(共36张PPT)
第二章
2.2.3 两条直线的位置关系
课程标准
1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;
2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合;
3.能应用两直线平行、重合、相交、垂直条件求参数;
4.能应用两直线平行、垂直条件求直线的方程.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
两条直线的相交、平行与重合
(1)直线方程在斜截式方程形式下两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的位置关系可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断,具体判断方法如下表所示.
位置关系 平行 重合 相交
图示
k,b满足 条件
k1=k2且b1≠b2
k1=k2且b1=b2
k1≠k2
方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件
无解 0
有唯一解 1 A1B2≠A2B1
平行
相交
方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件
有无穷 多组解 重合 存在实数λ,使得
无穷多
名师点睛
1.两直线的位置关系可针对直线方程的斜截式和直线方程的一般式进行判断,注意适用条件,也可通过两种形式之间转化后再进行判断.
2.当两条直线相交时,两直线方程联立而成的方程组的解即为两直线的交点,该结论可推广到两条曲线.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行.( )
(2)若两条直线平行,则它们的斜率相等.( )
(3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.( )
×
×
√
2.下列直线与直线x-y-1=0平行的是( )
A.x+y-1=0
B.x-y+1=0
C.ax-ay-a=0(a≠0)
D.x-y+1=0或ax-ay-a=0(a≠0)
3.[人教A版教材例题改编]已知两直线l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.它们的交点坐标是 .
B
(-2,2)
知识点2
两条直线的垂直
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2 .
(2)设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同时为零,A2,B2不同时为零),则l1⊥l2 .
名师点睛
1.与直线y=kx+b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y=- x+m.
2.与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0.
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
过关自诊
1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a的值为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
D
解析 两条直线的斜率分别为a和a+2,且相互垂直,即a(a+2)=-1,解得a=-1.
2.若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a的值为 .
重难探究·能力素养全提升
探究点一 两条直线的位置关系的判断
【例1】 已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1与l2:(1)相交 (2)平行 (3)重合
解 因为直线l1:x+my+6=0,直线l2:(m-2)x+3y+2m=0,所以A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m.
(1)若l1与l2相交,则A1B2-A2B1≠0,即1×3-m(m-2)≠0,即m2-2m-3≠0,
所以(m-3)(m+1)≠0,解得m≠3且m≠-1.
故当m≠3且m≠-1时,直线l1与l2相交.
规律方法 判断两直线的位置关系
(1)判断两条直线平行:①如果斜率都存在,那么需要判断其斜率相等,即k1=k2.两条直线斜率相等,则两条直线可能平行也可能重合,还需要进一步判断截距不相等,即b1≠b2.如果两条直线的斜率不存在,两条直线的方程为x=a1,x=a2,只需a1≠a2即可;②利用A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1或A2C1≠A1C2判断.
(2)根据方程组解的个数判断两直线位置关系,当x,y的系数含参数时不好用;利用方程的系数间的关系判定难记忆;化成斜截式方程易操作.
变式训练1[人教A版教材习题]判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:
(1)l1:2x-3y=7,l2:4x+2y=1;
探究点二 两条直线平行
【例2】 (1)直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0,l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果l1∥l2,求m的值.
(2)[北师大版教材例题]求经过点A(2,3),且平行于直线l:2x+y-1=0的直线的方程.
(方法二)若l1∥l2,则有
解得m=-4或m=3.
(2)依据条件,可知所求直线存在斜率,设所求直线的方程为y-3=k(x-2).
依题意可知直线l:2x+y-1=0可化为y=-2x+1.
因为所求直线平行于直线l,所以k=-2,所以所求直线的方程为y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0.
规律方法 1.求与直线y=kx+b平行的直线的方程时,根据两直线平行的条件可巧设为y=kx+m(m≠b),然后通过待定系数法,求参数m的值.但需注意斜率k不存在的情况.
2.求与直线Ax+By+C=0平行的直线方程时,可设方程为Ax+By+m=0(m≠C),代入已知条件求出m即可.
变式训练2(1)已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是( )
A.-1或2 B.0或1
C.-1 D.2
C
解析 ∵l1∥l2,∴a(a-1)-2=0,
∴a=-1或2.当a=2时,l1与l2重合,∴a=-1.
(2)过点P(1,-1)且平行于l:x-2y+1=0的直线方程为( )
A.x+2y+1=0 B.2x+y-1=0
C.x-2y-3=0 D.2x-y+3=0
C
解析 设与直线l:x-2y+1=0平行的直线方程为l':x-2y+b=0(b≠1).
又由直线l'过点P(1,-1),代入可得1-2×(-1)+b=0,解得b=-3,即所求直线的方程为x-2y-3=0.故选C.
探究点三 两直线垂直
【例3】 (1)直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值.
(方法二)利用A1A2+B1B2=0,即a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1或a=-3.
(2)已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0,求过点A和直线l垂直的直线方程.
解 (方法一)设过点A与l垂直的直线为l2,直线l的斜率为kl,直线l2的斜率
(方法二)设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x-3y+m=0.因为l2过点A(2,2),所以4×2-3×2+m=0,解得m=-2,故l2的方程为4x-3y-2=0.
规律方法 1.与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0(m为参数).
2.与直线y=kx+m平行的直线方程可设为y=kx+b(b≠m);与它垂直的直线方程可设为y=- x+n(k≠0).应注意斜率k不存在及k=0的情况.
变式训练3(1)[北师大版教材习题]已知两条不重合的直线l1:ax+2y-1=0和l2:x+(a+1)y-1=0,a∈R.
①若l1∥l2,求a的值;②若l1⊥l2,求a的值.
解 ①若l1∥l2,则a(a+1)-2×1=0,解得a=1或a=-2.
当a=1时,l1:x+2y-1=0,l2:x+2y-1=0,l1与l2重合,舍去.
当a=-2时,l1:-2x+2y-1=0,l2:x-y-1=0,l1∥l2,所以a=-2.
②若l1⊥l2,则a×1+2(a+1)=0,所以a=- .
(2)[北师大版教材例题]求经过点A(2,3),且垂直于直线l:2x+y-1=0的直线的方程.
解 依据条件,设所求直线的方程为y-3=k(x-2).
将直线l:2x+y-1=0化为y=-2x+1.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.直线3x-y+5=0与直线6x-2y+10=0的位置关系是( )
A.相交但不垂直 B.平行
C.重合 D.垂直
C
解析 直线6x-2y+10=0可化为3x-y+5=0,所以直线3x-y+5=0与直线
6x-2y+10=0的位置关系是重合.故选C.
1
2
3
4
5
2.若点A(3,-4)与点A'(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程是( )
A.x+6y+16=0 B.6x-y-22=0
C.6x+y+16=0 D.x+6y-16=0
D
1
2
3
4
5
3.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
A
解析 因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以所求直线斜率k= ,排除C,D.又直线过点(1,0),排除B.
1
2
3
4
5
4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0垂直,则实数m= .
1
解析 因为直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0垂直,
1
2
3
4
5
5.(1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;
解 (方法一)设直线l的斜率为k.因为l与直线3x+4y+1=0平行,所以
(方法二)设与直线3x+4y+1=0平行的直线的方程为3x+4y+m=0(m≠1).
又因为l经过点(1,2),
所以3×1+4×2+m=0,即m=-11.
所以所求直线l的方程为3x+4y-11=0.
1
2
3
4
5
(2)求过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
(方法一)设过P点与l3垂直的直线方程为4x+3y+n=0,代入P点坐标得4×0+3×2+n=0,解得n=-6,所以直线l的方程为4x+3y-6=0.(共36张PPT)
第二章
2.2.2 第2课时 直线的两点式方程与一般式方程
课程标准
1.能用方向向量推导出直线的两点式方程;
2.理解直线的两点式、截距式和一般式方程的内在联系;
3.理解直线的两点式、截距式和一般式方程的适用范围;
4.能用合适的方程形式求直线的方程,并能进行方程形式上的转化.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
直线的两点式方程
可转化为点斜式
直线 的两 点式 方程 已知条件 图示 方程形式 适用条件
P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2 斜率存在
且不为0
名师点睛
1.若直线l过点(0,b),(a,0),且a≠0,b≠0,则直线l的方程可利用两点式方程得出并化简为 =1的形式,这一方程形式通常称为直线的截距式方程,其中a是直线在x轴上的截距,b是直线在y轴上的截距.
3.当直线不过原点且在两坐标轴上的截距相等时,直线的斜率k=-1,故常设直线方程为x+y=a(a≠0).
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线的两点式方程适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.( )
(2)过原点的直线不适用两点式方程.( )
√
×
2.在x轴、y轴上的截距分别为-3,4的直线方程为( )
3.过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为 .
A
5x-y-13=0
知识点2
直线的一般式方程
所有的直线方程都可以写成Ax+By+C=0的形式,其中A,B,C都是实常数,而且A与B不同时为零(即A2+B2≠0).Ax+By+C=0一般称为直线的一般式方程.
求直线方程时,最后一般将直线方程化为一般式方程
名师点睛
1.直线的一般式方程与点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程的方程形式及局限.
类型 方程形式 局限
点斜式方程 y-y0=k(x-x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式方程 y=kx+b 不能表示斜率不存在的直线
两点式方程 不能表示斜率不存在或斜率为0的直线
截距式方程 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式方程 Ax+By+C=0 无
2.直线的一般式方程与点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程的关系
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.( )
(2)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线.( )
(3)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示一条直线.( )
×
×
×
2.在平面直角坐标系中,直线x+ y-3=0的倾斜角是( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
3.在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,当A=0或B=0时方程分别表示怎样的直线
C
解析 直线斜率k= ,所以倾斜角为150°,故选C.
解 在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,若B=0,则x=- ,它表示一条与y轴平行或重合的直线,此时直线的斜率不存在;若A=0,则y=- ,它表示一条与x轴平行或重合的直线,此时直线的斜率为0.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 直线的两点式方程
【例1】 [人教A版教材例题]已知△ABC的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求边BC所在直线的方程,以及这条边上的中线AM所在直线的方程.
规律方法 1.当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴.若满足,则考虑用两点式方程求直线方程.
2.由于减法的顺序性,一般用两点式方程求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即x2与y2是同一点坐标,而x1与y1是另一点坐标.
变式训练1(多选题)下列说法正确的是( )
C.直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为b
D.过两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程为(x-x2)(y1-y2)-(y-y2)(x1-x2)=0
AD
解析 =k表示过点M(x1,y1)且斜率为k的直线去掉点(x1,y1),故A正确;
在x轴、y轴上的截距分别为a,b,只有ab≠0时,直线方程为 =1,故B错误;
直线y=kx+b与y轴的交点坐标是(0,b),交点到原点的距离为|b|,故C错误;
当x1≠x2时,直线方程为y-y2= (x-x2),
当x1=x2时,直线方程为x=x2,也适合方程(x-x2)(y1-y2)-(y-y2)(x1-x2)=0,故D正确.故选AD.
探究点二 直线的截距式方程
【例2】 已知直线l过点(1,2).
(1)当直线l在两坐标轴上的截距相等时,求直线l的方程;
(2)若直线l交x轴正半轴、y轴正半轴分别于A,B两点,求△AOB面积的最小值.
解 (1)当直线的截距为0时,则y=2x.
故直线l的方程为y=2x或x+y-3=0.
规律方法 对直线的截距式方程应注意以下几点:
(1)在方程 =1中,要求a≠0,b≠0,即直线在x轴,y轴上的截距都不为0,因此它不能表示过坐标原点或平行于x轴,y轴的直线.
(2)当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时,若选用截距式方程来求解,注意截距都为0,即直线过原点这种情况.
变式训练2过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有
条.
3
解析 一条是截距为0,一条是截距相等(不为0),一条是截距互为相反数(不为0),共3条.
探究点三 直线的一般式方程
角度1.求直线的一般式方程
【例3】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是 ,且经过点A(5,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过点A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1;
(5)经过点B(4,2),且平行于x轴.
(2)由斜截式方程,得直线方程为y=4x-2,
即4x-y-2=0.
(5)y-2=0.
规律方法 1.在求直线方程时,直线设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,然后可以转化为一般式方程.
2.当直线方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的系数A,B,C满足下列条件时,直线Ax+By+C=0有如下性质:
(1)当A≠0,B≠0时,直线与两条坐标轴都相交;
(2)当A≠0,B=0,C≠0时,直线只与x轴相交,即直线与y轴平行,与x轴垂直;
(3)当A=0,B≠0,C≠0时,直线只与y轴相交,即直线与x轴平行,与y轴垂直;
(4)当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合;
(5)当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合.
变式训练3(1)根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式方程.
①斜率是- ,且经过点A(8,-6)的直线方程为 ;
②在x轴和y轴上的截距分别是 和-3的直线方程为 ;
③经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为 .
x+2y+4=0
2x-y-3=0
x+y-1=0
(2)直线l:3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线l'的方程为( )
A.4x-3y+5=0 B.4x-3y-5=0
C.3x+4y-5=0 D.3x+4y+5=0
A
解析 在直线l'上任取一点(x,y),此点关于直线x+y=0的对称点(-y,-x)在直线l:3x-4y+5=0上,
∴3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0,故选A.
角度2.直线的一般式方程的应用
【例4】 设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为-3,求m的值;
(2)已知直线l的斜率为1,求m的值.
变式探究对于本例中的直线l的方程,若直线l与y轴平行,求m的值.
解 ∵直线l与y轴平行,
规律方法 1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为零.
2.令x=0可得在y轴上的截距,令y=0可得在x轴上的截距,若确定直线的斜率存在,可将一般式方程化为斜截式方程.
3.解分式方程要注意验根.
变式训练4若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足( )
A.m≠0
C
解析 因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,所以m≠1.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
1.经过(5,0),(2,-5)两点的直线方程为( )
A.5x+3y-25=0 B.5x-3y-25=0
C.3x-5y-25=0 D.5x-3y+25=0
B
所以得5x-3y-25=0.
1
2
3
2.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线方程为( )
A.x-y+1=0 B.x+y-3=0
C.2x-y=0或x+y-3=0 D.2x-y=0或x-y+1=0
D
所以直线方程为x-y+1=0.
综上,所求直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.故选D.
