(共46张PPT)
模块综合训练
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一、单项选择题
1.(x-y)6的展开式的第3项是( )
A
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2.某同学计划暑期去旅游,现有A,B,C,D,E,F共6个景点可供选择,若每个景点被选中的可能性相等,则他从中选择4个景点且A被选中的概率是( )
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4.某中学高三(1)班有50名学生,在一次高三模拟考试中,经统计得:数学成绩X~N(110,100),则估计该班数学得分大于120分的学生人数为( )
(参考数据:取P(|X-μ|≤σ)≈0.683,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954)
A.16 B.10 C.8 D.2
C
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5.大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表,语文、数学、外语、物理、化学各一节,现要求数学和物理不相邻,且都不排在第一节,则课表排法的种数为( )
A.24 B.36 C.72 D.144
B
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6.用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的6个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂2个圆,且相邻2个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂法种数为( )
A.24 B.30 C.36 D.42
B
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7.有5条同样的生产线,生产的零件尺寸(单位:mm)都服从正态分布N(20,σ2),且P(19≤X≤21)= .在每条生产线上各取一个零件,恰好有3个尺寸在区间[20,21]的概率为( )
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8.已知变量y关于x的回归方程为 ,其一组数据如下表所示:
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
若x=5,则预测y的值可能为( )
D
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二、多项选择题
9.设离散型随机变量X的分布列如下表:
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.2 n 0.3
若离散型随机变量Y=-3X+1,且E(X)=3,则( )
A.m=0.1 B.n=0.1
C.E(Y)=-8 D.D(Y)=7.8
BC
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解析 由E(X)=1×m+2×0.1+3×0.2+4×n+5×0.3=3得m+4n=0.7,又由m+0.1+0.2+n+0.3=1得m+n=0.4,从而得m=0.3,n=0.1,故A选项错误,B选项正确;
E(Y)=-3E(X)+1=-8,故C选项正确;
因为D(X)=0.3×(1-3)2+0.1×(2-3)2+0.1×(4-3)2+0.3×(5-3)2=2.6,所以D(Y)=(-3)2D(X)=23.4,故D选项错误.故选BC.
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10.为了对变量x与y的线性相关性进行检验,由样本点(x1,y1),(x2,y2),…,
(x10,y10)求得两个变量的样本相关系数为r,那么下面说法中错误的有( )
A.若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则r=1
B.若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则r=-2
C.若|r|越大,则变量x与y的线性相关性越强
D.若|r|越小,则变量x与y的线性相关性越强
ABD
解析 若所有样本点都在直线y=-2x+1上,且直线斜率为负数,则r=-1,A,B选项均错误;若|r|越大,则变量x与y的线性相关性越强,C选项正确,D选项错误.故选ABD.
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12.[2023广东开平忠源纪念中学模拟]假设在某市场供应的智能手机中,市场占有率和优质率的信息如下表:
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 80% 90% 70%
在该市场中任意买一部智能手机,用A1,A2,A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌,B表示买到的是优质品,则( )
A.P(A2)=30% B.P(BA3)=70%
C.P(B|A1)=80% D.P(B)=81%
ACD
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解析 因为乙品牌市场占有率为30%,所以P(A2)=30%,因此选项A正确;因为P(BA3)=P(A3)P(B|A3)=20%×70%=14%,所以选项B不正确;因为P(B|A1)=80%,所以选项C正确;因为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=50%×80%+30%×90%+20%×70%=81%,所以选项D正确.故选ACD.
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三、填空题
13.对具有线性相关关系的变量x,y,测得一组数据如表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 ,据此模型来预测当x=20时, 的估计值为 .
x 2 4 5 6 8
y 20 50 60 70 80
213.5
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14.设随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1,2,3),则P(X≥2)= .
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15.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:千克)服从正态分布N(100,64).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品,则其中质量在区间[92,100]内的产品估计有 件,质量在区间[108,116]内的产品估计有 件.
