第四章测评(二)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
2.下列关于回归分析的说法中错误的是( )
A.回归直线方程一定过样本中心()
B.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适
C.甲、乙两个模型的相关系数r分别约为0.98和0.80,则模型乙的拟合效果更好
D.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
3.设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态曲线如图所示,下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
D.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
4.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( )
A.0.49 B.0.42 C.0.7 D.0.91
5.已知某足球队员点球命中率为87%,由于惯用脚的原因,他踢向球门左侧的概率为70%,踢向球门右侧的概率为30%.经统计,当他踢向球门左侧时,球进的概率为90%,那么他踢向球门右侧时,球进的概率为( )
A.87% B.84% C.81% D.80%
6.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y=X-2,则P(Y=2)等于( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
7.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得的白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)=( )
A. B. C. D.
8.设0
ξ -1 0 1
P a b
当a在0,内增大时,( )
A.E(ξ)增大,D(ξ)增大
B.E(ξ)增大,D(ξ)减小
C.E(ξ)减小,D(ξ)增大
D.E(ξ)减小,D(ξ)减小
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.对某中学的高中女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)进行线性回归分析,根据样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,12),计算得到相关系数r=0.996 2,用最小二乘法近似得到回归直线方程为=0.85x-85.71,则以下结论正确的是( )
A.y与x正相关
B.x与y具有较强的线性相关关系,得到的回归直线方程有价值
C.若该中学某高中女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg
D.若该中学某高中女生身高为160 cm,则可断定其体重为50.29 kg
10.“一粥一饭,当思来之不易”,道理虽简单,但每年我国还是有2 000多亿元的餐桌浪费,被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣,浪费可耻”的氛围,某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况,在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人,制成如下列联表,通过计算得到χ2的值为9.已知P(χ2≥6.635)=0.010,P(χ2≥10.828)=0.001,则下列判断正确的是( )
年龄 是否认可 总计
认可 不认可
40岁以下 20 20 40
40岁以上(含40岁) 40 10 50
总计 60 30 90
A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”
B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”
C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关
11.[2023广东深圳龙岗高二期中]已知在一次数学测验中,某校学生的成绩服从正态分布N(110,81),其中90分为及格线,则下列结论中正确的有(附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.954)( )
A.该校学生成绩的期望为110
B.该校学生成绩的标准差为9
C.该校学生成绩的标准差为81
D.该校学生成绩及格率超过95%
12.[2021新高考Ⅰ]有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则下列说法错误的是 ( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知某产品的销售额y(单位:万元)与广告费用x(单位:万元)之间的关系如表所示,
x/万元 0 1 2 3 4
y/万元 10 15 20 30 35
若销售额与广告费用之间的回归直线方程为=6.5x+,预计当广告费用为6万元时的销售额约为 万元.
14.设随机变量X~N(μ,σ2),若P(X<0)=P(X>2),则P(X≤1)= .
15.[2023浙江高三专题练习]某医院从3名医生和3名护士中选派4人参加志愿者服务,事件A表示选派的4人中至少有2名医生,事件B表示选派的4人中有2名护士,则P(B|A)= .
16.已知随机变量ξ的分布列如表所示,若P(ξ≤x)=,则实数x的取值范围是 .
ξ -2 0 2 3
P a
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)短视频已成为很多人生活中娱乐不可或缺的一部分,很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上,某人统计了发布短视频后1~8天的点击量(单位:万次)的数据并进行了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi-)2 (ti-)2 (xi-)·(yi-) (ti-)·(yi-)
4.5 5 25.5 42 3 570 72.8 686.8
其中ti=.
某位同学分别用两种模型:①y=bx2+a,②y=dx+c进行拟合.
(1)根据散点图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型
(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程;(在计算回归系数时精确到0.01)
(3)预测该短视频发布后第10天的点击量是多少.
附:.
18.(12分)为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关,随机对该校100名性别不同的学生进行了调查,得到如下列联表.