1
2
3
3.[人教版教材习题]已知直线l的方程是Ax+By+C=0.
(1)当B≠0时,直线l的斜率是多少 当B=0时呢
(2)系数A,B,C取什么值时,方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线
解 (1)由Ax+By+C=0,得By=-Ax-C.
(2)当C=0,A,B不全是零时,方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线.(共20张PPT)
第二章
培优课 圆锥曲线的综合问题
重难探究·能力素养全提升
探究点一 定点定值问题
=1有相同的焦点.
①求椭圆C的方程;
②设M,N是椭圆C上异于A的两点,且满足kMA+kNA=-1,试判断直线MN是否过定点,并说明理由.
①求C与D的方程.
②若P(0,1),直线l:y=-x+m与C交于A,B两点,且直线PA,PB的斜率都存在.
(ⅰ)求m的取值范围.
(ⅱ)试问直线PA,PB的斜率之积是否为定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
②(ⅰ)如图,因为直线l:y=-x+m与C交于A,B两点,且直线PA,PB的斜率都存在,所以m≠±1,
变式训练1已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的右焦点为F,左顶点为A,且|FA|=2+ ,F到C的渐近线的距离为1,过点B(4,0)的直线l与双曲线C的右支交于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴分别交于M,N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB,NB的斜率分别为k1,k2,判断k1k2是否为定值.若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
探究点二 探究性问题
(1)求椭圆C上一点P到点M的最小距离;
(2)若经过M点的直线l交椭圆C于E,F两点,证明:当直线l的倾斜角任意变
当x=2时,椭圆C上一点P到点M的最小距离为1.
则x轴为∠EGF的平分线,即证明无论直线l的倾斜角怎样变化时,kGE+kGF=0,
设E(x1,y1),F(x2,y2),直线EF的方程为x=my+1,
故x轴为∠EGF的平分线,
坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)判断是否存在直线l,使得直线l与椭圆E相交于M,N两点,直线l与y轴(共38张PPT)
第二章
2.5.1 椭圆的标准方程
课程标准
1.掌握椭圆的定义;
2.掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程;
3.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握待定系数法求椭圆的标准方程.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
椭圆的定义
集合表示{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}
如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且 ,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中,两个定点F1,F2称为椭圆的 ,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的 .
2a>|F1F2|
焦点
焦距
过关自诊
1.到两个定点F1(-7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段
C.圆 D.以上都不对
2.椭圆的定义中,若2a≤|F1F2|,则动点P的轨迹还是椭圆吗
B
解析 ∵点P到两定点的距离之和为14,等于|F1F2|,
∴轨迹是一条线段.
解 不是.当2a<|F1F2|时,动点P的轨迹不存在.
当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.
知识点2
椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
图示
焦点坐标
a,b,c的关系 F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
b2=a2-c2
名师点睛
1.在已知椭圆的标准方程解题时,应特别注意a>b>0这个条件.
2.焦点三角形中常用的关系式
(1)|PF1|+|PF2|=2a.
(3)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
(4)|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|.
过关自诊
1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是( )
D
2.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是( )
C
3.[人教A版教材习题]如果椭圆 =1上一点P与焦点F1的距离等于6,那么点P与另一个焦点F2的距离是 .
14
重难探究·能力素养全提升
探究点一 椭圆定义的理解
【例1】 如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.
解 设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,故动圆圆心P的轨迹方程为
规律方法 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤
变式训练1[北师大版教材习题]如图,两个定圆圆C1和圆C2内切,且半径分别为r1=1,r2=3,动圆M与圆C1外切且与圆C2内切,那么动圆圆心M的轨迹是什么 并说明理由.
解 设动圆M半径为R,因为圆M与圆C1外切,所以|MC1|=1+R.又因为圆M与圆C2内切,所以|MC2|=3-R,所以|MC1|+|MC2|=4.又圆C1和圆C2内切,所以|C1C2|=2.所以动圆圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆(除掉圆C1和圆C2的切点).
变式训练2[北师大版教材例题]已知△ABC的周长为10,且|BC|=4,则△ABC的顶点A的轨迹是什么 并说明理由.
解 因为△ABC的周长为10,且|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6,且|AB|+|AC|>|BC|.
根据椭圆的定义可知,△ABC的顶点A的轨迹是以B,C为焦点,焦距长为4的椭圆(不含椭圆与直线BC的交点).
探究点二 求椭圆的标准方程
角度1.待定系数法求椭圆的标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
∵椭圆过点A(-1,-2),
规律方法 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程,有下面几种情况:
如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为
=1(a>b>0);
如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为
=1(a>b>0);
如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解.
2.待定系数法求椭圆方程能有力地明晰数学运算的目标性和方向性,能较好地体现运用解析法进行数学运算的核心素养.
角度2.定义法求椭圆的标准方程
【例3】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:两个焦点的坐标分别是
解 因为椭圆的焦点在y轴上,
规律方法 用定义法求椭圆的标准方程,先根据椭圆定义,确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆的标准方程.
变式训练4已知椭圆两个焦点的坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26,求满足条件的椭圆的标准方程.
解 因为椭圆的焦点在y轴上,
因为2a=26,所以a=13,又因为c=5,
所以b2=a2-c2=144,
探究点三 椭圆定义的应用
【例4】 已知P为椭圆 =1上一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|.①
即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|.②
由①②得|PF1||PF2|=4,
变式探究若将例4中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.
规律方法 1.椭圆上一点P(不与焦点共线)与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解.
2.焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.
(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
变式训练5(1)P是椭圆 =1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1||PF2|=12,则∠F1PF2的大小为( )
A.60° B.30° C.120° D.150°
A
∵0°<∠F1PF2<180°,
∴∠F1PF2=60°.
(2)已知F1,F2为椭圆 =1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= .
8
解析 由直线AB过椭圆的一个焦点F1,
知|AB|=|F1A|+|F1B|,
所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20.
又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.
(3)[人教A版教材习题]如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式
=10,那么点M的轨迹是什么曲线 为什么 写出它的方程.
解 点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆.
∵点M(x,y)到两定点(0,-3),(0,3)的距离之和为10,且大于两定点间的距离6,
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.已知椭圆C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1作直线交椭圆C于A,B两点,则三角形ABF2的周长为( )
A.10 B.15 C.20 D.25
C
解析 由题意知a=5,由椭圆定义知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,
∴|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=20.故选C.
1
2
3
4
5
2.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(0,2)
C.(1,+∞) D.(0,1)
D
1
2
3
4
5
3.若椭圆x2+ky2=1的焦距为 ,则k的值为 .
1
2
3
4
5
4.设F1,F2是椭圆 =1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△F1PF2的面积为 .
4
解析 由椭圆方程,得a=3,b=2,c= .
∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,
∴|PF1|=4,|PF2|=2.
又|F1F2|=2c=2 ,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴△PF1F2是直角三角形,且∠F1PF2=90°,
1
2
3
4
5
5.分别根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1)一个焦点坐标为(-5,0),且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26;
1
2
3
4
5(共29张PPT)
第二章
2.1 坐标法
课程标准
1.理解实数与数轴上的点的一一对应关系;
2.掌握数轴上两点形成的向量的坐标及两点间的距离公式、中点坐标公式;
3.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式;
4.理解坐标法的意义,并会用坐标法解决简单的平面几何问题.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
数轴上的基本公式
(1)数轴的定义
给定了 、 与 的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.
(2)数轴上的基本公式
①如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1,记作A(x1)),且B(x2),则向量
的坐标为 ;A,B两点之间的距离公式|AB|=| |=|x2-x1|.
②若A(x1),B(x2),M(x)为数轴上线段AB的中点,则可得到数轴上的中点坐标公式x= .
原点
单位长度
正方向
x2-x1
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
如果数轴上两个向量相等,那么这两个向量的坐标相等.( )
√
-8
2
2
知识点2
平面直角坐标系中的基本公式
(1)平面直角坐标系中两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式
(2)平面直角坐标系内的中点坐标公式
设平面内两点A(x1,y1),B(x2,y2),若线段AB的中点为M(x,y),则
x= ,y= .
(3)坐标法
通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算等解决问题,这种解决问题的方法称为坐标法.
名师点睛
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
用坐标法证明矩形的对角线等长时,可以将矩形两条相邻的边所在的直线分别作为x轴和y轴建立平面直角坐标系.( )
2.已知线段AB的端点A(3,4)及中点O(0,3),则点B的坐标为( )
B
√
3.[北师大版教材习题]求下列两点间的距离:
(1)A(-3,2),B(0,3);(2)C(-1,3),D(2,7).
重难探究·能力素养全提升
探究点一 数轴上的坐标运算
【例1】 已知数轴上两点A(a),B(5),分别求出满足下列条件时a的取值.
(1)两点间距离为5;
(2)两点间距离大于5;
(3)两点间距离小于3.
解 数轴上两点A,B之间的距离为|AB|=|5-a|.
(1)根据题意得|5-a|=5,解得a=0或a=10.
(2)根据题意得|5-a|>5,即5-a>5或5-a<-5,故a<0或a>10.
(3)根据题意得|5-a|<3,即-3<5-a<3,故2
变式训练1|x-1|+|x+2|的最小值为 .
3
解析 |x-1|可以看作数轴上点x与1之间的距离,|x+2|=|x-(-2)|可以看作数轴上点x与-2之间的距离.所以|x-1|+|x+2|就表示数轴上点x与1和-2之间的距离之和.借助于数轴可以看出,当x位于-2,1之间(包括-2,1)时,x与-2,1之间的距离之和最小,最小值为3.
探究点二 平面直角坐标系中公式的应用
角度1.平面直角坐标系中两点之间距离公式的应用
【例2】 [北师大版教材例题]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:y=2x+b上的两点,若|x2-x1|=3,求|AB|.
解 因为A(x1,y1),B(x2,y2)在直线l上,所以y1=2x1+b,y2=2x2+b.
由已知|x2-x1|=3,得|y2-y1|=|(2x2+b)-(2x1+b)|=2|x2-x1|=6.根据两点间的距离
规律方法 1.点A(x1,y1)与点B(x2,y2)之间的距离公式还可以变形为|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2,O为原点时,|OA|= .
2.在涉及求平方和的最小值的问题时,可通过两点之间距离公式的形式进行构造变形,利用动点到定点的最小距离求解.
变式训练2已知A(1,3),B(5,2),点P在x轴上,则|AP|+|PB|的最小值为( )
B
角度2.平面直角坐标系内中点坐标公式的应用
【例3】 已知△ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.
解 设点C的坐标为(x,y),边AC的中点为D,BC的中点为E,则
规律方法 1.
平面内中点 坐标公式的 认识 从公式上看,根据方程思想,可以知二求一,即只要知道公式两边的任意两个量,就可以求出第三个量
从图象上看,只要知道任意两个点,就可以求出第三个点
2.对本题而言,讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是解题的关键.
变式训练3已知A(x,5)关于C(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点P(x,y)到原点O的距离是( )
D
解析 因为C为AB的中点,
探究点三 坐标法在平面几何图形中的应用
【例4】 已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|= |BC|.
证明 如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).
变式探究本例中条件不变,试用坐标法证明:|AB|2+|AC|2=|BC|2.
证明 如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.
设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点距离公式得
|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,
|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2,
|BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.
规律方法 1.建立平面直角坐标系的常见技巧
(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上.
(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,那么考虑其作为坐标轴.
(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴.
2.“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.下列各组点中,点C位于点D的右侧的是( )
A.C(-3)和D(-4) B.C(3)和D(4)
C.C(-4)和D(3) D.C(-4)和D(-3)
A
1
2
3
4
5
2.已知点A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
B
∴|AC|2=|AB|2+|BC|2,
∴△ABC为三边互不相等的直角三角形.
1
2
3
4
5
3.已知点(0,2)是点(-2,b)与点(2,4)的对称中心,则b= .
0
解析 ∵点(0,2)是点(-2,b)与点(2,4)的对称中心,
∴b+4=2×2,即b=0.
1
2
3
4
5
4.[人教A版教材习题]已知A(a,-5)与B(0,10)两点间的距离是17,求a的值.
1
2
3
4
5
5.已知 ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线的交点为E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标.(共37张PPT)
第二章
2.5.2 椭圆的几何性质
课程标准
1.掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系;
2.能用椭圆的方程研究椭圆的几何性质,并能准确地画出图形;
3.能用椭圆的知识解决简单的实际问题.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点
椭圆的几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图示
标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
范围
顶点
椭圆与对称轴的交点
-a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
轴长 长轴长为 ,短轴长为 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 2c 对称性 对称轴为 ,对称中心为 离心率 e= ∈ ,其中c= 2a
2b
x轴,y轴
坐标原点
(0,1)
名师点睛
2.当离心率e越趋近于1时,椭圆越扁;当e越趋近于0时,椭圆越接近于圆.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)椭圆 =1(a>b>0)的长轴长是a.( )
(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为
=1.( )
×
×
C
3.[人教A版教材习题改编]焦点在x轴上,a=6,e= 的椭圆方程是
.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 椭圆的几何性质
【例1】 [人教A版教材例题]求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
点坐标分别是F1(-3,0)和F2(3,0),四个顶点坐标分别是A1(-5,0),A2(5,0),
B1(0,-4)和B2(0,4).
规律方法 讨论椭圆的几何性质时,一定要将方程化为标准方程,并准确判断焦点位置,标准方程能将参数的几何意义凸显出来,另外要抓住椭圆中a2-b2=c2这一核心关系式.
变式训练1已知椭圆C1: =1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程及其简单几何性质.
探究点二 由几何性质求椭圆的标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,所以|A1A2|=2b=2c,所以c=b=3,所以a2=b2+c2=18,故所求椭圆的方
规律方法 此类问题应由所给的几何性质充分找出a,b,c所满足的关系式,进而求出a,b.在求解时,需注意椭圆的焦点位置,其次要注意平面几何知识的应用,将数形结合思想更多地渗透进去.
变式训练2[北师大版教材习题]求适合下列条件的椭圆的标准方程:
探究点三 椭圆的离心率问题
【例3】 椭圆 =1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为 .
解析 (方法一)如图,
∵△DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,
∴F1N⊥F2N.
