第六章6.3 利用导数解决实际问题
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( )
A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18
2.[探究点三]现有橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r,高为h的圆柱(橡皮泥没有浪费),则该圆柱表面积的最小值为( )
A.20π B.24π C.28π D.32π
3. [探究点三·2023山西高二月考]一个等腰三角形的周长为10,四个这样相同等腰三角形底边围成正方形,如图,若这四个三角形都绕底边旋转,四个顶点能重合在一起,构成一个四棱锥,则围成的四棱锥的体积的最大值为( )
A. B. C.5 D.15
4.[探究点一]根据以往经验,一超市中的某一商品每月的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+2(x-50)2,其中20
A.8 600元 B.8 060元
C.6 870元 D.4 060元
5.[探究点三]已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是( )
A.1 B. C. D.2
6.[探究点二]已知铁道机车运行1小时所需成本由两部分组成,固定部分为m元,变动部分与运行速度v(单位:千米/时)的平方成正比,比例系数为k(k>0).如果机车匀速从甲站开往乙站,则当机车以 千米/时的速度运行时,成本最省.
7.[探究点一]某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+5(x-6)2,其中38.[探究点二·北师大版教材习题]某体育馆要建造一个长方形游泳池,其容积为4 800 m3,深为3 m.如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍,怎样设计水池能使总造价最低
B级 关键能力提升练
9.(2023四川宜宾高县校级期中)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万千克,每种植1千克藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x(x是莲藕种植量,单位:万千克;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万千克,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕( )
A.8万千克 B.6万千克
C.3万千克 D.5万千克
10. 如图所示,一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成,屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方形,点O为正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形状是长方体ABCD-A'B'C'D'.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k>0),下部主体造价与高度成正比,比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为10 m,AB=8 m的仓库,则当总造价最低时,PO=( )
A. m B. m
C.4 m D.4 m
11.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则该商品零售价定为 元时利润最大,利润的最大值为 元.
12.如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是 .
13.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元,每生产1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件的销售收入为D(x)万元,且D(x)=为使公司获得最大利润,则应将年产量定为 千件.(注:年利润=年销售收入-年总成本)
14.已知正三棱锥的体积为,则其表面积的最小值为 .
15. [2023江苏盐城月考]某房地产商建有三栋楼宇A,B,C,三栋楼宇间的距离都为2千米,拟准备在此三栋楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D,规划要求楼宇D对楼宇B,C的视角为,如图所示,假设楼宇大小高度忽略不计.
(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值;
(2)当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,拟在楼宇A,B间建休息亭E,在休息亭E和楼宇A,D间分别铺设鹅卵石路AE和防腐木路DE,如图,已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a,2a(单位:元/千米,a为常数).记∠BDE=θ,求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值.
16.某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln x+-17(万元).已知每件产品售价为6元,假设该同学生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润p(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大 最大年利润是多少 (取e3≈20)
C级 学科素养创新练
17.为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27 cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面,围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).
(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;
(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大
6.3 利用导数解决实际问题
1.A 要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长L=2x+(x>0),则L'=2-.令L'=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为=32(米),可使L最短.
2.B 由题意可得圆柱和圆锥的体积相等,底面半径为4,高为3的圆锥的体积为×π×42×3=16π,底面半径为r,高为h的圆柱的体积为πr2h,所以πr2h=16π,可得r2h=16,即h=,圆柱的表面积为S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr·=2πr2+,S'=4πr-,令S'=>0可得r>2,令S'=<0可得03.A 设四棱锥为P-ABCD,如下图所示.
设四棱锥的高为PO,取边BC的中点M.
设四棱锥底面正方形边长的一半为x,则侧面等腰三角形的腰长PB==5-x,所以0所以PM2=(5-x)2-x2.
在直角三角形PMO中,OM=x,所以四棱锥的高PO=,
所以VP-ABCD=·(2x)2·.
设f(x)=-x6-10x5+25x4(0则f'(x)=-6x5-50x4+100x3=2x3(-3x2-25x+50)=2x3(x+10)(-3x+5),
令f'(x)=0,可得x=-10(舍去)或x=.
当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0.
所以函数f(x)在内单调递增,在内单调递减,
所以当x=时,f(x)取到最大值,即当x=时,VP-ABCD取到最大值,此时VP-ABCD=.
故选A.
4.B 设超市每月销售该商品所获得的利润为f(x)元,则f(x)=(x-20)+2(x-50)2=60+2(x-20)(x-50)2,200,得205.A 如图,
△PAC是正四棱锥P-ABCD的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆,O是圆心(球心),设正四棱锥底面边长为a,则AC=a,OA=OP=3,
设OE=x(0则由AO2=OE2+AE2,得x2+a2=9,a2=18-2x2,PE=3+x,S四边形ABCD=18-2x2,
V=S四边形ABCD·PE=(18-2x2)(3+x)=(-x3-3x2+9x+27),
V'=(-3x2-6x+9)=-2(x-1)(x+3),当00,V单调递增,当1∴当x=1时,V取得极大值也是最大值,即Vmax=.
此时高PE=4,a==4,=1.故选A.
6. 由已知机车以速度v匀速运行,设甲、乙两站相距s千米,总成本为y元,
则机车匀速从甲站到乙站所需时间t=,
∴y=(m+kv2)=skv+,
求导,得y'=sk-,令y'=0,得v=,
函数在0,内单调递减,在,+∞内单调递增,则v=为极小值点,∴当v=时,y有最小值.
7.4 21 设商场每日销售该商品所获得的利润为L元,则L=y(x-3)=+5(x-6)2(x-3)=5x3-75x2+360x-539(3令L'>0,得3令L'<0,得4所以函数L=5x3-75x2+360x-539在(3,4)内单调递增,在(4,6)内单调递减,
所以x=4时,L取得最大值,最大值为21元.
8.解设池底的长为xm,则它的宽为m,水池总造价为y.不妨设建造池壁的单价为1,则建造池底的单价为1.5.则有y=1600×1.5+6x+6×=2400+6x+,
其中x>0.
所以y'=6-.令y'=0,得x=40,
所以当x∈(0,40)时,y'<0,当x∈(40,+∞)时,y'>0,
当x=40时,函数取得最小值,最小值为2880.
即当水池池底的长、宽均为40m时,总造价最低.
9.B 设销售的利润为g(x),由题意,得g(x)=-x3+ax2+x-1-x,x∈(0,8],
即g(x)=-x3+ax2-1.当x=2时,g(2)=-1+a-1=,解得a=2,故g(x)=-x3+x2-1,g'(x)=-x2+x=-x(x-6),
当x∈(0,6)时,g'(x)>0;当x∈(6,8)时,g'(x)<0.
所以函数g(x)在(0,6)内单调递增,在(6,8)内单调递减,
所以x=6时,利润最大,故选B.
10.B 如图,
设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE=4.
由于PO⊥平面ABCD,则有PO⊥OE.
在Rt△POE中,设∠PEO=θ,则有PO=4tanθ,PE=,
所以上部屋顶面积为S=4S△PBC=,下部主体的高度为h=10-4tanθ,
所以仓库的总造价为y=S·k+h·8k=32k·+80k.
设f(θ)=0<θ<,所以f'(θ)=.
令f'(θ)=0,得sinθ=,所以θ=.
则当0<θ<时,f'(θ)<0,f(θ)在0,内单调递减;
当<θ<时,f'(θ)>0,f(θ)在内单调递增;
所以当θ=时,f(θ)有最小值,此时总造价最低,PO=m.
11.30 23 000 设该商品的利润为y元,由题意知,
y=Q(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,
则y'=-3p2-300p+11700,
令y'=0得p=30或p=-130(舍),
当p∈(0,30)时,y'>0,当p∈(30,+∞)时,y'<0,
因此当p=30时,y有最大值,ymax=23000.
12. 设CD=x,则点C的坐标为,
点B的坐标为,
∴矩形ABCD的面积S=f(x)=x·=-+x,x∈(0,2).由f'(x)=-x2+1=0,
得x1=-(舍),x2=,
∴x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
故当x=时,f(x)取最大值.
13.25 设年利润为W(x),则W(x)=xD(x)-(3x+5)=
当0所以W(x)在(0,6)内单调递增,在(6,10]上单调递减,最大值为W(6)=3.6×6--5=9.4(万元).
当x>10时,W(x)=190--3x=190-+3x≤190-2=190-2×75=40,
当且仅当=3x,即x=25时,等号成立.
综上所述,当x=25千件时,年利润最大.
14.6 设正三棱锥的底面边长为a,高为h,如图,过顶点S作底面ABC的垂线,垂足为O,过O作OD垂直AB于D,连接SD,
∴AB=a,SO=h.
∵SO⊥底面ABC,AB 底面ABC,
∴AB⊥SO,SO⊥OD.
又AB⊥OD,SO∩OD=O,
∴AB⊥平面SOD.
又SD 平面SOD,
∴AB⊥SD,
即SD为△SAB的高,三棱锥体积×a2×h,得a2h=12,
又O为底面中心,∴OD=ABsin60°=a,SD=,
三棱锥的表面积S=a2+3××a×a2+,将a2=代入得S==3.
∴S'=3,令S'=0,得h3-2-2=0,令=t(t>0),上式可化为t2-2t-3=0,解得t=3,或t=-1(舍),
∴=3,得h=2.
当02时,S'>0,
故S在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,故当h=2时,表面积最小,此时S=3=6.
15.解(1)由题意知,在△BCD中,BC=2,∠BDC=,由余弦定理知BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos,整理得BD2+CD2+BD·CD=4,
则4=BD2+CD2+BD·CD≥3BD·CD,
即BD·CD≤,当且仅当BD=CD=时,等号成立.