(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ ≤X≤μ+2σ)≈0.954)
3 415
1 355
解析 由X服从正态分布N(100,64),得μ=100,σ=8,
∴质量在区间[92,100]内的产品估计有10 000×0.341 5=3 415(件),质量在区间[108,116]内的产品估计有10 000×0.135 5=1 355(件).
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16.下列说法中,正确的是 .(填序号)
①已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p= ;
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变;
③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1≤ξ≤0)= -p;
④某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率
最大.
②③④
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解析 根据二项分布的数学期望和方差的公式,可得E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得p= ,所以①错误;
根据方差的计算公式可知,将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变,所以②正确;
由独立重复试验的概率的计算公式可得
∵k∈N+,且1≤k≤8,即当k=8时,P(X=8)最大,所以④正确.所以真命题的序号为②③④.
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四、解答题
(2)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求a1+a3+a5+a7.
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(2)令x=1,得a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=27,①
令x=-1,得-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-47,②
①-②,得2a7+2a5+2a3+2a1=27+47,
∴a1+a3+a5+a7=8 256.
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18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi(单位:千元)和年销售量yi(单位:t)(i=1,2,…,8)作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
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(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归直线方程 (给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归直线方程.
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:
①2年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少
②3年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大
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解 (1)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程.
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19.某单位准备通过考试方式(按照高分优先录取的原则)录用298名职员,其中275个高薪职位和23个普薪职位.实际报名人数为2 000名,考试满分为400分.本次招聘考试的成绩服从正态分布.考试后考生成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分、360分及其以上的考生有30名.
(1)求最低录取分数(结果保留整数);
(2)考生甲的成绩为286分,若甲被录取,能否获得高薪职位 请说明理由.
参考数据:①当X~N(μ,σ2)时,令x ,则Y~N(0,1).②当Y~N(0,1)时, P(Y≤2.17)≈0.985,P(Y≤1.28)≈0.900,P(Y≤1.09)≈0.862,P(Y≤1.04)≈0.851.
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则P(X<360)=1-0.015=0.985,
可得x0≈266,即最低录取分数为266.
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(2)考生甲的成绩286>266,所以能被录取,
P(X<286)=P(Y< )=P(Y<1.28)≈0.900,
所以不低于考生甲的成绩的人数大约为(1-0.90)×2 000=200,
即考生甲大约排在第200名,排在前275名,所以能获得高薪职位.
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20.为调研高中生的作文水平,在某市普通高中的某次联考中,参与的文科生与理科生人数之比为1∶4,且成绩(分数)分布在[0,60]的范围内,规定分数在50分以上(含50分)的作文被评为“优秀作文”,并获奖,按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示.其中=2.
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(1)求a,b,c的值;
(2)填写下面2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关
是否获奖 文科生 理科生 总计
获奖 6
不获奖
总计 400
(3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为X,求X的分布列及数学期望.
α=P(χ2≥k) 0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
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解 (1)由频率分布直方图可知,
10×(a+b+c)=1-10×(0.018+0.022+0.025)=0.35.
=2,所以a+2a+4a=0.035,解得a=0.005,
所以b=2a=0.01,c=4a=0.02.故a=0.005,b=0.01,c=0.02.
(2)获奖的人数为0.005×10×400=20(人),
因为参考的文科生与理科生人数之比为1∶4,所以400人中文科生的数量为400× =80,理科生的数量为400-80=320.
由表可知,获奖的文科生有6人,所以获奖的理科生有20-6=14人,不获奖的文科生有80-6=74人.
于是可以得到2×2列联表如下:
是否获奖 文科生 理科生 总计
获奖 6 14 20
不获奖 74 306 380
总计 80 320 400
所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关.
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所以X的分布列为
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21.某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中3人答对的概率分别为 ,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用ξ表示乙队的总得分.
(1)求ξ的分布列及数学期望;
(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
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解 (1)由题意知,ξ的所有可能取值为0,10,20,30.
所以ξ的分布列为
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(2)用A表示“甲得30分乙得0分”,用B表示“甲得20分乙得10分”,且A,B互斥.
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22.某企业打算处理一批产品,这些产品每箱100件,以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有10%或者20%两种可能,两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元,废品不值钱.现处理价格为每箱8 400元,遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.
