2023-2024学年辽宁省部分重点中学协作体高二（上）期中数学模拟试卷（A卷）（含解析）

2023-2024学年辽宁省部分重点中学协作体高二（上）期中数学模拟试卷（A卷）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.无论为何值，直线所过定点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.如图所示，在正三棱柱中，若，则与的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知直线：，直线：，则它们的图象可能为( )
A. B.
C. D.
5.设入射线光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是( )
A. B. C. D.
6.若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则半径的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知点在经过、两点的直线上，则取最小值时点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线，直线：，若，则实数可能的取值为( )
A. B. C. D.
10.已知空间内不同的四点、、、，空间内不共线的三个向量、、，、，则下列命题正确的是( )
A. “”是“、、、共面”的充分且必要条件
B. “”是“与、共面”的充分且必要条件
C. 若，则
D. 一定存在一组实数、，使得成立
11.在平面内，已知线段的长度为，则满足下列条件的点的轨迹为圆的是( )
A. B.
C. D.
12.正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则( )
A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点与点到平面的距离相等
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为______．
14.已知在空间直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称，则______．
15.已知直线：、：，当时，直线、与两坐标轴围成一个四边形，则四边形面积的最小值为______ ，此时实数 ______ ．
16.如图，在平行六面体中，与交于点，在底面的射影为点，与底面所成的角为，，，则对角线的长为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知点，求满足下列条件的直线的一般方程．
经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍；
经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为．
18.本小题分
中，边上的中线所在直线方程为，的平分线方程为．
求顶点的坐标；
求直线的方程．
19.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点，点在上，且平面．
求的值；
若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知点及圆：．
若直线过点，且被圆截得的线段长为，求的方程；
求过点的圆弦的中点的轨迹方程．
21.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，、分别是棱、的中点，且．
求证：平面；
若点在平面内的射影恰为的中点，设，求二面角的余弦值．
22.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，分别为，中点，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，它的倾斜角为，
故选：．
由题意，利用直线的斜率和倾斜角的定义，得出结论．
本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
将直线化为，令的系数为，即可得出定点．
【解答】
解：直线，即，
令，解得，，
所过定点的坐标为．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，
故、，、、
，；
，
．
故选：．
首先建立空间直角坐标系，进一步求出向量的夹角．
本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量的夹角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的斜截式方程，关键是掌握直线的斜率与截距的定义，属于基础题．
根据直线的斜率与截距的定义，逐个分析选项，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，逐个分析选项：
对于，直线：中，，而直线：中，，矛盾，不合题意；
对于，直线：中，，而直线：中，，矛盾，不合题意；
对于，直线：中，，而直线：中，，符合题意；
对于，直线：中，，而直线：中，，矛盾，不合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：入射线光线沿直线射向直线，则被反射后，
反射光线所在的直线与入射关系关于对称，
则对应的方程为，
即，
故选：．
根据入射关系和反射光线的对称性，直接进行求解即可．