所以△BCD的面积S△BCD=BD·CDsinBD·CD≤,即△BCD面积的最大值为.
设△ABC的面积是S△ABC.显然S△ABC=×22=.
因为四边形ABDC的面积S=S△ABC+S△BCD,
所以四边形ABDC的面积的最大值为.
答:四栋楼宇围成的四边形区域ABDC的面积的最大值为平方千米.
(2)当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,
由(1)知BD=DC=.
则∠DBC=∠DCB,又因为∠BDC=,
所以∠DBC=.
因为三角形ABC为等边三角形,
所以∠ABC=,所以∠ABD=∠ABC+∠DBC=.
在直角三角形EBD中,∠BDE=θ,所以DE=.
BE=BDtan∠BDE=tanθ,则AE=AB-BE=2-tanθ.
所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用为f(θ)=a·AE+2a·DE=a+2a·.
f'
=
=.
令f'(θ)=0,得sinθ=,
因为θ∈,所以θ=.
当0≤θ<时,f'(θ)<0,f(θ)单调递减,当<θ≤时,f'(θ)>0,f(θ)单调递增.
所以当θ=时,f(θ)极小值=f=4a.
所以f(θ)的最小值为4a.
答:铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元.
16.解(1)已知每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元.
依题意,得当0当x≥7时,p(x)=6x-6x+lnx+-17-2=15-lnx-.∴p(x)=
(2)当0∴当x=6时,p(x)的最大值为p(6)=10(万元).
当x≥7时,p(x)=15-lnx-,
∴p'(x)=-,
∴当7≤x∵11>10,∴当x=e3≈20时,p(x)取得最大值11万元,即当年产量约为20万件,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为11万元.
17.解设三棱柱的底面边长为xcm,即A1C=x,
则A1A=27-x.
因为△ABC为等边三角形,
所以三棱柱的高为×(27-x)=(27-x).
(1)因为三棱柱的底面积为×x×x×x2,
侧面积为3×x×(27-x)=(27x-x2),
所以x2=(27x-x2),
解得x=18或x=0(舍去).
即三棱柱的底面边长为18cm.
(2)三棱柱的体积V=x2×(27-x)=(27x2-x3).因为x>0,(27-x)>0,所以0因为V'=(54x-3x2)=x(18-x),
所以当00,V单调递增;
当18所以当x=18时,V取到极大值,也是最大值,
Vmax=(27×182-183)=.
即当底面边长为18cm时,三棱柱的体积最大,最大值为cm3.(共43张PPT)
第五章
6.3 利用导数解决实际问题
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点二]某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( )
A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18
A
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2.[探究点三]现有橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r,高为h的圆柱(橡皮泥没有浪费),则该圆柱表面积的最小值为( )
A.20π B.24π C.28π D.32π
B
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3. [探究点三·2023山西高二月考]一个等腰三角形的周长为10,四个这样相同等腰三角形底边围成正方形,如图,若这四个三角形都绕底边旋转,四个顶点能重合在一起,构成一个四棱锥,则围成的四棱锥的体积的最大值为
( )
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解析 设四棱锥为P-ABCD,如下图所示.
设四棱锥的高为PO,取边BC的中点M.
设四棱锥底面正方形边长的一半为x,则侧面等腰三角形的腰长PB= =5-x,所以0所以PM2=(5-x)2-x2.
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设f(x)=-x6-10x5+25x4(0则f'(x)=-6x5-50x4+100x3=2x3(-3x2-25x+50)=2x3(x+10)(-3x+5),
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4.[探究点一]根据以往经验,一超市中的某一商品每月的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y= +2(x-50)2,其中20( )
A.8 600元 B.8 060元
C.6 870元 D.4 060元
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解析 设超市每月销售该商品所获得的利润为f(x)元,则f(x)=(x-20) [ +2(x-50)2]=60+2(x-20)(x-50)2,200,得20f(30)=8 060.故选B.
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5.[探究点三]已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是( )
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解析 如图,
△PAC是正四棱锥P-ABCD的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆,O是圆心(球心),设正四棱锥底面边长为a,
则AC= a,OA=OP=3,
设OE=x(01
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6.[探究点二]已知铁道机车运行1小时所需成本由两部分组成,固定部分为m元,变动部分与运行速度v(单位:千米/时)的平方成正比,比例系数为k(k>0).如果机车匀速从甲站开往乙站,则当机车以 千米/时的速度运行时,成本最省.
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7.[探究点一]某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +5(x-6)2,其中34
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解析 设商场每日销售该商品所获得的利润为L元,
则L=y(x-3)=[ +5(x-6)2](x-3)=5x3-75x2+360x-539(3则L'=15x2-150x+360=15(x2-10x+24)=15(x-4)(x-6),
令L'>0,得3令L'<0,得4所以函数L=5x3-75x2+360x-539在(3,4)内单调递增,在(4,6)内单调递减,
所以x=4时,L取得最大值,最大值为21元.
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8.[探究点二·北师大版教材习题]某体育馆要建造一个长方形游泳池,其容积为4 800 m3,深为3 m.如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍,怎样设计水池能使总造价最低
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所以当x∈(0,40)时,y'<0,当x∈(40,+∞)时,y'>0,
当x=40时,函数取得最小值,最小值为2 880.
即当水池池底的长、宽均为40 m时,总造价最低.
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9.(2023四川宜宾高县校级期中)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万千克,每种植1千克藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是 (x是莲藕种植量,单位:万千克;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万千克,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕( )
A.8万千克 B.6万千克
C.3万千克 D.5万千克
B 级 关键能力提升练
B
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当x∈(0,6)时,g'(x)>0;当x∈(6,8)时,g'(x)<0.
所以函数g(x)在(0,6)内单调递增,在(6,8)内单调递减,
所以x=6时,利润最大,故选B.
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10. 如图所示,一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成,屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方形,点O为正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形状是长方体ABCD-A'B'C'D'.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k>0),下部主体造价与高度成正比,比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为10 m,AB=8 m的仓库,则当总造价最低时,PO=( )
B
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解析 如图,
设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE=4.
由于PO⊥平面ABCD,则有PO⊥OE.
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11.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则该商品零售价定为 元时利润最大,利润的最大值为 元.
30
23 000
解析 设该商品的利润为y元,由题意知,
y=Q(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000,
则y'=-3p2-300p+11 700,
令y'=0得p=30或p=-130(舍),
当p∈(0,30)时,y'>0,当p∈(30,+∞)时,y'<0,
因此当p=30时,y有最大值,ymax=23 000.
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12.如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是 .
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13.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元,每生产1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件
的销售收入为D(x)万元,且D(x)= 为使公司获得最大利润,则应将年产量定为 千件.(注:年利润=年销售收入-年总成本)
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解析 设年利润为W(x),则W(x)=xD(x)-(3x+5)
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14.已知正三棱锥的体积为 ,则其表面积的最小值为 .
解析 设正三棱锥的底面边长为a,高为h,如图,过顶点S作底面ABC的垂线,垂足为O,过O作OD垂直AB于D,连接SD,
∴AB=a,SO=h.
∵SO⊥底面ABC,AB 底面ABC,
∴AB⊥SO,SO⊥OD.
又AB⊥OD,SO∩OD=O,
∴AB⊥平面SOD.
又SD 平面SOD,
∴AB⊥SD,
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当02时,S'>0,
故S在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,故当h=2时,表面积最小,此时
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15. [2023江苏盐城月考]某房地产商建有三栋楼宇A,B,C,三栋楼宇间的距离都为2千米,拟准备在此三栋楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D,规划要求楼宇D对楼宇B,C的视角为 ,如图所示,假设楼宇大小高度忽略不计.
(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值;
(2)当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,拟在楼宇A,B间建休息亭E,在休息亭E和楼宇A,D间分别铺设鹅卵石路AE和防腐木路DE,如图,
已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a,2a(单位:
元/千米,a为常数).记∠BDE=θ,求铺设此鹅卵石路和防
腐木路的总费用的最小值.
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所以f(θ)的最小值为4a.
答:铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元.
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16.某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本
商品当年能全部售完.
(1)写出年利润p(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大 最大年利润是多少 (取e3≈20)
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解 (1)已知每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元.
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∴当7≤x∵11>10,∴当x=e3≈20时,p(x)取得最大值11万元,即当年产量约为20万件,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为11万元.
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C 级 学科素养创新练
17.为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27 cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面,围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).
(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;
(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大
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解 设三棱柱的底面边长为x cm,即A1C=x,则A1A=27-x.
因为△ABC为等边三角形,
解得x=18或x=0(舍去).
即三棱柱的底面边长为18 cm.
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所以当00,V单调递增;
当18所以当x=18时,V取到极大值,也是最大值,(共26张PPT)
第六章
6.1.1 函数的平均变化率 6.1.2 导数及其几何意义
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一·2023河南洛阳月考]函数f(x)=x3从-1到1的平均变化率为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
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3.[探究点一·2023黑龙江大庆龙凤校级期末]在曲线y=x2+6的图象上取一
A
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4.[探究点一](多选题)一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数表达式为h(t)=2t2+2t.下列说法正确的是
( )
A.当t∈[0,3]时,球滚下的垂直距离的改变量Δh=24 m
B.在[2,3]这段时间内球滚下的垂直距离的改变量Δh=12 m
C.在[0,3]上球的平均速度为8 m/s
D.在[2,3]这段时间内球的平均速度为12 m/s
ABCD
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解析 对于选项A,由已知可得h(3)=24,则当t∈[0,3]时,球滚下的垂直距离的改变量Δh=h(3)-h(0)=24 m,即选项A正确;
对于选项B,由已知可得h(2)=12,h(3)=24,在[2,3]这段时间内球滚下的垂直距离的改变量Δh=h(3)-h(2)=12 m,即选项B正确;
对于选项C,h(0)=0,h(3)=24,则在[0,3]上球的平均速度为 =8 m/s,即选项C正确;
对于选项D,在[2,3]这段时间内球的平均速度为 =12 m/s,即选项D正确,
故选ABCD.