(1)在不开箱检验的情况下,判断是否可以购买;
(2)现允许开箱,有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.
①若此箱出现的废品率为20%,记抽到的废品数为X,求X的分布列和数学期望;
②若已发现在抽取检验的2件产品中,其中恰有一件是废品,判断是否可以购买.
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解 (1)在不开箱检验的情况下,一箱产品中正品的价格期望值为E(ξ)=100×(1-0.2)×100×0.5+100×(1-0.1)×100×0.5=8 500>8 400,
所以在不开箱检验的情况下,可以购买.
(2)①X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)= ×0.20×0.82=0.64,
P(X=1)= ×0.21×0.81=0.32,
P(X=2)= ×0.22×0.80=0.04.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
故E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.
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②设事件A:发现在抽取检验的2件产品中,其中恰有一件是废品,
则P(A)= ×0.2×0.8×0.5+ ×0.1×0.9×0.5=0.25,一箱产品中,设正品的价格的期望值为η,则η所有可能的取值为8 000,9 000,
事件B1:抽取的废品率为20%的一箱,则
事件B2:抽取的废品率为10%的一箱,则P(η=9 000)=P(B2|A)
=0.36,所以E(η)=8 000×0.64+9 000×0.36
=8 360<8 400,所以已发现在抽取检验的2件产品中,其中恰有一件是废品时,不可以购买.模块综合训练
一、单项选择题
1.(x-y)6的展开式的第3项是( )
A.x4y2 B.x2y4 C.x3y3 D.-x3y3
2.某同学计划暑期去旅游,现有A,B,C,D,E,F共6个景点可供选择,若每个景点被选中的可能性相等,则他从中选择4个景点且A被选中的概率是( )
A. B. C. D.
3.[2023浙江高一单元测试]甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为( )
A. B. C. D.
4.某中学高三(1)班有50名学生,在一次高三模拟考试中,经统计得:数学成绩X~N(110,100),则估计该班数学得分大于120分的学生人数为( )(参考数据:取P(|X-μ|≤σ)≈0.683,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954)
A.16 B.10 C.8 D.2
5.大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表,语文、数学、外语、物理、化学各一节,现要求数学和物理不相邻,且都不排在第一节,则课表排法的种数为( )
A.24 B.36 C.72 D.144
6.用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的6个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂2个圆,且相邻2个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂法种数为( )
A.24 B.30 C.36 D.42
7.有5条同样的生产线,生产的零件尺寸(单位:mm)都服从正态分布N(20,σ2),且P(19≤X≤21)=.在每条生产线上各取一个零件,恰好有3个尺寸在区间[20,21]的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知变量y关于x的回归方程为=ebx-0.5,其一组数据如下表所示:
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
若x=5,则预测y的值可能为( )
A.e5 B. C.e7 D.
二、多项选择题
9.设离散型随机变量X的分布列如下表:
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.2 n 0.3
若离散型随机变量Y=-3X+1,且E(X)=3,则( )
A.m=0.1 B.n=0.1
C.E(Y)=-8 D.D(Y)=7.8
10.为了对变量x与y的线性相关性进行检验,由样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(x10,y10)求得两个变量的样本相关系数为r,那么下面说法中错误的有( )
A.若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则r=1
B.若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则r=-2
C.若|r|越大,则变量x与y的线性相关性越强
D.若|r|越小,则变量x与y的线性相关性越强
11.已知=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则下列选项正确的是( )
A.a3=-360
B.=1
C.a1+a2+…+a6=
D.展开式中系数最大的为a2
12.[2023广东开平忠源纪念中学模拟]假设在某市场供应的智能手机中,市场占有率和优质率的信息如下表:
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 80% 90% 70%
在该市场中任意买一部智能手机,用A1,A2,A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌,B表示买到的是优质品,则( )
A.P(A2)=30% B.P(BA3)=70%
C.P(B|A1)=80% D.P(B)=81%
三、填空题
13.对具有线性相关关系的变量x,y,测得一组数据如表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+,据此模型来预测当x=20时,的估计值为 .
x 2 4 5 6 8
y 20 50 60 70 80
14.设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3),则P(X≥2)= .
