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分.
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3.[探究点一]已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )
C
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5.[探究点三]曲线x2+y2+2x=0与曲线y+|x|=0的交点个数是 .
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6.[探究点二(角度1)]已知圆O1:x2+y2=1和圆O2:(x-4)2+y2=4,过点P(x,y)分别作O1,O2的切线PA,PB,其中A,B为切点,且|PA|=|PB|,则动点P的轨迹方程为 .
解析 设P(x,y),则由|PA|=|PB|,得|PA|2=|PB|2,所以x2+y2-1=(x-4)2+y2-4,
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8.[探究点二(角度3)]已知圆M经过原点和点(3,-1),且它的圆心M在直线2x+y-5=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)若点D为圆M上的动点,定点C(2,0),求线段CD的中点P的轨迹方程.
所以圆M的方程为x2+y2-4x-2y=0.
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(2)设P(x,y),D(x1,y1),
点D(x1,y1)为圆M上的动点,得(2x-2)2+(2y)2-4(2x-2)-2(2y)=0,
化简得P的轨迹方程为x2+y2-4x-y+3=0.
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B 级 关键能力提升练
9.阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:在平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏
C
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解析 设经过点A,B的直线为x轴, 的方向为x轴正方向,线段AB的垂直平分线为y轴,线段AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).
(x-3)2+y2=8.
要使△PAB的面积最大,只需点P到AB(x轴)的距离最大,此时面积为
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10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为( )
B
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解析 ∵图形关于y轴对称,∴只考虑x≥0的情况,此时曲线C:x2+y2=1+xy,曲
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11.(多选题)在平面直角坐标系中,曲线C上任意一点P与两个定点A(-2,0)和B(2,0)连线的斜率之和恒等于2,则关于曲线C的结论正确的是( )
A.曲线C是轴对称图形
B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外
C.曲线C是中心对称图形
D.曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于2
BC
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12.在平面直角坐标系xOy中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P满足
,则动点P的轨迹方程是 .
y2=4x
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13.已知A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足∠APO=∠BPO,其中O为原点,则点P的轨迹方程是 .
(x-2)2+y2=4(y≠0)
解析 由角平分线的性质定理得|PA|=2|PB|,设P(x,y),
整理得(x-2)2+y2=4(y≠0).
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14.已知P为圆(x+2)2+y2=1上的动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,求点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.
解 设M(x,y),P(x1,y1).∵M为线段OP的中点,
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15.在边长为1的正方形ABCD中,边AB,BC上分别有一个动点Q,R,且|BQ|=|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程.
解 分别以AB,AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系.
如图所示,则点A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
设动点P(x,y),Q(t,0)(0≤t≤1),
由|BQ|=|CR|知|AQ|=|BR|,则R(1,t).
当t≠0时,直线AR:y=tx,①
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当t=0时,点P与原点重合,坐标(0,0)也满足上述方程.
C 级 学科素养创新练
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16.[人教A版教材习题]求由曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形的面积.
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17.已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:x2+y2=1,动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0),求动点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.
解 如图所示,设直线MN切圆于N点,则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}(λ>0).
因为圆的半径|ON|=1,
所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1.
设点M的坐标为(x,y),则λ2[(x-2)2+y2]=x2+y2-1,整理,
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17第二章2.2.2 直线的方程
第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]方程y-y0=k(x-x0)( )
A.可以表示任何直线
B.不能表示过原点的直线
C.不能表示与y轴垂直的直线
D.不能表示与x轴垂直的直线
2.[探究点一]经过点(0,3)且倾斜角为0°的直线方程为( )
A.x=3 B.y=3 C.y=x+3 D.y=2x+3
3.[探究点一]经过点(-,2),倾斜角是30°的直线的方程是( )
A.y+(x-2) B.y+2=(x-)
C.y-2=(x+) D.y-2=(x+)
4.[探究点一]直线y=k(x-2)+3必过定点 .
5.[探究点一·人教A版教材习题](1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么此直线的斜率是 ,倾斜角是 ;
(2)已知直线的点斜式方程是y+2=(x+1),那么此直线的斜率是 ,倾斜角是 .
6.[探究点二]设a∈R,如果直线l1:y=-x+与直线l2:y=-x-平行,那么a= .
7.[探究点二·北师大版教材例题]把直线l的方程3x-2y+6=0化成斜截式,求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距,并画图.
8.[探究点一、二·北师大版教材例题]已知直线l的方程为mx+(m-1)y+1=0,m∈R.
(1)若直线l在x轴上的截距为-2,求m的值;
(2)若直线l与y轴垂直,求m的值;
(3)若直线l的倾斜角为,求m的值.
B级 关键能力提升练
9.已知直线l过A(-2,1),并与两坐标轴截得等腰三角形,那么直线l的方程是( )
A.x-y-1=0或x+y-3=0
B.x-y-1=0或x-y+3=0
C.x+y+1=0或x-y+3=0
D.x+y+1=0或x+y-3=0
10.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为( )
A.x-y+1=0
B.x+y-3=0
C.2x-y=0或x+y-3=0
D.2x-y=0或x-y+1=0
11.(多选题)下列说法正确的是( )
A.直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点(3,2)
B.直线y=3x-2在y轴上的截距为2
C.直线x-y+1=0的倾斜角为60°
D.过点(-1,2)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y=0
12.将直线y=x+-1绕其上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线的点斜式方程是 .
13.求经过点(-1,2)且分别满足下列条件的直线方程.
(1)倾斜角为45°;
(2)在y轴上的截距为5;
(3)在第二象限与坐标轴围成的三角形面积为4.
14.求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A(-1,-3),且斜率等于直线3x+8y-1=0斜率的2倍;
(2)过点M(0,4),且与两坐标轴围成三角形的周长为12.
C级 学科素养创新练
15.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A,B.
(1)求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程;
(2)求当取得最小值时直线l的方程.
第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
1.D 方程y-y0=k(x-x0)是直线的点斜式方程,当直线垂直x轴时,斜率不存在,不能用点斜式方程表示.故选D.
2.B
3.C 直线的斜率k=tan30°=,由直线的点斜式方程可得y-2=(x+).故选C.
4.(2,3) 化为点斜式y-3=k(x-2).
5.(1)1 45° (2) 60°
6.-2或1 由l1∥l2,得-=-≠-,
解得a=-2或a=1.
7.解将原方程移项,得2y=3x+6.
方程的两边同时除以2,得到斜截式y=x+3.
因此,直线l的斜率k=,它在y轴上的截距是3.
令y=0,可得x=-2,即直线l在x轴上的截距是-2.
所以直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-2,0),B(0,3),过点A,B作直线,即可得直线.
8.解(1)由已知,可得直线l与x轴交于点(-2,0),所以-2m+(m-1)·0+1=0,解得m=.
(2)因为直线l与y轴垂直,所以直线l的斜率为0,所以直线l的方程可化为斜截式y=x-.
由=0,可得m=0.
(3)由(2)可知直线l的斜率为,又倾斜角为,所以由斜率与倾斜角的关系可得=tan,即=1,解得m=.
9.C 由题意可知,所求直线的倾斜角为45°或135°,即直线的斜率为1或-1,故直线方程为y-1=x+2或y-1=-(x+2),即x-y+3=0或x+y+1=0.故选C.
10.D 易知斜率不存在时不满足条件;设直线方程为y=k(x-1)+2,则截距和为2-k-+1=0,解得k=1或k=2,故直线方程为x-y+1=0或2x-y=0.
11.AC 对于A,y=ax-3a+2(a∈R),即(x-3)a+(2-y)=0,令所以直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点(3,2),故A正确;
对于B,对于直线y=3x-2,令x=0得y=-2,所以直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,故B错误;
对于C,直线x-y+1=0,即y=x+1,所以斜率k=,其倾斜角为60°,故C正确;
对于D,过点(-1,2)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为y-2=[x-(-1)],即x-2y+5=0,故D错误.故选AC.
12.y-(x-1) 由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.
∵沿逆时针方向旋转15°后,倾斜角变为60°,
∴所求直线的斜率为.又直线过点(1,),
∴由直线的点斜式方程可得y-(x-1).
13.解(1)由倾斜角为45°,得直线的斜率k=1,得点斜式方程为y-2=x+1,则y=x+3.
(2)直线在y轴上的截距为5,即直线过点(0,5),则斜率k==3,得斜截式方程为y=3x+5.
(3)设直线的斜率为k(k>0),则直线方程为y-2=k(x+1),取x=0,得y=k+2,取y=0,得x=--1.
则S=×(k+2)×(+1)=4,解得k=2.
得点斜式方程为y-2=2(x+1),即y=2x+4.
14.解(1)因为3x+8y-1=0可化为y=-x+.
所以直线3x+8y-1=0的斜率为-,
则所求直线的斜率k=2×(-)=-.
又直线经过点(-1,-3),因此所求直线的方程为y+3=-(x+1),即y=-x-.
(2)设直线与x轴的交点为(a,0).
因为点M(0,4)在y轴上,
所以由题意有4++|a|=12,
解得a=±3.所以所求直线的斜率k=或-,则所求直线的方程为y-4=x或y-4=-x,
即y=x+4或y=-x+4.
15.解(1)∵点P(3,1)在第一象限,且直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴相交,
∴直线l的斜率k<0,则设直线l的方程为y-1=k(x-3),k<0.
令x=0,得y=-3k+1;令y=0,得x=3-,
∴S△AOB=|OA||OB|=×|-3k+1|×=.
∵k<0,∴->0,-9k>0,
∴S△AOB=(6--9k)=3-≥3+2=6,当且仅当-=-,即k=-时等号成立,∴△AOB面积的最小值为6,
此时直线l的方程为y-1=-(x-3),即x+3y-6=0.
(2)设A(a,0),B(0,b),a>3,b>1.
∵A,P,B三点共线,∴,整理得=1,
∴=(3-a,1)·(-3,b-1)=3a+b-10=(3a+b)()-10=≥2=6,当且仅当,即a=b=4时等号成立,
∴当取得最小值时,直线l的方程为x+y-4=0.第二章2.2.3 两条直线的位置关系
A级 必备知识基础练
1.[探究点三](多选题)已知直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则l2的斜率可以为( )
A. B.- C.a D.不存在
2.[探究点一]下列四组直线中,互相垂直的一组是( )
A.2x+y-1=0与2x-y-1=0
B.2x+y-1=0与x-2y+1=0
C.x+2y-1=0与x-y-1=0
D.x+y=0与x+y-3=0
3.[探究点三]已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A.4x+2y=5 B.4x-2y=5
C.x+2y=5 D.x-2y=5
4.[探究点一](多选题)下列说法中,正确的是( )
A.直线2x+y+3=0在y轴上的截距是3
B.直线x+y+1=0的倾斜角为135°
C.A(1,4),B(2,7),C(-3,-8)三点共线
D.直线3x+4y+1=0与4x+3y+2=0垂直
5.[探究点一](多选题)设平面内四点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论正确的是( )
A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS
6.[探究点二]经过两条直线2x+3y+1=0和2x-3y+3=0的交点,并且平行于直线y=x的直线的一般式方程为 .
7.[探究点二、三]设直线l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线l2:2x+(a+2)y+1=0,若l1⊥l2,则实数a的值为 ;若l1∥l2,则实数a的值为 .
8.[探究点三]已知△ABC的三个顶点A(1,1),B(4,0),C(3,2),求BC边上的高所在的直线方程及高的长度.
9.[探究点一·北师大版教材例题]已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是△ABC的三个顶点,求证:△ABC的三条中线交于一点.
B级 关键能力提升练
10.已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0.若l1⊥l2,则sin 2α=( )
A. B.- C. D.-
11.“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0垂直”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
12.已知直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行,则实数a的值为( )
A.-2 B.2或-1 C.2 D.-1
13.直线2ax+y-2=0与直线x-(a2-3)y+2=0互相垂直,且两直线交点位于第三象限,则实数a的值为( )
A.1 B.3 C.-1 D.-3
14.若点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角α为 .
15.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m= .
16.已知集合A={(x,y)|2x-(a+1)y-1=0},B={(x,y)|ax-y+1=0},且A∩B= ,则实数a的值为 .
17.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程.
18.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ;
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
19. 如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得AC与DM两条小路互相垂直
C级 学科素养创新练
20.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m= .
21.已知点A(4,-1)和点B(8,2)均在直线l:x-y-1=0的同侧,动点P(x,y)在直线l上,求|PA|+|PB|的最小值.
2.2.3 两条直线的位置关系
1.BD 当a≠0时,由k1k2=-1知,k2=-,
当a=0时,l2的斜率不存在.