本题主要考查直线方程的求解，结合入射关系和反射光线的对称性，利用对称关系是解决本题的关键．比较基础．
6.【答案】
【解析】解：依题意可知圆心坐标为，到直线的距离是，
与直线距离是的直线有两个和，
圆心到距离为到距离是．
如果圆与相交，那么圆也肯定与相交，
交点个数多于两个，于是圆上点到的距离等于的点不止两个，
所以圆与不相交，
如果圆与的距离小于等于，那么圆与和交点个数和至多为个，
所以圆只能与相交，与相离，
所以．
故选：．
先根据圆的方程求得圆心坐标和圆心到已知直线的距离，进而可推断出与直线距离是的两个直线方程，分别求得圆心到这两直线的距离，分析如果与相交那么圆也肯定与相交交点个数多于两个，则到直线的距离等于的点不止个，进而推断出圆与不相交；同时如果圆与的距离小于等于那么圆与和交点个数和至多为个也不符合题意，最后综合可知圆只能与相交，与相离，进而求得半径的范围．
本题主要考查了圆与圆的位置关系和判定．考查了学生分析问题和数形结合思想的运用．要求学生有严密的逻辑思维能力．
7.【答案】
【解析】解：因为过、，
由题意得直线的方程为：，即，
当且仅当、时取“”．
故选：．
由，求出所在直线方程，然后结合基本不等式及指数幂的运算性质即可求解．
本题主要考查了直线方程的两点式，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：平面的方程为，平面的法向量可取，
平面的法向量为，平面的法向量为，
设两平面的交线的方向向量为，
由，令，则，，所以，
则直线与平面所成角的大小为，，
故选：．
求出直线的方向向量，平面的法向量，再根据空间向量法求出线面角的正弦值，即可得解．
本题主要考查立体几何中的新定义问题，线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：若，有，解得或，
故选：．
根据直线的垂直关系得到关于的方程，解出即可．
本题考查了两直线垂直时斜率之间的关系．
10.【答案】
【解析】解：选项，若，则、、、四点一定共面，
、、、为空间内不同的四点，、、均为非零向量，
若、、、共面，则，
“”是“、、、共面”的充分且必要条件，对，
选项，与不共线，若，则，对，
选项，若，则与、一定共面，
、、为空间内不共线的三个向量，、、均为非零向量，
若与、共面，则，
“”是“与、共面”的充分且必要条件，对，
选项，与不共线，当与、所在的平面垂直时，不成立．
故选ABC．
根据空间向量基本定理可依次判断．
本题考查空间向量基本定理，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轨迹方程，解题中需要建立坐标系，写出方程，属于中档题．
以中点为原点，建立平面直角坐标系，则，，设，分别写出每个选项的轨迹方程，进而可得出结论．
【解答】
解：以中点为原点，建立平面直角坐标系，
所以，，设，
A.因为，即，
所以，
即，
所以点的轨迹以为圆心，半径为的圆，但要去掉和两点，不是完整的圆，故A错误．
B.若，
则，
化简得，
所以点的轨迹以为圆心，半径为的圆，故B正确．
C.，
所以，不成立，
所以点无轨迹．
D.若，
则，
化简得，
所以点的轨迹以为圆心，半径为的圆，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：在棱长为的正方体中，建立以为原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：
因为、、分别为、、的中点，
则，，，，
对于，，，，故A错误；
对于：连接，，，，，，四点共面，
由于，，所以四边形为平行四边形，
故A，又平面，平面，平面，故B正确，
对于，连接，，，四边形为平面截正方体所得的截面，，，，
四边形为等腰梯形，高为，
则四边形的面积为，故C正确；
对于，连接交于点，故是的中点，且是线段与平面的交点，
因此点和点到平面的距离相等，故D正确．
故选：．
根据棱柱的结构特征，建立以为原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法即可判断，根据线线平行即可判断，根据梯形面积即可判断，根据中点关系即可判断．
本题主要考查直线与直线的位置关系，线面平行的判定，立体几何中的界面问题，点面距离的计算等知识，属于中等题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
直线的斜率为，且，
，
结合正切函数的性质可得，．
故答案为：．
根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角关系，即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：点的坐标为，点与点关于轴对称，
，
则，
故答案为：．
利用关于坐标轴对称的点的特点、两点之间的距离公式即可得出．
本题考查了关于坐标轴对称的点的特点、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：直线的必过点为，斜率为，
在轴上的截距为，且
直线的必过点也为，斜率为，
在轴上的截距为，且
四边形的面积，
四边形面积的最小值为，此时．
故答案为：； ．
直接利用直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题知平面，为与平面所成的角，
所以，
因为，
所以，
又，所以，同理，
所以为的角平分线，
所以平行四边形为菱形，
因为，所以三角形为等边三角形，则，
又中，，
又，
所以
，
所以．
故答案为：．
根据条件可得，由，求得，同理，再根据向量的表示及向量模的求法进而求出．