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5.[探究点三]已知直线l经过(-1,0),(0,1)两点,且与曲线y=f(x)相切于点A(2,3),则 的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
C
解析 ∵直线l经过(-1,0),(0,1)两点,∴l:y=x+1.
由直线与曲线y=f(x)相切于点A(2,3),
可得曲线在x=2处的导数为f'(2)=1,
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6.[探究点二]汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为 ,其三者的大小关系是 .
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7.[探究点三·2023北京朝阳校级期末]设函数f(x)=x2+x,则
A.-6 B.-3 C.3 D.6
C
解析 f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2+(1+Δx)-1-1=(Δx)2+3Δx,
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8.[探究点一、三·2023河南商丘睢县校级月考]已知自由落体运动的方程为 (g为常数,s是位移,单位是m,t是时间,单位是s ),求:
(1)落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度;
(2)落体在t=10 s这一时刻的瞬时速度.
解(1)落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度是
所以落体在t=10 s这一时刻的瞬时速度是10g.
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9.[探究点四]已知函数f(x)=x2,曲线y=f(x),
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.
解(1)设切点为(x0,y0),
∴f'(1)=2.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),
即2x-y-1=0.
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(2)点P(3,5)不在曲线y=f(x)上,设切点为A(x0,y0),
由(1)知,f'(x0)=2x0,
∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0),①
再由A(x0,y0)在曲线y=f(x)上得y0= ,②
联立①②得x0=1或x0=5.
当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,
此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0;
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,
此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0.
综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为2x-y-1=0或
10x-y-25=0.
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10.设f(x)为可导函数,且满足 =-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
B 级 关键能力提升练
D
即f'(1)=-2.
由导数的几何意义知,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=-2,故选D.
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11.某市实施垃圾分类,家庭厨余垃圾的分出量不断增加,已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示,给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比
乙小区的平均分出量大;
②在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比
甲小区的平均分出量大;
③在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢;
④甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
B
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解析 ①在[t1,t2]这段时间内,甲的增长量小于乙的增长量,所以甲的平均分出量小于乙,故①错误;
②在[t2,t3]这段时间内,甲的增长量小于乙的增长量,所以乙的平均分出量大于甲,故②正确;
③在t2时刻,乙的图象比甲的图象倾斜程度高,瞬时增长率大,故③正确;
④甲的图象为一条直线,所以三个时间段的平均分出量相等,故④错误.
故选B.
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12.(多选题)某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,则( )
A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s
B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s
C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时
D.物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s
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即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s,B正确.
对于C,设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s,
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所以t0=4,物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s,C正确.
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13.(多选题)设点P为曲线C:f(x)=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线的
AC
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解析 设点P的横坐标为x0,
则点P处切线的倾斜角α与x0的关系为
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14.已知f(x+h)-f(x)=2hx+5h+h2,用割线逼近切线的方法可以求得f'(x)= .
2x+5
解析 因为f(x+h)-f(x)=2hx+5h+h2,
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15.已知函数f(x)=x2+2x,曲线y=f(x)在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P的坐标是 .
(0,0)
解析 设P(x0,y0),
因为点P处的切线垂直于直线x+2y=0,
所以点P处的切线的斜率为2,
所以2x0+2=2,解得x0=0,即点P的坐标是(0,0).
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16.已知函数f(x)=x3,若曲线y=f(x)在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为 ,求a的值.
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C 级 学科素养创新练
17.已知函数f(x)= ,曲线y=f(x).
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程;
(2)求满足斜率为 的曲线的切线方程.
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故切线的斜率k=-4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y=-4(x-1),
即4x+y-4=0.
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17(共32张PPT)
第六章
6.2.2 导数与函数的极值、最值
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一(角度1)](多选题)[2023浙江宁波奉化期末]如图为函数f(x)的导函数的图象,则下列判断正确的是( )
A.f(x)在x=1处取得极大值
B.x=-1是f(x)的极小值点
C.f(x)在(2,4)内单调递减,在(-1,2)内单调递增
D.x=2是f(x)的极小值点
BC
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解析 由函数f(x)的导函数的图象可知,
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(-1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(2,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴x=-1是f(x)的极小值点,故B正确;
f(x)在(2,4)内单调递减,在(-1,2)内单调递增,故C正确;
x=2是f(x)的极大值点,故D错误;
f(x)在x=1处取不到极值,故A错误.
故选BC.
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2.[探究点一(角度2)·2023陕西西安蓝田月考]函数f(x)= x2-ln x的极小值为
( )
A. B.1 C.0 D.不存在
A
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3.[探究点二]函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为( )
A.4e-1 B.1 C.e2 D.3e2
C
解析 ∵f'(x)=(x2+2x)ex+1=x(x+2)ex+1,
∴令f'(x)=0,解得x=-2或x=0.
又∵当x∈[-2,1]时,ex+1>0,
∴当-2当00.
∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.
又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,
∴f(x)的最大值为e2.
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4.[探究点二·2023山东枣庄市中校级月考]已知函数f(x)=x3-3x-1,若在区间
[-3,2]上函数f(x)的最大值为M,最小值为N,则M+N=( )
A.-22 B.-20 C.-18 D.-16
C
解析 因为f(x)=x3-3x-1,所以f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
当x>1或x<-1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当-1故函数在[-3,-1]上单调递增,[-1,1]上单调递减,[1,2]上单调递增.
因为f(-1)=1,f(2)=1,f(1)=-3,f(-3)=-19,
故M=1,N=-19,
则M+N=-18.故选C.
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5.[探究点三·2023江苏南京建邺校级开学考试]已知函数
f(x)=ex- x2-ax(a∈R)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.[0,1] D.(1,+∞)
D
解析 函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-x-a.
令h(x)=ex-x-a,则h'(x)=ex-1.
当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
故x=0时,h(x)取得唯一极小值,也是最小值h(0)=1-a.
当x→+∞时,h(x)→+∞;当x→-∞时,h(x)→+∞.
若要使f(x)有两个极值点,则h(x)有两个变号零点,
故1-a<0,即a>1.故选D.
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6.[探究点三]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x= 是y=f(x)的极值点,则a+b= .
-2
解析 ∵f'(x)=3x2+2ax+b,
解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.
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7.[探究点三]若函数f(x)= x2-x+aln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是 .
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8.[探究点三]函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为 .
-71
解析 f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
令f'(x)=0,得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20,则f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.
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9.[探究点二·2023江苏常州天宁校级期中]函数f(x)=xcos x-sin x在区间[-π,0]上的最大值为 .
π
解析 由f(x)=xcos x-sin x,得f'(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.
当x∈[-π,0]时,sin x≤0,所以f(x)=-xsin x≤0,
则f(x)在[-π,0]上单调递减,
所以f(x)max=f(-π)=π.
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10.[探究点四·2023贵州模拟]若不等式a(x-1)≥ln(x-1)对任意x>1恒成立,则实数a的取值集合是 .
解析 因为x>1,所以x-1>0.
令t=x-1,则t>0,
故不等式a(x-1)≥ln(x-1)对任意x>1恒成立,可以转化为at≥ln t对任意t>0恒成立.
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11.[探究点二]设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
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B 级 关键能力提升练
12.(多选题)关于函数f(x)=ex-2,下列结论不正确的是( )
A.f(x)没有零点 B.f(x)没有极值点
C.f(x)有极大值点 D.f(x)有极小值点
ACD
解析 令f(x)=0,解得x=ln 2,所以f(x)有零点,所以A选项不正确.
f'(x)=ex>0,所以f(x)在R上递增,没有极值点,所以B选项正确,C,D选项不正确.
故选ACD.
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13.函数f(x)=4x-ln x的最小值为( )
A.1+2ln 2 B.1-2ln 2
C.1+ln 2 D.1-ln 2
A
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14.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=2,其导函数f'(x)满足 >0,若函数g(x)满足exg(x)=f(x),则下列结论错误的是( )
A.函数g(x)在(2,+∞)上单调递增
B.x=2是函数g(x)的极小值点
C.当x≤0时,不等式f(x)≤2ex恒成立
D.函数g(x)至多有两个零点
C
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f'(x)-f(x)>0,故y=g(x)在(2,+∞)内单调递增,选项A正确;当x<2时,f'(x)-f(x)<0,故y=g(x)在(-∞,2)内单调递减,故x=2是函数y=g(x)的极小值点,故选项B正确;由y=g(x)在(-∞,2)内单调递减,则y=g(x)在(-∞,0)内单调递减,
若g(2)<0,则y=g(x)有2个零点,若g(2)=0,则函数y=g(x)有1个零点,若g(2)>0,则函数y=g(x)没有零点,故选项D正确.故选C.
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15.已知函数f(x)= +2ln x,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是 .
[e,+∞)
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于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
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当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)内单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.
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17.[2023浙江开学考试]已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).
(1)当a=0时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若x>1时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)当a=0时,f(x)=(x+1)ln x,f'(x)=ln x+1+ ,f'(1)=2,f(1)=0,则切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.
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记μ(x)=x2+(2-2a)x+1,Δ=4a(a-2).