15.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:千克)服从正态分布N(100,64).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品,则其中质量在区间[92,100]内的产品估计有 件,质量在区间[108,116]内的产品估计有 件.
(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ ≤X≤μ+2σ)≈0.954)
16.下列说法中,正确的是 .(填序号)
①已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=;
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变;
③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1≤ξ≤0)=-p;
④某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大.
四、解答题
17.(1)若9的展开式中x3的系数为,求实数a的值;
(2)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求a1+a3+a5+a7.
18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi(单位:千元)和年销售量yi(单位:t)(i=1,2,…,8)作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi-)2 (ωi-)2 (xi-)·(yi-) (ωi-)·(yi-)
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
表中ωi=ωi.
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归直线方程 (给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归直线方程.
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:
①2年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少
②3年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大
19.某单位准备通过考试方式(按照高分优先录取的原则)录用298名职员,其中275个高薪职位和23个普薪职位.实际报名人数为2 000名,考试满分为400分.本次招聘考试的成绩服从正态分布.考试后考生成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分、360分及其以上的考生有30名.
(1)求最低录取分数(结果保留整数);
(2)考生甲的成绩为286分,若甲被录取,能否获得高薪职位 请说明理由.
参考数据:①当X~N(μ,σ2)时,令Y=,则Y~N(0,1).②当Y~N(0,1)时,P(Y≤2.17)≈0.985,P(Y≤1.28)≈0.900,P(Y≤1.09)≈0.862,P(Y≤1.04)≈0.851.
20.为调研高中生的作文水平,在某市普通高中的某次联考中,参与的文科生与理科生人数之比为1∶4,且成绩(分数)分布在[0,60]的范围内,规定分数在50分以上(含50分)的作文被评为“优秀作文”,并获奖,按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示.其中=2.
(1)求a,b,c的值;
(2)填写下面2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关
是否获奖 文科生 理科生 总计
获奖 6
不获奖
总计 400
(3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为X,求X的分布列及数学期望.
附:χ2=.
α=P(χ2≥k) 0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
21.某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用ξ表示乙队的总得分.
(1)求ξ的分布列及数学期望;
(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
22.某企业打算处理一批产品,这些产品每箱100件,以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有10%或者20%两种可能,两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元,废品不值钱.现处理价格为每箱8 400元,遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.
(1)在不开箱检验的情况下,判断是否可以购买;
(2)现允许开箱,有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.
①若此箱出现的废品率为20%,记抽到的废品数为X,求X的分布列和数学期望;
②若已发现在抽取检验的2件产品中,其中恰有一件是废品,判断是否可以购买.
参考答案
模块综合训练
1.A 由题设,展开式通项公式为Tr+1=x6-r(-y)r,
∴第3项为T3=x4y2.故选A.
2.D 从A,B,C,D,E,F共6个景点选择4个景点的方法数为=15,A被选中的方法数为=10,故所求概率为P=.故选D.
3.B 由于甲、乙、丙射击一次命中目标的概率分别为,三人同时射击目标一次,则目标不被击中的概率为1-×1-×1-=,由对立事件的概率公式可得目标被击中的概率为1-.故选B.
4.C 因为数学成绩X~N(110,100),所以μ=110,σ=10,因此由P(|X-110|≤10)≈0.683 P(100≤X≤120)≈0.683 P(110≤X≤120)=×0.683=0.3415,所以有P(X>120)=-P(110≤X≤120)=-0.3415≈0.16,估计该班数学得分大于120分的学生人数为0.16×50=8,故选C.
5.B (1)将数学排在第一节的排法有种;(2)将物理排在第一节的排法有种;(3)数学和物理都不排在第一节,但相邻的排法有种;而5节课任意排的排法有种,∴数学和物理不相邻且都不排在第一节的排法有-2=36(种).故选B.
6.B 第1类,前3个圆用3种颜色,后3个圆也用3种颜色,有=24(种)涂法;第2类,前3个圆用2种颜色,后3个圆也用2种颜色,有=6(种)涂法.综上,不同的涂法种数为24+6=30.故选B.