性别 是否喜爱某种食品 总计
喜爱 不喜爱
男 20
女 10
总计 60
(1)请将上述列联表补充完整;
(2)判断是否有99.9%的把握认为是否喜爱某种食品与性别有关
(3)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人,现从这6名学生中随机抽取2人,求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
19.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得到如图频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8≤Z≤212.2);
②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8,212.2]的产品件数,利用①的结果,求E(X).
附:≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954.
20.(12分)某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中,小明正确完成每道题的概率都是,且每道题正确完成与否互不影响,小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.
(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率;
(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数,求X的分布列及数学期望;
(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛,请你根据所学概率知识,判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好,并说明理由.
21.(12分)[2021新高考Ⅰ]某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 并说明理由.
22.(12分)小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前54单没有奖励,超过54单的部分每单奖励20元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式.
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的频率分布直方图,其中当某天的派送量指标在(m=1,2,3,4,5)时,日平均派送量为50+2m单,若将频率视为概率,
回答下列问题:
①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
②根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列及数学期望.请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适 并说明你的理由.
参考答案
第四章测评(二)
1.D 结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+blnx.
2.C 对于A选项,回归直线一定过样本中心点(),A选项正确;对于B选项,残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,B选项正确;对于C选项,甲、乙两个模型的相关系数r分别约为0.98和0.80,则模型甲的拟合效果更好,C选项错误;对于D选项,两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好,D选项正确.故选C.
3.D 由图象知,μ1<μ2,σ1<σ2,P(Y≥μ2)=,
P(Y≥μ1)>,故P(Y≥μ2)因为σ1<σ2,所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错误;
对任意正数t,P(X≥t)对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),故D正确.故选D.
4.B 甲、乙两人各进行1次射击,两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是×0.7×0.3=0.42.故选B.
5.D 设当该队员踢向球门右侧时,球进的概率为x,则由题可知70%×90%+30%·x=87%,解得x=80%.故选D.
6.A 由离散型随机变量X的分布列得
0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,
解得m=0.3,
因为随机变量Y=X-2,所以P(Y=2)=P(X=4)=0.3.
故选A.
7.B 由题意,知X~B5,,所以E(X)=5×=3,解得m=2,所以X~B5,,所以D(X)=5××1-=.故选B.
8.D 由题意可得E(ξ)=-+b=-a,D(ξ)=(-1+a)2×+(0+a)2×a+(1+a)2×b=-a+2+.当a在0,内增大时,E(ξ)减小,D(ξ)减小.故选D.
9.ABC 由于回归直线方程中x的系数为0.85>0,因此y与x正相关,故A正确;
根据相关系数r=0.9962接近1,故B正确;
由回归直线方程中系数的意义可得身高x每增加1cm,其体重约增加0.85kg,故C正确;
当某女生的身高为160cm时,其体重估计值是50.29kg,而不是确定值,故D错误.故选ABC.
10.AC 因为χ2的值为9,且P(χ2≥6.635)=0.010,P(χ2≥10.828)=0.001,
因为9>6.635,9<10.828,
所以有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关,
或者说,在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关,
所以选项C正确,选项D错误;
由表可知认可“光盘行动”的人数为60人,
所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例约为×100%≈66.7%,
故选项A正确,选项B错误.故选AC.
11.ABD 因为该校学生的成绩服从正态分布N(110,81),则μ=110,方差为σ2=81,标准差为σ=9,因为μ-2σ=110-2×9=92,P(ξ≥90)>P(ξ>92)=P(ξ>μ-2σ)=P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=×0.954=0.977>0.95.所以,该校学生成绩的期望为110,该校学生成绩的标准差为9,该校学生成绩及格率超过95%.所以,ABD选项正确,C选项错误.故选ABD.
12.ACD 由已知得P(甲)=,P(乙)=,
P(丙)=,P(丁)=,
P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),P(甲丁)=,P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁).
由于P(甲丁)=P(甲)·P(丁)=,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故B正确,A,C,D错误.
13.48 ∵×(0+1+2+3+4)=2,×(10+15+20+30+35)=22,
∴=22-6.5×2=9,
则=6.5x+9,
取x=6,得=6.5×6+9=48.
