(共40张PPT)
第六章
6.1.3 基本初等函数的导数 6.1.4 求导法则及其应用
课程标准
1.熟记基本初等函数的导数公式,并能运用这些公式求基本初等函数的导数;
2.掌握导数的运算法则,并能运用法则求复杂函数的导数;
3.掌握复合函数的求导法则,会求复合函数的导数.
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知识点1
基本初等函数的求导公式
C'= ,(xα)'= ,(ax)'= ,(logax)'= ,
(sin x)'= ,(cos x)'= .
名师点睛
特殊函数的导数:
(1)(ex)'=ex.
0
αxα-1
axln a
cos x
-sin x
C
2.已知f(x)=x2,则f'(3)=( )
A.0 B.2x C.6 D.9
C
解析 f'(x)=2x,∴f'(3)=6.
知识点2
求导法则
1.函数和(或差)的求导法则
设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)±g(x)]'= .即两个函数之和(或差)的导数,等于这两个函数的 .
2.函数积的求导法则
设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)g(x)]'= .即两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数.
由上述法则立即可以得出[Cf(x)]'=Cf'(x).即常数与函数之积的导数,等于常数乘以 .
f'(x)±g'(x)
导数之和(或差)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
函数的导数
3.函数的商的求导法则
=
名师点睛
正确理解函数的求导法则应注意以下几点:
(1)两个函数和(差)的求导法则可以推广到若干个函数和(差)的情形:即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).
(2)准确记忆公式形式,应注意:[f(x)g(x)]'≠f'(x)·g'(x)≠f'(x)g(x)-f(x)g'(x);
过关自诊
1.[2023河南三门峡灵宝校级月考]已知函数f(x)=3x+ ,则f'(1)=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
2.[人教A版教材习题]已知函数f(x)=xln x.
(1)求这个函数的导数;
(2)求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程.
解(1)f'(x)=(xln x)'=x'·ln x+x(ln x)'=ln x+1.
(2)因为k=f'(1)=ln 1+1=1,
所以切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.
知识点3
简单复合函数的求导法则
一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f(g(x)),则可以证明,复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=f'(u)·g'(x)=f'(g(x))g'(x).这一结论也可以表示为y'x=y'uu'x.
名师点睛
复合函数求导的主要步骤是:
(1)分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量.
(2)求每一层基本初等函数的导数.
(3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.
过关自诊
[北师大版教材例题]求函数y= 的导数.
u=φ(x)=3x+1复合而成的.
由复合函数的求导法则,可得
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探究点一 利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数:
(4)∵y=5x,∴y'=5xln 5.
规律方法 简单函数求导的解题策略
(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.
(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.
(3)要特别注意“ 与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别.
其中正确的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
C
(2)[人教A版教材习题]求下列函数在给定点的导数:
①f(x)=x5在x=3处的导数;
②f(x)=ln x在x= 处的导数;
③f(x)=sin x在x=2π处的导数;
④f(x)=ex在x=0处的导数.
解①因为f'(x)=5x4,所以f'(3)=5×34=405;
③因为f'(x)=cos x,所以f'(2π)=cos 2π=1;
④因为f'(x)=ex,所以f'(0)=e0=1.
探究点二 利用导数的运算法则求导数
【例2】 [人教A版教材习题]求下列函数的导数:
(1)y=2x3-3x2-4;
(2)y=3cos x+2x;
(3)y=exln x;
解 y'=(2x3)'-(3x2)'-4'=6x2-6x;
解 y'=(3cos x)'+(2x)'=-3sin x+2xln 2;
(6)y=tan x.
规律方法 运用导数求导法则求导的解题策略
(1)对于函数求导问题,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,必须注意变换的等价性,避免不必要的运算错误.
(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相关的三角公式对解析式进行化简与整理,然后套用公式求导.
变式训练2[2023河南模拟]已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=x2f'(1)+x+2,则f'(1)= .
-1
解析 因为f(x)=x2f'(1)+x+2,
则f'(x)=2xf'(1)+1,
故f'(1)=2f'(1)+1,解得f'(1)=-1.
探究点三 复合函数的求导
【例3】 求下列函数的导数:
(1)y=(3x-1)2;
(2)y=ln(5x+2);
解 设y=u2,u=3x-1.
则y'=y'u·u'x=2u·3=6(3x-1)=18x-6.
解 设y=ln u,u=5x+2,
(5)y=cos2x.
解 设y=u2,u=cos x,
则y'=y'u·u'x=2u·(-sin x)=-sin 2x.
规律方法 1.复合函数的求导法则如下:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux'(其中yx'表示y对x的导数).即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
2.复合函数的求导应注意以下几点:
(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量.
(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导,而其中要特别注意的是中间变量的导数.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.
(4)复合函数的求导过程熟练后,中间步骤可以省略不写.
变式训练3(1)[北师大版教材习题]求下列函数的导数:
①y=e-x+2(2x+1)5;
②y=cos(3x-1)-ln(-2x-1);
③y=sin 2x+cos2x;
解①y'=-e-x+2×(2x+1)5+e-x+2×5(2x+1)4×2=(9-2x)(2x+1)4e-x+2;
③y'=2cos 2x-2cos xsin x;
(2)[北师大版教材习题]求曲线y=ln(3x-2)在x=1处的切线的方程.