2.B 对于A,2x+y-1=0与2x-y-1=0,有2×2+1×(-1)≠0,两直线不垂直,不符合题意;
对于B,2x+y-1=0与x-2y+1=0,有2×1+1×(-2)=0,两直线垂直,符合题意;
对于C,x+2y-1=0与x-y-1=0,有1×1+2×(-1)≠0,两直线不垂直,不符合题意;
对于D,x+y=0与x+y-3=0,两直线平行,不符合题意.故选B.
3.B 可以先求出AB的中点坐标为,又直线AB的斜率k==-,则线段AB的垂直平分线的斜率为2.由点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-=2(x-2),即4x-2y=5.
4.BC 直线2x+y+3=0在y轴上的截距是-3,故A错误;
直线x+y+1=0的斜率为-1,倾斜角为135°,故B正确;
由A(1,4),B(2,7),C(-3,-8)得kAB==3,kAC==3=kAB,所以A,B,C三点共线,故C正确;
直线3x+4y+1=0与4x+3y+2=0的斜率分别为-,-,乘积为1,不垂直,故D错误.故选BC.
5.ABD 由斜率公式知,kPQ==-,kSR==-,kPS=,kQS==-4,kPR=,∴PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS.而kPS≠kQS,
∴PS与QS不平行.故ABD正确.
6.3x-3y+4=0 由解得故交点坐标为(-1,),由平行于直线y=x可得斜率为1,故方程为y-=x+1,化为一般方程为3x-3y+4=0.
7.- -4 若l1⊥l2,则2(a+1)+3(a+2)=0,整理可得5a+8=0,求解关于实数a的方程可得a=-.
若l1∥l2,则,据此可得a=-4.
8.解设BC边上的高为AD,因为kBC==-2,AD⊥BC,所以直线AD的斜率kAD=.
所以BC边上的高AD所在的直线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.又直线BC的方程为,即2x+y-8=0.
联立直线AD与BC的方程得
解得即点D的坐标为(3,2).
因此,高AD的长|AD|=,
所以BC边上的高的长度为.
9. 证明根据已知条件将A,B,C三点画在平面直角坐标系中,如图.
设点E,F,G分别为AB,BC,AC的中点,则易求得三边的中点坐标分别为E(-),F(1,0),G().
所以中线AF所在直线的方程为x=1,中线BG所在直线的方程为,即y+1=(x+2),中线CE所在直线的方程为,即y-1=-(x-4).
由解得即交点P的坐标为(1,).
因为-1=-×(1-4),所以点P(1,)满足中线CE所在直线的方程,即点P(1,)在中线CE所在直线上.
所以△ABC的三条中线交于一点.
10.A ∵l1⊥l2,∴sinα-3cosα=0,即tanα=3.
∴sin2α=2sinαcosα=.
11.B 直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0垂直,则2×3+(m+1)×(-m)=0,解得m=2或m=-3,所以“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0垂直”的充分不必要条件.故选B.
12.D 直线ax+2y+6=0斜率必存在,故两直线平行,则-=-,即a2-a-2=0,解得a=2或-1,
当a=2时,两直线重合,故a=-1.故选D.
13.C 由直线2ax+y-2=0与直线x-(a2-3)y+2=0互相垂直,可得2a-(a2-3)=0,解得a=-1或3.
当a=3时,联立解得交点坐标为(),不符合题意;
当a=-1时,联立解得交点坐标为(-,-),符合题意,故实数a的值为-1.故选C.
14.45° 由kPQ==-1,
由题意知PQ⊥l,则kPQ·kl=-1,得kl=1,
∴直线l的倾斜角为45°.
15.-或- 设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2.
由l3⊥l1,得2×m=-1,∴m=-;
由l3⊥l2,得1×m=-1,∴m=-.
故m=-或-.
16.1 ∵集合A={(x,y)|2x-(a+1)y-1=0},B={(x,y)|ax-y+1=0},且A∩B= ,
∴直线2x-(a+1)y-1=0与直线ax-y+1=0平行,即-2=-a(a+1),且2≠-a,解得a=1.
17.解由方程组
因为所求直线和直线3x+y-1=0垂直,所以所求直线的斜率k=,所以有y-,
即所求的直线方程为5x-15y-18=0.
18.解(1)设Q(x,y).
由已知得kMN=3,又PQ⊥MN,可得kMN×kPQ=-1,即×3=-1(x≠3).①
由已知得kPN=-2,又PN∥MQ,可得kPN=kMQ,即=-2(x≠1).②
联立①②解得x=0,y=1,∴Q(0,1).
(2)设Q(x,0).∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP.
又kNQ=,kNP=-2,
∴=2,解得x=1,∴Q(1,0).
又M(1,-1),∴MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90°.
19. 解如图所示,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.
由|AD|=5m,|AB|=3m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).
设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM,
∴kAC·kDM=-1,即=-1,解得x=.
故当|BM|=3.2m时,两条小路AC与DM互相垂直.
20. 4+ 如图,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,
∴直线l1的斜率k1=tan60°=.
由l1∥l2知,直线l2的斜率k2=k1=,
∴直线AB的斜率存在,且kAB=-=-,
∴=-,解得m=4+.
21.解如图所示,设点A1与A关于直线l对称,P0为A1B与直线l的交点,所以|P0A1|=|P0A|,|PA1|=|PA|.
所以|PA1|+|PB|≥|A1B|=|A1P0|+|P0B|=|P0A|+|P0B|,因此当P点运动到P0点处时,|PA|+|PB|取到最小值|A1B|.
设A关于直线l的对称点A1(x1,y1),
则解得所以A1(0,3).
所以(|PA|+|PB|)min=|A1B|=.(共26张PPT)
第二章
2.5.2 椭圆的几何性质
A 级 必备知识基础练
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D
解析 由题意得,椭圆C中,a2=9,b2=5,c2=a2-b2=4,即焦点坐标为(2,0)和(-2,0).
对于A选项,椭圆焦点在y轴上,不满足题意;
对于B选项,椭圆焦点在x轴上,a2=10,b2=5,c2=a2-b2=5,不满足题意;
对于C选项,椭圆焦点在x轴上,a2=9,b2=4,c2=a2-b2=5,不满足题意;
对于D选项,椭圆焦点在x轴上,a2=10,b2=6,c2=a2-b2=4,满足题意.故选D.
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A.有相等的焦距,相同的焦点
B.有相等的焦距,不同的焦点
C.有不等的焦距,不同的焦点
D.以上都不对
B
的焦距也是8,但焦点所在的坐标轴不同.
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4.[探究点二](多选题)已知椭圆E: =1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,与y轴正半轴交于点B,下列选项中给出的条件,能够求出椭圆E标准方程的选项是( )
A.△BF1F2是等腰直角三角形
B.椭圆E的离心率为 ,短轴长为2
C.△BF1F2是等边三角形,且椭圆E的离心率为
D.设椭圆E的焦距为4,点B在圆(x-c)2+y2=9上
BD
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解析 对A,若△BF1F2是等腰直角三角形,可知c=b,没具体数据得不出方程,故A错误;
足,得不到结果,故C错误;
对D,设椭圆E的焦距为4,点B在圆(x-c)2+y2=9上,所以c=2,b2=5,由
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5.[探究点三]已知F1,F2是椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点,点P为椭圆C上一点,O为坐标原点,△POF2为正三角形,则椭圆C的离心率为 .
解析 如图,因为△POF2为正三角形,所以|OF1|=|OP|=|OF2|,
所以△F1PF2是直角三角形.
因为∠PF2F1=60°,|F2F1|=2c,所以|PF2|=c.
所以|PF1|2=|F1F2|2-|PF2|2=4c2-c2=3c2,
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6. [探究点四]2020年12月,“嫦娥五号”月球探测器首次实现从月球无人采样返回,这标志着中国航天又向前迈出一大步.我校航天社团利用计算机模拟探测器某段飞行轨迹,如图,探测器在环月椭圆轨道上运动,月球的球心为椭圆的一个焦点,探测器在近月点“制动”后,进入距离月球表面n千米的环月圆形轨道.已知两轨道相切于近月点,远月点到月球表面的最近距离为m千米,月球半径为r千米,则椭圆轨道的长轴长为 ;离心率
为 .
m+n+2r
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解析 设椭圆形轨道的长半轴长为a,焦半径为c,由题意可得,长轴长
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7.[探究点三·北师大版教材习题]根据下列条件,求椭圆的离心率:
(1)焦距和短轴长相等;
(2)长轴长是焦距的2倍;
(3)焦距等于椭圆相邻两个顶点间的距离;
(4)经过一个焦点,且与长轴垂直的弦的弦长与焦距相等.
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8.[探究点一、二]已知椭圆的方程为9x2+4y2=36.
(1)求它的长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标.
(2)与该椭圆有相同焦点的椭圆有多少个 试写出其中的两个椭圆方程.
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准方程;
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
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B 级 关键能力提升练
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解析 根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],
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解析 如图所示,设|AF1|=3t,则|AB|=4t,|BF1|=5t,所以|AF1|2+|AB|2=|BF1|2,所以∠F1AF2=90°.
由椭圆定义可得|AF1|+|AB|+|BF1|=12t=4a,所以
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13.设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为( )
A
∵△PF1F2为直角三角形,∴PF1⊥F1F2.
又|PF1|=|F1F2|=2c,
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14.已知F1,F2是椭圆C: =1(06
解析 如图所示,因为OM为△PF1F2的中位线,且|OM|=1,所以|PF2|=2,
由椭圆定义可得|PF1|=2a-|PF2|=2×4-2=6.
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16.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围;
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
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所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.(共16张PPT)
第二章
2.1 坐标法
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]已知A,B都是数轴上的点,A(3),B(-2),则 的坐标为
( )
A.17 B.1 C.-1 D.-17
B
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2.[探究点二(角度2)]已知点P(1,2),Q(3,0),则线段PQ的中点为( )
A.(4,2) B.(2,1) C.(2,4) D.(1,2)
B
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3.[探究点二(角度2)]点P(2,-1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为( )
A.(1,5) B.(4,9) C.(5,3) D.(9,4)
B
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4.[探究点二(角度2)]已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点坐标不是( )
A.(9,-4) B.(1,8) C.(-3,0) D.(1,-3)
D
解析 设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论.
x=9,y=-4,即(9,-4);
(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);
(3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选D.
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5.[探究点二(角度1)]在平面直角坐标系中,若点(2,b)到原点的距离不小于5,则实数b的取值范围是 .
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6.[探究点二]已知点A(2,1),B(-2,3),C(0,1),则△ABC中,BC边上的中线长为 .
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7.[探究点三]用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
证明 以线段BC的中点为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(a,b),C(c,0)(c>0),则B(-c,0).
又E,F的纵坐标相同,所以EF∥BC.
综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
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8.已知P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),则|PQ|的最大值为( )
B
∵cos(α-β)∈[-1,1],∴|PQ|∈[0,2].故选B.
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9.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经反射以后过点B(2,10),则光线从A到B经过的路程为( )
C
解析 如图,点A(-3,5)关于x轴的对称点为C(-3,-5),则光线从A到B经过的路程为CB的长度,
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10.使得|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为 .
(-∞,4]
解析 在数轴上,设点A(x),B(3),C(-1),则|x-3|+|x+1|=|AB|+|AC|的最小值为|BC|=4,所以使|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为(-∞,4].
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11.在平面直角坐标系xOy中,x轴上的动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为 .
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解析 如图,设点A(0,1)关于x轴的对称点为A'(0,-1),则AR=A'R,所以AR+BR=A'R+BR≥A'B,所以动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为A'B的长.
因为|A'B|= =5,所以x轴上的动点R到两个
定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为5.
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12.[北师大版教材例题] 如图,已知△ABC的三个顶点分别为A(4,3),B(1,2),C(3,-4).
(1)试判断△ABC的形状;
(2)设点D为BC的中点,求BC边上中线的长.
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13. 河流的一侧有A,B两个村庄,如图所示,计划在河上共建一座水电站给两村供电.已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m,且两村相距500 m.为了使水电站到两村的距离之和最小,水电站P应建在什么位置
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解 如图所示,以河边所在直线为x轴,以AC为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,300),B(400,600).
设A关于x轴的对称点为A',则A'(0,-300),连接A'B交OD于点P,此时|PA|+|PB|最小.第二章2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
A级 必备知识基础练
1.[探究点一(角度1)]若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
2.[探究点三]已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与双曲线交于M,N两点,且MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.[探究点一(角度2)]过点(1,2)且与双曲线x2-=1没有交点的直线l斜率的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.[-2,2] D.[-2,+∞)
4.[探究点三]已知椭圆C:=1,过点P(1,1)的直线l与椭圆C交于A,B两点,若点P恰为弦AB中点,则直线l的斜率是( )
A.-3 B.- C.- D.-
5.[探究点二]过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,若两点的横坐标之和为5,则|AB|= .
6.[探究点二·人教A版教材习题]经过椭圆+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,则线段AB的长为 .