①当0≤a≤2时,Δ≤0,μ(x)>0在(1,+∞)内恒成立,即h'(x)>0在(1,+∞)内恒成立,
所以h(x)在(1,+∞)内单调递增,则h(x)>h(1)=0.
②当a<0时,2-2a>0,μ(x)>0在(1,+∞)内恒成立,即h'(x)>0在(1,+∞)内恒成立,
所以h(x)在(1,+∞)内单调递增,则h(x)>h(1)=0.
③当a>2时,Δ=4a(a-2)>0,设μ(x)=0的两根为x1,x2,不妨设x10,x1x2=1,则0所以当x∈(1,x2)时,μ(x)<0,
即h'(x)<0,则h(x)在(1,x2)内单调递减,又h(1)=0,则当x∈(1,x2)时,h(x)<0,矛盾.
综上所述,a≤2,即实数a的取值范围是(-∞,2].
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18.已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥ x3+1,求a的取值范围.
C 级 学科素养创新练
解 (1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.
故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
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所以g(x)在(0,2)内单调递增,而g(0)=1,
故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.
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19.[2023上海静安二模]已知函数f(x)= x2-(a+1)x+aln x(其中a为常数).
(1)若a=-2,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当a<0时,求函数y=f(x)的最小值;
(3)当0≤a<1时,试讨论函数y=f(x)的零点个数,并说明理由.
f'(2)=2,又f(2)=4-2ln 2,
所以切线方程为y-(4-2ln 2)=2(x-2),
即2x-y-2ln 2=0.
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令f'(x)=0,解得x1=a,x2=1,
当a<0时,f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)的情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
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(3)当a=0时,f(x)= x2-x,令f(x)=0,解得x1=2,x2=0(舍去),所以函数y=f(x)在(0,+∞)上有一个零点;
当0x (0,a) a (a,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)在(0,a)内单调递增,在(a,1)内单调递减,
所以函数y=f(x)在(0,1)内没有零点;
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所以函数f(x)在(1,+∞)内只有一个零点.
综上可得,当0≤a<1时,f(x)在(0,+∞)内有一个零点.(共28张PPT)
第六章
6.2.1 导数与函数的单调性
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是( )
D
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解析 根据导函数图象,y=f(x)的单调递增区间为(-3,-1),(0,1),单调递减区间为(-1,0),(1,3),观察选项可得D符合,故选D.
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2.[探究点二·2023山西吕梁期末]函数f(x)=2ln x-x的单调递增区间为( )
A.(-∞,2) B.(-2,2) C.(0,2) D.(2,+∞)
C
所以0故选C.
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3.[探究点三]已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是( )
B
解析 f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)内恒成立,且不恒为0,
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4.[探究点三]若函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是 .
解析 f(x)=(-x2+ax)ex,则f'(x)=ex(-x2+ax-2x+a),
函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)内存在单调递减区间,
只需-x2+ax+a-2x≤0在区间(-1,1)内有解,
g(-1)=-1-(a-2)+a=1>0,
只需g(1)<0,
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5.[探究点二·2023江苏淮安期末]已知定义在区间(0,π)内的函数
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6.[探究点三·2023河南新乡长垣月考]若函数f(x)=(x2+mx+1)ex在区间[-1,1]上单调递减,则实数m的取值范围为 .
(-∞,-2]
解析 f'(x)=[x2+(m+2)x+m+1]ex=(x+m+1)(x+1)ex.
由题意得f'(x)=(x+m+1)(x+1)ex≤0在[-1,1]上恒成立.
因为(x+1)ex≥0,所以x+m+1≤0在[-1,1]上恒成立,
即m≤-x-1在[-1,1]上恒成立.
设g(x)=-x-1,x∈[-1,1],只需m≤g(x)min,易知g(x)=-x-1在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=-2,
所以m≤-2,即m的取值范围是(-∞,-2].
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7.[探究点二、三·2023四川成都外国语学校校考阶段练习]已知函数
f(x)= x2-ax-2ln x(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.
令f'(x)>0,得x>2,令f'(x)<0,得0从而,函数f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).
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g(x)min=g(1)=-1.
从而a≤g(x)min,即a≤-1.
所以实数a的取值范围是(-∞,-1].
B 级 关键能力提升练
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8.[2023河北张家口期末]已知函数f(x)为偶函数,定义域为R,当x>0时,f'(x)<0,则不等式f(x2-x)-f(x)>0的解集为( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,1) D.(-2,2)
B
解析 因为当x>0时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,
又函数f(x)是偶函数,所以当自变量取值的绝对值越小时,函数值越大.
由f(x2-x)-f(x)>0,得f(x2-x)>f(x),
所以|x2-x|<|x|,显然x≠0,所以可化简为|x-1|<1,则-1故选B.
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9.[2023山东聊城高二校考阶段练习]设函数f(x)=2x- -aln x在(1,2)内单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.[4,5] B.(5,+∞) C.[4,+∞) D.[5,+∞)
D
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所以h'(x)>0在(1,2)内恒成立,所以h(x)在(1,2)内单调递增,所以h(x)则实数a的取值范围是[5,+∞).
故选D.
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10.(多选题)[2023广西梧州龙圩校级期末]已知正实数x,y满足
BC
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对于B,若x对于C,x1,必有ln(y-x+1)>0,C正确;
对于D,x故选BC.
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CD
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12.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c= .
-12
解析 由题意f'(x)=3x2+2bx+c,
所以3x2+2bx+c=0的两根为-1和3,
所以b=-3,c=-9,b+c=-12.
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13.已知 在(-1,+∞)内单调递减,则实数b的取值范围是 .
(-∞,-1]
解析 由题意,可知f'(x)=-x+ ≤0在x∈(-1,+∞)内恒成立,
即b≤x(x+2)在x∈(-1,+∞)内恒成立,
令f(x)=x(x+2)=x2+2x,x∈(-1,+∞),
∴f(x)>-1,∴要使b≤x(x+2),则b≤-1,
故实数b的取值范围为(-∞,-1].
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14.已知函数y=f(x)的定义域为 ,且y=f(x)的图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式x·f'(x)<0的解集是 .
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当x>0时,y=f(x)在(0,1)内单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0成立;
y=f(x)在(1,3)内单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0不成立,
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15.[2023江苏苏州模拟改编]已知函数f(x)=(x+1)ln x-2(x-1),讨论f(x)的单调性.
令g'(x)<0,解得0令g'(x)>0,解得x>1,则g(x)在(1,+∞)内单调递增,
所以g(x)≥g(1)=0,当且仅当x=1时等号成立,
所以f'(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立,
故f(x)在(0,+∞)内单调递增.
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16.[2023重庆高二月考]已知函数f(x)=x-(a+2)ln x- a>0).
(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x-y+1=0平行,求切线l的方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
因为曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x-y+1=0平行,
所以f'(1)=1,即1-(a+2)+2a=1,解得a=2.
所以f(x)=x-4ln x- ,所以f(1)=-3,
所以f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程为y+3=x-1,即x-y-4=0.
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当a>2时,当x>a或00,当2所以函数f(x)在(0,2)和(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减;
当02或00,当a所以函数f(x)在(0,a)和(2,+∞)内单调递增,在(a,2)内单调递减,
综上所述,当a=2时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当a>2时,函数f(x)在(0,2)和(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减;
当01
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17.[2023重庆渝中校级一模]已知奇函数f(x)的定义域为R,当x>0时, 2f(x)+xf'(x)>0,且f(2)=0,则不等式f(x)>0的解集为 .
C 级 学科素养创新练
(-2,0)∪(2,+∞)
解析 设g(x)=x2f(x),x∈R.
∵f(x)为R上的奇函数,
∴易得g(x)为R上的奇函数.
∵g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)],
又当x>0时,2f(x)+xf'(x)>0,
∴当x>0时,g'(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)内单调递增,又g(x)为R上的奇函数,
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∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,g(0)=0.
又g(2)=4f(2)=0,∴g(-2)=-g(2)=0.
作出g(x)的简图如下:
数形结合可得g(x)=x2f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞),
∴f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).第六章6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是( )
2.[探究点二·2023山西吕梁期末]函数f(x)=2ln x-x的单调递增区间为( )
A.(-∞,2) B.(-2,2) C.(0,2) D.(2,+∞)
3.[探究点三]已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-)∪[,+∞)
B.[-]
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-)
4.[探究点三]若函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是 .
5.[探究点二·2023江苏淮安期末]已知定义在区间(0,π)内的函数f(x)=x-2sin x,则f(x)的单调递增区间为 .
6.[探究点三·2023河南新乡长垣月考]若函数f(x)=(x2+mx+1)ex在区间[-1,1]上单调递减,则实数m的取值范围为 .
7.[探究点二、三·2023四川成都外国语学校校考阶段练习]已知函数f(x)=x2-ax-2ln x(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.
B级 关键能力提升练
8.[2023河北张家口期末]已知函数f(x)为偶函数,定义域为R,当x>0时,f'(x)<0,则不等式f(x2-x)-f(x)>0的解集为( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,1) D.(-2,2)
9.[2023山东聊城高二校考阶段练习]设函数f(x)=2x--aln x在(1,2)内单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.[4,5] B.(5,+∞) C.[4,+∞) D.[5,+∞)
10.(多选题)[2023广西梧州龙圩校级期末]已知正实数x,y满足log2x-log2y<()x-()y,则( )
A. B.x3C.ln(y-x+1)>0 D.2x-y<
11.(多选题)已知定义在上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有cos xf'(x)+sin xf(x)<0成立,则( )
A.f
B.>f
C.f
D.