∵|NF2|=|OF2|=c,
(方法二)注意到焦点三角形NF1F2中,∠NF1F2=30°,∠NF2F1=60°,
∠F1NF2=90°,则由离心率的焦点三角形公式,可得
变式探究若例3改为如下:椭圆 =1(a>b>0)的两焦点F1,F2,以F1F2为斜边作等腰直角三角形,三角形顶点恰好落在椭圆的顶点处,则椭圆的离心
率为 .
规律方法 求椭圆离心率的值或取值范围的常用方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e= 求解.若已知a,b(或b,c),可借助于a2=b2+c2求出c(或a),再代入公式e= 求解.
(2)几何法:若借助数形结合,可挖掘涉及几何图形的性质,再借助a2=b2+c2,找到a与c的关系或求出a与c,代入e= 即可得到.
(3)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件
建立关于a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程(或不等式),再将方程(或不等式)两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范围).
变式训练3(1)已知点A,B分别是椭圆C: =1(a>b>0)的右、上顶点,过椭圆C上一点P向x轴作垂线,垂足恰好为左焦点F1,且AB∥OP,则椭圆C的离心率为( )
C
一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为 .
解析 由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30°,
探究点四 椭圆几何性质的实际应用
【例4】 [北师大版教材例题]酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200 km,远地点(离地面最远的点)高度约350 km的椭圆轨道(将地球看作一个球,其半径约为6 371 km),求椭圆轨道的标准方程.(注:地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点,且近地点、远地点与地心共线)
解 如图,设地心为椭圆轨道右焦点F2,近地点、远地点分别为A2,A1,以直线A1A2为x轴,线段A1A2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则F2,A1,A2三点都在x轴上,|F2A2|=a-c=200+6 371,|A1F2|=a+c=350+6 371,所以a=6 646,c=75,从而b2=a2-c2=6 6462-752=44 163 691.
规律方法 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立关系.利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题,考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.
变式训练4某段时间某飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆,地心为椭圆的一个焦点,如右图所示.假设航天员到地球表面的最近距离为d1,最远距离为d2,地球的半径为R,我们想象存在一个镜像地球,其中心在该飞船运行轨道的另外一个焦点上,从上面发射某种神秘信号,需要飞行中的航天员中转后地球上的人才能接收到,则传送神秘信号的最短距离为( )
A.d1+d2+R
B.d2-d1+2R
C.d2+d1-2R
D.d1+d2
D
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.已知点(3,2)在椭圆 =1(a>0,b>0)上,则( )
A.点(-3,-2)不在椭圆上
B.点(3,-2)不在椭圆上
C.点(-3,2)在椭圆上
D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上
C
解析 由椭圆以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心可知,点(-3,2)在椭圆上,故选C.
1
2
3
4
5
B
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )
A
解析不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点.
依题意可知,△BF1F2是正三角形.
∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,
1
2
3
4
5
4.已知椭圆 =1的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2,则四边形B1F1B2F2的面积为 .
1
2
3
4
5
(1)求m的值;
(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.(共30张PPT)
第二章
2.3.1 圆的标准方程
课程标准
1.会用定义推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程的特点;
2.能准确判断点与圆的位置关系;
3.能用待定系数法求圆的标准方程;
4.能用圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
圆的定义和标准方程
(1)圆的定义
平面内到一定点的距离等于定长的点的 是圆,其中定点是 ,定长是圆的 .
(2)圆的标准方程
两点间距离公式的应用
一般地,如果平面直角坐标系中☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),设M(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则点M在☉C上的充要条件是|CM|=r,即
=r,两边平方,得 ,通常称为圆的标准方程.
集合
圆心
半径
(x-a)2+(y-b)2=r2
名师点睛
1.圆的标准方程中等式右边是r2,且r>0;
2.当圆心为原点时,圆的标准方程为x2+y2=r2.
过关自诊
1.圆(x-1)2+y2=3的圆心坐标和半径分别是( )
A.(-1,0),3 B.(1,0),3
D
解析 根据圆的标准方程可得,圆(x-1)2+y2=3的圆心坐标为(1,0),半径为 .故选D.
2.[北师大版教材习题改编]圆心是(3,-4),半径是 的圆的标准方程是 .
3.[北师大版教材习题改编]下列方程是圆的方程吗 若不是,请说明理由.
(1)(x+1)2+(y-1)2=-5;
(2)(x+1)2+(y-1)2=k.
(x-3)2+(y+4)2=5
解 (1)不是圆的方程,因为-5<0.
(2)不一定是圆的方程,因为k值未定.
当k>0时是圆的方程,当k≤0时不是圆的方程.
知识点2
点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与☉C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M在圆外 |CM|>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M在圆内 |CM|过关自诊
点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是( )
A.点在圆外
B.点在圆内
C.点在圆上
D.不确定
B
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求圆的标准方程
角度1.直接法求圆的方程
【例1】 (1)圆心在点C(2,1),半径为 的圆的标准方程为 .
(2)圆心在点C(8,-3),且过点P(5,1)的圆的标准方程为 .
(3)与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为 .
(x-2)2+(y-1)2=3
(x-8)2+(y+3)2=25
(x+5)2+(y+3)2=25
规律方法 1.确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,要首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.
2.确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
变式训练1以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A.(x+1)2+(y+2)2=100
B.(x-1)2+(y-2)2=100
C.(x+1)2+(y+2)2=25
D.(x-1)2+(y-2)2=25
D
解析 ∵线段AB为直径,
∴AB的中点(1,2)为圆心,
∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.
角度2.待定系数法求圆的方程
【例2】 [北师大版教材例题]求经过A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程.
解 (方法一)设该圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
①-②,得(1-a)2+(3-b)2=(4-a)2+(2-b)2,④
化简、整理,得3a-b-5=0.⑤
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5(如图(1)).
(1)
(方法二)如图(2),连接AB,作AB的垂直平分线交AB于点D,则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点,线段AB的垂直平分线的方程为3x-y-5=0.
又该圆经过点A,则r2=(1-2)2+(3-1)2=5,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(2)
规律方法 1.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
2.几何法即是先利用平面几何知识,求出圆心和半径,再写出圆的标准方程.
3.有时待定系数法和几何法交叉使用,体现数形结合的数学思想.
变式训练2[人教A版教材例题]△ABC的三个顶点分别是A(5,1),B(7,-3), C(2,-8),求△ABC的外接圆的标准方程.
解 设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.①
因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点都在圆上,所以它们的坐标都满足方程①,
观察上面的式子,我们发现,三式两两相减,可以消去a2,b2,r2,得到关于a,b的
r2=25.
所以△ABC的外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25.
探究点二 点与圆的位置关系
【例3】 (1)已知a,b是方程x2-x- =0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是( )
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
A
(2)已知点P(2,1)和圆C:（x+ ）2+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a= .若点P在圆C外,则实数a的取值范围为 .
-2或-6
(-∞,-6)∪(-2,+∞)
规律方法 判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的方法
变式训练3若原点在圆(x-3)2+(y+4)2=m的外部,则实数m的取值范围是
( )
A.{m|m>25} B.{m|m>5}
C.{m|0C
解析 根据题意,圆(x-3)2+(y+4)2=m的圆心为(3,-4),半径为 ,必有m>0,若原点在圆(x-3)2+(y+4)2=m的外部,则有(0-3)2+(0+4)2>m,则有m<25,综上可得0成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是( )
A.(x+3)2+(y+1)2=5
B.(x+3)2+(y+1)2=25
C.(x-3)2+(y-1)2=5
D.(x-3)2+(y-1)2=25
D
1
2
3
4
5
2.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a满足( )
D
解析 依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,
1
2
3
4
5
3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是( )
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
A
解析 (方法一)直接法
∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
1
2
3
4
5
(方法二)数形结合法
作图(如图),根据点(1,2)到圆心的距离为1,且圆心在y轴上易知,圆心为(0,2),故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
1
2
3
4
5
4.已知半径为3的圆的圆心到y轴的距离等于半径,圆心在直线x-3y=0上,则此圆的方程为 .
(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9
1
2
3
4
5
5.求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.
解 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
根据已知条件可得
所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(共29张PPT)
第二章
2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
课程标准
1.了解直线的方程、方程的直线的概念;
2.理解点斜式和斜截式方程的推导,并能明确其适用条件;
3.理解直线的点斜式和斜截式方程的内在联系和直线在y轴上截距的含义;
4.能用直线的点斜式和斜截式方程求直线的方程.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
直线与方程
一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,为了简单起见,“直线l”也可说成“直线F(x,y)=0”,并且记作l:F(x,y)=0.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)如图所示 ,线段AB的方程为y=x+1.( )
(2)在平面直角坐标系中,y轴所在直线方程为y=0.( )
2.已知点A(1,m)在直线x-y+1=0上,则实数m= .
×
×
2
知识点2
直线的点斜式方程
已知条件 点P(x0,y0)和
图示
方程形式 y-y0=
适用条件 斜率存在
斜率k
k(x-x0)
过关自诊
1.过点(1,1)且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为 .
y-1=x-1
解 方程 =k和y-y0=k(x-x0)不表示同一条直线,前者表示的是直线除去一个点P0(x0,y0).
知识点3
直线的斜截式方程
已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
适用条件 斜率存在
是直线与y轴交点的纵坐标
y=kx+b
名师点睛
1.用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意截距和距离的区别.
2.直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距.因此,在解决直线的图象问题时,常把直线方程化为斜截式方程.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.( )
(2)直线y=kx-b在y轴上的截距为b.( )
2.已知直线的斜率是2,且在y轴上的截距是-3,则此直线的方程是( )
A.y=2x-3 B.y=2x+3
C.y=-2x-3 D.y=-2x+3
×
×
A
3.若直线y=kx+b经过第一、三、四象限,则有( )
A.k>0,b>0
B.k>0,b<0
C.k<0,b>0
D.k<0,b<0
B
重难探究·能力素养全提升
探究点一 直线的点斜式方程
【例1】 [北师大版教材例题]求出经过点P(-1,2)且满足下列条件的直线的方程,并画出直线:
(1)倾斜角为 ;(2)与x轴垂直;(3)与x轴平行.
图1
(2)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴垂直,所以该直线的方程为x=-1(如图2).
(3)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴平行,即斜率k=0,所以该直线的方程为y=2(如图3).
图2
图3
规律方法 利用点斜式方程求直线方程的步骤
注意:点斜式方程使用的前提是斜率存在,当斜率不存在时,直线没有点斜式方程,其方程为x=x0.
变式训练1 [北师大版教材习题]写出下列直线的方程,并在同一平面直角坐标系中画出这些直线,通过观察,指出方程y-2=k(x-1)表示的直线具有的与k取值无关的特征:
(1)经过点(1,2),斜率为1;
(2)经过点(1,2),斜率为-2;
(3)经过点(1,2),斜率为0.
解 (1)y-2=1×(x-1),即x-y+1=0.
(2)y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
(3)y-2=0×(x-1),即y-2=0.
在同一平面直角坐标系中画出这些直线如图.
方程y-2=k(x-1)表示的直线都过定点(1,2).
探究点二 直线的斜截式方程
【例2】 已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.
(1)求直线l的方程;
(2)当m为何值时,直线经过点(1,1)
解 (1)利用直线的斜截式方程,可得方程为y=2x+m.
(2)只需将点(1,1)的坐标代入方程y=2x+m,有1=2×1+m,所以m=-1.
变式探究1将本例的条件“在y轴上的截距为m”改为“在x轴上的截距为m”,如何求直线的方程
解 直线在x轴上的截距为m,即直线过点(m,0).又已知直线的斜率为2,则由直线的点斜式方程,可得所求直线方程为y-0=2(x-m),即y=2x-2m.
变式探究2将本例的条件不变,试问m为何值时,直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1
解 由题意知直线方程为y=2x+m,故直线在两坐标轴上的截距分别
规律方法 对直线的斜截式方程的理解要注意以下几点:
(1)由直线的斜截式方程的推导过程可以看出,在点斜式方程中若点P(x0,y0)为直线l与y轴的交点,则得到的直线方程即为斜截式方程,因此斜截式方程为点斜式方程的特殊情况.
(2)当直线与x轴垂直时,斜率不存在,不能用直线的斜截式方程表示.因此,斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线.
(3)斜截式方程y=kx+b的特点
左端y的系数恒为1,右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,截距实质上为直线与y轴交点的纵坐标,直线与y轴的交点与原点的距离为|b|.
变式训练2[北师大版教材习题]已知直线的斜率是-2,写出在y轴上的截距分别为-1,0,1,2的直线的方程,并在同一平面直角坐标系中画出图形,观察这些直线,指出方程y=-2x+b所表示的直线具有的与b取值无关的特征.
解 直线的方程依次为y=-2x-1,y=-2x,y=-2x+1,y=-2x+2.
在同一平面直角坐标系中画出这些直线如图.
无论b取何值,方程y=-2x+b表示的直线倾斜角不变,且互相平行.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.已知直线的方程是y+2=-x-1,则( )
A.直线经过点(-1,2),斜率为-1
B.直线经过点(2,-1),斜率为-1
C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1
D.直线经过点(-2,-1),斜率为1
6
C
解析 由y+2=-x-1,得y+2=-(x+1),所以直线的斜率为-1,过点(-1,-2).
1
2
3
4
5
6
B
∴l在y轴上的截距为-9.
1
2
3
4
5
3.已知直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为( )
6
D
解析 ∵直线的倾斜角α=60°,
∴直线的斜率k=tan 60°= ,
又直线在y轴上的截距为-2,
∴直线的方程为y= x-2.
1
2
3
4
5
4.一次函数y=- x+2所表示直线的倾斜角为( )
A.30° B.150° C.120° D.60°
6
C
又0°≤α<180°,则α=120°.
故选C.
1
2
3
4
5
5.已知直线l过点P(2,1),且直线l的斜率为直线x-4y+3=0的斜率的2倍,则直线l的点斜式方程为 .
6
1
2
3
4
5
6.[北师大版教材例题]求经过A(-5,0),B(3,-3)两点的直线的方程.