7.[探究点一(角度2)]在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围.
8.[探究点二]椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中F2(,0),O为原点,椭圆上任意一点到F1,F2的距离之和为2.
(1)求椭圆的标准方程及离心率;
(2)过点P(0,2)的斜率为2的直线l交椭圆于A,B两点,求△OAB的面积.
B级 关键能力提升练
9.已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[-1,1] B.[-1,0)∪(0,1]
C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
10.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是( )
A.p=2 B.F为AD中点
C.|BD|=2|BF| D.|BF|=2
11.直线=1与椭圆=1相交于A,B两点,椭圆上的点P使△PAB的面积等于12,这样的点P共有 个.
12.设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为坐标原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
13.已知直线l:y=x+b与抛物线C:y2=4x.
(1)若直线l与抛物线C相切,求实数b的值;
(2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AB|=8,求直线l的方程.
14.已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)若过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.
15.已知向量a=(x,y),b=(1,0),且(a+b)⊥(a-b).
(1)求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P,Q,点A(0,-1),当|AP|=|AQ|时,求实数m的取值范围.
C级 学科素养创新练
16.已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.
①证明:△PQG是直角三角形;
②求△PQG面积的最大值.
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
1.C ∵直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,
∴>2,∴m2+n2<4,
∴=1-m2<1,
∴点(m,n)在椭圆=1的内部,
∴过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数为2.
故选C.
2.D 由c=,得a2+b2=7.∵焦点为F(,0),
∴可设双曲线方程为=1, ①
并设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=x-1代入①并整理,得(7-2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0,∴x1+x2=-,
由已知得-=-×2,解得a2=2,
故双曲线的方程为=1.
3.B 由题意,l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1),与双曲线方程联立,得
消去y,并整理得(4-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-8=0.
若4-k2=0,即k=±2.
当k=2时,方程即为-4=0,方程无解,直线l与双曲线无交点,符合题意;
当k=-2时,方程即为16x-20=0,方程有一个解,此时直线l与双曲线有一个交点,不符合题意.
若4-k2≠0,∵过点P(1,2)的直线l与双曲线没有交点,
∴Δ=[2(k2-2k)]2-4(4-k2)(-k2+4k-8)=64(-k+2)<0,解得k>2.
综上所述,直线l斜率的取值范围是[2,+∞).故选B.
4.C 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,则=1,=1,两式相减得=-,所以=-=-=-,即直线l的斜率是-.故选C.
5.7 由抛物线方程可得p=2,则由抛物线定义可得|AB|=xA+xB+p=5+2=7.
6.
7.解由已知条件知直线l的方程为y=kx+,
代入椭圆方程得+(kx+)2=1,
整理得x2+2kx+1=0,
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>,
所以k的取值范围为.
8.解(1)由题意,c=,2a=2,
∴a=,b2=a2-c2=1,
∴椭圆的标准方程为+y2=1,离心率为e=.
(2)由题得直线l的方程为y=2x+2,代入椭圆方程得13x2+24x+9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=108>0,x1+x2=-,x1x2=.∴|AB|=|x1-x2|=.又∵点O到直线AB的距离d=,∴S△OAB=×d×|AB|=,即△OAB的面积为.
9.A 由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y并整理,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.
当k=0时,显然满足题意;
当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或0综上,-1≤k≤1.
故选A.
10.ABC
如图,F,直线l的斜率为,则直线方程为y=(x-),
联立
得12x2-20px+3p2=0.
解得xA=p,xB=p,由|AF|=p+=2p=4,得p=2.
∴抛物线方程为y2=4x,xB=p=,则|BF|=+1=.|BD|=,
∴|BD|=2|BF|,|BD|+|BF|==4,
则F为AD中点.∴运算结论正确的是A,B,C.
11.2 易知直线=1过点(4,0),(0,3),则(4,0),(0,3)即为直线与椭圆交点,不妨设A(4,0),B(0,3),AB==5.
设P到直线AB的距离为h,则AB·h=12,解得h=,作与直线AB平行且与椭圆相切的直线l,设l:=m,联立椭圆方程
化简得x2-4mx+8m2-8=0,由Δ=0解得m=±,则l:=-.
又因为与AB的距离为=-与AB的距离为,故这样的点P共有2个.
12.解(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.
所以,椭圆的方程为=1.
(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).
设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立
整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,进而直线OP的斜率.
在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.
由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.
由OP⊥MN,得·(-)=-1,化简得k2=,从而k=±.所以,直线PB的斜率为或-.
13.解(1)∵直线l与抛物线C相切,
∴联立得x2+(2b-4)x+b2=0,
∴Δ=(2b-4)2-4b2=16-16b=0 b=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)方程联立可知x2+(2b-4)x+b2=0,∴x1+x2=4-2b,x1x2=b2.
又|AB|=8,且|AB|=,
∴8==4 1-b=2 b=-1,满足Δ>0,∴直线l的方程为y=x-1.
14.(1)解由题意得2p=1,所以抛物线方程为y2=x.
(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),
直线MN的方程为x=t(y+1)+3,
代入抛物线方程得y2-ty-t-3=0.
所以Δ=(t+2)2+8>0,y1+y2=t,y1y2=-t-3.
所以k1·k2==-,所以k1·k2是定值.
15.解(1)∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,∴a2-3b2=0,∴x2+3y2=3,
即点M(x,y)的轨迹C的方程为+y2=1.
(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点,∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0,即3k2-m2+1>0, ①
且x1+x2=-,x1x2=.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点N(x0,y0),则∵|AP|=|AQ|,∴PQ⊥AN.
设kAN表示直线AN的斜率,又k≠0,∴kAN·k=-1,即·k=-1,得3k2=2m-1. ②
∵3k2>0,∴m>.
将②代入①得2m-1-m2+1>0,即m2-2m<0,
解得016.解(1)由题设得=-,化简得=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.
(2)①证明:设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).
由得x=±.
记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).
于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).
由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0. (ⅰ)
设G(xG,yG),则-u和xG是方程(ⅰ)的解,故xG=,由此得yG=.
从而直线PG的斜率为=-.
所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.
②由①得|PQ|=2u,|PG|=,
所以△PQG的面积S=|PQ||PG|=.
设t=k+,则由k>0,得t≥2,当且仅当k=1时取等号.
因为S=在区间[2,+∞)内单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为.
因此,△PQG面积的最大值为.(共25张PPT)
第二章
2.2.3 两条直线的位置关系
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点三](多选题)已知直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则l2的斜率可以为( )
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BD
解析 当a≠0时,由k1k2=-1知,k2=- ,
当a=0时,l2的斜率不存在.
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2.[探究点一]下列四组直线中,互相垂直的一组是( )
A.2x+y-1=0与2x-y-1=0
B.2x+y-1=0与x-2y+1=0
C.x+2y-1=0与x-y-1=0
D.x+y=0与x+y-3=0
B
解析 对于A,2x+y-1=0与2x-y-1=0,有2×2+1×(-1)≠0,两直线不垂直,不符合题意;
对于B,2x+y-1=0与x-2y+1=0,有2×1+1×(-2)=0,两直线垂直,符合题意;
对于C,x+2y-1=0与x-y-1=0,有1×1+2×(-1)≠0,两直线不垂直,不符合题意;
对于D,x+y=0与x+y-3=0,两直线平行,不符合题意.故选B.
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3.[探究点三]已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A.4x+2y=5 B.4x-2y=5
C.x+2y=5 D.x-2y=5
B
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4.[探究点一](多选题)下列说法中,正确的是( )
A.直线2x+y+3=0在y轴上的截距是3
B.直线x+y+1=0的倾斜角为135°
C.A(1,4),B(2,7),C(-3,-8)三点共线
D.直线3x+4y+1=0与4x+3y+2=0垂直
BC
解析 直线2x+y+3=0在y轴上的截距是-3,故A错误;
直线x+y+1=0的斜率为-1,倾斜角为135°,故B正确;
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5.[探究点一](多选题)设平面内四点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论正确的是( )
A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS
ABD
∴PS与QS不平行.故ABD正确.
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6.[探究点二]经过两条直线2x+3y+1=0和2x-3y+3=0的交点,并且平行于直线y=x的直线的一般式方程为 .
3x-3y+4=0
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7.[探究点二、三]设直线l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线l2:2x+(a+2)y+1=0,若l1⊥l2,则实数a的值为 ;若l1∥l2,则实数a的值为 .
-4
解析 若l1⊥l2,则2(a+1)+3(a+2)=0,整理可得5a+8=0,求解关于实数a的方
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8.[探究点三]已知△ABC的三个顶点A(1,1),B(4,0),C(3,2),求BC边上的高所在的直线方程及高的长度.
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9.[探究点一·北师大版教材例题]已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是△ABC的三个顶点,求证:△ABC的三条中线交于一点.
证明 根据已知条件将A,B,C三点画在平面直角坐标系中,如图.
设点E,F,G分别为AB,BC,AC的中点,则易求得三边的中点坐标分别为
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中线CE所在直线上.
所以△ABC的三条中线交于一点.
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10.已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0.若l1⊥l2,则sin 2α=( )
A
解析 ∵l1⊥l2,∴sin α-3cos α=0,即tan α=3.
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11.“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0垂直”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
B
解析 直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0垂直,则2×3+(m+1)×(-m)=0,解得m=2或m=-3,所以“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线3x-my-2=0垂直”的充分不必要条件.故选B.
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12.已知直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行,则实数a的值为
( )
A.-2 B.2或-1 C.2 D.-1
D
解析 直线ax+2y+6=0斜率必存在,故两直线平行,则 ,即a2-a-2=0,解得a=2或-1,
当a=2时,两直线重合,故a=-1.故选D.
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13.直线2ax+y-2=0与直线x-(a2-3)y+2=0互相垂直,且两直线交点位于第三象限,则实数a的值为( )
A.1 B.3 C.-1 D.-3
C
解析 由直线2ax+y-2=0与直线x-(a2-3)y+2=0互相垂直,可得2a-(a2-3)=0,解得a=-1或3.
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14.若点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角α为 .
45°
由题意知PQ⊥l,则kPQ·kl=-1,得kl=1,
∴直线l的倾斜角为45°.
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15.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m= .
解析 设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2.
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16.已知集合A={(x,y)|2x-(a+1)y-1=0},B={(x,y)|ax-y+1=0},且A∩B= ,则实数a的值为 .
1
解析 ∵集合A={(x,y)|2x-(a+1)y-1=0},B={(x,y)|ax-y+1=0},且A∩B= ,
∴直线2x-(a+1)y-1=0与直线ax-y+1=0平行,即-2=-a(a+1),且2≠-a,解得a=1.
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17.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程.
即所求的直线方程为5x-15y-18=0.
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18.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ;
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
联立①②解得x=0,y=1,∴Q(0,1).
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(2)设Q(x,0).∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP.
又M(1,-1),∴MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90°.
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19. 如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得AC与DM两条小路互相垂直
解 如图所示,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.
由|AD|=5 m,|AB|=3 m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).
设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM,
故当|BM|=3.2 m时,两条小路AC与DM互相垂直.
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20.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m= .
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21.已知点A(4,-1)和点B(8,2)均在直线l:x-y-1=0的同侧,动点P(x,y)在直线l上,求|PA|+|PB|的最小值.
解 如图所示,设点A1与A关于直线l对称,P0为A1B与直线l的交点,所以|P0A1|=|P0A|,|PA1|=|PA|.
所以|PA1|+|PB|≥|A1B|=|A1P0|+|P0B|=|P0A|+|P0B|,因此当P点运动到P0点处时,|PA|+|PB|取到最小值|A1B|.
设A关于直线l的对称点A1(x1,y1),第二章2.7.2 抛物线的几何性质
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]已知抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离等于6,则直线AF的斜率为( )
A.2 B.±2 C.2 D.±2
2.[探究点二]过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=( )
A.6 B.8 C.9 D.10
3.[探究点一]若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2,则点A到抛物线的准线的距离为( )
A. B. C.2 D.
4.[探究点一](多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=-8y
5.[探究点三]已知抛物线y2=8x的准线为l,点P是抛物线上的动点,直线l1的方程为2x-y+3=0,过点P分别作PM⊥l,垂足为M,PN⊥l1,垂足为N,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A. B. C. D.2+
6.[探究点二](多选题)已知抛物线C:x2=4y,其焦点为F,准线为l,PQ是过焦点F的一条弦,点A(2,2),则下列说法正确的是( )
A.焦点F到准线l的距离为2
B.焦点F(1,0),准线方程l:x=-1
C.|PA|+|PF|的最小值是3
D.以弦PQ为直径的圆与准线l相切
7.[探究点三]已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是 .
8.[探究点一]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F,A是C的准线上一点,线段AF与C交于点B(,y0),O为坐标原点,且S△AOF=3,则p= .