12.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c= .
13.已知f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)内单调递减,则实数b的取值范围是 .
14.已知函数y=f(x)的定义域为,且y=f(x)的图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式x·f'(x)<0的解集是 .
15.[2023江苏苏州模拟改编]已知函数f(x)=(x+1)ln x-2(x-1),讨论f(x)的单调性.
16.[2023重庆高二月考]已知函数f(x)=x-(a+2)ln x-(a>0).
(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x-y+1=0平行,求切线l的方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
C级 学科素养创新练
17.[2023重庆渝中校级一模]已知奇函数f(x)的定义域为R,当x>0时,2f(x)+xf'(x)>0,且f(2)=0,则不等式f(x)>0的解集为 .
6.2.1 导数与函数的单调性
1.D 根据导函数图象,y=f(x)的单调递增区间为(-3,-1),(0,1),单调递减区间为(-1,0),(1,3),观察选项可得D符合,故选D.
2.C f'(x)=-1=,令f'(x)>0,则x<2,又x>0,
所以0故选C.
3.B f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)内恒成立,且不恒为0,
则Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤.
4.-∞, f(x)=(-x2+ax)ex,则f'(x)=ex(-x2+ax-2x+a),
函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)内存在单调递减区间,
只需-x2+ax+a-2x≤0在区间(-1,1)内有解,
记g(x)=-x2+(a-2)x+a,其图象的对称轴为直线x=,开口向下,
g(-1)=-1-(a-2)+a=1>0,
只需g(1)<0,
所以-1+a-2+a<0,解得a<.
5.,π 已知函数f(x)=x-2sinx,
则f'(x)=-2cosx.
令f'(x)≥0,
即cosx≤,
又x∈(0,π),
则≤x<π,
即f(x)的单调递增区间为,π.
6.(-∞,-2] f'(x)=[x2+(m+2)x+m+1]ex=(x+m+1)(x+1)ex.
由题意得f'(x)=(x+m+1)(x+1)ex≤0在[-1,1]上恒成立.
因为(x+1)ex≥0,所以x+m+1≤0在[-1,1]上恒成立,
即m≤-x-1在[-1,1]上恒成立.
设g(x)=-x-1,x∈[-1,1],只需m≤g(x)min,易知g(x)=-x-1在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=-2,
所以m≤-2,即m的取值范围是(-∞,-2].
7.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时,f(x)=x2-x-2lnx,
求导得f'(x)=x-1-,整理,得f'(x)=.
令f'(x)>0,得x>2,令f'(x)<0,得0从而,函数f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).
(2)由题意知当x∈[1,+∞)时,f'(x)≥0恒成立,即x-a-≥0恒成立,即a≤x-恒成立.
设g(x)=x-(x≥1),由g'(x)=1+>0,知g(x)在[1,+∞)内单调递增,所以g(x)min=g(1)=-1.
从而a≤g(x)min,即a≤-1.
所以实数a的取值范围是(-∞,-1].
8.B 因为当x>0时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,
又函数f(x)是偶函数,所以当自变量取值的绝对值越小时,函数值越大.
由f(x2-x)-f(x)>0,得f(x2-x)>f(x),
所以|x2-x|<|x|,显然x≠0,所以可化简为|x-1|<1,则-1故选B.
9.D 因为函数f(x)=2x--alnx在(1,2)内单调递减,所以f'(x)=2+≤0在(1,2)内恒成立,
所以a≥2x+在(1,2)内恒成立.设函数h(x)=2x+,则h'(x)=2-,
所以h'(x)>0在(1,2)内恒成立,所以h(x)在(1,2)内单调递增,所以h(x)则实数a的取值范围是[5,+∞).
故选D.
10.BC 根据题意,设f(x)=log2x-x,x∈(0,+∞),
函数y=log2x和函数y=-x在(0,+∞)内都是增函数,则函数f(x)在(0,+∞)内为增函数.
若log2x-log2y由此分析选项:
对于A,若0对于B,若x对于C,x1,必有ln(y-x+1)>0,C正确;
对于D,x故选BC.
11.CD 设g(x)=,
则g'(x)=,
因为x∈时,cosxf'(x)+sinxf(x)<0,所以x∈时,g'(x)=<0,
因此g(x)在内单调递减,
所以g>g,g>g,
即,
即f,
即.
故选CD.
12.-12 由题意f'(x)=3x2+2bx+c,
所以3x2+2bx+c=0的两根为-1和3,
所以
所以b=-3,c=-9,b+c=-12.
13.(-∞,-1] 由题意,可知f'(x)=-x+≤0在x∈(-1,+∞)内恒成立,
即b≤x(x+2)在x∈(-1,+∞)内恒成立,
令f(x)=x(x+2)=x2+2x,x∈(-1,+∞),
∴f(x)>-1,∴要使b≤x(x+2),则b≤-1,
故实数b的取值范围为(-∞,-1].
14.∪(0,1) 当x<0时,y=f(x)在内单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0成立;y=f(x)在内单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0不成立;
当x>0时,y=f(x)在(0,1)内单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0成立;
y=f(x)在(1,3)内单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0不成立,
所以x·f'(x)<0的解集是-,-∪(0,1).
15.解由f(x)=(x+1)lnx-2(x-1),求导可得,f'(x)=lnx+(x+1)-2=lnx+-1,
令g(x)=f'(x)=lnx+-1,则g'(x)=,
令g'(x)<0,解得0令g'(x)>0,解得x>1,则g(x)在(1,+∞)内单调递增,
所以g(x)≥g(1)=0,当且仅当x=1时等号成立,
所以f'(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立,
故f(x)在(0,+∞)内单调递增.
16.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
由f(x)=x-(a+2)lnx-(a>0),得f'(x)=1-(a>0),
因为曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x-y+1=0平行,
所以f'(1)=1,即1-(a+2)+2a=1,解得a=2.
所以f(x)=x-4lnx-,所以f(1)=-3,
所以f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程为y+3=x-1,
即x-y-4=0.
(2)f'(x)=1-,x∈(0,+∞),
令f'(x)=0,则x=2或x=a.
当a=2时,f'(x)=≥0,所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当a>2时,当x>a或00,当2所以函数f(x)在(0,2)和(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减;
当02或00,当a所以函数f(x)在(0,a)和(2,+∞)内单调递增,在(a,2)内单调递减,
综上所述,当a=2时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当a>2时,函数f(x)在(0,2)和(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减;
当017.(-2,0)∪(2,+∞) 设g(x)=x2f(x),x∈R.
∵f(x)为R上的奇函数,
∴易得g(x)为R上的奇函数.
∵g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)],
又当x>0时,2f(x)+xf'(x)>0,
∴当x>0时,g'(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)内单调递增,又g(x)为R上的奇函数,
∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,g(0)=0.
又g(2)=4f(2)=0,∴g(-2)=-g(2)=0.
作出g(x)的简图如下:
数形结合可得g(x)=x2f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞),
∴f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).第六章6.1 导数
6.1.1 函数的平均变化率 6.1.2 导数及其几何意义
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·2023河南洛阳月考]函数f(x)=x3从-1到1的平均变化率为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
2.[探究点三]若函数f(x)=x+,则f'(1)=( )
A.2 B. C.1 D.0
3.[探究点一·2023黑龙江大庆龙凤校级期末]在曲线y=x2+6的图象上取一点(1,7)及邻近一点(1+Δx,7+Δy),则为( )
A.2+Δx B.Δx--2
C.Δx++2 D.2+Δx-
4.[探究点一](多选题)一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数表达式为h(t)=2t2+2t.下列说法正确的是( )
A.当t∈[0,3]时,球滚下的垂直距离的改变量Δh=24 m
B.在[2,3]这段时间内球滚下的垂直距离的改变量Δh=12 m
C.在[0,3]上球的平均速度为8 m/s
D.在[2,3]这段时间内球的平均速度为12 m/s
5.[探究点三]已知直线l经过(-1,0),(0,1)两点,且与曲线y=f(x)相切于点A(2,3),则的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
6.[探究点二]汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,其三者的大小关系是 .
7.[探究点三·2023北京朝阳校级期末]设函数f(x)=x2+x,则=( )
A.-6 B.-3 C.3 D.6
8.[探究点一、三·2023河南商丘睢县校级月考]已知自由落体运动的方程为s=gt2(g为常数,s是位移,单位是m,t是时间,单位是s ),求:
(1)落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度;
(2)落体在t=10 s这一时刻的瞬时速度.
9.[探究点四]已知函数f(x)=x2,曲线y=f(x),
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.
B级 关键能力提升练
10.设f(x)为可导函数,且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A.2 B.-1
C.1 D.-2
11.某市实施垃圾分类,家庭厨余垃圾的分出量不断增加,已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示,给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大;
②在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大;
③在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢;
④甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
12.(多选题)某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,则( )
A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s
B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s
C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时
D.物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s
13.(多选题)设点P为曲线C:f(x)=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线的倾斜角α∈,则点P的横坐标的取值可能为( )
A. B.-1
C.- D.-
14.已知f(x+h)-f(x)=2hx+5h+h2,用割线逼近切线的方法可以求得f'(x)= .
15.已知函数f(x)=x2+2x,曲线y=f(x)在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P的坐标是 .
16.已知函数f(x)=x3,若曲线y=f(x)在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,求a的值.
C级 学科素养创新练
17.已知函数f(x)=,曲线y=f(x).
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程;
(2)求满足斜率为-的曲线的切线方程.
6.1.1 函数的平均变化率
6.1.2 导数及其几何意义
1.B 函数f(x)从-1到1的平均变化率为=1.
故选B.