6(共43张PPT)
第二章
2.6.2 双曲线的几何性质
课程标准
1.了解双曲线的简单几何性质(对称性、顶点、实轴长和虚轴长等);
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程;
3.双曲线几何性质的简单应用.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点
双曲线的几何性质
标准方程 =1 (a>0,b>0) =1(a>0,b>0)
图形
性 质 范围 y∈R x∈R
对称性 对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点 顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
轴 实轴:线段 ,长: ; 虚轴:线段 ,长: ; 半实轴长: ,半虚轴长: 渐近线 y=± x y=± x
离心率 e= ,e∈(1,+∞),其中c= a,b,c间的关系 c2= (c>a>0,c>b>0) x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
A1A2
2a
B1B2
2b
a
b
a2+b2
名师点睛
1.双曲线与椭圆的六个不同点:
曲线名称 双曲线 椭圆
曲线形状 两支曲线 封闭的曲线
顶点 两个顶点 四个顶点
轴 实、虚轴 长、短轴
渐近线 有渐近线 无渐近线
离心率 e>1 0a,b,c关系 a2+b2=c2 a2-b2=c2
2.等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直.( )
√
×
√
2.双曲线 =1的渐近线方程为( )
A.3x±4y=0 B.4x±3y=0
C. x±2y=0 D.9x±16y=0
A
3.[北师大版教材例题]求双曲线x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长.
5.一条直线与双曲线的一条渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点
解 双曲线的离心率e= 反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大.
4.双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响
解 1个.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 双曲线的几何性质
角度1.由双曲线方程研究其几何性质
【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
规律方法 由双曲线的方程求几何性质的一般步骤
变式训练1[北师大版教材习题]求下列双曲线的实轴和虚轴的长、焦点坐标、虚轴端点坐标、离心率和渐近线方程:
(1)6x2-10y2+60=0;
(2)20x2-25y2=500.
角度2.由双曲线的几何性质求标准方程
【例2】 根据以下条件,求双曲线的标准方程.
规律方法 1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.
2.当已知条件中告诉离心率e,通常用e2=1+ 进行转化.
变式训练2[人教A版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在x轴上,实轴长是10,虚轴长是8;
(2)焦点在y轴上,焦距是10,虚轴长是8;
(3)离心率e= ,经过点M(-5,3).
探究点二 双曲线的渐近线
角度1.共渐近线的双曲线的设法
【例3】 [北师大版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)渐近线方程为y=±2x,实轴长为2且焦点在x轴上;
规律方法 1.根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中,最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲线的渐近线方程.
变式训练3(1)[北师大版教材习题改编]双曲线4x2-9y2=k的渐近线方程为 .
2x±3y=0
(2)[人教A版教材习题改编]对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),求双曲线的标准方程.
角度2.双曲线焦点到渐近线的距离
【例4】 [北师大版教材习题]求双曲线 =1的焦点到其渐近线的距离.
解 由已知可得双曲线的一个焦点为F(5,0),一条渐近线方程为3x-4y=0,焦点到渐近线的距离为 =3.
C
探究点三 双曲线的离心率问题
A
A
解析 因为△ABF2为等边三角形,所以|AB|=|BF2|=|AF2|.因为A为双曲线右支上一点,所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a.因为B为双曲线左支上一点,所以|BF2|-|BF1|=2a,所以|BF2|=4a.由∠ABF2=60°,得∠F1BF2=120°,在△F1BF2中,由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4acos 120°,得c2=7a2,则e2=7.
规律方法 求双曲线的离心率
(1)求双曲线的离心率的值或取值范围的方法
②列出含有a,b,c的齐次方程或不等式,借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程或不等式求解.
(2)求解时,若用到特殊几何图形,则可运用几何性质使问题简化.
变式训练5(1)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是( )
C
D
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为( )
6
C
解析 由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,
1
2
3
4
5
2.(多选题)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程
C.焦点到渐近线的距离为3
D.|PF|的最小值为2
6
AD
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
A
解析 ∵△OPQ为等边三角形,
∴c2-a2=3a2,∴c2=4a2,∴e2=4,∴e=2.故选A.
1
2
3
4
5
6
4
1
2
3
4
5
其中正确的说法有 .(把所有正确说法的序号都填上)
6
②④⑤
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
6.[人教A版教材习题]求经过点A(3,-1),并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程.
解 设等轴双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),由已知得32-(-1)2=λ,即λ=8,
∴所求方程为x2-y2=8,即 =1.(共27张PPT)
第二章
2.3.2 圆的一般方程
课程标准
1.掌握圆的一般方程及其特点;
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程;
3.能熟练地指出圆心的位置和半径的大小;
4.能根据某些具体条件,用待定系数法确定圆的方程,并能解决相关实际问题;
5.了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
圆的一般方程
圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,限制条件是 .
过关自诊
已知方程x2+y2+x+y+m=0表示一个圆,则实数m的取值范围为 .
D2+E2-4F>0
解析 由已知得1+1-4m>0,得m< .
知识点2
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
条件 图形
D2+E2-4F<0 不表示任何图形
D2+E2-4F=0 表示一个点
D2+E2-4F>0 表示以 为圆心,为半径的圆
名师点睛
圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.
(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.
过关自诊
[人教A版教材习题]判断下列方程分别表示什么图形,并说明理由:
(1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x+4y-6=0.
解 (1)方程x2+y2=0表示一个点(0,0).
(2)方程x2+y2-2x+4y-6=0可化为(x-1)2+(y+2)2=11,故表示圆心坐标是(1,-2),半径是 的圆.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 判断圆的方程
【例1】 [北师大版教材例题]讨论方程λ(x2+y2)=(x-3)2+y2表示的是怎样的图形.
解 将原方程整理为(λ-1)x2+(λ-1)y2+6x-9=0.①
当λ=1时,方程①是一元一次方程6x-9=0,表示与x轴垂直的直线.
当λ<0时,方程②无解,故原方程不表示任何图形;
规律方法 判断方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆的方法
变式训练1[人教A版教材习题]判断方程x2+y2+2ax-b2=0表示什么图形,并说明理由.
解 方程x2+y2+2ax-b2=0可化为(x+a)2+y2=a2+b2.
当a2+b2≠0时,原方程表示圆心坐标是(-a,0),半径是 的圆;
当a2+b2=0,即a=0且b=0时,方程x2+y2+2ax-b2=0表示一个点(0,0).
探究点二 求圆的一般方程
【例2】 已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程;
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求实数a的值.
解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意,得
故△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.
变式探究若本例中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程
规律方法 应用待定系数法求圆的方程时应注意的问题
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,那么一般采用圆的标准方程,用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那么一般采用圆的一般方程,用待定系数法求出常数D,E,F.
变式训练2[北师大版教材习题]已知圆经过A(0,2),B(-1,1)两点,且圆心在直线x+2y-1=0上,求圆的方程.
所以圆的方程为x2+y2-2x-4=0.
探究点三 求动点的轨迹方程问题
【例3】 如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.
解 设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0).因为点C的坐标是(4,3)且C是
把①代入②,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,
整理得(x-9)2+(y-6)2=4,
所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4.
规律方法 与圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决,解决的方法可以是直接法、定义法、相关点代入法等.
(1)直接法:根据题设,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式;
(2)定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出点的轨迹方程;
(3)相关点代入法:若动点P(x,y)因为已知圆上的另一动点Q(x1,y1)而运动,且x1,y1可用x,y表示,则用x,y表示出x1,y1,并将点Q的坐标代入已知圆的方程,求得动点P的轨迹方程.
变式训练3已知点P在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上运动,求线段OP(O为坐标原点)的中点M的轨迹方程.
解 (方法一)设点M(x,y),点P(x0,y0),
(方法二)设点M的坐标为(x,y),连接OC,PC,取线段OC的中点A,连接MA.
圆C的方程可化为(x-4)2+(y-3)2=4,圆心C(4,3),|CP|=2,则点A的坐标为
如图所示,在△OCP中,M,A分别是OP,OC的中点,则|MA|= |CP|,即|MA|=1.
又当O,C,P三点共线时,|MA|=1,所以点M的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
1.若圆的一般方程为x2+y2+6x+6=0,则该圆的圆心坐标和半径分别是( )
D
1
2
3
4
2.[2023江西万载高一阶段练习]直线l经过圆C:x2+y2-2x+2y+1=0的圆心C,
A
1
2
3
4
解析 整理圆的方程可得(x-1)2+(y+1)2=1,
∴圆心C(1,-1).
1
2
3
4
3.若x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是 .
1
2
3
4
4.经过点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的一般方程为 .
x2+y2+6x-2y-15=0
解析 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,
所以圆的一般方程是x2+y2+6x-2y-15=0.(共68张PPT)
第二章
本章总结提升
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
目录索引
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
专题一 求曲线的方程
角度1.待定系数法求曲线的方程
待定系数法求曲线方程是求曲线方程的最常用的方法,首先要牢记各类曲线方程的形式,并根据题目中已知条件选择合适的形式设出方程,如求直线的方程多设点斜式和斜截式,圆的方程需要选择标准方程还是一般方程,椭圆、双曲线、抛物线需要根据焦点位置进行选择.
【例1】 (1)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
C
解析 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,
则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.
令x=0得y2+4y-20=0.
设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得
(2)已知双曲线的渐近线方程是y=± x,且双曲线经过点M(4,3),则双曲线的标准方程为 .
规律方法
变式训练1(1)(多选题)下列说法正确的是( )
A.直线y=ax-2a+1必过定点(2,1)
B.直线3x-2y+4=0在y轴上的截距为-2
ACD
解析 2a-2a+1=1,所以点(2,1)在直线上,A正确;
对3x-2y+4=0,令x=0,得y=2,直线3x-2y+4=0在y轴上的截距为2,B错误;
设直线l的方程为ax+by+c=0,沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后得a(x+3)+b(y-2)+c=0,即ax+by+c+3a-2b=0,它就是
(2)求经过点A(-2,-4)且与直线l:x+3y=26相切于点B(8,6)的圆C的一般方程.
解 设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为点A(-2,-4),B(8,6)在圆C上,CB⊥l,
故圆C的一般方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
角度2.求轨迹的方程
求轨迹的方程时多数先通过数形结合的方法判断所求曲线是否满足圆锥曲线的定义,如果满足可用定义法求解,如果无法判断可用直接法求解,注意检验.
【例2】 (1)已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.
(2)设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.
(1)解 ∵|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,
|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的一支.又c=7,a=1,b2=48,故点F的轨迹方程是y2- =1(y≤-1).
当a=1时,P点的轨迹为直线x=0,即y轴.
规律方法
变式训练2过双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程.
解 设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则点N的坐标为(2x-x1,2y-y1).
因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x1+2y-y1=2.①
又因为PQ垂直于直线x+y=2,
将③④代入⑤,得动点P的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0.
专题二 圆锥曲线的性质
角度1.圆锥曲线中的最值与范围问题
【例3】 已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(3)求y-x的最大值和最小值.
解 (1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.
∵直线MQ与圆C有交点,
(3)设y-x=b,则x-y+b=0.
当直线y=x+b与圆C相切时,截距b取到最值,
∴b=9或b=1.
∴y-x的最大值为9,最小值为1.
规律方法 求圆锥曲线范围(最值)问题的策略
(1)数形结合的思想,将代数式转化为其几何意义,多考查距离、倾斜角、斜率、截距等.
(2)化归转化的思想,借助圆锥曲线的定义将问题进行变形转化.
变式训练3(1)若椭圆C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上一动点,则下列说法中不正确的是( )
A.当点P不在x轴上时,△PF1F2的周长是6
B.当点P不在x轴上时,△PF1F2面积的最大值为
C.存在点P,使PF1⊥PF2
D.|PF1|的取值范围是[1,3]
C
对于选项A,根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=4,又|F1F2|=2c=2,所以△PF1F2的周长是2a+2c=6,故选项A正确.
对于选项C,由椭圆性质可知,当点P为椭圆C短轴的一个端点时,∠F1PF2为最大,此时,|PF1|=|PF2|=a=2,
又|F1F2|=2,则△PF1F2为正三角形,∠F1PF2=60°,所以不存在点P,使PF1⊥PF2,故选项C错误.
对于选项D,由椭圆的性质可知,当点P为椭圆C的右顶点时,|PF1|取最大值,此时|PF1|=a+c=3;
当点P为椭圆C的左顶点时,|PF1|取最小值,此时|PF1|=a-c=1,所以|PF1|∈[1,3],故选项D正确.故选C.
ABD
角度2.离心率问题
离心率问题是圆锥曲线中考查的热点问题,多与焦点、渐近线相结合考查,只要掌握好基本的公式和概念,充分理解题意,大都可以顺利求解,求解过程中注意数形结合方法的应用.
【例4】 (1)已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线x2=2py(p>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥y轴,则双曲线的离心率为( )
B
解析 因为双曲线与抛物线有相同的焦点,所以2c=p.①
设双曲线的另一焦点为F1,则AF=p,FF1=p,
D
规律方法
解析 如图所示.根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cos∠ABF,即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8.
又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|·|BF|cos∠ABF,得|OF|=5.
根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7.
(2)点P是双曲线 =1(a>0,b>0)和圆x2+y2=a2+b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1和F2是双曲线的两个焦点,则双曲线的离心率为 .
解析 由圆x2+y2=a2+b2,得x2+y2=c2,
∴圆过焦点F1和F2.
∴∠F1PF2=90°.
又2∠PF1F2=∠PF2F1,
专题三 位置关系的判断
直线与圆锥曲线位置关系的判断可通过联立直线方程和圆锥曲线方程而成的方程组,通过确定方程组解的个数来判断其位置关系,一般转化为消元之后的Δ,通过Δ的取值范围来确定.特别地,对于直线与圆,圆与圆的位置关系多用几何法判断.
【例5】 (1)直线y=x+1与椭圆 =1的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
A
解析 (方法一)联立直线与椭圆的方程得 消去y得9x2+10x-15=0, Δ=100-4×9×(-15)>0,所以直线与椭圆相交.
(方法二)直线过点(0,1),而0+ <1,即点(0,1)在椭圆内部,所以可推断直线与椭圆相交.