所以切线方程为y-0=3(x-1),即3x-y-3=0.
探究点四 导数运算法则的应用
【例4】 (1)[2023山西晋城期末]有一机器人的运动方程为s(t)=t2+6t,t是时间,单位是秒,s是位移,单位是米,则该机器人在时刻t=2秒的瞬时速度为
( )
A.5 B.7 C.10 D.13
C
解析 ∵s(t)=t2+6t,∴s'(t)=2t+6,
∴s'(2)=2×2+6=10,故选C.
(2)已知函数f(x)=eax,设曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .
2
解析 曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.
因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
(3)[北师大版教材例题]求曲线f(x)= +2xln x在点(1,0)处的切线的方程.
解根据导数公式表及导数的四则运算法则,可得
规律方法 利用导数运算法则可快速求解f'(x0),分两步完成:(1)根据y=f(x)求y=f'(x);(2)代入x0.这就给我们求瞬时变化率和切线的斜率带来了方便.
变式训练4[北师大版教材习题]求曲线f(x)=x3+x-2与直线y=4x-1平行的切线的方程.
因为切线斜率k=4,所以当切点为(1,0)时,切线方程为y-0=4(x-1),即4x-y-4=0;
当切点为(-1,-4)时,切线方程为y-(-4)=4[x-(-1)],即4x-y=0.
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1
2
3
4
5
1.下列各式正确的是( )
C.(3x)'=3x D.(3x)'=3x·ln 3
D
1
2
3
4
5
2.已知函数f(x)=x+sin x+1,其导函数记为f'(x),则f(2 022)+f'(2 022)+
f(-2 022)-f'(-2 022)=( )
A.2 022 B.2 C.1 D.0
B
解析 因为f'(x)=1+cos x,所以f'(x)为偶函数,所以f'(2 022)-f'(-2 022)
=f'(2 022)-f'(2 022)=0,所以原式等价于f(2 022)+f(-2 022)=2 022+sin 2 022 +1+(-2 022-sin 2 022+1)=2,故选B.
1
2
3
4
5
3.已知函数f(x)=4x-x3,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线的倾斜角是 .
解析 由f(x)=4x-x3,得f'(x)=4-3x2,
所以f'(1)=4-3=1,所以切线的斜率为k=1,
设切线的倾斜角为α,
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.已知抛物线f(x)=ax2+bx-5(a≠0)在点(2,1)处的切线方程为y=-3x+7,求a,b的值.
解∵f'(x)=2ax+b,∴f'(2)=4a+b,
即4a+b=-3.
又点(2,1)在抛物线f(x)=ax2+bx-5上,
∴4a+2b-5=1,即4a+2b=6.(共42张PPT)
第六章
6.1.1 函数的平均变化率 6.1.2 导数及其几何意义
课程标准
1.理解函数平均变化率的概念,会求函数的平均变化率;
2.理解瞬时变化率与导数的概念,会用导数的定义求函数在某点处的导数;
3.理解导数的几何意义,并能应用导数的几何意义解决相关问题.
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知识点1
函数的平均变化率
一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的
改变量;称 为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的 .
平均变化率
名师点睛
函数平均变化率的几何意义:
如图所示,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,就是直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).事实上,
过关自诊
1.已知函数f(x)=x2+1,则在[2,2.1]上函数值的改变量为( )
A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44
B
2.[北师大版教材习题改编]已知函数y=f(x)=-2x+1.
(1)当x从1变为2时,函数值y改变了多少 此时该函数的平均变化率是多少
(2)当x从-1变为1时,函数值y改变了多少 此时该函数的平均变化率是多少
解设因变量的改变量为Δy,函数y关于x的平均变化率为
(1)Δy=f(2)-f(1)=(-2×2+1)-(-2×1+1)=-2,
知识点2
平均速度与平均变化率
从物理学中我们知道,平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢,如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1
段时间内的平均速度为 .这就是说,物体在某段时间内的平均速度等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率.
过关自诊
若质点运动规律为s=t2+3,则在时间段[3,3+Δt]内的平均速度等于( )
A
知识点3
瞬时变化率与导数
一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率 无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作 .
f'(x0)=k
名师点睛
导数定义式的几种常见的变式:
过关自诊
1.[2023贵州黔西高二校考阶段练习]已知函数f(x)=2x+1,则
A.2 B.3 C.4 D.5
A
2.已知函数f(x)=x2,则f(x)在x0处的导数等于 .
2x0
3.[人教A版教材习题]一个小球从5 m的高处自由下落,其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=-4.9t2,求t=1 s时小球的瞬时速度.
所以t=1 s时小球的瞬时速度为-9.8 m/s.
知识点4
导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的 ,从而根据直线的点斜式方程可知,切线的方程是 .
过关自诊
切线的斜率
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
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探究点一 求函数的平均变化率与运动物体的平均速度
【例1】 (1)若某一物体的运动方程为s=-2t2,那么该物体在t=2 到t=3时的平均速度为 .