14.0.5 因为随机变量X~N(μ,σ2),P(X<0)=P(X>2),所以μ=1,所以P(X≤1)=0.5.
15. 根据题意,从3名医生和3名护士中选派4人,至少选派2名医生的概率为P(A)=,从3名医生和3名护士中选派4人,选派2名护士的概率为P(B)=,易知P(AB)=P(B),根据条件概率的计算公式可得P(B|A)=.
16.[2,3) 由随机变量ξ的分布列,结合P(ξ≤x)=,得P(ξ≤x)=P(ξ=-2)+P(ξ=0)+P(ξ=2)=,故实数x的取值范围是[2,3).
17.解 (1)由散点图可知,模型①效果更好.
(2)∵ti=,∴t+,
∵≈0.19,
∴=5-0.19×25.5≈0.16,
∴=0.19x2+0.16.
(3)由(2)可知,令x=10,则=0.19×100+0.16=19.16.
预测该短视频发布后第10天的点击量是19.16万次.
18.解 (1)完成列联表如下:
性别 是否喜爱某种食品 总计
喜爱 不喜爱
男 20 30 50
女 40 10 50
总计 60 40 100
(2)由(1)得χ2=≈16.667>10.828,所以有99.9%的把握认为是否喜爱某种食品与性别有关.
(3)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人,则其中男生有20×=2(人),女生有4人.
则从这6名学生中随机抽取2人有=15(种)结果,其中恰好有1名男生喜爱某种食品有=8(种)结果,故所求的概率P=.
19.解 (1)这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)①由(1)知,Z~N(200,150),因为σ=≈12.2,从而P(187.8≤Z≤212.2)=P(200-12.2≤Z≤200+12.2)≈0.683.
②由①知,一件产品的质量指标值位于区间[187.8,212.2]的概率约为0.683,依题意知X~B(100,0.683),所以E(X)=100×0.683=68.3.
20.解 (1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A,则P(A)=34=.
(2)X的可能取值为2,3,4.
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
X的分布列为
X 2 3 4
P
数学期望E(X)=2×+3×+4×=3.
(3)由(1)知,小明进入决赛的概率为P(A)=.
记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B,则P(B)=.
因为P(B)>P(A),故小宇进决赛的可能性更大,所以应选择小宇去参加比赛.
21.解 (1)X的可能取值为0,20,100.
P(X=0)=1-0.8=0.2=,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=,
P(X=100)=0.8×0.6=.
所以X的分布列为
X 0 20 100
P
(2)若小明先回答A类问题,期望为E(X).
则E(X)=0×+20×+100×.
若小明先回答B类问题,Y为小明的累计得分,
Y=0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4=,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=,
P(Y=100)=0.6×0.8=.
E(Y)=0×+80×+100×.
因为E(X)22.解 (1)甲方案中派送员日薪y与送单数n的函数关系式为y=100+n,n∈N,乙方案中派送员日薪y与送单数n的函数关系式为y=
(2)①(0.1×1+0.3×1.5+0.5×1+0.7×1+0.9×0.5)×0.2=0.44.
②X甲的分布列为
X甲 152 154 156 158 160
P 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
所以E(X甲)=152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1=155.4.
X乙的分布列为
X乙 140 180 220 260
P 0.5 0.2 0.2 0.1
所以E(X乙)=140×0.5+180×0.2+220×0.2+260×0.1=176.
由以上的计算结果可以看出,E(X甲)即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案.第四章测评(一)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2023天津西青高二期中]已知随机变量X服从二项分布X~B4,,则P(X=2)=( )
A. B. C. D.
2.某产品的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)统计如下表所示.