C
规律方法 弦长公式
B
(2)(多选题)以下四个命题表述正确的是( )
A.直线mx+4y-12=0(m∈R)恒过定点(0,3)
B.圆C:x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线4x-3y+3=0的距离为2
C.圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y2-4x-8y+4=0恰有三条公切线
D.两圆x2+y2+4x-4y=0与x2+y2+2x-12=0的公共弦所在的直线方程为x+2y+6=0
AC
解析 对于A选项,当x=0时,y=3,所以直线过定点(0,3),故A选项正确;
对于B选项,圆C的圆心为(1,4),到直线4x-3y+3=0的距离为 =1,故B选项错误;
对于C选项,圆C1的圆心为(-1,0),半径r1=1;圆C2的圆心为(2,4),半径r2=4,
专题四 圆锥曲线的综合应用
圆锥曲线的综合应用多涉及弦长、焦点弦及弦中点、取值范围等问题,其中定点、定值问题,探究性问题是热点问题.
角度1.定点问题
【例6】 已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点,且直线AC和直线BC的斜率之积
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.
(2)(方法一)易知直线l的斜率存在,设直线l:y=kx+m.联立得方程组
消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
依题意得Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,
即3+4k2=m2.
又Q(4,4k+m),设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,
综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).
即x0(1-t)+t2-4t+3=0.
由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1.
综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).
规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
变式训练6已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点A(1,2)为抛物线C上一点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点B(1,-2)在抛物线C上,过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ,若kBP·kBQ=-2,求证:直线PQ过定点.
(1)解 若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=ax,代入点A(1,2),可得a=4,所以抛物线方程为y2=4x.若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线方程为
(2)证明 因为点B(1,-2)在抛物线C上,所以由(1)可得抛物线C的方程是y2=4x.
易知直线BP,BQ的斜率均存在,设直线BP的方程为y+2=k(x-1),将直线BP的方程代入y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4k+4)x+(k+2)2=0.
在上述方程中,令x=3,解得y=2,
所以直线PQ恒过定点(3,2).
角度2.定值问题
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值,并说明理由.
②当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+b.
消去y并整理得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,
其中Δ=(8kb)2-4(4k2+1)(4b2-4)=16(1+4k2-b2)>0,即b2<1+4k2,
综合①②,△POQ的面积S为定值1.
规律方法 圆锥曲线中定值问题的两大解法
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
(2)引起变量法:其解题流程为
(1)求实数a的值;
(2)求证:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值,并求出此定值.
角度3.最值问题
【例8】 已知点A(4,-2),F为抛物线y2=8x的焦点,点M在抛物线上移动,当|MA|+|MF|取最小值时,点M的坐标为( )
D
解析 如图,过点M作抛物线的准线l的垂线,垂足为E.由抛物线的定义知|MF|=|ME|.当点M在抛物线上移动时,|ME|+|MA|的值在变化,显然当M移到M'时,A,M',E'三点共线,|M'E'|+|M'A|最小,此时AM'∥Ox.把y=-2代入
【例9】 已知F1,F2为椭圆x2+ =1的两个焦点,AB是过焦点F1的一条动弦,求△ABF2面积的最大值.
解 由题意,知|F1F2|=2.经分析,当直线AB的斜率不存在时,不满足题意.故设直线AB的方程为y=kx+1,代入椭圆的方程2x2+y2=2,得
规律方法 与圆锥曲线有关的最值问题,大都是些综合性问题,解法灵活,技巧性强,涉及代数、三角、几何诸方面的知识,这类问题的求解策略与方法如下:
(1)平面几何法.
平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解.
(2)目标函数法.
建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,是常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数.
变式训练8长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则点M到y轴的最短距离为 .
1
解析 如图,抛物线y2=2x的准线为l:x=- ,过A,B,M分别作AA',BB',MM'垂直于l,垂足分别为A',B',M'.由抛物线定义,知|AA'|=|FA|,|BB'|=|FB|.
又M为AB中点,由梯形中位线定理,得
角度4.探索性问题
线段为RS,当l⊥x轴时,|RS|=3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)在x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称 若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)当直线l垂直于x轴时,显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称.
当直线l不垂直于x轴时,假设存在T(t,0)满足条件,设l的方程为y=k(x-1), R(x1,y1),S(x2,y2).
即2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0,③
将①代入③得
则t=4,综上所述,存在T(4,0),使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称.
规律方法 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.
变式训练9已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为 ,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与AB相交于一点(交点位于线段AB上,且与A,B不重合).
(1)求曲线E的方程;
(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值 若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),由条件可得|AB|= .
当m=0时,显然不合题意.
当m≠0时,∵直线l与圆x2+y2=1相切,
等号成立.
∵直线l与线段AB有交点,(共39张PPT)
第二章
2.4 曲线与方程
课程标准
1.了解曲线的方程与方程的曲线的概念,明确曲线的点集和方程解集间的一一对应关系,并能根据点的坐标是否适合方程,来判断该点是否在曲线上;
2.能够通过求方程组的解,来确定曲线的交点;
3.能够根据曲线的已知条件求曲线的方程及根据曲线的方程研究曲线的性质的方法.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
曲线的方程与方程的曲线的定义
在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:
(1) ;
(2) .
则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.
曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解
以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
名师点睛
1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”,称为纯粹性.
2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.
过关自诊
1.方程y= 表示的曲线是( )
A.一条直线 B.圆
C.半圆 D.不表示任何图形
C
2.若曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程,则曲线上的点集与方程的解集之间是一一对应关系吗
解 ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.它阐明的含义是适合方程的所有点都在曲线上,即没有遗漏的点.所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多,一个也不少,即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系.
知识点2
求两曲线的交点
方法与求两直线的交点类似
曲线F(x,y)=0与G(x,y)=0是否有交点的问题,可以转化为方程组
是否有 的问题.
过关自诊
直线y=x+1与圆x2+y2=1的交点坐标为 .
实数解
(-1,0)和(0,1)
知识点3
求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质
(1)点的轨迹方程
曲线一般都可以看成 的轨迹,所以曲线的方程也常称为 的点的轨迹方程.
(2)求动点M轨迹方程的一般步骤:
①设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系,需先建立);
②写出M要满足的几何条件,并将该几何条件用M的坐标表示出来;
③化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程.
动点依某种条件运动
满足某种条件
名师点睛
求轨迹方程时第一步建系的说明
建系时对哪个点是原点,哪条直线为坐标轴没有硬性的要求.一般情况下,建立的坐标系方便于下一步写点的坐标,求出的曲线方程越简洁,说明建立的坐标系越合理.
过关自诊
1.[北师大版教材习题改编]已知曲线C:4x2-y2=0,说明曲线C是什么图形,并画出该图形.
解 4x2-y2=0可化为y=±2x,它表示两条直线,如图所示.
2.如何检验所求轨迹方程是否符合条件
解 检验可以从以下两个方面进行:一是方程的化简是否为同解变形;二是是否符合题目的实际意义.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 曲线与方程的概念问题
【例1】 如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,那么以下说法正确的是( )
A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C上
C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解
D.坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上
D
解析 由题意可知,曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x,y)=0的解构成的集合的子集,它包含两种情形:①真子集;②相等.据以上可知,选项A,B,C都是不正确的,只有选项D是正确的.
规律方法 1.曲线与方程的定义表明:曲线C的方程是F(x,y)=0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,并且以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点都在曲线C上,这是识别曲线和方程关系的基本依据.
2.判断点与曲线关系的方法
(1)从点的坐标角度
若点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上,则f(x0,y0)=0;或若f(x0,y0)≠0,则点M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲线C上.
(2)从方程的解的角度
若f(x0,y0)=0,则点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上;或若点M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲线C上,则f(x0,y0)≠0.
变式训练1方程(2x+3y-1)·( -1)=0表示的曲线是( )
A.两条直线
B.两条射线
C.两条线段
D.一条直线和一条射线
D
故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.
探究点二 求曲线的方程
角度1.用直接法求曲线的方程
【例2】 已知平面上两个定点A,B之间的距离为2a,点M到A,B两点的距离之比为2∶1,求动点M的轨迹方程.
解 如图所示,以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系.
由|AB|=2a,可设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).
因为|MA|∶|MB|=2∶1,
规律方法 直接法求曲线的方程的步骤
变式训练2若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则M点的轨迹围成区域的面积为( )
A.π B.2π C.3π D.4π
D
解析 以点A为坐标原点,射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系,如图,设点M(x,y),
(x-4)2+y2=4,于是得点M的轨迹是以点(4,0)为
圆心,2为半径的圆,其面积为4π,所以M点的轨
迹围成区域的面积为4π.故选D.
角度2.用定义法求曲线的方程
【例3】 已知圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.
解 如图,设OQ为过O点的一条弦,P(x,y)为其中点,连接CP,则CP⊥OQ.
规律方法 定义法求曲线方程的两种策略
(1)运用曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程.
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解.
变式训练3已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为 .
(x-10)2+y2=36(y≠0)
解析 由已知条件及中位线等几何知识可知,动点A满足到点(10,0)的距离等于定长6的条件,设顶点A的坐标为(x,y),因此可得(x-10)2+y2=36,考虑到构成△ABC,因此y≠0,所以所求方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).
角度3.用相关点法求曲线的方程
【例4】 动点M在曲线x2+y2=1上移动,M和定点B(3,0)连线的中点为P,求P点的轨迹方程.
解 设P(x,y),M(x0,y0),因为P为MB的中点,
变式探究本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“ ”,求P点的轨迹方程.
规律方法 “相关点法”的基本步骤
变式训练4长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,动点C(x,y)满足 ,求动点C的轨迹方程.
解 因为长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,故可设A(x0,0),B(0,y0).
所以(x-x0,y)=2(0-x,y0-y),即(x-x0,y)=(-2x,2y0-2y),
探究点三 求曲线的交点问题
【例5】 试讨论圆x2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4(k为参数)交点的个数.
规律方法 已知曲线C1和曲线C2的方程分别为F(x,y)=0,G(x,y)=0,则点P(x0,y0)是曲线C1,C2的交点 点P的坐标(x0,y0)满足方程组 方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个不同的交点;方程组没有实数解,两条曲线就没有交点.
变式训练5[人教A版教材习题]求圆心在直线x-y-4=0上,并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程.
解 设圆x2+y2+6x-4=0和圆x2+y2+6y-28=0相交于点A,B,解方程组
所以A(-1,3),B(-6,-2).
因此,弦AB的垂直平分线的方程是x+y+3=0.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
A.一条射线
B.一个圆
C.两条射线
D.半个圆
6
D
1
2
3
4
5
2.已知点A(-1,0),B(1,0),且 =0,则动点M的轨迹方程是( )
A.x2+y2=1
B.x2+y2=2
C.x2+y2=1(x≠±1)
D.x2+y2=2(x≠± )
6
A
1
2
3
4
5
3.点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a= .
6
解析 将点P的坐标代入方程中即可求得a= .
1
2
3
4
5
4.平面直角坐标系中,已知A,B分别为坐标轴上的动点且|AB|=5,若线段AB的中点为M(x,y),则动点M的轨迹方程为 .
6
1
2
3
4
5
5.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若 ,则点P的轨迹方程为 .
6
y=2x
∵点R(x1,y1)在直线y=2x-4上,
∴y1=2x1-4,∴-y=2(2-x)-4,即y=2x.
1
2
3
4
5
6.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程.
6
(x-5)2+y2=16,
故此曲线的方程为(x-5)2+y2=16.(共34张PPT)
第二章
2.7.1 抛物线的标准方程
课程标准
1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念,明确p的几何意义;
2.掌握抛物线的标准方程及其推导,能根据条件求标准方程;
3.能用抛物线方程解决一些相关实际问题.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
抛物线的定义
定点F
定直线l
过关自诊
1.定义中为什么加上条件“l不过F”
解 若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线,而不是抛物线.
2.[北师大版教材习题] 如图,动圆P过定点A,且与定直线l相切,请指出圆心P的轨迹是什么,并说明理由.
解 圆心P的轨迹是以A为焦点,以l为准线的抛物线,理由是点P到定点A与到定直线l(不过点A)的距离相等,符合抛物线的定义.
知识点2
抛物线的标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)抛物线的焦点到准线的距离是p.( )
(2)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
2.抛物线的准线为直线x=-4,则抛物线的标准方程为( )
A.x2=16y B.x2=8y
C.y2=16x D.y2=8x
√
√
C
3.[人教A版教材习题改编]抛物线x2= y的焦点坐标是 ,准线方程是 .
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线,那么抛物线对应的方程一定是二次函数吗
解 抛物线对应的方程不一定是二次函数.如y2=4x是抛物线,但不是函数,更不是二次函数.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求抛物线的标准方程
【例1】 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-1);
解 因为点(-3,-1)在第三象限,
所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),
解 对于直线方程3x-4y-12=0,
令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,
所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).
当焦点为(0,-3)时, =3,所以p=6,
此时抛物线的标准方程为x2=-12y;
当焦点为(4,0)时, =4,所以p=8,
此时抛物线的标准方程为y2=16x,
故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
规律方法 1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2.注意事项:当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
变式训练1[北师大版教材习题]根据下列条件求抛物线的标准方程:
(1)准线方程为y=- ;
(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6.
解 (1)x2=6y;
(2)y2=12x或y2=-12x.
探究点二 抛物线定义的应用
【例2】 (1)已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时P点坐标.
(2)平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
(方法二)由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,则当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,直线x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).
变式探究若将例2(1)中的点A(3,2)改为点(0,2),求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
规律方法 1.抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等.
2.解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.
变式训练2(1)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解 设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以直线y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.
(2)[北师大版教材例题]已知抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为5,求点P的坐标.
解 (方法一)由抛物线方程y2=4x,可得焦点F(1,0).
所以点P的坐标为(4,4)或(4,-4).
(方法二)设点P的坐标为(x0,y0),由点P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,得 =4x0.
由抛物线方程y2=4x,可得其准线方程为x=-1.
由点P到焦点F的距离为5可知,点P到抛物线的准线的距离也为5,即
x0-(-1)=5,解得x0=4.
将x0=4代入y2=4x,得 =16,即y0=±4.
所以点P的坐标为(4,4)或(4,-4).
探究点三 抛物线的实际应用
【例3】 河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的部分高0.75 m,问:水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少时,小船开始不能通航
解 如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.