-10
解析 平均速度为 =-10,故该物体在t=2到t=3时的平均速度为-10.
(2)求函数f(x)= 在区间[-1,0],[1,3],[x0,x0+1]上的平均变化率.
规律方法 求函数平均变化率的解题策略
(1)求函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的解题步骤:
①求函数值的改变量:Δf=f(x2)-f(x1);
②求自变量的改变量:Δx=x2-x1;
(2)运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间[t0,t1]上的平均变化率,因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率.
变式训练1已知函数f(x)=3x2+5,求:
(1)f(x)在区间[0.1,0.2]上的平均变化率;
(2)f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.
解(1)因为f(x)=3x2+5,所以从0.1到0.2的平均变化率为
探究点二 比较平均变化率的大小
(1)甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,则在[0,t0]这个时间段内,甲、乙两人的平均速度v甲,v乙的大小关系是( )
A.v甲>v乙 B.v甲C.v甲=v乙 D.不确定
B
解析 由图知,s1(t0)=s2(t0),s1(0)>s2(0)>0,
(2)已知函数f(x)=3-x2,计算当x0=1,2,3,Δx= 时,平均变化率的值,并比较在哪一点附近的平均变化率最大
解 函数f(x)=3-x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为
∴函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.
规律方法 函数的平均变化率 表示点(x0,f(x0))与点(x1,f(x1))连线的斜率,是曲线陡峭程度的“数量化”,其值可粗略地表示函数的变化趋势.
(1)当比较函数平均变化率的大小时,可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出,然后进行大小的比较.
(2)当识图时,一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系,图象在点x0附近的图象越“陡峭”,函数值变化就越快.
变式训练2[2023山东聊城高二校考练习]如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上,平均变化率最大的一个区间是( )
A.[x1,x2] B.[x2,x3]
C.[x1,x3] D.[x3,x4]
D
解析 由函数f(x)平均变化率的计算公式,可得
结合函数y=f(x)的图象,可得P2故选D.
探究点三 求运动物体的瞬时速度或函数在某一点处的导数
C
(2)[人教A版教材习题]火箭发射t s后,其高度(单位:m)为h(t)=0.9t2.求:
①在1≤t≤2这段时间里,火箭爬高的平均速度;
②发射后第10 s时,火箭爬高的瞬时速度.
所以发射后第10 s时,火箭爬高的瞬时速度为18 m/s.
(3)求函数f(x)=x- 在x=1处的导数.
规律方法 求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称:一差、二比、三极限.
变式训练3求函数f(x)=3x2在x=1处的导数.
解∵Δf=f(1+Δx)-f(1)=3(1+Δx)2-3=6Δx+3(Δx)2,
探究点四 求曲线的切线方程
【例4】 [北师大版教材习题]求函数f(x)= 在x=2处的切线方程.
变式探究已知函数f(x)= ,求过点(2,0)且与曲线y=f(x)相切的直线方程.
规律方法 解决过点M(x1,y1)与曲线y=f(x)相切的切线方程问题的常用方法
方法一:(1)设切点为P(x0,y0),则y0=f(x0),切线斜率k=f'(x0).(2)由kPM=k,得方程
(3)解方程组,得k,x0,y0,从而得切线方程.
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1
2
3
4
5
6
1.如图所示,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
B
1
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6
2.[2023江苏南通如东月考]已知f(x)是定义在R上的可导函数,若
A
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4.已知直线y=3x+1与曲线y=x3+ax+3相切于点(1,4),则a= .
0
解析 由于切点(1,4)在曲线y=x3+ax+3上,所以4=13+a+3,解得a=0.
1
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5.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s= t2,则当t=2 s时,此木块在水平方向的瞬时速度为 m/s.
1
2
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6.[北师大版教材习题]求函数f(x)= +2x在x=1处的切线l的斜率及切线l的方程.
所以当Δx→0时,在x=1处的切线l的斜率为f'(1)=-1+2=1,当x=1时,f(1)=3,切线l的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0.(共35张PPT)
第六章
6.2.1 导数与函数的单调性
课程标准
1.理解导数与函数单调性的关系;
2.能利用导数求函数的单调区间,判断或证明函数的单调性;
3.能利用导数解决函数单调性的综合问题.
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知识点
用导数研究函数的单调性
一般地,(1)如果在区间(a,b)内,f'(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都 0,曲线呈 状态,因此f(x)在(a,b)上是 函数,如图①所示.
(2)如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都 0,曲线呈 状态,因此f(x)在(a,b)上是 函数,如图②所示.
定义域的非空子集
大于
上升
增
小于
下降
减
名师点睛
导数与函数单调性关系的深入理解
(1)若函数f(x)在区间(a,b)内是增函数,则f'(x)≥0在x∈(a,b)内恒成立;同理,若函数f(x)在区间(a,b)内是减函数,则f'(x)≤0在x∈(a,b)内恒成立.
(2)当函数f(x)的单调递增(或递减)区间有多个时,各区间之间不能用“∪”连接,用“,”或“和”连接.