9.[探究点二]已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1.
(1)求p的值;
(2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.
B级 关键能力提升练
10.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(点A在第一象限),且=4,则直线l的倾斜角为( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,直线l':x-y+2=0,动点M在C上运动,记点M到直线l与l'的距离分别为d1,d2,O为坐标原点,则当d1+d2最小时,cos∠MFO的值为( )
A. B. C. D.
12.(多选题)已知直线l:x-y-=0过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法错误的是( )
A.抛物线的方程为y2=4x
B.线段AB的长度为
C.∠MFN=90°
D.线段AB的中点到y轴的距离为
13.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l于A,若直线AF的倾斜角为120°,那么|PA|= .
C级 学科素养创新练
14.(多选题)已知抛物线C:y=x2,过焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AO,BO分别与直线m:y=-2相交于M,N两点,则下列说法正确的是( )
A.焦点F的坐标为(0,2)
B.y1y2=1
C.||||的最小值为4
D.△AOB与△MON的面积之比为定值
2.7.2 抛物线的几何性质
1.D 由题意,点F(2,0),因为|AF|=xA+2=6,可得xA=4,又因为点A在抛物线上,所以=32,则yA=±4,所以点A(4,±4),则kAF==±2.
2.B 因为直线AB过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8.故选B.
3.B 由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-,
∵AB垂直于x轴,|AB|=2,
A到y轴的距离为,假设A在y轴上侧,即y=,
代入抛物线y2=2x,求得x=1,
点A到抛物线的准线的距离d=1+.
4.CD 设抛物线方程为x2=2py或x2=-2py(p>0),2p=8,p=4,∴抛物线方程为x2=8y或x2=-8y.
5.B 令抛物线y2=8x的焦点为F,则F(2,0),连接PF,如图.
因为l是抛物线y2=8x的准线,点P是抛物线上的动点,且PM⊥l于M,于是得|PM|=|PF|,点F(2,0)到直线l1:2x-y+3=0的距离d=.
又PN⊥l1于N,显然点P在点F与N之间,于是有|PM|+|PN|=|PF|+|PN|≥d,当且仅当F,P,N三点共线时取“=”,所以|PM|+|PN|的最小值为d=.故选B.
6.ACD 由抛物线C:x2=4y,可得F(0,1),准线l:y=-1,故选项B错误;由抛物线C:x2=4y,可得2p=4,即p=2,所以焦点F到准线l的距离为p=2,故选项A正确;过点P作PP'⊥l,垂足为P',由抛物线的定义可得|PF|=|PP'|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥d=3(d为点A(2,2)到准线l的距离),当且仅当A,P,P'三点共线时等号成立,所以|PA|+|PF|的最小值是3,故选项C正确;过点P,Q分别作PP'⊥l,QQ'⊥l,垂足分别为P',Q',
设弦PQ的中点为M,则弦PQ为直径的圆的圆心为M,过点M作MM'⊥l,垂足为M',则MM'为直角梯形PP'Q'Q的中位线,|MM'|=(|PP'|+|QQ'|),又根据抛物线的定义有|PP'|=|PF|,|QQ'|=|QF|,所以|MM'|=(|PF|+|QF|)=|PQ|,所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切,故选项D正确.故选ACD.
7.3 因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,
因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,
所以当x=0时,z最小,其值为3.
8.3 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F(,0),不妨设B在第一象限,则B(),所以kBF=-,则直线AF的方程为y=-(x-).令x=-,得yA=,由S△AOF=3=,解得p=3.
9.解(1)由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得-=-1,所以p=2.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,x1x2=1,
所以|AB|==8.
10. C 如图,过A,B作AA',BB'垂直准线x=-,垂足为A',B',过B作AA'的垂线,垂足为C.
由抛物线定义知|BF|=|BB'|,|AF|=|AA'|,3|BF|=|AF|,2|BF|=|AC|,所以cos∠BAC=,∠BAC=,所以直线l的倾斜角为.故选C.
11.A
由抛物线的定义可知,d1=|MF|,设MN⊥l',垂足为N,∴d1+d2=|MF|+|MN|,
当M,F,N三点共线时,d1+d2最小.
∵抛物线C:y2=4x,∴焦点F(1,0),
∴|FN|=d=.
设直线l'与x轴的交点为D,令y=0,得x=-2,即FD=2+1=3,在Rt△DNF中,cos∠MFO=cos∠NFD=.故选A.
12.BD 由题意不妨设点A在点B上方,直线l:x-y-=0与x轴交点为(1,0).
又l经过y2=2px的焦点,故F(1,0),可得p=2,
即抛物线方程为C:y2=4x,故A正确;
由可得3x2-10x+3=0,解得x=3或,可得A(3,2),B(,-),所以|AB|=,故B错误;
由以上分析可知,M(-1,2),N(-1,-),F(1,0),可得kNF·kMF==-1,则MF⊥NF,即∠MFN=90°,故C正确;
因为A(3,2),B(,-),故线段AB的中点为(),则线段AB的中点到y轴的距离为,故D错误.
故选BD.
13. 4 如图,令抛物线的准线l交x轴于点E,连接PF,点F(1,0),直线l:x=-1.
因为直线AF的倾斜角为120°,则有∠AFE=60°,又PA⊥l于A,即PA∥x轴,得∠PAF=60°.
由抛物线定义知|PF|=|PA|,于是得△PAF为正三角形,即|PA|=|AF|=2|EF|=4,所以|PA|=4.
14. BCD 由题意知抛物线方程为x2=4y,其焦点坐标为(0,1),故A错误;
显然直线AB的斜率存在,设斜率为k,则直线AB的方程为y=kx+1,
联立消去x得到y2-(2+4k2)y+1=0,Δ=16k4+16k2≥0,y1+y2=2+4k2,y1y2=1,故B正确;
由抛物线的性质知||=y1+1,||=y2+1,则||||=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1=4+4k2≥4,当且仅当k=0时,||||取得最小值为4,故C正确;
显然∠AOB=∠MON,=
(定值),故D正确.故选BCD.第二章2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]对抛物线x2=4y,下列描述正确的是( )
A.开口向上,焦点为(0,1)
B.开口向上,焦点为
C.开口向右,焦点为(1,0)
D.开口向右,焦点为
2.[探究点一]抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是( )
A.2 B.1 C. D.
3.[探究点一]以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y
4.[探究点一、二]若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x
5.[探究点二]已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于( )
A.4 B.2 C.1 D.8
6.[探究点二]已知O为坐标原点,抛物线x=y2的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=3,则M点到x轴的距离为( )
A.2 B. C.2 D.2
7.[探究点二]若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
8.[探究点三]一抛物线形拱桥,当桥顶离水面2米时,水面宽4米,若水面下降2米,则水面宽为 米.
9.[探究点二·北师大版教材例题]已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,求点M的轨迹方程.
10.[探究点二]已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).
(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;
(2)求点P到点B(,2)的距离与到直线x=-的距离之和的最小值.
B级 关键能力提升练
11.AB是抛物线y2=2x的一条过焦点的弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是( )
A.2 B. C. D.
12.动点P在抛物线x2=4y上,则点P到点C(0,4)的距离的最小值为( )
A. B.2 C. D.12
13.(多选题)已知A(a,0),M(3,-2),点P在抛物线y2=4x上,则( )
A.当a=1时,|PA|的最小值为1
B.当a=3时,|PA|的最小值为3
C.当a=1时,|PA|+|PM|的最小值为4
D.当a=3时,|PA|-|PM|的最大值为2
14.若P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,抛物线C的焦点为F,则|PF|= .
15.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
C级 学科素养创新练
16. 如图,空间直角坐标系Dxyz中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点M在AB上,且|AM|=|AB|,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1 的距离与P到点M的距离相等,在平面直角坐标系xAy中,动点P的轨迹方程是 .
17.利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面,所得截线是抛物线”的几何原理,某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识,如图1所示,图2是投影射出的抛物线的平面图,图3是一个射灯投影的直观图,在图2与图3中,点O,A,B在抛物线上,OC是抛物线的对称轴,OC⊥AB于C,AB=3米,OC=4.5米.
图1
图2
图3
(1)求抛物线的焦点到准线的距离;
(2)在图3中,已知OC平行于圆锥的母线SD,AB,DE是圆锥底面的直径,求圆锥的母线与轴的夹角的正弦值.
2.7.1 抛物线的标准方程
1.A ∵抛物线的标准方程为x2=4y,
∴2p=4,p=2,解得=1,因此抛物线的焦点为(0,1),准线为y=-1,可得该抛物线的开口向上.
2.C 抛物线y=2x2化为x2=y,
∴焦点到准线的距离为.
3.C 依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0).
因为焦点到准线的距离为4,所以p=4,所以2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.故选C.
4.D 抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到焦点的距离等于到其准线的距离,即为4,∴+2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.故选D.
5.C 如图,F,
过A作AA'⊥准线l,
∴|AF|=|AA'|,
∴x0=x0+=x0+,
∴x0=1.
6.D 由题意得y2=4x,所以准线为x=-1,
又因为|MF|=3,设点M的坐标为(x0,y0),
则有|MF|=x0+1=3,解得x0=2,
将x0=2代入解析式y2=4x,得y0=±2,
所以M点到x轴的距离为2.故选D.
7.9 抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1.由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM+1=10,解得xM=9,所以点M到y轴的距离为9.
8.4 以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
由当桥顶离水面2米时,水面宽4米可得图中点A的坐标为(2,-2),所以4=-2p×(-2),解得p=1.
所以抛物线的方程为x2=-2y.
当水面下降2米,即当y=-4时,
可得x2=-2×(-4)=8,解得x=±2,
因此水面宽为4米.
9. 解如图,点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,即“点M到点F(4,0)的距离等于它到直线l':x+4=0的距离”.
由此可知,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,以直线l':x=-4为准线的抛物线.故点M的轨迹方程是y2=16x.
10.解(1)将x=3代入y2=2x得y=±,而>2,即点A在抛物线y2=2x内部,过点P作PQ垂直于抛物线的准线l:x=-于点Q,由抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|取得最小值,即|PA|+|PF|的最小值为,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,即点P的坐标为(2,2),所以|PA|+|PF|的最小值为,点P的坐标为(2,2).
(2)显然点B(,2)在抛物线y2=2x外部,设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当B,P,F三点共线(P在线段BF上)时取等号,又F(,0),|BF|==2,所以所求最小值为2.
11.C 设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,∴.
12.B 设P(x,),则|PC|=,当x2=8时,|PC|取得最小值,最小值为2.故选B.
13.ACD 当a=1时,A(1,0)为抛物线的焦点,设P(x0,y0),x0≥0,则|PA|=x0+1≥1,故|PA|的最小值为1,故A正确;
设抛物线的准线为l:x=-1,过点P作PN⊥l于点N,此时|PA|+|PM|=|PN|+|PM|,故当N,P,M三点共线时,|PA|+|PM|取得最小值,此时(|PA|+|PM|)min=3+1=4,故C正确;
当a=3时,A(3,0),连接AM,并延长AM交抛物线于点P',
此时|PA|-|PM|=|P'A|-|P'M|=|AM|为|PA|-|PM|的最大值,当P在其他位置时,根据三角形两边之差小于第三边,可知均小于|AM|,
因为|AM|==2,故D正确;
此时|PA|=.
当x0=1时,|PA|min=2,故B错误.故选ACD.
14.5 由P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,得42=2p×1,可得p=8,则|PF|=1+=5.
15.解(1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.
由平面几何知识知,当F,P,A三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|=,即|PA|+d的最小值为.
(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2.
因为2>2,所以点B在抛物线的内部.
过B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).
由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,
所以|PB|+|PF|的最小值为4.
16.x2-6x-2y+1=0 作PN⊥AD,NH⊥A1D1,N,H为垂足,图略,则PN⊥面A1D1DA,
由线面垂直的判定可得出 PH⊥A1D1.
由题中空间直角坐标系,设P(x,y,0),由题意可得 M(3,1,0),H(x,0,3),|PM|=|PH|,
∴,整理,得x2-6x-2y+1=0.
17.解(1)在题图2中,以O为坐标原点,以OC所在直线为y轴,建立如图平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由题意可得B(,-),
∴=-2p·(-),解得p=,
即抛物线的焦点到准线的距离为.
(2)在题图3中,∵OC∥SD,
∴,∴SD=2OC=9.