2.D f'(1)=1-=0.
3.A 由题意可知,=2+Δx.
故选A.
4.ABCD 对于选项A,由已知可得h(3)=24,则当t∈[0,3]时,球滚下的垂直距离的改变量Δh=h(3)-h(0)=24m,即选项A正确;
对于选项B,由已知可得h(2)=12,h(3)=24,在[2,3]这段时间内球滚下的垂直距离的改变量Δh=h(3)-h(2)=12m,即选项B正确;
对于选项C,h(0)=0,h(3)=24,则在[0,3]上球的平均速度为=8m/s,即选项C正确;
对于选项D,在[2,3]这段时间内球的平均速度为=12m/s,即选项D正确,
故选ABCD.
5.C ∵直线l经过(-1,0),(0,1)两点,∴l:y=x+1.
由直线与曲线y=f(x)相切于点A(2,3),
可得曲线在x=2处的导数为f'(2)=1,
∴f'(2)==1.
6. ∵=kMA,
=kAB,=kBC,
由图象可知,kMA7.C f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2+(1+Δx)-1-1=(Δx)2+3Δx,
∴(Δx+3)=3,故选C.
8.解(1)落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度是
=gt0+gd.
(2)由(1)知落体在[10,10+Δt]这段时间的平均速度是=10g+gΔt,
所以=10g,
所以落体在t=10s这一时刻的瞬时速度是10g.
9.解(1)设切点为(x0,y0),
∵f'(x0)=
==2x0,
∴f'(1)=2.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),
即2x-y-1=0.
(2)点P(3,5)不在曲线y=f(x)上,设切点为A(x0,y0),
由(1)知,f'(x0)=2x0,
∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0), ①
再由A(x0,y0)在曲线y=f(x)上得y0=, ②
联立①②得x0=1或x0=5.
当切点为(1,1)时,
切线的斜率为k1=2x0=2,
此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0;
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,
此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0.
综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.
10.D ∵
==-1,
∴=-2,
即f'(1)=-2.
由导数的几何意义知,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=-2,故选D.
11.B ①在[t1,t2]这段时间内,甲的增长量小于乙的增长量,所以甲的平均分出量小于乙,故①错误;
②在[t2,t3]这段时间内,甲的增长量小于乙的增长量,所以乙的平均分出量大于甲,故②正确;
③在t2时刻,乙的图象比甲的图象倾斜程度高,瞬时增长率大,故③正确;
④甲的图象为一条直线,所以三个时间段的平均分出量相等,故④错误.
故选B.
12.BCD 对于A,
=
=(3+Δt)=3,
即物体在t=1s时的瞬时速度为3m/s,A错误.
对于B,
=(1+Δt)=1,
即物体在t=0s时的瞬时速度为1m/s,B正确.
对于C,设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s,
又(2t0+1+Δt)=2t0+1=9,
所以t0=4,物体在t=4s时的瞬时速度为9m/s,C正确.
对于D,=2(m/s),D正确.
故选BCD.
13.AC 设点P的横坐标为x0,
则点P处切线的倾斜角α与x0的关系为tanα=f'(x0)==2x0+2.
∵α∈,
∴tanα∈[1,+∞),
∴2x0+2≥1,即x0≥-,
故选AC.
14.2x+5 因为f(x+h)-f(x)=2hx+5h+h2,
所以f'(x)=(2x+5+h)=2x+5.
15.(0,0) 设P(x0,y0),
则f'(x0)=(2x0+2+Δx)=2x0+2.
因为点P处的切线垂直于直线x+2y=0,
所以点P处的切线的斜率为2,
所以2x0+2=2,解得x0=0,即点P的坐标是(0,0).
16.解∵f'(a)==3a2,
∴曲线在(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a),切线与x轴的交点为.
∴三角形的面积为|a3|=,得a=±1.
17.解(1)设过点A(1,0)的切线的切点为P,
则f'(x0)==-,即该切线的斜率为k=-.
因为点A(1,0),P在切线上,
所以=-,
解得x0=.
故切线的斜率k=-4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y=-4(x-1),
即4x+y-4=0.
(2)设斜率为-的切线的切点为Q,
由(1)知,k=f'(a)=-=-,得a=±.
所以切点坐标为或-,-.
故满足斜率为-的曲线的切线方程为y-=-(x-)或y+=-(x+),
即x+3y-2=0或x+3y+2=0.(共26张PPT)
第六章
6.1.3 基本初等函数的导数 6.1.4 求导法则及其应用
A 级 必备知识基础练
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A
解析 f(x)=cos x,f'(x)=-sin x,
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2.[探究点二·2023新疆高三月考]函数y=x2sin x的导数为( )
A.y'=x2sin x+2xcos x
B.y'=2xsin x-x2cos x
C.y'=2xsin x+x2cos x
D.y'=x2sin x-2xcos x
C
解析 y'=(x2)'·sin x+x2·(sin x)'=2xsin x+x2cos x,故选C.
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3.[探究点四]某质点的运动方程为s(t)= (s的单位:米,t的单位:秒),则质点在t=3秒时的速度为( )
A.-4×3-4米/秒 B.-3×3-4米/秒
C.-5×3-5米/秒 D.-4×3-5米/秒
D
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4.[探究点一](多选题)[2023湖南郴州期末]下列选项正确的是( )
A.y=ln 2,则y'=0
ABD
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解析 对于选项A,若y=ln 2,则y'=0,A正确;
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5.[探究点三·2023江苏高二校联考阶段练习]已知函数f(x)=cos 2x,则
-1
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6.[探究点四]曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .
y=2x
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7.[探究点二·2023重庆九龙坡校级期末]已知函数f(x)=xln x+3x2-1,则f'(1)= .
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解析 因为f(x)=xln x+3x2-1,
所以f'(1)=ln 1+6+1=7.
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8.[探究点二、三]求下列函数的导数:
(2)y=ex(1+cos x)-2x;
(3)y=log3(5x-1).
(2)因为y=ex(1+cos x)-2x,
所以y'=ex(1+cos x-sin x)-2xln 2.
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9.[探究点四]设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
解 因为f(x)=x3+ax2+bx+1,
所以f'(x)=3x2+2ax+b.
令x=1,得f'(1)=3+2a+b,又f'(1)=2a,所以3+2a+b=2a,解得b=-3.
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B 级 关键能力提升练
10.[2023天津河东校级期末]下列求导运算正确的个数是( )
①若f(x)=x2e2x-1,则f'(x)=2xe2x-1(x+1);
A.1 B.2 C.3 D.4
C
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解析 ①若f(x)=x2e2x-1,则f'(x)=2xe2x-1+2x2e2x-1=2xe2x-1(x+1),故①正确;
③若f(x)=(2x-3)sin(2x+5),则f'(x)=2sin(2x+5)+2(2x-3)cos(2x+5),故③错误;
∴正确的个数是3.
故选C.
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11.已知函数f(x)=e-2x+1,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )
A
解析 依题意,得f'(x)=e-2x·(-2)=-2e-2x,f'(0)=-2e-2×0=-2.
曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,
即y=-2x+2.
在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x
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12.曲线y= +1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为( )
A.y=x-1 B.y=x
C.y=x+1 D.y=x+2
C
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f'(x)>0, x>0,f'(x)>0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,
则f(x)≥f(0)=0,
故切点为(0,1),切线斜率为1,
所以切线方程为y=x+1.故选C.
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13.已知函数f(x)=ln(2x-1),曲线y=f(x)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是
( )
A
解析 由题意,曲线y=f(x)上与直线2x-y+3=0平行的切线的切点到直线
2x-y+3=0的距离最短.
设切点坐标为(x0,y0).
∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).
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14.(多选题)[2023天津高二课时练习]已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A.f(x)=x B.f(x)=ex
C.f(x)=tan x
AB
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解析 对于A,f(x)=x,则f'(x)=1,令f(x)=f'(x),则x=1,故f(x)有“巧值点”;
对于B,f(x)=ex,则f'(x)=ex,因为f(x)=f'(x)恒成立,故任意的x∈R,都是f(x)的“巧值点”;
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15.已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,则l在y轴上的截距为 .
1
解析 由f(x)=ax-ln x,可得 ,则切线的斜率为k=f'(1)=a-1,切点坐标为(1,a),切线方程l为y-a=(a-1)(x-1),
所以l在y轴上的截距为a+(a-1)(-1)=1.
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16.[2023山西模拟]已知函数f(x)=f'(1)ex-x,则f(0)= .
解析 f(x)=f'(1)ex-x,
则f'(x)=f'(1)ex-1,
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17.[2023广东清远阳山南阳中学月考]设函数 ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,则a= ,b= .
1
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因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,因此f'(1)=ae=e,a=1,f(1)=b=2,
所以a=1,b=2.
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18.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=ex(2x+1)+f(x),f(0)=-2,则不等式f(x)<4ex的解集为 .
(-3,2)
∵f(0)=-2,∴c=-2,∴f(x)=ex·(x2+x-2),
∴不等式f(x)<4ex的解集等价于x2+x-2<4,
解得-31
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19.[2023江苏高二月考]已知函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若直线l与圆C:x2+y2= 相切,求a的值.
又f(1)=a+2ln 1=a,切线l的方程为y-a=2(a-1)(x-1),
即2x-y-a+2=0.
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C 级 学科素养创新练
解 (1)∵f(x)=eπxsin πx,
∴f'(x)=πeπxsin πx+πeπxcos πx=πeπx(sin πx+cos πx).
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(2)设切点的坐标为P(x0,y0),
由题意可知f'(x0)=0.
解得x0=0,此时y0=1.