(3)对于函数f(x)来说,f'(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件;f'(x)<0是f(x)在(a,b)内单调递减的充分不必要条件.如f(x)=x3在R上为增函数,但f'(0)=0,所以在x=0处不满足f'(x)>0.
过关自诊
1.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上( )
A.单调递增
B.单调递减
C.先增后减
D.先减后增
A
解析 ∵f(x)=2x-sin x,
∴f'(x)=2-cos x>0在(-∞,+∞)内恒成立,
∴f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.
2.[2023内蒙古赤峰松山校级期末]函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
D
解析 f(x)=(x-3)ex,x∈R,
∴f'(x)=ex+(x-3)ex=ex(x-2),
令f'(x)>0,得x>2.
∴f(x)的单调递增区间是(2,+∞).
故选D.
3.若函数y=x3-2bx+6在区间(2,8)内单调递增,则( )
A.b≤6 B.b<6
C.b≥6 D.b>6
A
解析 y'=3x2-2b,由题意知y'≥0在(2,8)内恒成立,即b≤ x2在(2,8)内恒成立,所以b≤6.故选A.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 函数与导函数图象间的关系
【例1】 (1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为( )
D
解析 由函数的图象可知,当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正.对照选项,应选D.
(2)已知f'(x)是f(x)的导函数,f'(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是
( )
D
规律方法 研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
变式训练1[人教A版教材习题]函数y=f'(x)的图象如图所示,试画出函数y=f(x)图象的大致形状.
解y=f(x)图象的大致形状如图所示.
探究点二 利用导数求函数的单调区间
【例2】 求下列各函数的单调区间:
(1)f(x)=2x3-3x2;
解 函数定义域为R,且f'(x)=6x2-6x.
令f'(x)>0,即6x2-6x>0.
解得x>1或x<0;
令f'(x)<0,即6x2-6x<0,解得0所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0]和[1,+∞),单调递减区间是[0,1].
所以f(x)的单调递增区间是(0,e],单调递减区间是[e,+∞).
(4)f(x)=ex+ax.
解 函数定义域为R,且f'(x)=ex+a.
①当a≥0时,f'(x)=ex+a>0恒成立,f(x)在R上单调递增;
②当a<0时,由f'(x)=ex+a>0,得ex>-a,
所以x>ln(-a),
由f'(x)=ex+a<0,得ex<-a,所以x所以f(x)在(ln(-a),+∞)内单调递增,在(-∞,ln(-a))内单调递减.
综上,当a≥0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞),无单调递减区间;
当a<0时,f(x)的单调递增区间是[ln(-a),+∞),单调递减区间是(-∞,ln(-a)].
规律方法 1.利用导数求函数单调区间的步骤如下:
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)求导数f'(x).
(3)在定义域内解不等式f'(x)>0,得单调递增区间;在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间.
2.与利用函数单调性的定义判断函数的单调性或求函数的单调区间相比,利用导数求函数的单调区间显得更加简单易行,其实质是转化为解不等式问题,但也必须首先求出函数的定义域,在定义域内解不等式.另外,利用导数适合求一些高次函数的单调区间,其单调区间有时不止一个,这时在写出它们的单调区间时,不能将各个区间用并集符号连接.
3.当函数f(x)的解析式中含有参数时,可能需要对参数进行分类讨论才能确定其单调区间.
f'(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2).
令f'(x)>0,解得x<-1或x>2;
令f'(x)<0,解得-1所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1)和(2,+∞),单调递减区间是(-1,2).
(2)[2023辽宁鞍山一模改编]已知函数f(x)= x2-aln x(a∈R,a≠0),求函数f(x)的单调区间.
解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),
探究点三 已知函数的单调性求参数的值或取值范围
【例3】 已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.
解 由已知,得f'(x)=3x2-a.
因为f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立,
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a的取值范围为
(-∞,0].
变式探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值.
解 f'(x)=3x2-a.
①当a≤0时,f'(x)≥0,
∴f(x)在(-∞,+∞)内为增函数.此时不满足题意.
变式探究2若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.
解由题意,可知f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)内恒成立,
即a的取值范围是[3,+∞).
变式探究3若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)内不单调,求实数a的取值范围.
解 ∵f(x)=x3-ax-1,
∴f'(x)=3x2-a.
规律方法 已知f(x)在区间(a,b)上的单调性求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
成果验收·课堂达标检测
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1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是( )
A
解析 f'(x)=-3x2-2x+1,
令f'(x)>0,即-3x2-2x+1>0,
1
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2.若函数f(x)= x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(-∞,-1)∪[3,+∞) B.[-1,3]
C.[0,3] D.[3,+∞)
C
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3.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0时,f(x)( )
A.是增函数
B.是减函数
C.是常数
D.既不是增函数也不是减函数
A
解析 由题意,函数f(x)=x3+ax2+bx+c,可得f'(x)=3x2+2ax+b,令f'(x)=3x2+2ax+b=0,因为Δ=4(a2-3b)<0,所以方程没有根,f'(x)>0恒成立,所以f(x)为增函数.故选A.
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4.[2023重庆高二校级联考期末]函数f(x)=ln(x+2)-ax在(1,3)内单调递增,则实数a的取值集合是 .