又DC=AB=,∴sin∠CSD=.第二章2.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]若双曲线-y2=1的焦距为8,则实数m的值是( )
A. B. C.15 D.17
2.[探究点二]设点P在双曲线=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于( )
A.22 B.16 C.14 D.12
3.[探究点一](多选题)若方程=1所表示的曲线为C,则下面四个说法错误的是( )
A.若C为椭圆,则1B.若C为双曲线,则t>3或t<1
C.曲线C可能是圆
D.若C为椭圆,且长轴在y轴上,则14.[探究点二]已知双曲线=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
5.[探究点二]已知F是双曲线=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
6.[探究点一]已知双曲线=1(m>0,n>0)和椭圆=1有相同的焦点,则的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.[探究点一]已知双曲线对称轴为坐标轴,中心在原点,焦点在直线x+y=6上,且c=2a,则此双曲线的标准方程为 .
8.[探究点二]已知双曲线C:=1的两焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,若|PF1|=10,则|PF2|= .
9.[探究点一·北师大版教材习题]已知双曲线的焦点与椭圆=1的左、右顶点相同,且经过椭圆的右焦点,求该双曲线的方程.
10.[探究点三]如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
B级 关键能力提升练
11.(多选题)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),则下列说法正确的是( )
A.当m>0时,点C的轨迹是双曲线
B.当m>0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点)
C.当m=-1时,点C在圆x2+y2=25(除去点(5,0),(-5,0))上运动
D.当m<-1时,点C的方程表示焦点在x轴上的椭圆(不含左、右顶点)
12.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为2∶1,则称此双曲线存在“L点”,下列双曲线中存在“L点”的是( )
A.x2-=1 B.x2-=1
C.x2-=1 D.x2-=1
13.双曲线=1的两焦点为F1,F2,点P在双曲线上,直线PF1,PF2的倾斜角之差为,则△PF1F2的面积为( )
A.16 B.32 C.32 D.42
14.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为 .
15.若动点M满足=6,则点M的轨迹方程为 .
16.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.
C级 学科素养创新练
17.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且=0,则||=( )
A.2 B. C.2 D.
18. 设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示.已知△OFQ的面积为2,且=m,其中O为坐标原点.
(1)设(2)设||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.
2.6.1 双曲线的标准方程
1.C 由题意知2c=8,c=4,a2=m,b2=1.
因为c2=a2+b2,所以16=m+1,解得m=15.故选C.
2.A 由题意知|F1F2|=2=10.
由双曲线定义知||PF2|-|PF1||=6.
又|PF1|∶|PF2|=1∶3,∴|PF1|=3,|PF2|=9,
∴△F1PF2的周长为3+9+10=22.故选A.
3.AD 若t>3,则方程可变形为=1,它表示焦点在y轴上的双曲线;
若t<1,则方程可变形为=1,它表示焦点在x轴上的双曲线;
若2若1若t=2,则方程=1即为x2+y2=1,它表示圆.
故选AD.
4.A 设右焦点为F2,连接PF2,ON(图略),ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=|PF2|.
∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,
∴|ON|=|PF2|=7或3.
5.A 由=1,得a2=4,b2=12,则a=2,b=2,c==4,所以左焦点为F(-4,0),右焦点为F'(4,0),则由双曲线的定义得|PF|-|PF'|=2a=4.
因为点A(1,4)在双曲线的两支之间,所以|PA|+|PF'|≥|AF'|==5,所以|PF|+|PA|≥9,当且仅当A,P,F'三点共线时取等号,所以|PF|+|PA|的最小值为9.故选A.
6.B 由题意,双曲线=1(m>0,n>0)和椭圆=1有相同的焦点,∴m+n=5-2=3,
∴(m+n)))=(5+)≥(5+2)=3,当且仅当,即m=2n时等号成立,故的最小值为3.
7.=1或=1 直线x+y=6与坐标轴的交点坐标为(6,0),(0,6).
当双曲线的焦点在横轴时,c=6,因为c=2a,所以a=3,
因此b==3,即双曲线方程为=1;
当双曲线的焦点在纵轴时,c=6,因为c=2a,所以a=3,
因此b==3,即双曲线方程为=1.
8.18或2 由=1,得a2=16,b2=9,则a=4,b=3,c==5.
因为双曲线C:=1的两焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,|PF1|=10,
所以||PF2|-|PF1||=2a=8,即||PF2|-10|=8,
所以|PF2|=18或|PF2|=2.
因为|PF1|=10>a+c=9,
所以|PF2|=18或|PF2|=2都符合题意.
9.解椭圆=1的左、右顶点坐标分别为(-2,0),(2,0),右焦点坐标为(1,0),因此,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0),且经过点(1,0),可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),c=2,2a=||=2,a=1,所以b2=c2-a2=3,所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.
10.解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;
圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,
∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,于是b2=c2-a2=.
∴动圆圆心M的轨迹方程为=1.
11.BC 设C(x,y)(y≠0),则=m =1(y≠0).
当m>0时,方程表示焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点),故A错误,B正确;
当m=-1时,方程为x2+y2=25(y≠0),则点C在圆x2+y2=25(除去点(5,0),(-5,0))上运动,故C正确;
当m<-1时,方程表示焦点在y轴上的椭圆(不含左、右顶点),故D错误.故选BC.
12.A 若双曲线的方程为x2-=1,
则a=1,c=,不妨设|PF1|=2|PF2|,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,即(x-)2+y2=4,与双曲线方程4x2-y2=4联立可得5x2-2x-3=0,其判别式Δ=20+60=80>0,故存在“L点”.
13.A 根据F1,F2为双曲线=1的两焦点可得|F1F2|=2=10.
又直线PF1,PF2倾斜角之差为,所以∠F1PF2=,
根据余弦定理可得
cos∠F1PF2=,
整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100, ①
根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②
①-②,得|PF1||PF2|=64,则△PF1F2的面积为|PF1||PF2|sin∠F1PF2=×64×=16.
故选A.
14. 因为F是双曲线C:x2-=1的右焦点,所以F(2,0).
因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).
因为P是C上一点,所以4-=1,解得yP=±3,
所以P(2,±3),|PF|=3.
又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,
所以S△APF=×|PF|×1=×3×1=.
15.=1(x>0) 设A(-5,0),B(5,0).
由于动点M(x,y)的轨迹方程为=6,则|MA|-|MB|=6<10,故点M到定点A(-5,0)与到定点B(5,0)的距离差为6,则动点M(x,y)的轨迹是以(±5,0)为焦点,以6为实轴长的双曲线的右支.
由于2a=6,c=5,则b2=c2-a2=25-9=16,故M的轨迹的标准方程为=1(x>0).
16.解因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,
所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.
由3k+4k+5k=48,得k=4.
所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.
以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.
设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0).
由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.
由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,
所以b2=c2-a2=100-4=96,故所求方程为=1.
17.C 由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-,0),F2(,0).
设点P(x,y),
则=(--x,-y),=(-x,-y).
∵=0,
∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.
∴||==2.
18.解(1)因为
所以tanθ=.
又所以1(2)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),
所以S△OFQ=|·|y1|=2,则y1=±.
又=m,即(c,0)·(x1-c,y1)=c2,解得x1=c,
所以||==2,
当且仅当c=4时,取等号,||最小.
这时Q的坐标为()或(,-).
因为所以
于是所求双曲线的标准方程为=1.第二章第2课时 直线的两点式方程与一般式方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]过点(1,2)和(5,3)的直线方程是( )
A.
B.
C.
D.
2.[探究点二]直线=1过第一、三、四象限,则( )
A.a>0,b>0
B.a>0,b<0
C.a<0,b>0
D.a<0,b<0
3.[探究点二](多选题)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为( )
A.x-y+1=0
B.x+y-3=0
C.2x-y=0
D.x-y-1=0
4.[探究点二、三](多选题)下列说法正确的是( )
A.截距相等的直线都可以用方程=1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
5.[探究点一]瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中△ABC各顶点的坐标分别为A(0,0),B(8,0),C(0,6),则其“欧拉线”的方程为 .
6.[探究点二]过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为 .
7.[探究点四·人教A版教材习题]求直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的系数A,B,C分别满足什么关系时,这条直线有以下性质:
(1)与两条坐标轴都相交;
(2)只与x轴相交;
(3)只与y轴相交;
(4)是x轴所在的直线;
(5)是y轴所在的直线.
8. [探究点一、二]已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程;
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
B级 关键能力提升练
9.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10.过点(-1,0),且与直线有相同方向向量的直线的方程为( )
A.3x+5y-3=0 B.3x+5y+3=0
C.3x+5y-1=0 D.5x-3y+5=0
11.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是( )
A.2x+y-1=0 B.2x+y+1=0
C.2x-y+1=0 D.x+2y+1=0
12.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是( )
A.直线l的斜率可以等于0
B.若直线l与y轴的夹角为30°,则m=或m=-
C.直线l恒过点(2,1)
D.若直线l在两坐标轴上的截距相等,则m=1或m=-1
13.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,且此三角形的面积为18,则直线l的方程为 .
14.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,则顶点C的坐标为 ,直线MN的方程为 .
15.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
第2课时 直线的两点式方程与一般式方程
1.B ∵所求直线过点(1,2),(5,3),
∴所求直线方程为.
2.B
3.ABC 当直线经过原点时,斜率为k==2,所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;
当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或1+2=k,
求得k=-1或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0 或x+y-3=0.
综上,所求的直线方程为2x-y=0或x-y+1=0或x+y-3=0.故选ABC.
4.BD 对于A,截距相等为0的直线都不可以用方程=1表示,故A错误;
对于B,当m=0时,方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线x=2,故B正确;
对于C,经过点P(1,1),倾斜角为θ=90°的直线方程不能写成y-1=tanθ(x-1),故C错误;
对于D,经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线均可写成(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,故D正确.故选BD.
5.3x-4y=0 由题设知,△ABC是直角三角形,则垂心为直角顶点A(0,0),外心为斜边BC的中点M(4,3),
∴“欧拉线”的方程为3x-4y=0.
6.2x-y=0或x-y+1=0 当直线过原点时,得直线方程为2x-y=0,当在坐标轴上的截距不为零时,可设直线方程为=1,将x=1,y=2代入方程可得a=-1,
∴直线方程为x-y+1=0.
综上,直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.
7.解(1)直线Ax+By+C=0与x轴相交,即方程组有唯一解,于是A≠0.
同理,直线Ax+By+C=0与y轴相交时有B≠0.
所以,当A≠0,且B≠0时,已知直线与两条坐标轴都相交.
(2)已知直线只与x轴相交,即直线平行于y轴或与y轴重合,
所以A≠0,B=0,此时直线方程为x=-,只与x轴相交.
(3)同理,当A=0,B≠0时,已知直线为y=-,只与y轴相交.
(4)当A=0,B≠0,C=0时,已知直线为y=0,就是x轴所在直线的方程.
(5)当A≠0,B=0,C=0时,已知直线为x=0,就是y轴所在直线的方程.
8.解(1)由截距式方程,得边AC所在直线的方程为=1,即x-2y+8=0.
由两点式方程,得边AB所在直线的方程为,即x+y-4=0.
(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),
由两点式方程,得边BD所在直线的方程为,即2x-y+10=0.
9.D 因为AB<0,所以直线Ax+By+C=0的斜率->0.
又因为BC<0,所以直线在y轴上的截距->0,
所以直线Ax+By+C=0不经过第四象限.故选D.
10.B 由可得,3x+5y+8=0,即直线的斜率为-,由题意可知所求直线的斜率k=-,故所求的直线方程为y=-(x+1),即3x+5y+3=0.故选B.
11.B 把A(2,1)坐标代入两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0,得2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0,
∴2(a1-a2)=b2-b1,
过点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线的方程是,∴y-b1=-2(x-a1),则2x+y-(2a1+b1)=0.
∵2a1+b1+1=0,∴2a1+b1=-1,∴所求直线方程为2x+y+1=0.故选B.
12.BD 当m=0时,直线l:x=1,斜率不存在,当m≠0时,直线l的斜率为,不可能等于0,故A选项错误;
∵直线l与y轴的夹角为30°,
∴直线l的倾斜角为60°或120°,而直线l的斜率为,
∴=tan60°==tan120°=-,
∴m=或m=-,故B选项正确;
直线l的方程可化为(x-1)-m(y-1)=0,
∴直线l过定点(1,1),故C选项错误;
当m=0时,直线l:x=1,在y轴上的截距不存在,
当m≠0时,令x=0,得y=,令y=0,得x=1-m,令=1-m,得m=±1,故D选项正确.故选BD.
13.x+y±6=0或x-y±6=0 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.
若l在两坐标轴上的截距相等,且设为a(a≠0),
则直线方程为=1,即x+y-a=0.
∵|a||a|=18,即a2=36,∴a=±6,
∴直线方程为x+y±6=0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数,不妨设在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为-a(a≠0),
故直线方程为=1,即x-y-a=0.
∵|-a||a|=18,即a2=36,
∴a=±6,∴直线方程为x-y±6=0.
综上所述,直线l的方程为x+y±6=0或x-y±6=0.
14.(-5,-3) 5x-2y-5=0 设点C(x,y).
