2023-2024学年广东省东莞重点学校高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年广东省东莞重点学校高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若集合，则集合中的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.给出下列命题，；，；，；，其中真命题有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.设函数，则( )
A. B. C. D.
6.若在上是减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知集合，，，则，，的关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知集合，，若，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.下列函数中，在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
11.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )
A. ； B.
C. D. ；
12.设，，，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，，则的取值范围是______ ．
14.若一元二次不等式的解集是，则实数的值为______ ．
15.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______ ．
16.已知二次函数均为正数过点，最小值为，则的最大值为______ ；实数满足，则取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，，求：
；
．
18.本小题分
已知函数，．
判断函数的单调性，并利用定义证明；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知命题：，命题：．
若命题为真命题，求实数的取值范围．
若是的充分条件，求实数的取值范围；
20.本小题分
已知二次函数满足，．
求的解析式；
当，求的值域．
21.本小题分
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙墙的长度没有限制的矩形菜园设菜园的长为，宽为．
若菜园面积为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小？
若使用的篱笆总长度为，求的最小值．
22.本小题分
已知函数，．
若的解集为，求的值；
若对，总，使得，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，即，
所以集合中的元素个数为个．
故选：．
根据条件，直接写出集合，即可得到结果．
本题考查元素与集合的关系，集合的表示方法，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，则．
故选：．
由交集的定义直接求解即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由“”能推出“”，
反之不成立，
故是的充分不必要条件．
故选：．
根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．
本题考查了充分必要条件的定义，考查集合的包含关系，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析分命题：
中，由不等式恒成立，所以命题，为真命题；
中，当时，此时，所以命题，为假命题；
中，当时，此时成立，所以命题，为真命题；
中，由，可得，所以命题，为真命题．
故选：．
根据全称命题与存在性命题的真假判定方法，逐个判定，即可求解．
本题考查命题真假的判断，注意全称量词命题和存在量词命题的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：数，
则，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合函数的解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数的图象是开口朝上，
且以直线为对称轴的抛物线，
若在上是减函数，
则，
解得：，
故选：．
函数的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，进而得到答案．
本题考查的知识点是函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的单调性，是解答的关键．
7.【答案】
【解析】解：当时，不等式化为，解集为空集，符合题意．
当时，不等式的解集不是空集，不符合题意．
当时，要使不等式的解集为空集，
则需，解得．
综上所述，的取值范围是．
故选：．
对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围．
本题主要考查了由不等式的恒成立及存在性问题求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：集合，则，．
，则，．
，则，．
，，三者分母相同，
所以只需要比较他们的分子．
：的倍数，
：的倍数，
所以．
故选：．
分别化简集合，，，结合选项得出答案．
本题考查集合的包含关系的判断及其应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
9.【答案】
【解析】解：由集合，且
因为，可得，
当时，集合，满足；
当时，由方程，可得，此时，
因为，所以，可得或，解得或，
所以实数的可能取值为．
故选：．
先求得集合，根据题意得到，分和，两种情况讨论，即可求解．
本题主要考查了集合并集运算性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
在中，当时，，在上为减函数；
在中，当时，，在上是增函数；
在中，当时，，在上是增函数；
在中，当时，，在上为增函数．
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，函数，与的解析式不同，不是同一函数；
对于，函数，与的定义域都相同为，解析式也相同，是同一函数；
对于，函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
对于，函数，与的定义域相同都为，且解析式相同，是同一函数．
故选：．
根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是同一函数．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，当且仅当时取等号，A正确；
因为，当且仅当时取等号，
故，B正确；
，
当且仅当且，即，时取等号，C正确；
，当且仅当时取等号，
所以，即最大值为，D错误．
故选：．
由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，可得，，
两不等式相加，得，
即的取值范围是．
故答案为：．
根据题意，运用不等式的性质进行求解，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等关系与不等式、不等式的性质及其应用等知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，若一元二次不等式的解集是，
则方程的两根为和，且，
由韦达定理，可得，解得．
故答案为：．
根据题意，分析可得方程的两根为和，且，利用韦达定理，列出方程，计算可得．
本题考查一元二次不等式的解法，涉及三个二次之间的关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：“，”是假命题，
则它的否定命题：“，”是真命题；
所以，恒成立，所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数的取值范围．
本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，体现了转化思想的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：二次函数均为正数过点，
，
开口向上且值域为，
，，
，
，，
，即，，当且仅当时，等号成立，
的最大值为当且仅当时最大，
，
，
，即，
，
，，
，
，当且仅当即时，等号成立，
又时，，
，
故答案为：，．
题意可知，，所以，进而得到，再利用基本不等式即可求出的最大值，由已知条件可得，利用基本不等式结合，即可求出取值范围．
本题主要考查了二次函数的性质，考查了基本不等式的应用，是中档题．
17.【答案】解：集合，，
；
或，
．
【解析】应用集合的交运算、不等式性质求集合即可．
应用集合的补运算求集合即可．
本题考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：证明：，，
任取，，且
可知，
因为，所以，，，
所以，即，
故在上单调递增；
由知：在上单调递增，
所以，可得，
故实数的范围是．
【解析】由单调性的定义直接证明即可；
结合单调性构造关于的不等式求解．
本题考查函数单调性的证明和应用，属于中档题．
19.【答案】解：若为真命题，则，解得，则实数的取值范围为；
：，：，
若是的充分条件，则，
可得，解得．
实数的取值范围是．
【解析】求解一元二次不等式可得实数的取值范围；
把是的充分条件，转化为两集合端点值间的关系，列不等式组求解．
本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：设二次函数，由，可得，
，
则，解之得，
则二次函数的解析式为．
由 得，，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以当时，的值域为．
【解析】设二次函数，由可求出的值，由可得关于，的方程组，求解即可；
利用二次函数的性质即可求解函数的值域．
本题主要考查函数解析式的求法，函数的值域，二次函数的图象与性质，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由已知可得，而篱笆总长为．
又因为，当且仅当，即，时等号成立．
所以菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小．
由已知得，又因为，
所以，当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是．
【解析】由题意得，利用基本不等式求出的最小值及，时等号成立；
根据题意得到，利用基本不等式“”的妙用求出最值．
本题考查基本不等式的应用，考查学生应用数学的能力和逻辑推理能力，属中档题．
22.【答案】解：因为，
所以，
所以，依题得不等式的解集为，
所以是方程的根，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，所以满足题意，
所以，解得，
故．
，总，使得，等价于，
由于在上单调递增，因此；
的对称轴为：．
若，即，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
，
，即，解得，舍去；
若，即，函数在上单调递增，则，
，
，解得，此时，；
若，即，函数在上单调递减，则，
，，即，该不等式无解．
综上所述，的取值范围是．
【解析】分析可知，不等式的解集为，可知是方程的根，求出的值，再解原二次不等式，即可的实数的值；
分析可知，，求出函数在区间上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围．
本题考查不等式的求解以及函数最值的求解，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
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