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5. 设f'(x)是函数f(x)的导数,y=f'(x)的图象如右图所示,则f(x)的图象最有可能是下列给出的四个图象中的 .(填序号)
③
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解析 由f'(x)的图象知,x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,x∈(0,2)时, f'(x)<0,f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数.只有③符合题意.
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6.求函数f(x)=2ln x-ax的单调区间.
(1)当a≤0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)内单调递增;(共54张PPT)
第六章
6.2.2 导数与函数的极值、最值
课程标准
1.理解极值、极值点的概念,明确极值存在的条件;
2.会求函数的极值;
3.会求函数在闭区间上的最值;
4.能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题.
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目录索引
基础落实·必备知识全过关
知识点1
函数的导数与极值
1.极值点与极值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有
(1) ,则称x0为函数f(x)的一个 ,且f(x)在x0处取极大值;
(2) ,则称x0为函数f(x)的一个 ,且f(x)在x0处取极小值.
只与附近值比较
f(x)极大值点
f(x)>f(x0)
极小值点
极大值点与极小值点都称为 ,极大值与极小值都称为 .显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小.
不是点的坐标
2.极值点的求法
一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有 .
极值点
极值
f'(x0)=0
名师点睛
求函数y=f(x)极值的步骤
第1步,求导数f'(x).
第2步,求方程f'(x)=0的所有实数根.
第3步,观察在每个根x0附近,从左到右,导函数f'(x)的符号如何变化.如果f'(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果由负变正,则f(x0)是极小值.
如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右侧,f'(x)的符号不变,则f(x0)不是极值.
过关自诊
1.[人教A版教材习题]函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,试找出函数f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
解 函数f(x)的极值点有x2,x4,其中极大值点为x2,极小值点为x4.
2.[2023江苏南京鼓楼校级期末]若函数f(x)在x=x0处的导数存在,则“函数f(x)在x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
A
解析 当函数f(x)在x0处取得极值时,f'(x0)=0一定成立,即“函数f(x)在x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的充分条件;
当f'(x0)=0时,若f'(x0)左右两侧同号时,则不能推出在x0处取得极值,如f(x)=x3,
其导函数为f'(x)=3x2,
当x=0时,f'(x0)=0,但f(x)=x3是单调函数,无极值点,
所以“函数f(x)在x0处取得极值”不是“f'(x0)=0”的必要条件.
综上,“函数f(x)在x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的充分不必要条件.
故选A.
3.[2023重庆永川校级月考]函数y=xex的极小值是( )
A.-1 B.-e
C
解析 由y=xex,得y'=ex+xex=(1+x)ex,令y'=0,得x=-1,
所以当x<-1时,y'<0;当x>-1时,y'>0,
所以当x=-1时,函数取得极小值 .
故选C.
知识点2
函数的最值
函数f(x)的最大(小)值是函数定义域内最大(小)的函数值.
一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函数的最值点一定是某个极值点;如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b,要么是极值点.
名师点睛
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
第1步,求f(x)在开区间(a,b)内所有使f'(x)=0的点.
第2步,计算函数f(x)在区间(a,b)内使f'(x)=0的所有点和端点的函数值,其中最大的为最大值,最小的为最小值.
过关自诊
1.函数y=f(x),x∈[a,b]的图象如图所示,请写出它的极值和最值.
解f(x1),f(x3),f(x5)是函数y=f(x)的极小值,f(x2),f(x4),f(x6)是函数y=f(x)的极大值.
函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(x3),最大值是f(a).
2.[2023河南月考]函数f(x)=x-3x3,x∈[0,1]的最大值是( )
B
重难探究·能力素养全提升
探究点一 函数的极值
角度1.函数极值点的判定
【例1】 (1)[2023河南月考]已知函数f(x)的导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则f(x)在开区间(a,b)内的极大值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
解析 由导函数的图象可知,在区间(a,b)内,f'(x)与x轴共有5个交点,从左往右设为x1,x2,x3,x4,x5.
第一个点x1处导数左负右正,第二个点x2处导数左正右负,第三个点x3处导数左负右正,第四个点x4处导数左正右正,第五个点x5处导数左正右负,所以极大值点是x2,x5,共两个.
故选B.
(2)[2023四川自贡模拟]已知函数f(x)=3x4-8x3+6x2,则f(x)( )
A.有2个极大值点
B.有1个极大值点和1个极小值点
C.有2个极小值点
D.有且仅有一个极值点
D
解析 f'(x)=12x3-24x2+12x=12x(x2-2x+1)=12x(x-1)2,
因为(x-1)2≥0(当且仅当x=1时取等号),
则当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)≥0,
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0),
所以函数f(x)的极小值点为0,没有极大值点,
即函数f(x)有且仅有一个极值点.故选D.
规律方法 x0是极值点满足的条件
f'(x0)=0(从图象上看,在(x0,f(x0))
处切线平行于x轴)
↓
x0左右两侧导数值异号(从图象上看,
x0左、右两侧f(x)的单调性相反)
变式训练1(1)[2023山东菏泽鄄城校级月考]设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是
( )
C
解析 由函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数f(x)在x=-2的左侧附近单调递减,f'(x)<0,y=xf'(x)的图象在x=-2的左侧附近在x轴上方;函数f(x)在x=-2的右侧附近单调递增,f'(x)>0,y=xf'(x)的图象在x=-2的右侧附近在x轴下方,且
f'(-2)=0,则函数y=xf'(x)的图象可能是选项C.