∵AC边的中点M在y轴上,∴=0,∴x=-5.
又BC边的中点N在x轴上,∴=0,∴y=-3,
故点C的坐标是(-5,-3),
点M的坐标是(0,-),点N的坐标是(1,0),
∴直线MN的方程是,即5x-2y-5=0.
15.解(1)当a=-1时,y=-3,不符合题意.
当a≠-1时,令x=0,得y=a-2;令y=0,得x=.
∵l在两坐标轴上的截距相等,∴a-2=,
解得a=2或a=0,
∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2,
∵l不过第二象限,∴
∴a≤-1,∴a的取值范围为(-∞,-1].(共23张PPT)
第二章
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
A 级 必备知识基础练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1.[探究点二]下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0)
C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5)
D
解析 D项,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,斜率不存在.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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2.[探究点二](多选题)下列说法中,不正确的有( )
A.任何一条直线都有唯一的斜率
B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大
C.任何一条直线都有唯一的倾斜角
D.任何一条直线都能找出方向向量
AB
解析 A错,因为倾斜角为90°的直线没有斜率;B错,因为当0°<α<90°时,k>0,当90°<α<180°时,k<0;C对,D对.
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3.[探究点一](多选题)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角可能为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
BC
解析 y轴正方向对应的直线的倾斜角为90°,因此所求直线的倾斜角为60°或120°.故选BC.
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4.[探究点二]在平面直角坐标系中,正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0,则AC,AB边所在直线的斜率之和为( )
B
解析 由BC边所在直线的斜率是0知,直线BC与x轴平行或重合,所以直线AC,AB的倾斜角互为补角,根据直线斜率的定义知,直线AC,AB的斜率之和为0.故选B.
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5. [探究点二]如图所示,下列四条直线中,斜率最大的是( )
A.l1 B.l2
C.l3 D.l4
D
解析 由图可知,l3斜率为负,l2斜率为0,l1,l4的斜率为正.
又l4的倾斜程度大于l1,所以l4的斜率最大.故选D.
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6.[探究点一]已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的范围是 .
10°≤α<100°
解析 由0°≤2α-20°<180°,得10°≤α<100°.
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7.[探究点一]已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为 .
(3,0)或(0,-3)
解析 若设点P的坐标为P(x,0),
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8.[探究点一]已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,则x= ,直线AB的倾斜角为 .
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9.[探究点二]已知点A(1,2),B(-3,-4),C(2, ),D(x,-2).
(1)证明:A,B,C三点共线;
(2)若∠DAB= ,求x的值.
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即-4(x-1)+24=0,解得x=7,∴x的值为7.
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10.[探究点二·人教A版教材例题] 如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
由kAB>0及kCA>0可知,直线AB与CA的倾斜角均为锐角;由kBC<0可知,直线BC的倾斜角为钝角.
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B 级 关键能力提升练
11.(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,直线l绕点A顺时针旋转
BC
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12.直线l1经过两点A(0,0),B( ,1),直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,则直线l2的斜率为( )
D
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13.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为( )
D
解析 设直线xsin α-y+1=0的倾斜角为θ,可得tan θ=sin α∈[-1,1],
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14.若直线l的一个法向量为n=(2,1),则直线l的斜率k= .
-2
解析 根据题意,设直线l的斜率为k,则其方向向量为a=(1,k),若直线l的一个法向量为n=(2,1),则有a·n=2+k=0,解得k=-2.
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15.已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2, +1).
(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;
(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD的斜率的取值范围.
所以直线AB的倾斜角为0°,直线BC的倾斜角为60°,直线AC的倾斜角为30°.
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(2)如图,当直线CD由CA绕点C逆时针转到CB时,直线CD与线段AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kAC增大到kBC,所以k的取值范围为
C 级 学科素养创新练
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16.一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,经过点B(5,7),则点P的坐标为 .
解析 (方法一)设P(x,0),由光的反射原理知,入射角等于反射角,即α=β,如图①.
所以反射光线PB的倾斜角β与入射光线AP的倾斜角
(π-α)互补,因此,
图①
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(方法二)由题意知,x轴是镜面,易知入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为
A'(-2,-3).
由光学知识知点A'应在反射光线所在的直线上,即A',P,B三点共线,如图②.
图②
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17.将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中,已知AB=OB=1, AB⊥OB,点P( )是三角形木板内一点.现因三角形木板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分钻掉,可用经过点P的任一直线MN将三角形木板钻成△AMN.设直线MN的斜率为k.
(1)求点M,N的坐标(用k表示)及直线MN的斜率k的取值范围;
(2)令△AMN的面积为S,试求出S的取值范围.
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解 (1)设直线MN:y=kx+b.
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(2)设△AMN中,AN边上的高为d.第二章2.2.4 点到直线的距离
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]在平面直角坐标系中,原点(0,0)到直线x+y-2=0的距离等于( )
A.1 B. C. D.3
2.[探究点一]已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则a=( )
A.-或- B.-
C.- D.-或-
3.[探究点二]已知两平行直线x+2y+m=0与2x-ny-4=0之间的距离是,若m>0,则m+n=( )
A.0 B.-1 C.1 D.-2
4.[探究点一](多选题)已知直线l过点(3,4),点A(-2,2),B(4,-2)到l的距离相等,则直线l的方程可能是( )
A.x-2y+2=0 B.2x-y-2=0
C.2x+3y-18=0 D.2x-3y+6=0
5.[探究点一](多选题)与直线3x-4y+1=0垂直,且与点(-1,-1)距离为2的直线方程为( )
A.4x+3y-3=0 B.4x+3y+17=0
C.4x-3y-3=0 D.4x-3y+17=0
6.[探究点二]直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0之间的距离为 .
7.[探究点一]已知直线l:3x+4y-1=0,则过坐标原点且与l垂直的直线方程是 ,点(2,0)到l的距离是 .
8.[探究点一]平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,4),C(0,6).
(1)求BC边上的高所在的直线方程;
(2)求△ABC的面积.
9.[探究点一]已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为3,求直线l的方程.
B级 关键能力提升练
10.已知直线l:kx-y-3k+1=0,当k变化时,O(0,0)到直线l的最大距离为( )
A.2 B. C. D.2
11.(多选题)若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离是,则点P的坐标为( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-1,2)
12.(多选题)已知点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d,则d的可能取值是( )
A.0 B.1 C. D.4
13.若直线m经过直线x-y-1=0与直线2x+y-2=0的交点,且点(2,2)到直线m的距离为1,则直线m的方程为 .
14.已知直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,其中m∈R.
(1)当m变化时,求点Q(3,4)到直线的距离的最大值;
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时的直线方程.
2.2.4 点到直线的距离
1.B 原点(0,0)到直线x+y-2=0的距离为.故选B.
2.D ∵A和B到直线l的距离相等,
∴,化简得|3a+3|=|6a+4|,3a+3=±(6a+4),解得a=-或-.故选D.
3.B ∵两条直线平行,∴=-,解得n=-4,
∴直线2x-ny-4=0 2x+4y-4=0 x+2y-2=0.
又直线x+2y+m=0与直线x+2y-2=0之间的距离是,则,解得m=3或m=-7(舍去),
∴m+n=3-4=-1.
4.BC 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时点A到直线l的距离为5,点B到直线l的距离为1,此时不成立;
当直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0.
∵点A(-2,2),B(4,-2)到直线的距离相等,
∴解得k=-或k=2.
当k=-时,直线l的方程为y-4=-(x-3),整理得2x+3y-18=0;
当k=2时,直线l的方程为y-4=2(x-3),整理得2x-y-2=0.
综上,直线l的方程为2x+3y-18=0或2x-y-2=0.故选BC.
5.AB 设所求直线方程为4x+3y+C=0,
则=2,
即|C-7|=10,解得C=-3或C=17,
故所求直线方程为4x+3y-3=0或4x+3y+17=0.
6. 直线8x-6y+5=0化简为4x-3y+=0,则由两条平行直线之间的距离公式得.
7.4x-3y=0 1 直线l:3x+4y-1=0的斜率为-,故与直线l垂直的直线的方程的斜率k=,故经过原点的直线的方程为y=x,整理得4x-3y=0.
点(2,0)到直线3x+4y-1=0的距离d==1.
8.解(1)直线BC的斜率kBC=,
则BC边上高所在直线斜率k=-,
则BC边上的高所在的直线方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.
(2)BC的方程为y=x+6,即2x-3y+18=0.
点A到直线BC的距离d=,|BC|=,
则△ABC的面积S=|BC|d==5.
9.解由题意知,若直线l过原点,可设直线l的方程为y=kx,由题意知=3,解得k=,直线l的方程为y=x或y=x;
若直线l不过原点,设所求直线l的方程为x+y-a=0(a≠0),由题意知=3,解得a=1或a=13,直线l的方程为x+y-1=0或x+y-13=0.
综上所述,所求直线l的方程为y=x,
y=x,x+y-1=0或x+y-13=0.
10.C 直线l:kx-y-3k+1=0,即k(x-3)-y+1=0,
令解得即直线l恒过定点(3,1),
故当k变化时,O(0,0)到直线l的最大距离为.故选C.
11.AC 设P点坐标为(a,5-3a),
由题意知,解得a=1或a=2,
∴P点坐标为(1,2)或(2,-1).故选AC.
12.AB 直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ,整理得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,所以解得即Q(1,1),故直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ表示过点Q(1,1)除直线3x+2y-5=0的所有直线.
因为P(-2,-1),所以|PQ|=,且kPQ=,则直线PQ与直线3x+2y-5=0垂直,所以点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离的取值范围为{d|0≤d<},故d的可能取值为0,1.
故选AB.
13.3x-4y-3=0或x=1 由得两直线的交点坐标为(1,0).
当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y=k(x-1),则=1,解得k=,
此时直线m的方程为3x-4y-3=0;
当直线m的斜率不存在时,x=1,点(2,2)到直线m的距离等于1,满足条件.
综上,直线m的方程为3x-4y-3=0或x=1.
14.解(1)直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0即为m(2y-x+3)+(2x+y+4)=0,
由可得
则已知直线恒过定点P(-1,-2),kPQ=,所以直线PQ不与直线2y-x+3=0垂直,可得Q(3,4)到直线的最大距离为|QP|==2.
(2)设直线的斜率为k(k<0),则其方程为y+2=k(x+1),可得|OA|=,|OB|=|k-2|,则S△AOB=|OA||OB|==.
由k<0,可得-k>0,所以S△AOB=[-]=[4+(-)+(-k)]≥4,当且仅当-=-k,即k=-2时取等号,则△AOB的面积最小值是4,直线的方程为y+2=-2(x+1),即2x+y+4=0.(共31张PPT)
第二章
2.6.2 双曲线的几何性质
A 级 必备知识基础练
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5.[探究点一(角度1)](多选题)已知双曲线C: =1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,P为C上一点,则( )
A.双曲线C的实轴长为2
B.双曲线C的一条渐近线方程为y= x
C.|PF1|-|PF2|=2
D.双曲线C的焦距为4
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7.[探究点一(角度1)]已知F1,F2为双曲线C: =1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
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解析 由双曲线的对称性以及|PQ|=|F1F2|可知,四边形PF1QF2为矩形,所以
解得|PF1||PF2|=8,
所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=8.
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8.[探究点一(角度2)]求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;
(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
解 (1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.
由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为
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9.[探究点二(角度1)]过双曲线C: =1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.
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B 级 关键能力提升练
10.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
B
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解析 由题意,点P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,设P(x0,y0).
对于A,由双曲线的定义知,||PA1|-|PA2||≠2a,所以A错误;
对于C,若P在第一象限,则当|PF1|=2c时,|PF2|=2c-2a,△PF1F2为等腰三角形;当|PF2|=2c时,|PF1|=2c+2a,△PF1F2也为等腰三角形,故点P在第一象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P有两个.同理可得,在第二、三、四象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P也各有两个,因此使得△PF1F2为等腰三角形的点P共有八个,所以C错误;
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C
解析 若以MN为直径的圆经过右焦点F2,
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由|MF2|-|MF1|=2a,|NF1|-|NF2|=2a,
两式相加可得|NF1|-|MF1|=|MN|=4a,
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14.(多选题)定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是( )
B.互为共轭的双曲线渐近线不相同
C.互为共轭的双曲线的离心率为e1,e2,则e1e2≥2
D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
CD
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15.已知双曲线 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆交y轴正半轴于点P,线段PF1交双曲线的渐近线于点A,若点A恰好为线段PF1的中点(O为坐标原点),则∠AOF1的大小为 ,双曲线的离心率为 .