7.D 由题知正态分布N(20,σ2)的均值为20,
又因为P(19≤X≤21)=,故P(20≤X≤21)=.
故在每条生产线上各取一个零件,恰好有3个尺寸在区间[20,21]的概率为P=.
故选D.
8.D 由=ebx-0.5,得ln =bx-0.5,令z=ln ,则z=bx-0.5.
x 1 2 3 4
z 1 3 4 6
=2.5,=3.5,
因为()满足z=bx-0.5,所以3.5=b×2.5-0.5,解得b=1.6,所以z=1.6x-0.5,所以=e1.6x-0.5,
当x=5时,=e1.6×5-0.5=,故选D.
9.BC 由E(X)=1×m+2×0.1+3×0.2+4×n+5×0.3=3得m+4n=0.7,又由m+0.1+0.2+n+0.3=1得m+n=0.4,从而得m=0.3,n=0.1,故A选项错误,B选项正确;
E(Y)=-3E(X)+1=-8,故C选项正确;
因为D(X)=0.3×(1-3)2+0.1×(2-3)2+0.1×(4-3)2+0.3×(5-3)2=2.6,所以D(Y)=(-3)2D(X)=23.4,故D选项错误.故选BC.
10.ABD 若所有样本点都在直线y=-2x+1上,且直线斜率为负数,则r=-1,A,B选项均错误;若|r|越大,则变量x与y的线性相关性越强,C选项正确,D选项错误.故选ABD.
11.BD 展开式通项公式为Tk+1=·26-k·,
对于选项A,令k=3,则a3=×23×=-480,A错误;
对于选项B,令x=1,则a0+a1+…+a6=;
令x=-1,则a0-a1+a2-…+a6=;
∴=(a0+a1+a2+…+a6)(a0-a1+a2-…+a6)=[(2-)×(2+)]6=1,B正确;
对于选项C,令x=0,得a0=26,∴a1+a2+…+a6=-26,C错误;
对于选项D,∵a0,a2,a4,a6为正数,a1,a3,a5为负数,
又a0=26=64,a2=×24×3=720,a4=×22×32=540,a6=33=27,
∴展开式中系数最大的为a2,D正确.故选BD.
12.ACD 因为乙品牌市场占有率为30%,所以P(A2)=30%,因此选项A正确;因为P(BA3)=P(A3)P(B|A3)=20%×70%=14%,所以选项B不正确;因为P(B|A1)=80%,所以选项C正确;因为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=50%×80%+30%×90%+20%×70%=81%,所以选项D正确.故选ACD.
13.213.5 ×(2+4+5+6+8)=5,×(20+50+60+70+80)=56,所以56=10.5×5+,解得=3.5,所以回归直线方程为=10.5x+3.5,所以当x=20时,y=10.5×20+3.5=213.5.
14. 因为随机变量X的分布列P(X=i)=(i=1,2,3),所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=k=1,解得k=,
因此P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=k=.
15.3 415 1 355 由X服从正态分布N(100,64),得μ=100,σ=8,
∴P(92≤X≤100)=P(92≤X≤108)≈=0.3415,P(108≤X≤116)=[P(84≤X≤116)-P(92≤X≤108)]≈=0.1355.
∴质量在区间[92,100]内的产品估计有10000×0.3415=3415(件),质量在区间[108,116]内的产品估计有10000×0.1355=1355(件).
16.②③④ 根据二项分布的数学期望和方差的公式,可得E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得p=,所以①错误;
根据方差的计算公式可知,将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变,所以②正确;
由正态分布图象的对称性可得P(-1≤ξ≤0)=-p,所以③正确;
由独立重复试验的概率的计算公式可得
P(X=k)=(0.8)k(1-0.8)10-k,(k∈N+),
由≥1,得44-4k≥k,即1≤k≤,
∵k∈N+,且1≤k≤8,即当k=8时,P(X=8)最大,所以④正确.所以真命题的序号为②③④.
17.解(1)9的展开式通项公式为Tk+1=9-k-k=-ka9-k,
当=3,即k=8时,T9=-8ax3=x3.