即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.第六章6.2.2 导数与函数的极值、最值
A级 必备知识基础练
1.[探究点一(角度1)](多选题)[2023浙江宁波奉化期末]如图为函数f(x)的导函数的图象,则下列判断正确的是( )
A.f(x)在x=1处取得极大值
B.x=-1是f(x)的极小值点
C.f(x)在(2,4)内单调递减,在(-1,2)内单调递增
D.x=2是f(x)的极小值点
2.[探究点一(角度2)·2023陕西西安蓝田月考]函数f(x)=x2-ln x的极小值为( )
A. B.1
C.0 D.不存在
3.[探究点二]函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为( )
A.4e-1 B.1 C.e2 D.3e2
4.[探究点二·2023山东枣庄市中校级月考]已知函数f(x)=x3-3x-1,若在区间[-3,2]上函数f(x)的最大值为M,最小值为N,则M+N=( )
A.-22 B.-20 C.-18 D.-16
5.[探究点三·2023江苏南京建邺校级开学考试]已知函数f(x)=ex-x2-ax(a∈R)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.[0,1] D.(1,+∞)
6.[探究点三]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b= .
7.[探究点三]若函数f(x)=x2-x+aln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是 .
8.[探究点三]函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为 .
9.[探究点二·2023江苏常州天宁校级期中]函数f(x)=xcos x-sin x在区间[-π,0]上的最大值为 .
10.[探究点四·2023贵州模拟]若不等式a(x-1)≥ln(x-1)对任意x>1恒成立,则实数a的取值集合是 .
11.[探究点二]设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
B级 关键能力提升练
12.(多选题)关于函数f(x)=ex-2,下列结论不正确的是( )
A.f(x)没有零点 B.f(x)没有极值点
C.f(x)有极大值点 D.f(x)有极小值点
13.函数f(x)=4x-ln x的最小值为( )
A.1+2ln 2 B.1-2ln 2
C.1+ln 2 D.1-ln 2
14.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=2,其导函数f'(x)满足>0,若函数g(x)满足exg(x)=f(x),则下列结论错误的是( )
A.函数g(x)在(2,+∞)上单调递增
B.x=2是函数g(x)的极小值点
C.当x≤0时,不等式f(x)≤2ex恒成立
D.函数g(x)至多有两个零点
15.已知函数f(x)=+2ln x,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是 .
16.设f(x)=aln x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
17.[2023浙江开学考试]已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).
(1)当a=0时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若x>1时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
C级 学科素养创新练
18.已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.
19.[2023上海静安二模]已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x(其中a为常数).
(1)若a=-2,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当a<0时,求函数y=f(x)的最小值;
(3)当0≤a<1时,试讨论函数y=f(x)的零点个数,并说明理由.
6.2.2 导数与函数的极值、最值
1.BC 由函数f(x)的导函数的图象可知,
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(-1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(2,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴x=-1是f(x)的极小值点,故B正确;
f(x)在(2,4)内单调递减,在(-1,2)内单调递增,故C正确;
x=2是f(x)的极大值点,故D错误;
f(x)在x=1处取不到极值,故A错误.
故选BC.
2.A 由f(x)=x2-lnx,x>0,
得f'(x)=x-.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)的极小值为f(1)=.
故选A.
3.C ∵f'(x)=(x2+2x)ex+1=x(x+2)ex+1,
∴令f'(x)=0,解得x=-2或x=0.
又∵当x∈[-2,1]时,ex+1>0,
∴当-2当00.
∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.
又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,
∴f(x)的最大值为e2.
4.C 因为f(x)=x3-3x-1,
所以f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
当x>1或x<-1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当-1故函数在[-3,-1]上单调递增,[-1,1]上单调递减,[1,2]上单调递增.
因为f(-1)=1,f(2)=1,f(1)=-3,f(-3)=-19,
故M=1,N=-19,
则M+N=-18.
故选C.
5.D 函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-x-a.
令h(x)=ex-x-a,则h'(x)=ex-1.
当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
故x=0时,h(x)取得唯一极小值,也是最小值h(0)=1-a.
当x→+∞时,h(x)→+∞;当x→-∞时,h(x)→+∞.
若要使f(x)有两个极值点,则h(x)有两个变号零点,
故1-a<0,即a>1.
故选D.
6.-2 ∵f'(x)=3x2+2ax+b,
∴
解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.
7.0, 因为函数f(x)=x2-x+alnx有两个不同的极值点,
所以f'(x)=x-1+=0在(0,+∞)内有2个不同的零点,
所以方程x2-x+a=0在(0,+∞)内有两个不同的实数根,
所以解得08.-71 f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
令f'(x)=0,得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20,则f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.
9.π 由f(x)=xcosx-sinx,得f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.
当x∈[-π,0]时,sinx≤0,所以f(x)=-xsinx≤0,
则f(x)在[-π,0]上单调递减,
所以f(x)max=f(-π)=π.
10.,+∞ 因为x>1,所以x-1>0.
令t=x-1,则t>0,
故不等式a(x-1)≥ln(x-1)对任意x>1恒成立,可以转化为at≥lnt对任意t>0恒成立.
即a≥在(0,+∞)内恒成立.
令g(t)=,
则g'(t)=,令g'(t)<0,则t>e,令g'(t)>0,则0故t>e时,函数g(t)单调递减,当0所以g(t)max=g(e)=.
所以a≥.
所以实数a的取值集合是,+∞.
11.解易知f(x)的定义域为.
(1)f'(x)=+2x=.
当-0;
当-1当x>-时,f'(x)>0,
从而f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减.
(2)由(1)知,f(x)在区间上的最小值为f=ln2+.
又因为f-f=ln-ln=ln<0,
所以f(x)在区间上的最大值为f+ln.
12.ACD 令f(x)=0,解得x=ln2,所以f(x)有零点,所以A选项不正确.
f'(x)=ex>0,所以f(x)在R上递增,没有极值点,所以B选项正确,C,D选项不正确.
故选ACD.
13.A f'(x)=4-(x>0).
令f'(x)>0,得x>;令f'(x)<0,得0所以当x=时,函数有最小值为f=4×-ln=1+ln4=1+2ln2.故选A.
14.C ∵exg(x)=f(x),∴g(x)=,则g'(x)=,由题意得当x>2时,f'(x)-f(x)>0,故y=g(x)在(2,+∞)内单调递增,选项A正确;当x<2时,f'(x)-f(x)<0,故y=g(x)在(-∞,2)内单调递减,故x=2是函数y=g(x)的极小值点,故选项B正确;由y=g(x)在(-∞,2)内单调递减,则y=g(x)在(-∞,0)内单调递减,由g(0)==2,得当x≤0时,g(x)≥g(0),∴≥2,故f(x)≥2ex,故选项C错误;若g(2)<0,则y=g(x)有2个零点,若g(2)=0,则函数y=g(x)有1个零点,若g(2)>0,则函数y=g(x)没有零点,故选项D正确.故选C.
15.[e,+∞) 由f(x)=+2lnx,得f'(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,
令f'(x)=0,得x=-(舍去)或x=.
当0时,f'(x)>0.
故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=lna+1.
要使f(x)≥2恒成立,需lna+1≥2恒成立,则a≥e.
16.解(1)因为f(x)=alnx+x+1,
故f'(x)=.
由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-=0,解得a=-1.
(2)由(1),知f(x)=-lnx+x+1(x>0),
f'(x)=-.令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-.
因为x2=-不在定义域内,舍去.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)内单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.
17.解(1)当a=0时,f(x)=(x+1)lnx,f'(x)=lnx+1+,f'(1)=2,f(1)=0,则切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.
(2)当x>1时,f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)>0恒成立,即lnx->0恒成立.
令h(x)=lnx-,则h'(x)=,
记μ(x)=x2+(2-2a)x+1,Δ=4a(a-2).
①当0≤a≤2时,Δ≤0,μ(x)>0在(1,+∞)内恒成立,即h'(x)>0在(1,+∞)内恒成立,
所以h(x)在(1,+∞)内单调递增,则h(x)>h(1)=0.
②当a<0时,2-2a>0,μ(x)>0在(1,+∞)内恒成立,即h'(x)>0在(1,+∞)内恒成立,
所以h(x)在(1,+∞)内单调递增,则h(x)>h(1)=0.
③当a>2时,Δ=4a(a-2)>0,设μ(x)=0的两根为x1,x2,不妨设x10,x1x2=1,则0所以当x∈(1,x2)时,μ(x)<0,
即h'(x)<0,则h(x)在(1,x2)内单调递减,又h(1)=0,则当x∈(1,x2)时,h(x)<0,矛盾.
综上所述,a≤2,即实数a的取值范围是(-∞,2].
18.解(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.
故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
(2)f(x)≥x3+1等价于e-x≤1.
设函数g(x)=e-x(x≥0),
则g'(x)=-x3-ax2+x+1-x2+2ax-1e-x=-x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x=-x(x-2a-1)(x-2)e-x.
①若2a+1≤0,即a≤-,则当x∈(0,2)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,2)内单调递增,而g(0)=1,
故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.
②若0<2a+1<2,即-0.
所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)内单调递减,在(2a+1,2)内单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)e-2≤1,即a≥.
所以当≤a<时,g(x)≤1.
③若2a+1≥2,即a≥,则g(x)≤x3+x+1e-x.
由于0∈,故由②可得x3+x+1e-x≤1.
故当a≥时,g(x)≤1.
综上,实数a的取值范围是.
19.解(1)当a=-2时,可得f(x)=x2+x-2lnx,则f'(x)=x+1-,所以f'(2)=2,又f(2)=4-2ln2,
所以切线方程为y-(4-2ln2)=2(x-2),
即2x-y-2ln2=0.