故选C.
(2)[2023河北邯郸武安校级月考]已知函数f(x)= x3+(a-2)x2+x+5有极值,则实数a的取值范围是( )
A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
D
解析 由f(x)= x3+(a-2)x2+x+5,
得f'(x)=x2+2(a-2)x+1,
根据题意得Δ=[2(a-2)]2-4>0,
解得a>3或a<1,
所以实数a的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).
故选D.
角度2.利用导数求函数的极值
【例2】 求下列函数的极值:
(1)f(x)=1+3x-x3;
解 函数定义域为R,且f'(x)=3-3x2,
令f'(x)=0,得x=±1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ -1 ↗ 3 ↘
所以f(x)在x=-1处取极小值-1,
在x=1处取极大值3.
解 函数定义域为(0,+∞),
(3)f(x)=x2e-x.
解 函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=x(2-x)e-x,
令f'(x)=0,得x=0或x=2,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 0 ↗ 4e-2 ↘
从表中可以看出,当x=0时,函数有极小值,且f(0)=0;当x=2时,函数有极大值,且f(2)=4e-2.
规律方法 求函数极值的解题策略
求函数的极值必须严格按照求函数极值的步骤进行,其重点是列表判断导数为零的点的左右两侧的导数值是不是异号,若异号,则是极值;否则,不是极值.另外,在求函数的极值前,首先要研究函数的定义域.
变式训练2[人教A版教材例题改编]给定函数f(x)=(x+1)ex.判断函数f(x)的单调性,并求出f(x)的极值.
解(1)函数的定义域为R.
f'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex=(x+2)ex.
令f'(x)=0,解得x=-2.
f'(x),f(x)的变化情况如表所示.
x (-∞,-2) -2 (-2,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ ↗
所以,f(x)在区间(-∞,-2)内单调递减,在区间(-2,+∞)内单调递增.
当x=-2时,f(x)有极小值f(-2)= ,无极大值.
探究点二 利用导数求函数的最值
【例3】 求下列函数的最值:
(1)f(x)=x3-2x2+1,x∈[-1,2];
解 f'(x)=3x2-4x,令f'(x)=0,有3x2-4x=0,解得x=0或x= .
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
从上表可知,最大值是f(0)=f(2)=1,最小值是f(-1)=-2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
由上表可知,
方程的解.
令g(x)=x2+ln x-1,x∈(0,+∞),
∴函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,∴x=1是方程f'(x)=0的唯一解.
当x>1时,f'(x)<0,
∴函数f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,
∴当x=1时,函数f(x)有最大值,且最大值是f(1)=-1,函数f(x)无最小值.
规律方法 求函数最值的解题策略
(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不间断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)如果函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间[a,b]上的最值可简化过程,即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较大小,即可判定最大(或最小)的函数值,就是最大(或最小)值.
(3)求函数在闭区间上的最值时,需要对各个极值与端点的函数值进行比较,有时需要作差、作商,有时还要估算,甚至有时需要进行分类讨论.
(4)求函数在开区间上的最值时,要借助导数分析研究函数的单调性与极值情况,从而画出函数的大致图象,结合图象求出最值.
变式训练3[北师大版教材习题]求函数y=x3-12x2+45x-10在区间[0,10]上的最值.
解 y'=3x2-24x+45=3(x2-8x+15)=3(x-3)(x-5).
令y'=0,得x1=3,x2=5,设f(x)=x3-12x2+45x-10,
则f(0)=-10,f(10)=1 000-1 200+450-10=240,
f(3)=27-12×9+45×3-10=44,
f(5)=53-12×52+45×5-10=40.
因为f(0)所以函数的最大值是240,函数的最小值是-10.
探究点三 根据函数的极值与最值求参数值(或范围)
【例4】 (1)[2023天津河东期中]已知函数f(x)=ax3+bx+1的图象在点(1,a+b+1)处的切线斜率为6,且函数f(x)在x=2处取得极值,则a+b=( )
C
解析 由题意可知f'(x)=3ax2+b,
则f'(1)=3a+b=6.
又函数f(x)在x=2处取得极值,
则f'(2)=12a+b=0,
故选C.
(2)[2023上海松江二模]已知函数y= x3-x2-3x+a,a∈R,在区间(t-3,t+5)上有最大值,则实数t的取值范围是( )
A.(-6,0) B.(-6,0]
C.(-6,2) D.(-6,2]
B
又函数在区间(t-3,t+5)上有最大值,则t-3<-1即t∈(-6,0].
故选B.
规律方法 根据函数极值与最值求参数值(或范围)的解题策略
(1)已知函数的极值或最值求参数值时,主要根据极值点处的导数值为0和已知的极值,列出方程(组),利用待定系数法求解;同时应注意,导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
(2)对于可导函数f(x),若它有极值点x0,则必有f'(x0)=0,因此函数f(x)有极值的问题,往往可以转化为方程f'(x)=0有根的问题,从而可借助方程的知识进行求解.