又x3的系数为,∴,解得a=4.
(2)令x=1,得a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=27,①
令x=-1,得-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-47, ②
①-②,得2a7+2a5+2a3+2a1=27+47,
∴a1+a3+a5+a7=8256.
18.解(1)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程.
(2)由题意知ω=,先建立y关于ω的回归直线方程,
则ω,由于=68,
所以=563-68×6.8=100.6,
所以y关于ω的回归直线方程为=100.6+68ω,
所以y关于x的回归直线方程为=100.6+68.
(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,
年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.
②根据(2)的结果知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12,所以当=6.8,即x=46.24时,取得最大值,故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.
19.解 (1)设考生的成绩为X,由题意可知X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),令Y=,则Y~N(0,1).
由360分及以上的考生有30名可得P(X≥360)==0.015,
则P(X<360)=1-0.015=0.985,
所以PY<=0.985,则≈2.17,可得σ≈83,
所以X~N(180,832).
设最低录取分数为x0,则P(X≥x0)=PY≥==0.149,
则PY<=1-0.149=0.851,则≈1.04,
可得x0≈266,即最低录取分数为266.
(2)考生甲的成绩286>266,所以能被录取,P(X<286)=PY<=P(Y<1.28)≈0.900,
所以不低于考生甲的成绩的人数大约为(1-0.90)×2000=200,
即考生甲大约排在第200名,排在前275名,所以能获得高薪职位.
20.解(1)由频率分布直方图可知,10×(a+b+c)=1-10×(0.018+0.022+0.025)=0.35.
=2,所以a+2a+4a=0.035,解得a=0.005,
所以b=2a=0.01,c=4a=0.02.
故a=0.005,b=0.01,c=0.02.
(2)获奖的人数为0.005×10×400=20(人),
因为参考的文科生与理科生人数之比为1∶4,所以400人中文科生的数量为400×=80,理科生的数量为400-80=320.
由表可知,获奖的文科生有6人,所以获奖的理科生有20-6=14人,不获奖的文科生有80-6=74人.
于是可以得到2×2列联表如下:
是否获奖 文科生 理科生 总计
获奖 6 14 20
不获奖 74 306 380
总计 80 320 400
χ2=≈1.32<6.635,
所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关.
(3)由(2)可知,获奖的概率为,
X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=·0·2=,
P(X=1)=·1·1=,
P(X=2)=·2·0=,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望为E(X)=0×+1×+2×.
21.解(1)由题意知,ξ的所有可能取值为0,10,20,30.
P(ξ=0)=;
P(ξ=10)=;
P(ξ=20)=;
P(ξ=30)=.
所以ξ的分布列为
ξ 0 10 20 30
P
故E(ξ)=0×+10×+20×+30×.
(2)用A表示“甲得30分乙得0分”,用B表示“甲得20分乙得10分”,且A,B互斥.
又P(A)=3×,P(B)=2×,甲、乙两队得分总和为30分且甲获胜的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=.
22.解(1)在不开箱检验的情况下,一箱产品中正品的价格期望值为E(ξ)=100×(1-0.2)×100×0.5+100×(1-0.1)×100×0.5=8500>8400,
所以在不开箱检验的情况下,可以购买.
(2)①X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=×0.20×0.82=0.64,
P(X=1)=×0.21×0.81=0.32,
P(X=2)=×0.22×0.80=0.04.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
故E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.
②设事件A:发现在抽取检验的2件产品中,其中恰有一件是废品,
则P(A)=×0.2×0.8×0.5+×0.1×0.9×0.5=0.25,一箱产品中,设正品的价格的期望值为η,则η所有可能的取值为8000,9000,
事件B1:抽取的废品率为20%的一箱,则P(η=8000)=P(B1|A)==0.64,
事件B2:抽取的废品率为10%的一箱,则P(η=9000)=P(B2|A)==0.36,所以E(η)=8000×0.64+9000×0.36=8360<8400,所以已发现在抽取检验的2件产品中,其中恰有一件是废品时,不可以购买.