零售价x 16 17 18 19
销售量y 50 m 34 31
据表可得回归直线方程为=-6.4x+151,则表中m的值为( )
A.38 B.39 C.40 D.41
3.如图是某国在60天内感染某病毒的累计病例人数y(单位:万人)与时间t(单位:天)的散点图,则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是( )
A.y=a+bx B.y=a+b
C.y=a+bex D.y=a+bln x
4.某机构通过抽样调查,利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关,计算得χ2=3.305,经查对临界值表知P(χ2≥2.706)≈0.10,P(χ2≥3.841)≈0.05,现给出四个结论,其中正确的是( )
A.因为χ2>2.706,故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
B.因为χ2<3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
C.因为χ2>2.706,故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”
D.因为χ2<3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”
5.已知盒子里有10个球(除颜色外其他属性都相同),其中4个红球,6个白球,甲、乙两人依次不放回地摸取1个球,在甲摸到红球的情况下,乙摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知某种药物对某种疾病的治愈率为,现有3位患有该病的患者服用了这种药物,3位患者是否会被治愈是相互独立的,则恰有1位患者被治愈的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知X分布列如图所示,设Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)的值是( )
X -1 0 1
P a
A.- B. C.1 D.
8.小明参加某项测试,该测试一共有3道试题,每道试题做对得5分,做错得0分,没有中间分,小明答对第1,2题的概率都是,答对第3题的概率是,则小明答完这3道题的得分期望为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.小华为了研究数学名次和物理名次的相关关系,记录了本班五名同学的数学和物理的名次,如图.后来发现D同学数据记录有误,那么去掉数据D(3,10)
后,下列说法正确的是( )
A.样本线性相关系数r变大
B.残差平方和变大
C.变量x,y的相关程度变强
D.线性相关系数r越趋近于1
10.在一次恶劣气候的飞行航程中,调查男女乘客在飞机上晕机的情况,结果如表所示:
性别 晕机 总计
晕机 不晕机
男 n11 15 n1+
女 6 n22 n2+
总计 n+1 28 46
则下列说法正确的是( )
A.
B.χ2<2.706
C.有90%的把握认为,在恶劣气候的飞行中,晕机与否跟男女性别有关
D.没有90%的把握认为,在恶劣气候的飞行中,晕机与否跟男女性别有关
11.在一个袋中装有6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球.设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是( )
A.P(X=1)=
B.随机变量X服从二项分布
C.随机变量X服从超几何分布
D.E(X)=
12.有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的30%,30%,40%,则下列选项正确的有( )
A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B.任取一个零件是次品的概率为0.053
C.如果取到的零件是次品,且是第2台车床加工的概率为
D.如果取到的零件是次品,且是第3台车床加工的概率为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.[2023广东新会高二期中]若X~B80,,则D(X)= .
14.在一次期末考试中,某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X>90)=0.5,且P(X>110)=0.2,则P(70≤X≤90)= .
15.设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4),则P16.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中,立德中学高三某小组的学生表现优异,发现的正确结论获得老师和同学的一致好评.设随机变量X~B(n,p),记pk=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在研究pk的最大值时,小组同学发现:若(n+1)p为正整数,则k=(n+1)p时,pk=pk-1,此时这两项概率均为最大值;若(n+1)p为非整数,当k取(n+1)p的整数部分,则pk是唯一的最大值.以此为理论基础,有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时,记录到此时点数1出现5次,若继续再进行80次投掷试验,则当投掷到第100次时,点数1总共出现的次数为 的概率最大.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)某市某生物疫苗研究所对某病毒疫苗进行实验,并将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床实验,得到如下2×2列联表:
是否注射疫苗 是否感染病毒 总计
未感染病毒 感染病毒
未注射疫苗 20 x A
注射疫苗 30 y B
总计 50 50 100
现从所有试验小白鼠中任取一只,取到“注射疫苗”小白鼠的概率为.
(1)求2×2列联表中x,y,A,B的值;
(2)是否有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防该病毒有效
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.(12分)为发展业务,某调研组对A,B两个公司的扫码支付情况进行调查,准备从国内n(n∈N,n>0)个人口超过1 000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市,全是小城市的概率为.
(1)求n的值;
(2)若一次抽取4个城市,
①假设抽取出的小城市的个数为X,求X的可能值及相应的概率;
②若抽取的4个城市是同一类城市,求全为超大城市的概率.
19.(12分)某机构调查了某道路的各种类别的机动车共1 000辆,对行车速度进行统计后,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试根据频率分布直方图,求样本中的这1 000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).