(3)有些含参数的问题,需要对参数进行分类讨论求解.
(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.
解 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的图象在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).
探究点四 极值问题的综合应用
【例5】 已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.
解 令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,
解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f'(x)>0;当-11时,f'(x)>0.
所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;
当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.
因为方程f(x)=0有三个不同实根,
所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,如图.
解得-2变式探究1本例中,若方程f(x)=0恰有两个不同实根,则实数a的值如何求解
解由例题,知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a,若f(x)=0恰有两个不同实根,则有2+a=0,或-2+a=0,所以a=-2或a=2.
变式探究2本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.
解由例题可知,要使方程f(x)=0有且只有一个实根,只需2+a<0或-2+a>0,即a<-2或a>2.故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
规律方法 极值综合问题的求解策略
利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数.
变式训练5已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R).
(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,求a,b的值;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围.
解 (1)f'(x)=3x2-2ax+b(a,b,c∈R).
因为函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,
所以-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.
经检验当a=3,b=-9时,f(x)在x=-1和x=3处取得极值.故a=3,b=-9.
(2)由(1),知f(x)=x3-3x2-9x+c(c∈R),
则f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值c+5 ↘ 极小值c-27 ↗
而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,
所以当x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54.
要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|成立即可.
当c≥0时,c+54<2c,所以c>54;
当c<0时,c+54<-2c,所以c<-18.
所以c的取值范围为(-∞,-18)∪(54,+∞).
成果验收·课堂达标检测
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1.[2023河南洛阳期中]已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2时有极大值,则f(x)的极大值为( )
A.0 B.32
C.0或32 D.0或-32
B
解析 ∵f(x)=x(x-c)2,∴f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=3x2-4cx+c2=(x-c)(3x-c).
∵f(x)在x=2处取得极大值,∴f'(2)=0,
即(2-c)(6-c)=0,∴c=2或c=6.
当c=2时,f'(x)=(x-2)(3x-2).
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∴x=2是f(x)的极小值点,f(x)在x=2处取得极小值,不符合题意;
当c=6时,f'(x)=(x-6)(3x-6),
令f'(x)>0,则x<2或x>6,∴f(x)在(-∞,2)和(6,+∞)内单调递增,
令f'(x)<0,则2∴x=2是f(x)的极大值点,x=6是f(x)的极小值点,
∴f(x)的极大值为f(2)=2×(2-6)2=32.
故选B.
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2.[2023山东月考]当x=0时,函数f(x)=aex+bx取得最小值1,则f'(1)=( )
A.e-1 B.e+1
C.-e-1 D.-e+1
A
解析 ∵当x=0时,函数f(x)=aex+bx取得最小值1,
∴f(0)=a=1,f'(0)=0.
∵f'(x)=aex+b,
∴f'(0)=a+b=0,解得b=-1,
经检验,a=1,b=-1符合题意,
故f'(x)=ex-1,可得f'(1)=e-1.
故选A.
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D
令f'(x)=0,得x=2e.
∴当x∈(0,2e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(2e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(x)的极大值为f(2e)=2ln 2e-2=2ln 2.
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4.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax+b在x=2处取得极值9,则a+2b= .
-24
解析 f'(x)=3ax2+6x-6a,
因为f(x)在x=2处取得极值9,
经检验,符合题意,所以a+2b=-2-22=-24.
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5.设函数f(x)=ex+x2-ax,若x=0是f(x)的极值点,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 .
e+1
解析 由已知,得f'(x)=ex+2x-a,所以f'(0)=1-a=0,得a=1,经检验,符合题意,所以f'(1)=e+2-1=e+1.
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6.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m∈R)在区间[-2,2]上有最大值3,求它在[-2,2]上的最小值.
解f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),
在(-2,2)上,只有x=0是f(x)的极值点,且为极大值点,
∴f(x)极大值=f(0)=m.
又f(-2)=-16-24+m=m-40,
f(2)=16-24+m=m-8.
容易判断m-40∴f(x)min=m-40=-37,即最小值是-37.(共34张PPT)
第六章
6.3 利用导数解决实际问题
课程标准
1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用;
2.能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值).
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目录索引
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知识点
最优化问题
1.最优化问题的定义
生活中,经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等实际问题,这些问题通常称为最优化问题.
2.利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系.列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域.
(2)求函数y=f(x)的导数f'(x).解方程f'(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点.
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值,获得所求的最大(小)值.
(4)还原到原实际问题中作答.
名师点睛
用导数解决实际问题的基本过程
解应用题时,首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题——就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型——再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验.其思路如下:
(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系.
(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型.
(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.
(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.
过关自诊
1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
C
解析 ∵y=- x3+81x-234,∴y'=-x2+81(x>0).
令y'<0,得x>9;令y'>0得0∴函数在(0,9)内单调递增,在(9,+∞)内单调递减,
∴当x=9时,函数取得最大值.故选C.