当船面两侧和抛物线接触时,船开始不能通航,设此时船面宽为AA',则
又知船露出水面上的部分高为0.75 m,所以h=|yA|+0.75=2(m),所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时,小船开始不能通航.
规律方法 首先确定与实际问题相匹配的数学模型是解决问题的关键.此问题中拱桥是抛物线型,因此可考虑利用抛物线的有关知识解决此问题,其操作步骤可概括为:
(1)建系:建立适当的坐标系;(2)假设:设出合适的抛物线标准方程;(3)计算:通过计算求出抛物线的标准方程;(4)求解:求出需要求出的量;(5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.
变式训练3[人教A版教材习题]如图,吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段,宽为7 m,高为0.7 m.根据图中的坐标系,求这条抛物线的方程.
解 设所求抛物线的方程为x2=2py(p>0),
依题意,知点B(3.5,0.7)在抛物线上,将点B的坐标代入方程x2=2py,得3.52=2p×0.7,解得2p=17.5,
∴所求抛物线的方程为x2=17.5y.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离相等,则P点的轨迹是
( )
A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线
6
A
1
2
3
4
5
2.已知点P到点F(0,1)的距离比它到直线l:y+2=0的距离小1,则点P的轨迹方程为( )
A.x2=-4y B.x2=4y
C.y2=-4x D.y2=4x
6
B
解析 由题意,点P到点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离,则点P的轨迹是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,则点P的轨迹方程为x2=4y,故选B.
1
2
3
4
5
3.一抛物线型拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽2 m,若水面下降4 m,则水面宽度为( )
6
B
解析如图所示,建立直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0).
∵当水面离拱顶2 m时,水面宽2 m,则B(1,-2),
1
2
3
4
5
4.抛物线y2=-2x的准线方程为 .
6
解析 由抛物线方程可得p=1,开口向左,则准线方程为x= .
1
2
3
4
5
5.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .
6
2
解析 如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为到点F的距离,由图可知,距离和的最小值,即F到直线l1的距离d= =2.
1
2
3
4
5
6.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.
(1)准线方程为y= ;
(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5.
6
(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0).由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.(共30张PPT)
第二章
2.2.4 点到直线的距离
课程标准
1.能用向量工具推导点到直线的距离公式;
2.掌握点到直线、两条平行直线之间的距离公式;
3.能用两个距离公式解决有关距离问题.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
点到直线的距离
(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.
该公式适用平面内点到任意一条直线的距离
(2)图示:
(3)公式:d= .
名师点睛
1.运用此公式时要注意直线方程必须是一般式方程,若给出其他形式,应先化成一般式方程再用公式.
2.当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.
3.当用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在的情况.
过关自诊
1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是( )
2.[北师大版教材习题]原点到直线3y-5=0的距离为 .
C
知识点2
两条平行直线之间的距离
(1)定义:两条平行线之间的距离,等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
(2)图示:
(3)求法:可以转化为点到直线的距离,也可以直接套用公式.
(4)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0(A2+B2≠0)与l2:Ax+By+C2=0之间的
距离d= .
名师点睛
1.把直线方程化为直线的一般式方程;
2.两条直线方程中x,y的系数必须分别相等.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)一条直线被两条平行线所截,截得的线段的长为这两条平行线间的距离.( )
(2)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( )
2.[人教A版教材习题]两条平行直线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0间的距离是 .
×
√
3.直线x-2y-1=0与直线x-2y-C=0的距离为2 ,则C的值为( )
A.9 B.11或-9
C.-11 D.9或-11
B
重难探究·能力素养全提升
探究点一 点到直线的距离
【例1】 [北师大版教材例题]求点P(-2,1)到下列直线的距离:
(1)3x+4y-1=0;
(2)y=2x+3;
(3)2x+5=0.
(2)直线方程y=2x+3可化为一般式2x-y+3=0.
规律方法 1.应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式方程,若给出其他形式应化为一般式方程.
(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.
(3)直线方程Ax+By+C=0,当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
2.用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.
变式训练1已知A(-2,0),B(4,a)两点到直线l:3x-4y+1=0的距离相等,则a=( )
D
解析 因为A(-2,0),B(4,a)两点到直线l:3x-4y+1=0的距离相等,所以有
探究点二 两条平行直线之间的距离
【例2】 (1)已知两平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则l1与l2间的距离为 .
(2)直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为 .
(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则直线l的方程为 .
2x-y+1=0
解析 设直线l的方程为2x-y+C=0.
∴直线l的方程为2x-y+1=0.
规律方法 求两条平行直线之间的距离,一般是直接利用两条平行直线之间的距离公式,当直线l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d= ;当直线l1:Ax+By+C1=0(A2+B2≠0),l2:Ax+By+C2=0,且C1≠C2时,d= .但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等.
变式训练2(1)直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离为( )
A
(2)已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是 .
x+2y-3=0
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.点(1,-1)到直线y=1的距离是( )
6
D
1
2
3
4
5
2.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为( )
6
B
1
2
3
4
5
3.已知直线l过原点O,且点A(1,0),B(3,2)到直线l的距离相等,则直线l的方程为( )
A.x-y=0
B.x-2y=0
C.x+y=0或x+2y=0
D.x-y=0或x-2y=0
6
D
解析 直线过原点,并且选项中的直线的斜率都是存在的,故设所求直线的方程为kx-y=0.
1
2
3
4
5
4.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是 .
6
(5,-3)
解析 由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小.
1
2
3
4
5
5.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为 ,它们之间的距离为 .
6
-1
解析 由m(m-2)-3=0,解得m=3或m=-1.
经过验证,m=3时两条直线重合,舍去.∴m=-1.
1
2
3
4
5
6.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.
6
解 (方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.
又直线l在y轴上的截距为2,
则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.
由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,
∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.
1
2
3
4
5
6
(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.
∵线段AB的中点是(-1,1),且直线l过点P(0,2),
∴直线l的方程是x-y+2=0.
当直线l∥AB时,A,B两点到直线l的距离相等.
∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,
∴直线l的方程为y=2.
综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.(共35张PPT)
第二章
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
课程标准
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念;
2.经历用代数的方法刻画直线斜率的过程;
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题;
4.理解直线的方向向量和法向量的概念,并能找出其与直线斜率和倾斜角的内在联系.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
直线的倾斜角
一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点 旋转到与直线重合时所转的
记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为0°.直线倾斜角的范围是0°~180°(即[0,π)).
名师点睛
1.任意一条直线都有唯一的倾斜角α,但倾斜角为α的直线有无数多条.
2.一般地,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,直线l的倾斜角为θ,当y1=y2时(此时必有x1≠x2),θ=0°;当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ=90°.
按逆时针方向
最小正角
过关自诊
1.(多选题)下列说法中,正确的是( )
A.直线的倾斜角为0°,则此直线与x轴平行
B.一条直线的倾斜角为-30°
C.若直线的倾斜角为α,则sin α≥0
D.任意直线都有倾斜角α,且α=90°时,直线与x轴垂直
2.直线y=x的倾斜角为 .
CD
45°
知识点2
直线的斜率
(1)一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k= 为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率不存在.
对应θ=90°
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的斜率为k= .
当x1=x2时,直线l的斜率不存在.
tan θ
名师点睛
斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角 (范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°
斜率 (范围) k=0 k>0 不存在 k<0
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率.( )
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )
(3)倾斜角为α的直线不唯一.( )
(4)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.( )
×
×
√
×
2.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A.(4,2)与(-4,1)
B.(0,3)与(3,0)
C.(3,-1)与(2,-1)
D.(-2,2)与(-2,5)
D
解析 选项D中,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,即斜率不存在.
知识点3
直线的方向向量和直线的法向量
概念 定义 符号表示
直线的方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量 a∥l
直线的法向量 如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量 v⊥l
名师点睛
直线的方向向量和法向量与斜率k(倾斜角θ)的关系
(1)直线的方向向量不唯一,有无数多个,这些方向向量共线,(1,k)是其中一个,由向量垂直可知,(k,-1)是直线的一个法向量;
(2)一般地,当直线的倾斜角为θ时,(cos θ,sin θ)是直线的一个方向向量.
过关自诊
已知直线l:y=3x+1,你能给出这条直线的一个方向向量a和一个法向量v吗 该直线的斜率是多少
重难探究·能力素养全提升
探究点一 直线的倾斜角
【例1】 (1)下列说法正确的是( )
A.一条直线和x轴的正方向所成的角,称为这条直线的倾斜角
B.直线的倾斜角α在第一象限或第二象限
C.和x轴平行的直线,它的倾斜角为0°
D.不是每一条直线都有倾斜角
C
解析 由倾斜角的定义可知,A错误;倾斜角的范围是0°~180°,故B错误;和x轴平行的直线的倾斜角是0°,故C正确;每条直线都有倾斜角,故D错误.
(2)已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
C
解析 直线倾斜角的取值范围是[0,π).
又因为直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角α的取值范围是
规律方法 求直线的倾斜角的方法及注意点
(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)两点注意:
①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°;
②注意直线倾斜角的取值范围.
变式训练1已知直线l的倾斜角为θ-25°,则角θ的范围为( )
A.25°≤θ<155°
B.-25°≤θ<155°
C.0°≤θ<180°
D.25°≤θ<205°
D
解析 因为直线l的倾斜角为θ-25°,
所以0°≤θ-25°<180°,所以25°≤θ<205°.
探究点二 直线的斜率和倾斜角的关系
【例2】 已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1
(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°
(2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=2m,所以m=1.
变式探究1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
解 因为直线l的倾斜角为锐角,所以直线的斜率大于0,即
故m的取值范围为(1,2).
变式探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何
解 (1)因为直线l的斜率是1,所以 =1,所以m=2.
(2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=3m,所以m= .
规律方法 通过本例的求解,一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对应关系,若直线斜率存在,则除了斜率公式之外还可以应用k=tan α(其中α为直线的倾斜角,k为直线的斜率),斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引起重视.
变式训练2(1)若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是 .
(-2,1)
解析 因为直线的倾斜角为钝角,
所以-2(2)求证:A(1,5),B(0,2),C(2,8)三点共线.
证明 (方法一)利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率,
因为直线AB和AC的斜率相同,且直线AB和AC过同一点A,所以A,B,C三点共线.
即|AB|+|AC|=|BC|,所以A,B,C三点共线.
探究点三 求直线的方向向量和法向量
【例3】 已知直线过点A(-1,-2),B(3,2),试求:直线的一个方向向量a,一个法向量v,斜率k与倾斜角θ.
解 根据方向向量的定义可知直线的一个方向向量为
=(3-(-1),2-(-2))=(4,4),
∴取a=(4,4).
再根据a与v垂直,因此取v=(4,-4).
直线的斜率k= =1,再由tan θ=k=1,得θ=45°.
综上可知,该直线的一个方向向量为(4,4),一个法向量为(4,-4),斜率为1,倾斜角为45°.
规律方法 1.求解一条直线的方向向量、法向量、斜率、倾斜角问题,一定要明确其定义.
2.利用相应的计算公式以及理解它们之间的内在联系,尤其是可以根据方向向量进而得出法向量,也可以根据方向向量求斜率.
变式训练3[北师大版教材习题]已知直线l的斜率为-2,求直线l的一个方向向量的坐标.
解 直线l的一个方向向量的坐标为(1,-2).
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.过点P(-2,m)和点Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
6
7
A
解析 由斜率公式,有1= ,得m+2=4-m,故m=1.
1
2
3
4
5
2.若直线l的斜率k=-2,又过点(3,2),则直线l也过点( )
A.(0,4) B.(4,0)
C.(0,-4) D.(-2,1)
6
7
B
1
2
3
4
5
3.(多选题)若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则下列四个命题是假命题的有( )
A.若α1<α2,则两直线的斜率k1B.若α1=α2,则两直线的斜率k1=k2
C.若两直线的斜率k1D.若两直线的斜率k1=k2,则α1=α2
6
7
ABC
1
2
3
4
5
4.直线y=- x+9的斜率为 ,一个方向向量为 ,倾斜角为 ,一个法向量为 .
6
7
120°
1
2
3
4
5
5.在y轴上有一点M,它与点(- ,1)连成的直线的倾斜角为60°,则点M的坐标为 .
6
7
(0,4)
解析 设点M的坐标为(0,y),则tan 60°= ,解得y=4,所以点M的坐标为(0,4).
1
2
3
4
5
6.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 的值等于 .
6
7
解析 因为2≠0,所以直线AC的斜率kAC存在.
1
2
3
4
5
7.已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,求直线l的斜率的取值范围.
6
7
解 如图所示,直线l与线段AB相交,只需直线l绕点P按逆时针从PB转到PA,即为直线l的范围.因为kPB= ,kPA=-4,但过点P且垂直于x轴的直线的斜率是不存在的,所以在旋转过程中,l的斜率由kPB变化到无穷大,此时倾斜角在增大.
当倾斜角转过90°时,斜率又由无穷小到kPA,
所以直线l的斜率的取值范围(共43张PPT)
第二章
2.6.1 双曲线的标准方程
课程标准
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程;
2.掌握双曲线的标准方程及其求法;
3.能用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题;
4.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
双曲线的定义
焦点的距离|F1F2|
名师点睛
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点P的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|PF1|与|PF2|的大小.
(1)若|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|>0,点P的轨迹是靠近定点F2的那一支;
(2)若|PF1|<|PF2|,则|PF2|-|PF1|>0,点P的轨迹是靠近定点F1的那一支.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.( )
(3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
×
×
×
2.在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<|F1F2|,则动点的轨迹是怎样的
解 ①当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
②当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
③当2a=0时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
知识点2
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 =1 =1
焦点
a,b,c的关系 b2=c2-a2 (a>0,b>0)
(a>0,b>0)
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
名师点睛
双曲线与椭圆的比较
曲线名称 椭圆 双曲线
定义 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) ||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|)
a,b,c的关系 b2=a2-c2 b2=c2-a2
标准方程 焦点在x轴上 =1(a>b>0) =1(a>0,b>0)
焦点在y轴上 =1(a>b>0) =1(a>0,b>0)
注意:在双曲线的标准方程中,a,b的大小关系不确定.
过关自诊
D
2.[北师大版教材例题改编]已知双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6,则双曲线的标准方程为 .