(2)设该道路上机动车的行车速度v~N(μ,σ2),其中μ,σ2分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差(经计算σ2=210.25).
①请估计该道路上10 000辆机动车中车速高于85千米/时的车辆数(精确到个位);
②现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆,设车速不高于85千米/时的车辆数为X,求X的数学期望.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
20.(12分)[北师大版教材例题]甲、乙、丙三人同时对某物体进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.物体被一人击中且击落的概率为0.2,被两人击中且击落的概率为0.6,若三人都击中,该物体必定被击落,求该物体被击落的概率.
21.(12分)中国茶文化博大精深,已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量,得到了下面表格中的数据(室温是20 ℃).
泡制时间x/min 0 1 2 3 4
水温y/℃ 85 79 74 71 65
ln(y-20) 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8
(1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图,并根据散点图分布情况,考虑到茶水温度降到室温(即20 ℃)就不能再降的事实,决定选择函数模型y=kcx+20(x≥0)来刻画.
①令z=ln(y-20),求出z关于x的回归直线方程;
②利用①的结论,求出y=kcx+20(x≥0,c>0)中的k与c.
(2)你认为该品种绿茶用85 ℃的水大约泡制多久后饮用,可以产生最佳口感
参考数据:log0.90.6≈4.8,e-0.1≈0.9,e4.2≈66.7,≈0.6;参考公式:.
22.(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.当检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p).
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,若p=0.1,已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验
参考答案
第四章测评(一)
1.C P(X=2)=·2·1-2=.故选C.
2.D =17.5,
.
回归直线方程必过点17.5,,
所以=-6.4×17.5+151,解得m=41.
故选D.
3.C 根据散点图,可以看出,散点大致分布在一条“指数”函数曲线附近,选项C对应“指数型”的拟合函数.故选C.
4.A 因为χ2=3.305,且3.305>2.706,则P(χ2≥2.706)≈0.10,所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”,则A正确,C不正确;因为3.841>3.305,则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”,也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”,即BD都不正确.故选A.
5.A 甲先摸到1个红球,乙再从剩下的9个球中摸1个球,共有4×9=36(种)情况,其中甲先摸到1个红球,乙再从剩下的3个红球中摸1个球,共有4×3=12(种)情况,所以在甲摸到红球的情况下,乙摸到红球的概率为.故选A.
6.B 由题可得恰有1位患者被治愈的概率为×1-2=.故选B.
7.B 由已知得+a=1,∴a=,
∴E(X)=-=-.
∵E(Y)=2E(X)+1,∴E(Y)=.
故选B.
8.C 设小明的得分为ξ,则ξ的可能取值为0,5,10,15,所以P(ξ=0)=1-×1-×1-=,P(ξ=5)=×1-×1-+1-2×,P(ξ=10)=2×1-+×1-×,P(ξ=15)=2×,
所以小明得分ξ的分布列为
ξ 0 5 10 15
P
所以小明答完这3道题的得分期望为0×+5×+10×+15×,故选C.
9.ACD 由散点图知,去掉D(3,10)后,y与x的线性相关程度变强,且为正相关,所以r变大,且线性相关系数r越趋近于1,去掉D(3,10)后,散点分布更均匀,残差平方和变小.故ACD正确,B错误.
10.ABD 由2×2列联表可得n+1+28=46,得n+1=18.
由n11+6=18,得n11=12.
由15+n22=28,得n22=13,
故n1+=12+15=27,n2+=6+13=19.
所以.
因为,故选项A正确;
由题可知χ2=≈0.775<2.706,故没有90%的把握认为在恶劣气候的飞行中,晕机与否跟男女的性别有关,
故选项B,D正确,选项C错误.故选ABD.
11.ACD 由题意知随机变量X服从超几何分布,故B错误,C正确;
P(X=1)=,
所以E(X)=4×,故A,D正确.故选ACD.