2.[人教A版教材习题]将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形.要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少
解 设弯成的两个小正方形的边长分别为x,y,
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利润最大、效率最高问题
【例1】 [北师大版教材例题]对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数,分别为y=x3-24x2+225x+10,z=180x.
(1)试写出该企业获得的生产利润w(单位:万元)与产量x之间的函数关系式.
(2)当产量为多少时,该企业可获得最大利润 最大利润为多少
解 (1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y,
所以w=w(x)=180x-(x3-24x2+225x+10),
即w=-x3+24x2-45x-10(x≥0).
(2)根据导数公式表及导数的运算法则,可得
w'(x)=-3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15).
解方程w'(x)=0,得x1=1,x2=15.
当x≥15时,w'(x)≤0,所以w(x)≤w(15).
比较x=0,x=1和x=15的函数值w(0)=-10,w(1)=-32,w(15)=1 340,可知,函数w=w(x)在x=15处取得最大值,此时最大值为1 340,即该企业的产量为15 t时,可获得最大利润,最大利润为1 340万元.
规律方法 利润最大问题的求解方法
利用导数解决利润最大问题,关键是要建立利润的函数关系式,然后借助导数研究函数的最大值,注意函数定义域的限制以及实际意义.
变式训练1某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大
(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小
所以f'(r)=0.8π(r2-2r).令f'(r)=0,解得r=2.
当r∈(0,2)时,f'(r)<0;当r∈(2,6)时,f'(r)>0.
因此,当半径r>2时,f'(r)>0,f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;当半径r<2
时,f'(r)<0,f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.
(1)半径为6 cm时,利润最大.
(2)半径为2 cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
探究点二 费用最低(用料最省)问题
【例2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
规律方法 费用最低问题的求解策略
(1)用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.
(2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.
变式训练2一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少
解 设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设,知p=kv3,
于是有p=0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为 小时,所以行
令q'=0,解得v=20.
当v<20时,q'<0;
当v>20时,q'>0,所以当v=20时,q取得最小值.
即当速度为20千米/时时,航行1千米所需的费用总和最少.
探究点三 面积、体积最大问题
【例3】 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.
解 设容器底面的宽为x m,
由题意知x>0,x+0.5>0,且3.2-2x>0,∴0设容器的容积为V(x) m3,
则有V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0∴V(x)'=-6x2+4.4x+1.6.
令V(x)'=0,有15x2-11x-4=0,
∴当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数;
x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.
∴V(x)在x∈(0,1.6)时取极大值V(1)=1.8,这个极大值就是V(x)在x∈(0,1.6)时的最大值,即V(x)max=1.8,这时容器的高为1.2 m.
∴当高为1.2 m时,容器的容积最大,最大值为1.8 m3.
规律方法 面积、体积最大问题的求解策略
求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数,然后利用导数的方法来解.
变式训练3
[2023广东高二期末]如图,在半径为3 m的 圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两条半径上.现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x m,圆柱的体积为V m3.
(1)写出体积V关于x的函数关系式,并指出定义域.
(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大
最大体积是多少
成果验收·课堂达标检测
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1.(多选题)[2023河北邯郸武安第三中学高二校考阶段练习]若将一边长为4的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖的方盒,则下列说法正确的是( )
ABC
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5
解析 由题意知:方盒的底面为边长为4-2x的正方形,高为x,其中0则方盒的容积为V(x)=x(4-2x)2(0∴V'(x)=(4-2x)2-4x(4-2x)=(2x-4)(6x-4)=4(x-2)(3x-2),
1
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4
5
2.做一个容积为256 cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为
( )
A.5 cm B.6 cm
C.7 cm D.8 cm
D
解析 设水箱的底面边长为x cm,容积为256 cm3,
令f'(x)=0,得x=8,所以当底面边长为8 cm时用料最省.
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3.已知某厂生产某种商品x(单位:百件)的总成本函数为
C(x)= x3-6x2+29x+15(单位:万元),总收益函数为R(x)=20x-x2(单位:万元),则生产这种商品所获利润的最大值为 万元.
66
所以P'(x)=-x2+10x-9,由P'(x)=0,得x=9或x=1,所以当19时,P(x)单调递减.所以当x=9时,P(x)有极大值,也即最大值P(9)=66.
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4.用长为24 cm的钢条围成一个长方体框架,要求长方体的长与宽之比为3∶1,则长方体的宽为 时,其体积最大.
1
解析 设长方体的宽为x(x>0),高为h,则该长方体的长为3x,所以有4x+4·3x+4h=24,则h=6-4x>0,即0所以V'(x)=6(6x-6x2)=36x(1-x),
当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)单调递增;
当x∈(1, )时,V'(x)<0,V(x)单调递减.
所以V(x)max=V(1)=6,
即长方体的宽为1时,其体积最大.
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5.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(单位:吨)与产品的价格P(单位:元/吨)之间的关系为P=24 200- x2,且生产x吨的成本为R=50 000 +200x(元).问每月生产多少吨产品才能使利润达到最大 最大利润是多少 (利润=收入-成本)
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解每月生产x吨时的利润为
解得x1=200,x2=-200(舍去).
因为f(x)在[0,+∞)内只有一个极大值点x=200,故它就是最大值点,
答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.