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求双曲线的标准方程
【例1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,再用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,则可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,简化求解过程.
变式训练1[北师大版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点为(2,0),(-2,0),且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2;
(2)焦点在y轴上,焦距为10,且经过点(0,4);
探究点二 双曲线定义的应用
【例2】 已知双曲线 -y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为 .
解析 如图,
由双曲线 -y2=1,得a2=3,b2=1,∴c2=a2+b2=4,则c=2,
则F2(2,0).
连接QF2交双曲线右支于P,
则此时|PQ|+|PF2|最小等于|QF2|.
∵Q的坐标为(-2,3),F2(2,0),
【例3】 已知F1,F2是双曲线 =1的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;
(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1||PF2|=32,试求△F1PF2的面积.
(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6.
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,
假设点M到另一个焦点的距离等于m,
则|16-m|=6,解得m=10或m=22,
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1||PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得
变式探究将例3(2)中的条件“|PF1||PF2|=32”改为“∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面积.
由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=6.
因为|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,
规律方法 求双曲线中距离的范围和焦点三角形面积的策略
(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a求解.
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;其次要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算.
模仿椭圆中焦点三角形的面积公式,可类似得到双曲线中焦点三角形的面
变式训练2(1)已知双曲线C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C的左支交于A,B两点,若|AB|=7,则△ABF2的周长为( )
A.16 B.30
C.38 D.60
B
解析 设|AF1|=m,|BF1|=n,由题意可得m+n=7,由双曲线的定义可得|AF2|=m+8,|BF2|=n+8,则△ABF2的周长是|AB|+|AF2|+|BF2|=m+n+(m+n)+16=16+2|AB|=16+2×7=30.故选B.
(2)若点P在曲线C1: =1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )
A.9 B.10 C.11 D.12
B
解析 在双曲线C1中,a=4,b=3,c=5,易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点,
记点F1(-5,0),F2(5,0),当|PQ|-|PR|取最大值时,P在
双曲线C1的左支上,所以|PQ|-|PR|≤|PF2|+1-
(|PF1|-1)=|PF2|-|PF1|+2=2a+2=10.故选B.
探究点三 与双曲线有关的轨迹问题
【例4】 (1)一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是( )
C
解析 动圆圆心为P,半径为r,已知圆N的半径为4.由题意知,|PM|=r,|PN|=r+4或r-4,所以||PN|-|PM||=4,即动点P到两定点的距离之差的绝对值为常数4,P在以M,N为焦点的双曲线上,且2a=4,2c=8,
(2)某飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方向.
解 因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.
以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.
规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,根据双曲线的定义,得出对应的方程.定义法求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.(3)实际应用问题还要注意实际意义以及该意义下隐藏的变量范围.
变式训练3(1)[人教A版教材例题]已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解 如图,建立平面直角坐标系Oxy,使A,B两点在x轴上,并且原点O与线段AB的中点重合.设炮弹爆炸点P的坐标为(x,y),则|PA|-|PB|=340×2=680,即2a=680,a=340.
又|AB|=800,所以2c=800,c=400,b2=c2-a2=44 400.
因为|PA|-|PB|=680>0,所以点P的轨迹是双曲线的
右支,因此x≥340.
(2)[人教A版教材习题]设动点M与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线
D.双曲线的一支和一条射线
D
解析 当a=3时,根据双曲线的定义及|PF1|>|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5时,设P(x,y),则 =10化简得y2=0,且x≥5,可知其轨迹与x轴部分重合.又因为|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|>|PF2|,所以应该是起点为(5,0),与x轴部分重合向x轴正方向延伸的射线.
1
2
3
4
5
A
|PF1|=3|PF2|,所以由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2|PF2|=4,解得|PF2|=2,|PF1|=6,显然有|PF1|2+|PF2|2=40=|F1F2|2,即△PF1F2是直角三角形,
1
2
3
4
5
3.已知方程 =1表示双曲线,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)
D
解得-11
2
3
4
5
4.[人教A版教材习题改编]双曲线 =1(a>0)的左、右两个焦点分别是F1与F2,焦距为8,M是双曲线上的一点,且|MF1|=5,则|MF2|的值为 .
9
解析 ∵2c=8,∴c=4.又c2=a2+b2,b2=12,∴a2=4,
当点M在双曲线左支上时,|MF1|≥2,由题意知|MF1|=5,∴这样的点存在.
又|MF2|-|MF1|=2a=4,∴|MF2|=|MF1|+4=9.
当点M在双曲线右支上时,|MF1|≥6,由题意知|MF1|=5,∴这样的点不存在.∴|MF2|的值为9.
1
2
3
4
5
5.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
(3)a=b,经过点(3,-1).
解 (1)由双曲线的定义知,2a=8,所以a=4.
又知焦点在x轴上,且c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9,所以双曲线的标准方程为
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
(3)当焦点在x轴上时,可设双曲线方程为x2-y2=a2,将点(3,-1)的坐标代入,得32-(-1)2=a2,所以a2=8,因此,所求的双曲线的标准方程为 =1.当焦点在y轴上时,可设双曲线方程为y2-x2=a2,将点(3,-1)的坐标代入,得(-1)2-32=a2, a2=-8,不可能,所以焦点不可能在y轴上.
综上,所求双曲线的标准方程为 =1.(共32张PPT)
第二章
2.7.2 抛物线的几何性质
课程标准
1.掌握抛物线的简单几何性质;
2.了解抛物线几何性质的简单应用;
3.理解四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同;
4.能用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
抛物线y2=2px(p>0)的几何性质
x≥0
离心率
1
过关自诊
抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些
解 抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,而椭圆和双曲线有中心.
知识点2
抛物线四种形式的标准方程及其性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
准线方程 x=- x= y=- y=
顶点坐标 O(0,0) 离心率 e=1 名师点睛
1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,
其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ;(4)焦点到准线的距离均为p.
其不同点:开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( )
(2)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )
√
√
2.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )
A.y2=8x
B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x
D.x2=8y或x2=-8y
C
解析 设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x= ,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4,∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.
3.[人教A版教材习题]填空题.
(1)准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ;
(2)抛物线y2=8x上与焦点的距离等于6的点的坐标是 .
y2=-8x
重难探究·能力素养全提升
探究点一 抛物线的几何性质的应用
【例1】 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是( )
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45°.
(2)[人教A版教材习题]抛物线y2=2px(p>0)上一点M与焦点F的距离|MF|=2p,求点M的坐标.
解 设M(x0,y0)是抛物线上满足条件的点,由题意知,抛物线y2=2px(p>0)的
规律方法 研究抛物线的几何性质要从三个方面入手:
(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
变式训练1已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
解 (1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.
(2)由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M(图略).
探究点二 抛物线中弦长问题
【例2】 [人教A版教材例题]斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解 由题意可知,p=2, =1,焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B两点到准线的距离分别为dA,dB,由抛物线的定义,可知|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.
因为直线l的斜率为1,且过焦点F(1,0),所以直线l的方程为y=x-1.①
将①代入方程y2=4x,得(x-1)2=4x,化简,得x2-6x+1=0.
所以x1+x2=6,|AB|=x1+x2+2=8,所以,线段AB的长是8.
变式探究1将条件中“斜率为1”改为“垂直于x轴”,求线段AB的长.
解 因为焦点坐标为(1,0),p=2,则|AB|=4.
变式探究2[人教A版教材习题]过点M(2,0)作斜率为1的直线l,交抛物线y2=4x于A,B两点,求|AB|.
解 直线l的方程为y-0=1·(x-2),即y=x-2.
与抛物线的方程联立,消去y,得x2-8x+4=0.
设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系,得xA+xB=8,xAxB=4,
规律方法 求抛物线弦长问题的方法
(1)一般弦长公式
(2)焦点弦长
设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.
(3)解决焦点弦问题时,应注意焦点弦的几何性质.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题,注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算.
A
解析 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,设点A(x1,y1),B(x2,y2),依题意,x1-(-1)=3,解得x1=2,显然,直线l的斜率存在且不为0,设其方程为
探究点三 与抛物线有关的最值问题
【例3】 (1)[北师大版教材习题]已知点P在抛物线y2=-4x上,求点P到椭圆
解 设P(x,y),由已知可得椭圆的左顶点为A(-4,0),所以|PA|2=(x+4)2+y2=x2+4x+16=(x+2)2+12≥12,当x=-2时,|PA|取得最小值2 .
(2)求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.
解 (方法一)设A(t,-t2)为抛物线上的点,则点A到直线4x+3y-8=0的距离
(方法二)如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为4x+3y+m=0,
规律方法 1.求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路:
一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决.
二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得.
2.建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法.
变式训练3已知P为抛物线y= x2上的动点,P在x轴上的射影为H,点A的坐标为(12,6),则|PA|+|PH|的最小值是( )
A.13 B.12 C.11 D.10
B
解析 化抛物线y= x2为标准形式x2=4y,得它的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,
延长PH交准线于G,连接PF,根据抛物线的定义,得|PA|+|PH|=|PA|+|PG|-1 =|PA|+|PF|-1.∵|PA|+|PF|≥|AF|,
∴当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
1.若抛物线x=-my2(m≠0)的焦点到准线的距离为2,则m=( )
D
1
2
3
4
2.已知抛物线y=4x2上一点P到焦点的距离为1,则点P的纵坐标为( )
C
1
2
3
4
3.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C
3
解析 设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得|QF|=d.
1
2
3
4
4.[人教A版教材习题]点M(m,4)在抛物线y2=24x上,F为焦点,直线MF与准线相交于点N,求|FN|.
又抛物线的准线方程为x=-6,②
直线MF与直线x=-6相交于点N,则xN=-6,把②代入①中,得y=9,∴N(-6,9).(共38张PPT)
第二章
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
课程标准
1.理解直线与圆锥曲线的三种位置关系;
2.能用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题;
3.掌握数形结合思想的应用.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.
(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.
如消去y后得ax2+bx+c=0.
①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).
②若a≠0,设Δ=b2-4ac.
Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;
Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;
Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
过关自诊
1.直线y=x+1与椭圆x2+ =1的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
C
因为Δ=22+12=16>0,所以直线与椭圆相交.
2.椭圆与圆类似,是封闭曲线,能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系
解 不能.椭圆虽然与圆类似,但中心到椭圆上各点的距离不完全相等.
知识点2
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长
(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用轴上两点间距离公式直接运算.
过关自诊
顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为 的抛物线方程为 .
y2=12x或y2=-4x
解析 设所求抛物线的方程为y2=ax(a≠0).①
直线方程变形为y=2x+1,②
设抛物线截直线所得弦为AB.
将②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,
重难探究·能力素养全提升
探究点一 判断位置关系
角度1.点与椭圆位置关系的判断
【例1】 已知点P(k,1),椭圆 =1,点P在椭圆外,则实数k的取值范围为 .
变式探究若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢
规律方法 处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.对于椭圆来说:
角度2.直线与圆锥曲线的位置关系判断
【例2】 [北师大版教材例题]讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1的公共点的个数.
消去y,整理,得(1-k2)x2-2kx-2=0.
(1)当k=1时,x=-1.
(2)当k=-1时,x=1.
(3)当k≠±1时,Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2.
规律方法 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离.
(2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴.
(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交.
变式训练1[北师大版教材例题]已知直线l经过点A(0,1),且与抛物线C:y2=x有唯一的公共点,求直线l的方程.
解 如图.
(1)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0(y轴)与抛物线C相切于原点,符合条件.
(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1.
①当k2=0时,直线l的方程为y=1,此时,方程组有唯一的实数解,符合条件;
②当k2≠0时,方程(*)有唯一的实数解的充要条件是Δ=(2k-1)2-4k2=0,解得
此时,方程组有唯一的实数解,符合条件.
综上,满足题意的直线l有三条:x=0,y=1,y= x+1.
探究点二 相交弦长问题
【例3】 [北师大版教材例题]已知直线l过椭圆C: =1的中心,且交椭圆C于A,B两点,求|AB|的取值范围.
解 (1)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0,代入椭圆方程解得
(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx.
将椭圆方程化简、整理,得x2+2y2=4.
将②代入①,得x2+2(kx)2=4,化简、整理,得(2k2+1)x2=4.③
规律方法 若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:
(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦.
(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.
设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线F(x,y)=0交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则
当k=0时,直线平行于x轴,∴|AB|=|x1-x2|.
变式训练2[人教A版教材例题]如图,过双曲线 =1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.
解 由双曲线的标准方程可知,双曲线的焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).
因为直线AB的倾斜角是30°,且经过右焦点F2,所以直线AB的方程为
探究点三 中点弦问题
(1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程;
(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;
(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.
解 设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.
又A,B两点均在椭圆上,
两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2),
规律方法 对中点弦问题,常用的解题方法——平方差法,其解题步骤为
变式训练3[人教A版教材习题]已知双曲线x2- =1,过点P(1,1)的直线l与双曲线相交于A,B两点,P能否是线段AB的中点 为什么
解 P不能是线段AB的中点.理由:设A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,线段AB的中点为M(x0,y0),因为过点P(1,1)的直线l与双曲线x2- =1相交于A,B两点,易知,直线l的方程不是x=1.
设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx-k+1.
与双曲线的方程联立并消去y,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①
当k=2时,方程①变为2x2-4x+3=0,此时Δ=16-24=-8<0,所以方程①没有实数根.
所以不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,使P是线段AB的中点.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.直线y=kx-k+1与椭圆 =1的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
A
解析 ∵y=kx-k+1,∴y-1=k(x-1),过定点(1,1),定点在椭圆 =1内部,故选A.
1
2
3
4
5
2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有
( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
A
1
2
3
4
5
3.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2- =1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是 .
±1
解析 设线段AB的中点为M(x0,y0).
∴x0=m,∴y0=x0+m=2m.
∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,
∴m2+(2m)2=5,∴m=±1,
检验可知判别式Δ>0,故m=±1.
1
2
3
4
5
4.抛物线x2=-y上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为 .
1
2
3
4
5
5. 如图,椭圆 =1的左、右焦点为F1,F2,一条直线l经过F1且与椭圆相交于A,B两点.
(1)求△ABF2的周长;
(2)若l的倾斜角是45°,求△ABF2的面积.