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16.求适合下列条件的双曲线的离心率:
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C 级 学科素养创新练
(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程;
(2)已知点M(0,1),设P是双曲线C上的点,Q是P关于原点的对称点.设
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17第二章2.3.3 直线与圆的位置关系
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·人教A版教材习题改编]直线3x+4y+2=0与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
2.[探究点三]过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x-2)2+y2=1所截得的弦长为( )
A. B.1 C. D.2
3.[探究点二]过点(1,2)作圆x2+y2=5的切线,则切线方程为( )
A.x=1 B.3x-4y+5=0
C.x+2y-5=0 D.x=1或x+2y-5=0
4.[探究点三]若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为( )
A.0或4 B.0或3 C.-2或6 D.-1或
5.[探究点一、三](多选题)已知直线l:kx-y+2k=0和圆O:x2+y2=16,则( )
A.直线l恒过定点(2,0)
B.存在k使得直线l与直线l0:x-2y+2=0垂直
C.直线l与圆O相交
D.若k=-1,直线l被圆O截得的弦长为4
6.[探究点三]过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为 .
7.[探究点二]已知直线l:y=kx被圆C:x2+y2-6x+5=0截得的弦长为2,则|k|的值为 .
8.[探究点三]过点A(3,5)作圆x2+y2-4x-8y-80=0的最短弦,则这条弦所在直线的方程是 .
9.[探究点三]如果一条直线过点M且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8,求这条直线的方程.
10.[探究点二]已知圆x2+y2=25,求满足下列条件的切线方程.
(1)过点A(4,-3);
(2)过点B(-5,2).
B级 关键能力提升练
11.圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+=0的距离为1的点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.已知直线l:mx-y-3m+1=0恒过点P,过点P作直线与圆C:(x-1)2+(y-2)2=25相交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )
A.4 B.2 C.4 D.2
13.(多选题)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
14.[2022天津卷]若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m= .
15.过点(1,4)且斜率为k的直线l与曲线y=+1有公共点,则实数k的取值范围是 .
16.已知圆C:x2+y2-4x=0,直线l恒过点P(4,1).
(1)若直线l与圆C相切,求l的方程;
(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求l的方程.
17.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
C级 学科素养创新练
18.已知A,B为圆C:(x+1)2+(y-1)2=5上两个动点,且|AB|=2,直线l:y=k(x-5),若线段AB的中点D关于原点的对称点为D',若直线l上任一点P,都有|PD'|≥1,则实数k的取值范围是 .
19.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+4=0经过点(5,3),(2,0).
(1)求圆C的标准方程.
(2)若直线l:y=kx+2与圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得=6(O为坐标原点) 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
2.3.3 直线与圆的位置关系
1.B 圆(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径r=1,
由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m(x+y)=x+3y+2,由得x=1,y=-1,所以直线过定点(1,-1),
代入(x-1)2+y2=1成立,所以点(1,-1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交.
圆心到直线的距离d==1=r,所以圆与直线相切.故选B.
2.C 根据题意,设过点(1,0)且倾斜角为30°的直线为l,其方程为y=tan30°(x-1),即y=(x-1),变形可得x-y-1=0,圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径r=1,
设直线l与圆交于点A,B,圆心到直线的距离d=,则|AB|=2×,故选C.
3.C 由题可知,圆心为(0,0),半径为.
当斜率存在时,设切线方程为y=k(x-1)+2,则d=,可得k=-,
所以y=-(x-1)+2,即x+2y-5=0.
当斜率不存在时,x=1,显然不与圆相切.
综上,切线方程为x+2y-5=0.故选C.
4.A 由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离d=.又d=,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.
5.BC 对于A,由l:kx-y+2k=0,得k(x+2)-y=0,令解得
所以直线l恒过定点(-2,0),故A错误;
对于C,因为直线l恒过定点(-2,0),而(-2)2+02=4<16,即(-2,0)在圆O:x2+y2=16内,所以直线l与圆O相交,故C正确;
对于B,直线l0:x-2y+2=0的斜率为,则当k=-2时,满足直线l与直线l0:x-2y+2=0垂直,故B正确;
对于D,k=-1时,直线l:x+y+2=0,圆心到直线的距离为d=,所以直线l被圆O截得的弦长为2=2,故D错误.故选BC.
6. 由题意知直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+y-1=0,
圆心O(0,0)到直线l的距离为d=,
则有|AB|=2=2.
7. 由题意,圆C:(x-3)2+y2=4,故圆心C(3,0),半径r=2,故圆心到直线l:kx-y=0的距离为,故,即3k2=k2+1,解得k2=,即|k|=.
8.x+y-8=0 将圆x2+y2-4x-8y-80=0化成标准形式为(x-2)2+(y-4)2=100,圆心为M(2,4),则点A在圆内,当AM垂直这条弦时,所得到的弦长最短.
∵kAM==1,∴这条弦所在直线的斜率为-1,其方程为y-5=-(x-3),即x+y-8=0.
9.解圆x2+y2=25的半径长r为5,直线被圆所截得的弦长l=8,所以弦心距d==3.
因为圆心O(0,0)到直线x=-3的距离恰为3,所以直线x=-3是符合题意的一条直线.
设直线y+=k(x+3)也符合题意,即圆心到直线kx-y+=0的距离等于3,所以=3,解得k=-,故直线的方程为3x+4y+15=0.
综上可知,满足题意的直线方程为x=-3和3x+4y+15=0.
10.解(1)因为圆x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径为r=5,点A(4,-3)在圆x2+y2=25上,所以过点A(4,-3)的切线斜率存在,且其与直线AO垂直(O为坐标原点).
因为kAO=-,所以所求切线的斜率为,所以所求切线方程为y+3=(x-4),即4x-3y-25=0.
(2)因为圆x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径为r=5,
所以当过点B(-5,2)的切线斜率不存在时,其方程为x=-5,满足题意;
当切线斜率存在时,设斜率为k,则其方程为y-2=k(x+5),即kx-y+5k+2=0,所以圆心O(0,0)到切线的距离为d==5=r,解得k=,所以切线方程为x-y++2=0,即21x-20y+145=0.
综上,所求切线方程为21x-20y+145=0或x=-5.
11.C 化x2+y2+2x-2y-2=0为(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为(-1,1),半径为2,∵圆心到直线l:x+y+=0的距离d==1<2,
结合图形可知(图略),圆上有三点到直线l的距离为1.
12.A 直线方程可化为m(x-3)-y+1=0,故其恒过点P(3,1).
又(3-1)2+(1-2)2=5<25,即P在圆C内,要使|AB|最小,只需圆心C(1,2)与P的连线与该直线垂直.
由|CP|=,圆的半径为5,得|AB|=2×=4.故选A.
13.ABD 圆心C(0,0)到直线l的距离d=,
若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d==|r|,则直线l与圆C相切,故A正确;
若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2|r|,则直线l与圆C相离,故B正确;
若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=<|r|,则直线l与圆C相交,故C错误;
若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d==|r|,直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.
14.2 圆(x-1)2+(y-1)2=3的圆心坐标为(1,1),半径为,圆心到直线x-y+m=0(m>0)的距离为,由勾股定理可得()2+()2=3,
因为m>0,解得m=2.
15. 曲线y=+1可化为(x+2)2+(y-1)2=1(1≤y≤2),设点C(1,4),如图所示,当直线l在直线AC和BC之间运动时,直线l与曲线有公共点,其中点A为(-1,1),点B为直线l与曲线的切点,即直线l与圆心为(-2,1),半径为1的半圆相切.∵直线l的方程为y=k(x-1)+4,∴在点B处有=1,解得k=(舍),而直线AC的斜率为,∴k∈.
16.解(1)由题意可知,圆C的圆心为(2,0),半径r=2,
①当直线l的斜率不存在,即l的方程为x=4时,此时直线与圆相切,符合题意;
②当直线l的斜率存在时,设斜率为k,∴直线l的方程为y-1=k(x-4),化为一般式为kx-y+1-4k=0.
若直线l与圆相切,则d==2,即1-4k+4k2=4k2+4,解得k=-,
∴直线l:-x-y+4=0,即直线l:3x+4y-16=0.
综上,当直线l与圆C相切时,直线l的方程为x=4或3x+4y-16=0.
(2)由题意可知,直线l的斜率一定存在,设斜率为k,
∴直线l的方程为y-1=k(x-4),即kx-y+1-4k=0.
设圆心到直线l的距离为d,则d=,
由垂径定理可得,d2+()2=4,即+3=4,
整理得,3k2-4k=0,解得k=0或k=,
则直线l的方程为y=1或4x-3y-13=0.
17.(1)证明直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0化为(2x+y-7)m+x+y-4=0,则解得
所以直线l恒过定点M(3,1).
由题可知圆心C(1,2),半径r=5,又因为|CM|=<5,所以点M(3,1)在圆C内,所以不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点.
(2)解当直线l所过的定点为弦的中点,即CM⊥l时,直线l被圆截得的弦长最短,kCM==-,所以直线l的斜率为2,即-=2,解得m=-,所以直线l的方程为2x-y-5=0.
18. ∵|AB|=2,且圆C:(x+1)2+(y-1)2=5的半径为,
∴AB的中点D到圆心(-1,1)的距离为=2,
则D的轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=4.
∵线段AB的中点D关于原点的对称点为D',
∴D'的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=4.
要使直线l:y=k(x-5)上任一点P,都有|PD'|≥1,
则-2≥1,解得k≤或k≥.
∴实数k的取值范围是∪[,+∞).
19.解(1)依题设得解得
∴圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=9.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去y并化简得(1+k2)x2-2(k+2)x-4=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=-4++4=6,
∴k2-4k+3=0,∴k=1或3.第二章2.5.2 椭圆的几何性质
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]下列与椭圆C:=1焦点相同的椭圆是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
2.[探究点一]曲线=1与=1(0A.有相等的焦距,相同的焦点
B.有相等的焦距,不同的焦点
C.有不等的焦距,不同的焦点
D.以上都不对
3.[探究点二]已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点(1,b),且椭圆C的离心率为,则椭圆C的方程是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
4.[探究点二](多选题)已知椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,与y轴正半轴交于点B,下列选项中给出的条件,能够求出椭圆E标准方程的选项是( )
A.△BF1F2是等腰直角三角形
B.椭圆E的离心率为,短轴长为2
C.△BF1F2是等边三角形,且椭圆E的离心率为
D.设椭圆E的焦距为4,点B在圆(x-c)2+y2=9上
5.[探究点三]已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,点P为椭圆C上一点,O为坐标原点,△POF2为正三角形,则椭圆C的离心率为 .
6. [探究点四]2020年12月,“嫦娥五号”月球探测器首次实现从月球无人采样返回,这标志着中国航天又向前迈出一大步.我校航天社团利用计算机模拟探测器某段飞行轨迹,如图,探测器在环月椭圆轨道上运动,月球的球心为椭圆的一个焦点,探测器在近月点“制动”后,进入距离月球表面n千米的环月圆形轨道.已知两轨道相切于近月点,远月点到月球表面的最近距离为m千米,月球半径为r千米,则椭圆轨道的长轴长为 ;离心率为 .
7.[探究点三·北师大版教材习题]根据下列条件,求椭圆的离心率:
(1)焦距和短轴长相等;
(2)长轴长是焦距的2倍;
(3)焦距等于椭圆相邻两个顶点间的距离;
(4)经过一个焦点,且与长轴垂直的弦的弦长与焦距相等.
8.[探究点一、二]已知椭圆的方程为9x2+4y2=36.
(1)求它的长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标.
(2)与该椭圆有相同焦点的椭圆有多少个 试写出其中的两个椭圆方程.
9.[探究点二](1)求与椭圆=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
B级 关键能力提升练
10.已知椭圆+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的取值范围为( )
A.[1,2] B.[] C.[,4] D.[1,4]
11.已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,过F2的直线与椭圆交于A,B两点,若|AF1|∶|AB|∶|BF1|=3∶4∶5,则该椭圆的离心率为( )
A. B.2- C. D.
12.(多选题)设椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是( )
A.|PF1|+|PF2|=2
B.离心率e=
C.△PF1F2面积的最大值为
D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切
13.设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为( )
A.-1 B. C. D.+1
14.已知F1,F2是椭圆C:=1(015.已知椭圆C:=1(a>b>0)的长半轴长为2.
(1)若椭圆C经过点(),求椭圆C的方程;
(2)A为椭圆C的右顶点,B(1,0),椭圆C上存在点P,使得,求椭圆C的离心率的取值范围.
C级 学科素养创新练
16.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围;
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
2.5.2 椭圆的几何性质
1.D 由题意得,椭圆C中,a2=9,b2=5,c2=a2-b2=4,即焦点坐标为(2,0)和(-2,0).
对于A选项,椭圆焦点在y轴上,不满足题意;
对于B选项,椭圆焦点在x轴上,a2=10,b2=5,c2=a2-b2=5,不满足题意;
对于C选项,椭圆焦点在x轴上,a2=9,b2=4,c2=a2-b2=5,不满足题意;
对于D选项,椭圆焦点在x轴上,a2=10,b2=6,c2=a2-b2=4,满足题意.故选D.