12.BCD 记事件A:车床加工的零件为次品,记事件Bi:第i台车床加工的零件,则P(A|B1)=6%,P(A|B2)=P(A|B3)=5%,P(B1)=30%,P(B2)=30%,P(B3)=40%,对于选项A,任取一个零件是第1台生产出来的次品的概率为P(AB1)=6%×30%=0.018,故错误;对于选项B,任取一个零件是次品的概率为P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)=6%×30%+5%×30%+5%×40%=0.053,故正确;对于选项C,如果取到的零件是次品,且是第2台车床加工的概率为P(B2|A)=,故正确;对于选项D,如果取到的零件是次品,且是第3台车床加工的概率为P(B3|A)=,故正确.故选BCD.
13.15 ∵X~B80,,因此D(X)=80×=15.
14.0.3 由P(X>90)=0.5可知μ=90;∵P(X<70)=P(X>110)=0.2,∴P(70≤X≤90)==0.3.
15. 由题意,P(X=i)=(i=1,2,3,4),所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)==1,得a=10,所以P16.18 继续再进行80次投掷试验,出现点数为1的次数X服从二项分布X~B80,,由k=(n+1)p=81×=13.5,结合题中结论可知,k=13时概率最大,即后面80次中出现13次点数1的概率最大,加上前面20次中的5次,所以出现18次的概率最大.
17.解 (1)由题意知,2×2列联表中的数据B=×100=40,A=100-B=60,x=60-20=40,y=40-30=10.
(2)计算χ2=>10.828,
所以有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防该病毒有效.
18.解 (1)从(n+8)个城市中一次抽取2个城市,有种情况,
其中全是小城市的有种情况,则全是小城市的概率为,
解得n=7(负值舍去).
(2)①由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,4,
相应的概率分别记为P(X=k)(k=0,1,2,3,4),
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=.
②若抽取的4个城市全是超大城市,共有=35(种)情况;
若抽取的4个城市全是小城市,共有=70(种)情况,
所以若抽取的4个城市是同一类城市,则全为超大城市的概率为.
19.解 (1)由图知=(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5(千米/时).
所以这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时.
(2)由(1)及题设知v~N(70.5,210.25),则μ=70.5,σ=14.5,
①P(v>85)=P(v>μ+σ)=≈0.1585,
所以10000辆机动车中车速高于85千米/时的车辆数约为10000×0.1585=1585.
②由①知车速不高于85千米/时的概率约为1-0.1585=0.8415,故X~B(10,0.8415).
所以E(X)=10×0.8415=8.415.
20.解 设事件A表示“物体被击落”,事件Bi表示“物体被i人击中”(i=0,1,2,3),则B0,B1,B2,B3构成样本空间的一个划分,且依题意,P(A|B0)=0,P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1.再设事件Hi表示“物体被第i人击中”(i=1,2,3).
则P(B1)=P[(H1)∪(H2)∪(H3)]=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36.
同理P(B2)=P[(H2H3)∪(H1H3)∪(H1H2)]=0.41,
P(B3)=P(H1H2H3)=0.14,
P(B0)=P()=0.09.
由全概率公式,可知P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)·P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.
因此,物体被击落的概率为0.458.
21.解 (1)①由已知得出x与z的关系,如下表,
泡制时间x/min 0 1 2 3 4
z 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8
设回归直线方程为x+,
由题意,得=2,
=4,
(xi-)(zi-)=(-2)×0.2+(-1)×0.1+1×(-0.1)+2×(-0.2)=-1,
(xi-)2=(-2)2+(-1)2+12+22=10,
则=-0.1,
=4+0.1×2=4.2,
则z关于x的回归直线方程为=-0.1x+4.2.
②由y=kcx+20(x≥0),得y-20=kcx(x≥0,c>0),
两边取对数得ln(y-20)=ln k+xln c,
利用①的结论得ln c=-0.1,ln k=4.2,
所以c=e-0.1≈0.9,k=e4.2≈66.7.
(2)由(1)得,=66.7×0.9x+20(x≥0),
令=60,得x≈log0.90.6≈4.8.
所以该品种绿茶用85 ℃的水泡制4.8 min后饮用,口感最佳.
22.解 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.
(2)由p=0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),
X=20×2+25Y,即X=40+25Y.
所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.
②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.