解 (1)由 =1,知a=4,△ABF2的周长=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=16.
1
2
3
4
5(共33张PPT)
第二章
2.3.4 圆与圆的位置关系
课程标准
1.理解圆与圆的位置关系的五种类型;
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法;
3.能用圆的对称性灵活处理问题.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点
圆与圆位置关系的判定
1.几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两个圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:
方程组解的个数 2 1 0
两圆的公共点的个数 2 1 0
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
名师点睛
1.利用代数法判断两圆位置关系时,当方程组无解时,只能判断两圆相离,无法判断是外离还是内含;当方程组有一解时,只能判断两圆相切,无法判断是外切还是内切.
2.在判断两圆的位置关系时,优先使用几何法.
3.当两圆半径相等时,两圆只有外离、外切、相交三种位置关系.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( )
(2)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.( )
(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( )
2.当两圆外离、外切、相交、内切、内含时,两圆的公切线分别有几条
×
√
×
解 两圆外离时,公切线有4条,外切时有3条,相交时有2条,内切时有1条,内含时没有公切线.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 两圆位置关系的判断
【例1】 [人教A版教材例题]已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的位置关系.
解 (方法一)将圆C1与圆C2的方程联立,得到方程组
把上式代入①,并整理,得x2-2x-3=0.④
方程④的根的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,所以,方程④有两个不相等的实数根x1,x2,把x1,x2分别代入方程③,得到y1,y2.
因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),这两个圆相交.
(方法二)把圆C1的方程化成标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25,圆C1的圆心是
(-1,-4),半径r1=5.
把圆C2的方程化成标准方程,得(x-2)2+(y-2)2=10,圆C2的圆心是(2,2),半径
变式探究若本例中条件不变,所求改为“求圆C1与圆C2的公切线条数”,结论又如何
解 根据例题中结论☉C1与☉C2相交,则由平面几何知识可知,公切线条数为2.
规律方法 判断两圆的位置关系常用两种方法
几何法和代数法,但一般情况下用几何法,即用两圆半径和圆心距之间的关系来刻画,此种方法形象直观,关键是明确圆心和半径,再套用圆与圆位置关系的关系式进行求解或判断.
变式训练1已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m为何值时,分别满足下列情况:
(1)圆C1与圆C2外切;
(2)圆C1与圆C2内含.
解 易得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1(m,-2),半径r1=3;
圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,圆心C2(-1,m),半径r2=2.
探究点二 两圆的公共弦问题
【例2】 已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.
(1)判断两圆是否相交,若相交,求出公共弦所在的直线方程;若不相交,请说明理由.
(2)求公共弦的长度.
解 (1)相交.
将两圆方程配方化为标准方程,则
C1:(x-1)2+(y+5)2=50,
C2:(x+1)2+(y+1)2=10,
∴|r1-r2|<|C1C2|(2)(方法一)由(1)知圆C1的圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0的距离为
(方法二)设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组
规律方法 1.当两圆相交时,公共弦所在的直线方程的求法
若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.
2.公共弦长的求法
(1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.
(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
变式训练2[人教A版教材习题]求圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的长.
得y=x+2.
把y=x+2代入x2+y2-4=0,得x2+2x=0,解得x1=-2,x2=0.
于是有y1=0,y2=2,所以两圆交点坐标分别是A(-2,0),B(0,2).
(方法二)由方程x2+y2-4=0与x2+y2-4x+4y-12=0,消去二次项,得y=x+2.
如图,过点O作弦AB的垂线,垂足是M.
因为圆心为O的圆的半径长是2,所以|OA|=2.
探究点三 圆系方程的应用
【例3】 [人教A版教材习题]求经过点M(2,-2)以及圆x2+y2-6x=0与x2+y2=4交点的圆的方程.
(方法二)设经过圆x2+y2-6x=0与x2+y2=4交点的圆的方程为
x2+y2-6x+λ(x2+y2-4)=0.①
把点M(2,-2)的坐标代入①,得22+(-2)2-6×2+λ[22+(-2)2-4]=0,解得λ=1.
把λ=1代入①,并化简得x2+y2-3x-2=0.
所以所求圆的方程为x2+y2-3x-2=0.
规律方法 1.当经过两圆的交点时,圆的方程可设为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,然后用待定系数法求出λ即可.
2.当给出的方程结构中参数比较分散时,要注意将含参数的合并在一起,进而讨论过定点或交点问题.
变式训练3求圆心在直线x-y-4=0上,且过圆x2+y2-4x-6=0和圆x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程.
解 (方法一)设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0
(λ≠-1),
所以所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0.
所以两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点坐标分别为A(-1,-1),B(3,3),线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y-1=-(x-1).
即所求圆的圆心坐标为(3,-1),
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.圆(x-3)2+(y+2)2=1与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是( )
A.外切 B.内切 C.相交 D.外离
B
解析 圆x2+y2-14x-2y+14=0变形为(x-7)2+(y-1)2=36,圆心坐标为(7,1),半径为r1=6;圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心坐标为(3,-2),半径为r2=1,所以圆心距
1
2
3
4
5
2.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
C
解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(2,-3)代入,即可排除A,B,D.
1
2
3
4
5
3.已知圆O1:x2+y2=16和圆O2:x2+y2-6mx-8my+24m2=0有且仅有4条公切线,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(-1,1)
C.(-∞,-2)∪(3,+∞)
D.(-2,3)
A
解析 圆O1:x2+y2=16的圆心O1(0,0),半径r1=4,圆O2:x2+y2-6mx-8my+24m2=0的圆心O2(3m,4m),半径r1=|m|.
根据题意可得,圆O1,圆O2相离,则|O1O2|>r1+r2,即5|m|>4+|m|,
∴m∈(-∞,-1)∪(1,+∞).故选A.
1
2
3
4
5
4.圆C1:x2+y2-2x-8=0与圆C2:x2+y2+2x-4y-4=0的公共弦长为 .
解析 由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x-y+1=0,得点C1(1,0)
1
2
3
4
5
5.已知圆C1:x2+y2+4x+1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0,求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程.
解 由两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为x-y=0.
∵圆C1:(x+2)2+y2=3,圆C2:(x+1)2+(y+1)2=1,圆心C1(-2,0),C2(-1,-1),
1
2
3
4
5(共31张PPT)
第二章
2.3.3 直线与圆的位置关系
课程标准
1.理解直线与圆位置关系的三种表达形式;
2.能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系;
3.掌握求圆的切线方程的方法,并能求与圆有关的最值问题.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点
直线与圆的位置关系
直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到直
位置关系 几何特征 代数特征(方程联立) 公共点个数
相离 d>r 无实数解(Δ<0) 0
相切 d=r 一组实数解(Δ=0) 1
相交 d0) 2
名师点睛
如图,直线l与圆C相交于A,B,半径为r,弦AB中点为D,则①点C到直线l的距离d=|CD|,称为弦心距;②CD⊥l;③过圆内一点的直线与圆相交,最长弦长是直径,最短弦与最长弦所在的直线垂直.
过关自诊
1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
B
∴直线与圆x2+y2=1相交,
又(0,0)不在y=x+1上,∴直线不过圆心.
2.过圆上一点有几条切线 过圆外一点有几条切线 若点(x0,y0)是圆x2+y2=r2上的点,你能得出过点(x0,y0)的圆的切线方程吗
3.过圆C内一点P(不同于圆心)的所有弦中,何时弦最长 何时弦最短
解 过圆上一点一定有1条切线,过圆外一点一定有2条切线.过圆上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
解 过圆内一点P(不同于圆心)的所有弦中,当弦经过圆心C时弦最长,等于直径的长.当弦与过点P的直径垂直时弦最短.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 直线与圆的位置关系的判断
【例1】 求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:①相交;②相切;③相离.
解 圆的一般方程化为标准方程为(x-3)2+y2=4,故圆心(3,0)到直线x-my+3=0
规律方法 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
变式训练1[北师大版教材例题]已知直线l:2x+y-3=0,圆M:(x-a)2+y2=5.
(1)指出圆心M的位置特征;
(2)求实数a分别取何值时,直线l与圆M相交、相切、相离.
解 (1)由圆M的方程可知圆心M(a,0)为x轴上的动点.
探究点二 求切线方程
【例2】 过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求切线的方程.
解 由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故点M在圆外.当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0.
所以切线方程为24x-7y-20=0.
又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.
综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.
变式探究(1)若所给点M的坐标是(1,-4),圆的方程不变,求切线方程;
(2)条件不变,试求切线长.
解 (1)由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故点(1,-4)在圆上.又圆心为(1,-3),所以切线斜率为0,所以切线方程为y=-4,即y+4=0.
规律方法 求圆的切线方程的三种方法
(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出切线方程.
(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出未知量,若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切线的斜率不存在,可直接写出切线方程.
(3)设切点坐标:先利用切线的性质解出切点坐标,再利用直线的两点式写出切线方程.
变式训练2[人教A版教材例题]过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,求切线l的方程.
解 (方法一)设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.
因此,所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0.
(方法二)设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2).
消元,得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0.①
因为方程①只有一个解,所以Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0,解得k=0或 .
所以,所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0.
探究点三 圆的弦长问题
(1)求圆C的方程;
(2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长;
(3)设过点(-1,0)的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(2)圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为3,圆心到直线3x-y+1=0的距离为
(3)存在直线l满足题意.理由如下:
设M(x1,y1),N(x2,y2).
由题意,知OM⊥ON,且OM,ON 的斜率均存在,
∴直线l:x=-1满足条件;
②当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y=k(x+1).代入
(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,
由x1x2+y1y2=0,得x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0,
即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,
∴直线l的方程为y=x+1.
综上可知,存在满足条件的直线l:x=-1和l:y=x+1.
规律方法 1.求直线与圆相交时的弦长有三种方法
(1)交点法:将直线方程与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,根据两点间的
(2)弦长公式法:
如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是
(3)几何法:如图,直线与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长
通常采用几何法较为简便.
2.若涉及直线和圆相交的问题,除了借助平面几何知识进行分析,还经常利用联立方程,用解方程组的思路来讨论有关弦长和垂直等问题.
变式训练3[人教A版教材习题]已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长.
消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1.
所以,直线l与圆C相交,有两个公共点.
把x1=2,x2=1分别代入方程①,得y1=0,y2=3.
所以,直线l与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3).
(方法二)圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,因此圆心C的坐标为
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9的位置关系为( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.相离或相切
C
1
2
3
4
5
2.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )
A.相离
B.相切
C.相交但直线不过圆心
D.相交且直线过圆心
C
解析 直线y=kx+1恒过定点(0,1).由定点(0,1)在圆x2+y2=2内,知直线y=kx+1与圆x2+y2=2一定相交.
又直线y=kx+1不过圆心(0,0),则位置关系是相交但直线不过圆心,故选C.
1
2
3
4
5
3.直线l:3x+4y-1=0被圆C:x2+y2-2x-4y-4=0所截得的弦长为( )
A
解析 由题意知圆心C(1,2),圆C的半径为3,故点C到l:3x+4y-1=0的距离为
1
2
3
4
5
4.[2021天津卷]若斜率为 的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|= .
1
2
3
4
5
5.[人教A版教材例题]一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为20 km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40 km处,港口位于小岛中心正北30 km处.如果轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险
解 以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示的直角坐标系.为了运算的简便,我们取10 km为单位长度,则港口所在位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为(4,0).
这样,受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的
圆的方程为x2+y2=4;
1
2
3
4
5
消去y,得25x2-72x+80=0.
由Δ=(-72)2-4×25×80<0,可知方程组无解.
所以直线l与圆O相离,轮船沿直线返港不会有触礁危险.(共13张PPT)
第二章
培优课 最值与对称问题
重难探究·能力素养全提升
探究点一 最值问题
与直线相关的最值问题,首先根据所求式子的特征确定其几何意义,将问题转化成为两点间的距离,点到直线的距离等,然后求最值.
C
解析 取点P(m,n),Q(a,b),
由已知3m+4n=6,3a+4b=1,可得点P在直线l1:3x+4y-6=0上,点Q在直线l2:3x+4y-1=0上.
变式训练1直线l:3x-2y+5=0,P(m,n)为直线l上的动点,则(m+1)2+n2的最小值为 .
解析 (m+1)2+n2可看成是直线上一点P(m,n)到点Q(-1,0)的距离的平方,当PQ⊥l时,距离最小.
探究点二 对称问题
与直线相关的对称问题,主要有关于点的对称或关于直线对称的问题,主要借助几何性质列出相应关系式求解.
【例2】 (1)已知A(3,0),B(0,3),从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上,又经过直线AB反射到P点,则光线所经过的路程为( )
C
解析 直线AB的方程为x+y=3,如图所示,点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0,-2).
P2(5,3),所以根据反射原理的对称性,光线所经过的路程为|PQ|+|QM|+|MP|=|P1Q|+|QM|+|MP|=|P1M|+|MP|=|MP2|+|MP|=|P2P|=
(2)直线y=2x+1关于直线y=x对称的直线方程为( )
A.x-3y+1=0 B.x-3y-1=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y+1=0
C
变式训练2(1)点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为( )
A.(-1,-3) B.(-1,-4)
C.(4,1) D.(2,3)
A
解析 设点P(2,0)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为(a,b),
所以点Q的坐标为(-1,-3).故选A.
(2)直线y=4x-5关于点P(2,1)对称的直线方程是( )
A.y=4x+5 B.y=4x-5
C.y=4x-9 D.y=4x+9
C
解析 设直线y=4x-5上的点P(x0,y0)关于点(2,1)的对称点的坐标为(x,y),
将其代入直线y=4x-5中,得到2-y=4(4-x)-5,化简得y=4x-9.故选C.
探究点三 利用对称求最值问题
【例3】 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,其中隐含了一类有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,已知军营所在的位
A
解析 如图所示,设点B(-2,0)关于直线x+2y=3的对称点为C(x1,y1),在直线x+2y=3上取点P,连接PC,
变式训练3已知点A(4,1),B(0,4),直线l:3x-y-1=0,点P为直线l上一点,则
||PB|-|PA||的最大值为 .
所以B'(3,3).
因为B'与B关于l对称,所以|PB|=|PB'|,