2.B 曲线=1的焦距为2c=8,而曲线=1(03.A 依题意可得解得故椭圆C的方程是=1.故选A.
4.BD 对A,若△BF1F2是等腰直角三角形,可知c=b,没具体数据得不出方程,故A错误;
对B,已知椭圆E的离心率为,短轴长为2,则,b=1,由a2=b2+c2,所以a2=,所以椭圆E的标准方程为+y2=1,故B正确;
对C,△BF1F2是等边三角形,且椭圆E的离心率为,所以2c=a,b=c,数据不足,得不到结果,故C错误;
对D,设椭圆E的焦距为4,点B在圆(x-c)2+y2=9上,所以c=2,b2=5,由a2=b2+c2,所以a2=9,所以椭圆方程为=1,故D正确.故选BD.
5.-1 如图,因为△POF2为正三角形,
所以|OF1|=|OP|=|OF2|,
所以△F1PF2是直角三角形.
因为∠PF2F1=60°,|F2F1|=2c,所以|PF2|=c.
所以|PF1|2=|F1F2|2-|PF2|2=4c2-c2=3c2,
所以|PF1|=c.
因为|PF2|+|PF1|=2a,所以c+c=2a,
即-1,所以e=-1.
6.m+n+2r 设椭圆形轨道的长半轴长为a,焦半径为c,由题意可得,长轴长2a=m+n+2r,且,
即,1+=1+,∴e=.
7.解(1)2c=2b,所以b=c,a=c,所以e=.
(2)2a=2·2c,a=2c,所以e=.
(3)2c=,所以5c2=2a2,所以,所以e=.
(4)2·=2c,所以b2=ac=a2-c2,所以a2-ac-c2=0,所以e2+e-1=0,所以e=.
8.解(1)由9x2+4y2=36 =1,
即a=3,b=2 c=,
所以该椭圆的长轴长为2a=6,短轴长为2b=4,
顶点坐标分别为(0,3),(0,-3),(2,0),(-2,0),焦点坐标为(0,),(0,-).
(2)由(1)可知,该椭圆的焦点在纵轴,且c=.
设与该椭圆有相同焦点的椭圆标准方程为=1(a'>b'>0),所以有a'2-b'2=5(a'>b'>0),该方程有无穷多组实数解.
当a'2=6时,b'2=1,所以椭圆方程为+x2=1,
当a'2=7时,b'2=2,所以椭圆方程为=1,所以与该椭圆有相同焦点的椭圆有无穷多个,其中的两个椭圆方程为+x2=1和=1(答案不唯一).
9.解(1)∵c=,
∴所求椭圆的焦点为(-,0),(,0).
设所求椭圆的方程为=1(a>b>0).
∵e=,c=,∴a=5,b2=a2-c2=20,
∴所求椭圆的方程为=1.
(2)∵椭圆的焦点在x轴上,
∴设它的标准方程为=1(a>b>0),
∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.
∴椭圆的方程为=1.
10.D 根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],
即m,n∈[2-,2+],则∈[1,4].
11. D 如图所示,设|AF1|=3t,则|AB|=4t,|BF1|=5t,所以|AF1|2+|AB|2=|BF1|2,所以∠F1AF2=90°.
由椭圆定义可得|AF1|+|AB|+|BF1|=12t=4a,所以t=,所以|AF1|=3t=a,所以|AF2|=2a-|AF1|=a,所以△AF1F2为等腰直角三角形,可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以2a2=4c2,所以该椭圆的离心率为e=.故选D.
12.AD 对于A,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=2,故A正确;
对于B,由椭圆方程知a=,b=1,c=1,所以离心率e=,故B错误;
对于C,|F1F2|=2c=2,当P为椭圆短轴顶点时,△PF1F2的面积取得最大值,最大值为·2cb=cb=1,故C错误;
对于D,以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为c=1,圆心到直线x+y-=0的距离为=1,即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切,故D正确.故选AD.
13.A 不妨设椭圆E的方程为=1(a>b>0),如图所示.
∵△PF1F2为直角三角形,
∴PF1⊥F1F2.
又|PF1|=|F1F2|=2c,
∴|PF2|=2c,
∴|PF1|+|PF2|=2c+2c=2a,
∴椭圆E的离心率e=-1.
14. 6 如图所示,因为OM为△PF1F2的中位线,且|OM|=1,所以|PF2|=2,
由椭圆定义可得|PF1|=2a-|PF2|=2×4-2=6.
15.解(1)由题意可得a=2.
又椭圆C过(),
∴=1,解得b2=1,故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由(1)知A(2,0).
设P(x,y),则=1. ①
由,则|PA|2=2|PB|2,
∴(x-2)2+y2=2[(x-1)2+y2],即x2+y2=2. ②
联立①②,解得y2=.
由-b≤y≤b,即0≤y2≤b2,故0≤≤b2,解得016.(1)解不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),
由余弦定理得cos60°==,
所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2,
所以3|PF1|·|PF2|=4b2,所以|PF1|·|PF2|=.
又因为|PF1|·|PF2|≤=a2,
当且仅当|PF1|=|PF2|时,等号成立.
所以3a2≥4(a2-c2),所以,所以e≥.
又因为椭圆中0所以所求椭圆的离心率的取值范围是.
(2)证明由(1)可知|PF1|·|PF2|=b2,|PF1|·|PF2|sin 60°=b2×b2.
所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.(共26张PPT)
第二章
2.5.1 椭圆的标准方程
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点二(角度1)]若椭圆C: =1的一个焦点坐标为(-1,0),则实数m的值为( )
A.9 B.6 C.4 D.1
C
解析 因为椭圆的焦点(-1,0)在x轴上,
所以a2=5,b2=m,所以c2=a2-b2=5-m,
即5-m=1,解得m=4.
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2.[探究点一](多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是( )
A.当a=2时,点P的轨迹不存在
B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3
C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6
D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆
AC
解析 当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;
当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;
当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.
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3.[探究点二(角度1)]已知命题p:方程 =1表示焦点在y轴上的椭圆,则使命题p成立的充分不必要条件是( )
A.3C.11
B
则m-1>5-m>0,解得3结合四个选项可知,p成立的充分不必要条件是4故选B.
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6.[探究点二(角度2)]已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )
A
解析 由题可知c=1.
由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2,
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7.[探究点三]已知F1,F2为椭圆C: +y2=1的左、右焦点,点P在椭圆C上,∠F1PF2=60°,则|PF1||PF2|= .
解析 由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=4,利用余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|F1F2|2,
所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=|F1F2|2=12,解得3|PF1||PF2|=4,即
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8.[探究点一]若△ABC的三边长a,b,c满足2b=a+c,A(-1,0),C(1,0),则顶点B的轨迹方程是 .
解析 设点B的坐标为(x,y).
∵2b=a+c,即|BC|+|BA|=2|AC|,又A(-1,0),C(1,0),∴|BC|+|BA|=4>2,
根据椭圆的定义可知,点B的轨迹是以A(-1,0),C(1,0)为焦点,以4为长轴长的椭圆,
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9.[探究点二(角度1)]求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解 (1)由焦距是4可得c=2,
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(2)由题意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-
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B 级 关键能力提升练
B
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解析 因为△ABF2是直角三角形,且|BF1|=|F1F2|,
所以△AF1F2是等边三角形,设|F1F2|=2c,则a=2c,①
又因为a2=b2+c2,③
所以联立①②③,解得a2=4,b2=3,
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14.已知定点A(0,-2),点B在圆C:x2+y2-4y-32=0上运动,C为圆心,线段AB的垂直平分线交BC于点P,则动点P的轨迹E的方程为 .
解析 由题意,得|PA|=|PB|,
∴|PA|+|PC|=|PB|+|PC|=6>|AC|=4,
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15.已知椭圆C: =1内有一点M(2,3),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆C上的一点,求:
(1)|PM|-|PF1|的最大值与最小值;
(2)|PM|+|PF1|的最大值与最小值.
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16.已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆 +y2=1上任意一点,求AQ的中点M的轨迹方程.
解 设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0),利用中点公式,得
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C 级 学科素养创新练
ABC
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对于B选项,记|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=10,
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17(共24张PPT)
第二章
2.7.1 抛物线的标准方程
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]对抛物线x2=4y,下列描述正确的是( )
A.开口向上,焦点为(0,1)
A
解析 ∵抛物线的标准方程为x2=4y,
∴2p=4,p=2,解得 =1,因此抛物线的焦点为(0,1),准线为y=-1,可得该抛物线的开口向上.
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2.[探究点一]抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是( )
C
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3.[探究点一]以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y
C
解析 依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0).
因为焦点到准线的距离为4,所以p=4,所以2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.故选C.
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4.[探究点一、二]若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x
D
解析 抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到焦点的距离等于到其准线的距离,即为4,∴ +2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.故选D.
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5.[探究点二]已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|= x0,则x0等于( )
A.4 B.2 C.1 D.8
C
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D
解析 由题意得y2=4x,所以准线为x=-1,
又因为|MF|=3,设点M的坐标为(x0,y0),
则有|MF|=x0+1=3,解得x0=2,
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7.[探究点二]若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
9
解析 抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1.由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM+1=10,解得xM=9,所以点M到y轴的距离为9.
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8.[探究点三]一抛物线形拱桥,当桥顶离水面2米时,水面宽4米,若水面下降2米,则水面宽为 米.
解析 以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
由当桥顶离水面2米时,水面宽4米可得图中点A的坐标为(2,-2),所以
4=-2p×(-2),解得p=1.
所以抛物线的方程为x2=-2y.
当水面下降2米,即当y=-4时,
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9.[探究点二·北师大版教材例题]已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,求点M的轨迹方程.
解 如图,点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,即“点M到点F(4,0)的距离等于它到直线l':x+4=0的距离”.
由此可知,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,以直线l':x=-4为准线的抛物线.故点M的轨迹方程是y2=16x.
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10.[探究点二]已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).
(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;
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B 级 关键能力提升练
11.AB是抛物线y2=2x的一条过焦点的弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是
( )
C
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,
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12.动点P在抛物线x2=4y上,则点P到点C(0,4)的距离的最小值为( )
B
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13.(多选题)已知A(a,0),M(3,-2),点P在抛物线y2=4x上,则( )
A.当a=1时,|PA|的最小值为1
B.当a=3时,|PA|的最小值为3
C.当a=1时,|PA|+|PM|的最小值为4
D.当a=3时,|PA|-|PM|的最大值为2
ACD
解析 当a=1时,A(1,0)为抛物线的焦点,设P(x0,y0),x0≥0,
则|PA|=x0+1≥1,故|PA|的最小值为1,故A正确;
设抛物线的准线为l:x=-1,过点P作PN⊥l于点N,此时
|PA|+|PM|=|PN|+|PM|,故当N,P,M三点共线时,|PA|+
|PM|取得最小值,此时(|PA|+|PM|)min=3+1=4,故C正确;
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当a=3时,A(3,0),连接AM,并延长AM交抛物线于点P',
此时|PA|-|PM|=|P'A|-|P'M|=|AM|为|PA|-|PM|的最大值,当P在其他位置时,根据三角形两边之差小于第三边,可知均小于|AM|,
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14.若P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,抛物线C的焦点为F,则|PF|= .
5
解析 由P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,得42=2p×1,可得p=8,
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15.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
解 (1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.
由平面几何知识知,当F,P,A三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为
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过B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).
由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,
所以|PB|+|PF|的最小值为4.
C 级 学科素养创新练
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16. 如图,空间直角坐标系Dxyz中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点M在AB上,且|AM|= |AB|,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1 的距离与P到点M的距离相等,在平面直角坐标系xAy中,动点P的轨迹方程是 .
x2-6x-2y+1=0
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解析 作PN⊥AD,NH⊥A1D1,N,H为垂足,图略,则PN⊥面A1D1DA,
由线面垂直的判定可得出 PH⊥A1D1.
由题中空间直角坐标系,设P(x,y,0),由题意可得 M(3,1,0),H(x,0,3),|PM|=|PH|,
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17.利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面,所得截线是抛物线”的几何原理,某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识,如图1所示,图2是投影射出的抛物线的平面图,图3是一个射灯投影的直观图,在图2与图3中,点O,A,B在抛物线上,OC是抛物线的对称轴,OC⊥AB于C,AB=3米,OC=4.5米.
图1
图2
图3
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(1)求抛物线的焦点到准线的距离;
(2)在图3中,已知OC平行于圆锥的母线SD,AB,DE是圆锥底面的直径,求圆锥的母线与轴的夹角的正弦值.
解 (1)在题图2中,以O为坐标原点,以OC所在直线为y轴,建立如图平面
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