(2)由函数f(x)=x2-(a+1)x+alnx,可得函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=.
令f'(x)=0,解得x1=a,x2=1,
当a<0时,f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)的情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以函数的极小值为f(1)=-a-,也是函数f(x)的最小值,
所以当a<0时,函数f(x)的最小值为-a-.
(3)当a=0时,f(x)=x2-x,令f(x)=0,解得x1=2,x2=0(舍去),所以函数y=f(x)在(0,+∞)上有一个零点;
当0x (0,a) a (a,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)在(0,a)内单调递增,在(a,1)内单调递减,
此时函数f(x)的极大值为f(a)=-a2-a+alna<0,
所以函数y=f(x)在(0,1)内没有零点;
当x>1时,因为0x2-(a+1)x,
令x2-(a+1)x>0,则x>2(a+1),取x=4,则f(4)>0.
因为f(1)=--a<0,函数f(x)在(1,+∞)内单调递增,
所以函数f(x)在(1,+∞)内只有一个零点.
综上可得,当0≤a<1时,f(x)在(0,+∞)内有一个零点.第六章6.1.3 基本初等函数的导数 6.1.4 求导法则及其应用
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]若f(x)=cos x,则f'()=( )
A.-1 B.1 C.0 D.
2.[探究点二·2023新疆高三月考]函数y=x2sin x的导数为( )
A.y'=x2sin x+2xcos x
B.y'=2xsin x-x2cos x
C.y'=2xsin x+x2cos x
D.y'=x2sin x-2xcos x
3.[探究点四]某质点的运动方程为s(t)=(s的单位:米,t的单位:秒),则质点在t=3秒时的速度为( )
A.-4×3-4米/秒 B.-3×3-4米/秒
C.-5×3-5米/秒 D.-4×3-5米/秒
4.[探究点一](多选题)[2023湖南郴州期末]下列选项正确的是( )
A.y=ln 2,则y'=0
B.f(x)=,则f'(3)=-
C.y=2x,则y'=2x
D.y=log2x,则y'=
5.[探究点三·2023江苏高二校联考阶段练习]已知函数f(x)=cos 2x,则f'= .
6.[探究点四]曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .
7.[探究点二·2023重庆九龙坡校级期末]已知函数f(x)=xln x+3x2-1,则f'(1)= .
8.[探究点二、三]求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=ex(1+cos x)-2x;
(3)y=log3(5x-1).
9.[探究点四]设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
B级 关键能力提升练
10.[2023天津河东校级期末]下列求导运算正确的个数是( )
①若f(x)=x2e2x-1,则f'(x)=2xe2x-1(x+1);
②若f(x)=,则f'(x)=;
③若f(x)=(2x-3)sin(2x+5),则f'(x)=2sin(2x+5)+(2x-3)cos(2x+5);
④若f(x)=log2(3x-2),则f'(x)=.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知函数f(x)=e-2x+1,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.1
12.曲线y=+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为( )
A.y=x-1 B.y=x
C.y=x+1 D.y=x+2
13.已知函数f(x)=ln(2x-1),曲线y=f(x)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )
A. B.2 C.3 D.0
14.(多选题)[2023天津高二课时练习]已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A.f(x)=x B.f(x)=ex
C.f(x)=tan x D.f(x)=
15.已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,则l在y轴上的截距为 .
16.[2023山西模拟]已知函数f(x)=f'(1)ex-x,则f(0)= .
17.[2023广东清远阳山南阳中学月考]设函数f(x)=aexln x+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,则a= ,b= .
18.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=ex(2x+1)+f(x),f(0)=-2,则不等式f(x)<4ex的解集为 .
19.[2023江苏高二月考]已知函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若直线l与圆C:x2+y2=相切,求a的值.
C级 学科素养创新练
20.(1)已知f(x)=eπxsin πx,求f'(x)及f'.
(2)设函数f(x)=,在曲线y=f(x)上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.
6.1.3 基本初等函数的导数
6.1.4 求导法则及其应用
1.A f(x)=cosx,f'(x)=-sinx,
∴f'=-1.故选A.
2.C y'=(x2)'·sinx+x2·(sinx)'=2xsinx+x2cosx,故选C.
3.D 由s(t)=得s'(t)='=(t-4)'=-4t-5,得s'(3)=-4×3-5,故选D.
4.ABD 对于选项A,若y=ln2,则y'=0,A正确;
对于选项B,若f(x)=,则f'(x)=-,故f'(3)=-,B正确;
对于选项C,若y=2x,则y'=2xln2,C错误;
对于选项D,若y=log2x,则y'=,D正确.
故选ABD.
5.-1 f'(x)=-2sin2x,则f'=-2sin=-1.
6.y=2x 设切点坐标为(x0,y0).对y=lnx+x+1求导可得y'=+1.
由题意得,+1=2,解得x0=1,故y0=ln1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
7.7 因为f(x)=xlnx+3x2-1,
所以f'(x)=lnx+x·+6x=lnx+6x+1,
所以f'(1)=ln1+6+1=7.
8.解(1)因为y=(x≠0),所以y'=.
(2)因为y=ex(1+cosx)-2x,
所以y'=ex(1+cosx-sinx)-2xln2.
(3)因为y=log3(5x-1)x>,
所以y'=×5=.
9.解因为f(x)=x3+ax2+bx+1,
所以f'(x)=3x2+2ax+b.
令x=1,得f'(1)=3+2a+b,又f'(1)=2a,所以3+2a+b=2a,解得b=-3.
令x=2,得f'(2)=12+4a+b,又f'(2)=-b,所以12+4a+b=-b,解得a=-.
则f(x)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=-.
又f'(1)=2×=-3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0.
10.C ①若f(x)=x2e2x-1,则f'(x)=2xe2x-1+2x2e2x-1=2xe2x-1(x+1),故①正确;
②若f(x)=,则f'(x)=,故②正确;
③若f(x)=(2x-3)sin(2x+5),则f'(x)=2sin(2x+5)+2(2x-3)cos(2x+5),故③错误;
④若f(x)=log2(3x-2),则f'(x)=,故④正确.
∴正确的个数是3.
故选C.
11.A 依题意,得f'(x)=e-2x·(-2)=-2e-2x,f'(0)=-2e-2×0=-2.
曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,
即y=-2x+2.
在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),
结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×.
12.C 由题得y'=,设切点为(x0,y0)(x0≥0),
则当x=x0时,y'=1,
则=cosx0-sinx0,
令f(x)=ex-cosx+sinx,
则f'(x)=ex+sinx+cosx=ex+sinx+,
当00,而当x≥1时,ex≥e,sinx+cosx≥-,f'(x)>0, x>0,f'(x)>0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,
则f(x)≥f(0)=0,
所以方程=cosx0-sinx0只有一个实根x0=0,
代入原函数得y0=+1=1,
故切点为(0,1),切线斜率为1,
所以切线方程为y=x+1.故选C.
13.A 由题意,曲线y=f(x)上与直线2x-y+3=0平行的切线的切点到直线2x-y+3=0的距离最短.
设切点坐标为(x0,y0).
∵f'(x)=,∴f'(x0)==2,解得x0=1,
∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).
∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=,即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.
14.AB 对于A,f(x)=x,则f'(x)=1,令f(x)=f'(x),则x=1,故f(x)有“巧值点”;
对于B,f(x)=ex,则f'(x)=ex,因为f(x)=f'(x)恒成立,故任意的x∈R,都是f(x)的“巧值点”;
对于C,f(x)=tanx,则f'(x)=,令tanx=,整理得sin2x=2,方程无根,故f(x)=tanx没有“巧值点”;
对于D,f(x)=的定义域为{x|x>0},则f'(x)=-<0,而f(x)>0,
显然方程f(x)=f'(x)无实根,故f(x)=没有“巧值点”.
故选AB.
15.1 由f(x)=ax-lnx,可得f'(x)=a-,则切线的斜率为k=f'(1)=a-1,切点坐标为(1,a),切线方程l为y-a=(a-1)(x-1),
所以l在y轴上的截距为a+(a-1)(-1)=1.
16. f(x)=f'(1)ex-x,
则f'(x)=f'(1)ex-1,
令x=1,则f'(1)=ef'(1)-1,解得f'(1)=,
故f(x)=ex-x,
所以f(0)=.
17.1 2 函数f(x)=aexlnx+,求导得f'(x)=aex+lnx+bex-1,
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,因此f'(1)=ae=e,a=1,f(1)=b=2,
所以a=1,b=2.
18.(-3,2) 由题意,得=2x+1,
∴'=2x+1,
令=x2+x+c,其中c为常数,则f(x)=ex·(x2+x+c),
∵f(0)=-2,∴c=-2,
∴f(x)=ex·(x2+x-2),
∴不等式f(x)<4ex的解集等价于x2+x-2<4,
解得-319.解∵f'(x)=2ax-,∴f'(1)=2a-2.
又f(1)=a+2ln1=a,切线l的方程为y-a=2(a-1)(x-1),
即2x-y-a+2=0.
∵直线l与圆C:x2+y2=相切,
∴圆心(0,0)到直线l的距离为,
∴,解得a=.
20.解(1)∵f(x)=eπxsinπx,
∴f'(x)=πeπxsinπx+πeπxcosπx=πeπx(sinπx+cosπx).
∴f'=π=π.
(2)设切点的坐标为P(x0,y0),
由题意可知f'(x0)=0.
又f'(x)=,
∴f'(x0)==0.
解得x0=0,此时y0=1.
即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.