本题考查空间线段长度的求解，考查学生空间直观想象能力，向量的运算性质等知识点，属于中档题．
17.【答案】解：若直线经过原点，则方程为：，即．
若直线不经过原点，可设方程为：，
把点代入可得：，解得，方程为：，即．
综上可得直线的一般方程为：，或．
设直线的方程为：，把点代入可得：，
又，化为，
联立，
解得，
直线的一般方程为：，．
【解析】若直线经过原点，利用点斜式即可得出方程．若直线不经过原点，可设方程为：，把点代入解得即可得出方程．
设直线的方程为：，把点代入可得：，，联立解出即可得出．
本题考查了直线的截距式、一般式、三角形面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：设，则的中点在直线上．
，
，
即，
又点在直线上，则，
由可得，，即点的坐标为分
设点关于直线的对称点的坐标为，
则点在直线上．
由题知，
得，分
，分
直线的方程为，即分
【解析】设，则的中点在直线上，从而，又点在直线上，则，由此能求出点的坐标．
设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上，从而，由此能求出直线的方程．
本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，是中档题．
19.【答案】解：连接与交于点，
因为底面是菱形，是的中点，所以，且，
所以因为平面，平面，
平面平面，
所以，
所以，所以；
因为底面是菱形，是的中点，，所以．
因为平面，平面，平面，所以，，建立如图所示的空间直角坐标系．
则．
设，，则，
所以．
因为，所以，解得．
所以．
设为平面的法向量，
则，得，
取，所以为平面的一个法向量．
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值是．
【解析】根据线面平行的性质可得线线平行，根据平行成比例即可求解，
建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角．
本题考查线面平行的性质以及利用空间向量求解线面角，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：圆的圆心为，半径，
直线被圆截得弦长为，
圆心到直线的距离，
若直线斜率不存在，则直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，符合题意；
若直线斜率存在，设斜率为，则直线的方程为，即，
，解得，
直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
设弦的中点为，
，即
则，
整理得．
过点的圆弦的中点的轨迹方程为．
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解，属于中档题．
讨论直线是否有斜率，就两种情况分别求出直线方程；
设弦的中点为，根据得出轨迹方程．
21.【答案】解：证明：在四棱锥中，底面是直角梯形，，，
E、分别是棱、的中点，且，
是的中点，，
，，，，
四边形是平行四边形，，
、分别是棱、的中点，，
又，、平面，，、平面，
平面平面，
又平面，平面．
连接、、，点在平面内的射影恰为的中点，
平面，，，
由，是的中点，，
，，，
，，
以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量，、，
，即，令，得，，
平面平面，平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，经观察为锐角，则．
【解析】推导出四边形是平行四边形，从而，进而，由此能证明平面．
连接、、，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
本题考查空间中线与面的位置关系，二面角的求法，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理，以及会用空间向量求二面角是解题的关键，考查推理论证能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】Ⅰ作的中点，连接，，
在中，，分别为，中点，
，
平面，平面，
平面，
同理可证明平面，
平面，平面，，
平面平面，
平面，
平面．
Ⅱ做垂直于，作，连接，做中点，连接，
，，
，，
为的中点，，，，
侧面底面，侧面底面，
，侧面
底面，底面，
，又，，，平面，
平面，平面，，
为二面角的平面角，
，，
∽，
，，
，
底面，底面，，
所以是直角三角形，
，
．
即二面角的余弦值为．
Ⅲ不存在．
假设存在，连接，，交于点，为平面和平面的交线，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系．则，
，，，
，，，
设，则，
设平面的一个法向量是，
，
即，令，则，
因为平面，
，
，，，
，共线，，
，
，
，无解，
故在棱上不存在一点，使平面．
【解析】本题主要考查了线面平行的判定定理的应用，二面角的计算，法向量的运用，考查了学生分析和推理的能力．
Ⅰ作的中点，连接，，先利用面面平行的判定定理证明出平面平面，进而根据面面平行的性质证明出平面．
Ⅱ做垂直于，作，连接，做中点，连接，先证明出为二面角的平面角，进而求得和，最后在直角三角形中求得．
Ⅲ先假设存在点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，进而表示出和，根据向量共线的性质建立等式对求解．
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